习题课: Riemann 积分的定义 2

有界区域上的 Riemann 积分

我们沿用上次习题课 (在矩形上定义了 Rimeann 积分) 的记号.

这次的问题中, $A$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 的某个非空有界集. 对于 $A$ 上定义的复值 (可在某个赋范线性空间上取值) 函数$$f:A\to \mathbb{C},$$我们将它延拓成 ${\mathbb{R}}^n$ 的函数: $$\tilde{f}:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R},x\mapsto \tilde{f}(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& x\in A;\\ 0,& x\notin A.\end{array}$$

R28)	如果存在包含 $A$ 的矩形 $P$ (总存在) , 使得 $\tilde{f}$ 在 $P$ 上的限制 $\tilde{f}{|}_P$ 是 $P$ 上的 Riemann 可积函数, 那么, 我们就称 $f$ 在 $A$ 上是 Riemann 可积的并记作 $f\in \mathcal{R}(A)$. 我们定义$${\int }_{A}f={\int }_P\tilde{f}{|}_P.$$证明, 这个定义不依赖于矩形 $P$ 的选取, 即若 $P^{\prime }$ 是另一个包含 $A$ 的矩形, 那么 $\tilde{f}$ 在 $P^{\prime }$ 上的限制 $\tilde{f}{|}_{P^{\prime }}$ 是 $P^{\prime }$ 上的 Riemann 可积的并且$${\int }_P\tilde{f}{|}_P={\int }_{P^{\prime }}\tilde{f}{|}_{P^{\prime }}.$$ (与抽象积分比较, 这个积分的定义依赖于函数的延拓. 抽象积分的定义是内蕴的. )
R29)	证明, $\mathcal{R}(A)$ 是 $\mathbb{C}$-线性空间. 进一步证明, 如果 $f,g\in \mathcal{R}(A)$, 那么它们的乘积 $f\cdot g\in \mathcal{R}(A)$. (乘积的性质对抽象积分不成立)
R30)	证明, 积分算子$${\int }_A:\mathcal{R}(A)\to \mathbb{C},f\mapsto {\int }_{A}f$$是 $\mathbb{C}$-线性映射. (对抽象积分而言, 建立线性相对困难)
R31)	证明, 对任意的 $f\in \mathcal{R}(A)$, 我们有$$\left|{\int }_{A}f\right|⩽{\int }_A\left|f\right|.$$如果 $f,g\in \mathcal{R}(A)$ 是实值函数并且对任意的 $x\in A$, 都有 $f(x)⩽g(x)$, 那么$${\int }_{A}f⩽{\int }_{A}g.$$
R32)	我们假设 $f,g:A\to \mathbb{R}$ 是实数值有界函数并且 Riemann 可积. 证明, 函数$$\max (f,g)(x)=\max (f(x),g(x)),\min (f,g)(x)=\min (f(x),g(x))$$是 Riemann 可积的并且$$\begin{array}{rl}& {\int }_A\min (f,g)⩽\min ({\int }_{A}f,{\int }_{A}g),\\ & \max ({\int }_{A}f,{\int }_{A}g)⩽{\int }_A\max (f,g).\end{array}$$
R33)	证明 Cauchy-Shwarz 不等式: $f,g\in \mathcal{R}(A)$, 我们有$$|{\int }_{A}f\cdot \overline{g}|⩽({\int }_A|f{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}({\int }_A|g{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}.$$ (以上 R28)-R33) 是对矩形上的积分理论的简单应用)
R34)	(积分第一中值公式) $A$ 是一个可铺集 (有限个内部不交的矩形的并集, 请参考题目 R2)) 假设 $f$ 是 $A$ 上的 Riemann 可积的实值函数. 令$$c=\underset{x\in A}{\inf }f(x),C=\underset{x\in A}{\sup }f(x).$$证明, 存在 $\xi \in [c,C]$, 使得$${\int }_{A}f=\xi \cdot m(A).$$
R35)	(一致收敛与 Riemann 积分可交换) 给定 $A$ 上 Riemann 可积的函数列 $\{f_k{\}}_{k⩾1}\subset \mathcal{R}(A)$, 假设 $\{f_k{\}}_{k⩾1}$ 一致收敛到函数 $f:A\to \mathbb{C}$. 证明, $f\in \mathcal{R}(A)$ 并且$${\int }_{A}f=\underset{k\to \infty }{\lim }{\int }_A{f}_k.$$
R36)	(上下积分) 给定实值有界函数 $f:A\to \mathbb{R}$, 任意给定矩形 $P\supset A$, 我们考虑$$\begin{array}{rl}\overline{{\mathcal{E}}_f}(P)& =\{\phi \in \mathcal{E}(P)\mid \phi (x)⩾\tilde{f}(x)\},\\ \underline{{\mathcal{E}}_f}(P)& =\{\phi \in \mathcal{E}(P)\mid \phi (x)⩽\tilde{f}(x)\}.\end{array}$$据此, 我们定义$$\begin{array}{rl}& {\overline{\int }}_{P}f=\underset{\phi \in \overline{{\mathcal{E}}_f}(P)}{\inf }{\int }_P\phi ,\\ & {\underline{\int }}_{P}f=\underset{\phi \in \underline{{\mathcal{E}}_f}(P)}{\sup }{\int }_P\phi .\end{array}$$证明, 这两个数值不依赖于 $P$ 的选取. (我们称之为有界函数 $f$ 的上积分和下积分并记作 ${\overline{\int }}_{A}f$ 和 ${\underline{\int }}_{A}f$)
R37)	(上下积分刻画 Riemann 性) 给定实值有界函数 $f:A\to \mathbb{R}$. 证明, $f\in \mathcal{R}(A)$ 当且仅当 ${\overline{\int }}_{A}f={\underline{\int }}_{A}f$. 此时, 我们还有$${\overline{\int }}_{A}f={\underline{\int }}_{A}f={\int }_{A}f.$$

