3. 第一章: 流形与光滑映射 (正在翻译中)

第一章: 流形与光滑映射

1. 定义

  借助微积分, 我们可以直观地得到许多几何空间中优美的性质, 深层的结构. 因为基础的微积分构建在欧氏空间的几何结构之上, 所以, 它自然地适用在一些 “局部与欧氏空间相同” 的几何空间之上. 我们把这样的空间称作 “流形”. 在 “流形” 之中, 任意一点附近的区域都可以看作欧氏空间.

  流形中最直观的例子, 就是球面和圆环面这样的光滑曲面. 在以上两个例子之中, 曲面中的每一点附近的区域都可以看作是一个弯曲的圆盘面, 把这些弯曲的圆盘面拉直, 就是平面上的圆盘. 但是在我们熟悉的老朋友之中, 圆锥面却不符合流形的性质, 因为圆锥的顶点附近的区域无法被视为平面的一部分.

  为了给我们的想法一个精确的数学定义, 首先需要明确 “相同” 的意义, 我们通过建立映射来达成这个目标. 一个从 ${\mathbb{R}}^{\mathbf{N}}$ 中开集 $\mathbf{U}$ 到 ${\mathbb{R}}^{\mathbf{m}}$ 的映射 $\mathbf{f}$, 如果 $\mathbf{f}$ 任意阶的导函数都是连续的, 那么我们称 $\mathbf{f}$ 是光滑 (smooth) 的. 然而. 如果 $f$ 的原象不是开集, 那我们是不能用 “导函数” 来定义的 (想想为什么? ). 所以我们需要将开集的条件推广到更一般的情况. 对于 ${\mathbb{R}}^{\mathbf{n}}$ 中的任意子集 $\mathbf{X}$, 如果函数 $\mathbf{f}:\mathbf{X}\to {\mathbb{R}}^{\mathbf{m}}$ 可以局部拓展为在开集上光滑的映射. 那么称 $f$ 为光滑的. 详细一点说, 对于 $X$ 中的任意一点 $x$, 存在一个开集 $U\ni x$(也就是 $x$ 的一个邻域) 和一个映射 $F:U\to {\mathbb{R}}^m$, $F$ 与 $f$ 在集合 $U\cap X$ 中相同. “局部” 意味着函数仅仅在集合中点的一些邻域内相同. 因为开子集 $X$ 可以被写作 $U\cap X$ 的形式 ($U$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中的开集). 所以光滑是一个局部性质; 如果 $f：X\to {\mathbb{R}}^m$ 在 $X$ 中的每个点的邻域都是光滑的, 那么 $f$ 是光滑的. (与 “局部” 相对的概念是 “全局”, “全局” 指将整个空间看待为一个统一的整体. )

  如果一个定义在两个欧氏空间子集 $\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{Y}$ 上的光滑映射 $\mathbf{f}:\mathbf{X}\to \mathbf{Y}$ 既是单射又是满射, 那我们称 $\mathbf{f}$ 为微分同胚映射, 如果逆映射 ${\mathbf{f}}^{-1}:\mathbf{Y}\to \mathbf{X}$ 也是光滑的, 那么称 $\mathbf{X}$ 与 $\mathbf{Y}$ 是微分同胚的. 在微分拓扑的观点下, 两个微分同胚的集合是等价的. 它们可以被视作一个抽象空间的两个副本, 差异体现在它们的邻域可以用欧氏空间的不同部分来表示. 你需要建立一种关于微分拓扑的直觉, 以便你能迅速判断两个空间是否微分同胚, 我们可以从一些简单的图例开始:

  在明确了 “等价” 的概念之后, 接下来需要定义 “流形”: 用 $X$ 来表示欧氏空间 ${\mathbb{R}}^N$ 的子集, 如果 $X$ 与欧氏空间 $R^k$ 是微分同胚的, 我们称 $X$ 为 $k$ 维流形, 这意味着对于 $X$ 中的任意一点 $x$, 存在 $x$ 的一个邻域 $V(V\subset X)$ 且 $R^k$ 中存在一个开集 $U$ 与 $V$ 微分同胚. 那么我们称微分同胚映射 $\varphi :U\to V$ 是一个 $V$ 的一个参数化映射 ($V$ 可以表示成 $\tilde{V}\cap U$,$\tilde{V}\subset {\mathbb{R}}^N$ 且 $\tilde{V}$ 是开集) . 逆同胚映射 ${\varphi }^{-1}:V\to U$ 被称作 $V$ 的坐标系统. 我们可以将函数 ${\varphi }^{-1}$