抽象可铺集

在这一部分中, 我们用 $A$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个非空的有界集. 我们将研究一类特殊的有界集以及它们上面的 Riemann 积分理论. 假设 $A\subset P$, 其中 $P$ 是一个矩形, 如果示性函数 $1_A$ 是 $P$ 上的 Riemann 可积的函数, 我们就称 $A$ 是抽象可铺的. 我们定义$$m(A)={\int }_P{1}_A$$为 $A$ 的体积. 很明显, 这些定义不依赖于 $P$ 的选取. 我们用 $\mathcal{P}$ 表示所有的 ${\mathbb{R}}^n$ 上的抽象可铺集的全体 (包括空集) .

R38)	证明, 可铺集是抽象可铺的.
R39)	如果 $A$ 和 $B$ 是抽象可铺的, 证明, $A\cap B$, $A\cup B$ 和 $A-B$ 也是抽象可铺的并且$$\begin{array}{rl}& m(A\cup B)+m(A\cap B)=m(A)+m(B),\\ & m(A-B)=m(A)-m(A\cap B).\end{array}$$ (与测度论比较, 上述表明所有的 $\mathcal{P}$ 很类似于一个代数 (${\mathbb{R}}^n\notin \mathcal{P}$) 而 $m$ 类似于 $\mathcal{P}$ 上的加性函数)
R40)	$A\subset {\mathbb{R}}^n$ 是非空的有界集, 我们强调它未必是抽象可铺的. 假设 $P$ 是矩形并且 $A\subset P$, 我们定义 $A$ 的上测度和下测度分别为$$\begin{array}{rl}& \overline{m}(A)={\overline{\int }}_A{1}_A,\underline{m}(A)={\underline{\int }}_A{1}_A.\end{array}$$证明, $$\begin{gathered} \overline{m}(A)=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{B\supset A,}{ \\ B\text{是可铺集}}}{\inf }m(B),\underline{m}(A)=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{C\subset A,}{ \\ C\text{是可铺集}}}{\sup }m(C). \end{gathered}$$ (由此可见, $\overline{m}(A)$ 与 Carathéodory 测度扩张定理证明中的外测度类似, 然而, 可铺集只容许有限个矩形来覆盖, 外测度容许有可数个)
R41)	(抽象可铺集的测度刻画) $A$ 是抽象可铺的当且仅当对任意的 $\epsilon >0$, 存在可铺集 $B$ 和 $C$, 使得$$B\supset A\supset C,m(C)-m(B)<\epsilon .$$(请与课程上关于在紧集上取值有限的测度的正则性定理比较)
R42)	(复习) $A$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的集合 (未必有界) , 我们定义 $A$ 的内部 $\mathring{A}$ 和闭包为 $\overline{A}$ 为: $$\begin{array}{rl}\mathring{A}& =\{x\in A|\text{存在 δ>0，使得以 x 为球心以 δ 为半径的小球落在 A 中}\},\\ \overline{A}& =\{x\in {\mathbb{R}}^n|\text{对任意的 δ>0，使得以 x 为球心以 δ 为半径的小球与 A 的交非空}\}.\end{array}$$证明, $\mathring{A}$ 是包含在 $A$ 中的最大的开集; $\overline{A}$ 是包含 $A$ 的最小的闭集并且 $\overline{A}$ 恰为 $A$ 的聚点的集合.
R43)	$A$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的集合 (未必有界) , 我们定义 $A$ 的边界为 $\partial A=\overline{A}-\mathring{A}$. 根据上面的问题, $\partial A$ 是闭集. 证明, ${\mathbb{R}}^n$ 上的函数 $1_A$ 在每个 $x\in {\mathbb{R}}^n-\partial A$ 处是连续的.
R44)	(抽象可铺集的拓扑刻画) $A$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个非空的有界集. 证明, $A$ 是抽象可铺的当且仅当 $\partial A$ 是 (Lebesgue 测度) 零测集.
R45)	(Riemann 意义下的零测集) $A\subset {\mathbb{R}}^n$, 如果对每个 $\epsilon >0$, 总存在有限个矩形 $P_1,\cdots ,P_{N(\epsilon )}$, 使得$$A\subset \bigcup _{1⩽i⩽N(\epsilon )}{P}_i,\sum _{i=1}^{N(\epsilon )}m(P_i)<\epsilon ,$$我们称 $A$ 是在 Riemann 意义下的零测集 (简记为 $\mathcal{R}$-零测集) . 证明, $\mathcal{R}$-零测集是有界的并且是 Lebesgue 意义下的零测集; $\mathcal{R}$-零测集的子集是 $\mathcal{R}$-零测集; 有限个 $\mathcal{R}$-零测集的并也是 $\mathcal{R}$-零测集.
R46)	证明, $\mathcal{R}$-零测集的闭包是 $\mathcal{R}$-零测集. 进一步证明, $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ 不是 ${\mathbb{R}}^1$ 上的 $\mathcal{R}$-零测集但是是 Lebesgue 意义下的零测集.
R47)	证明, ${\mathbb{R}}^n$ 中紧的 $d$-维子流形是 $\mathcal{R}$-零测集, 其中 $d⩽n-1$.
R48)	证明, 如下四个命题是等价的: 甲) $A$ 是 $\mathcal{R}$-零测集; 乙) $A$ 是抽象可铺的并且 $m(A)=0$; 丙) $A$ 是抽象可铺的并且是零测集; 丁) $A$ 有界并且 $\overline{A}$ 是零测集. (按照甲 $\Rightarrow$ 乙 $\Rightarrow$ 丙 $\Rightarrow$ 丁 $\Rightarrow$ 甲的顺序推理比较容易)
R49)	(可铺集的刻画之三) $A$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个非空的有界集. 证明, $A$ 是抽象可铺的当且仅当 $\partial A$ 是 $\mathcal{R}$-零测集.

寄语. In my opinion a mathematician, in so far as he is a mathematician, need not preoccupy himself with philosophy – an opinion, moreover, which has been expressed by many philosophers.

—— Henri Lebesgue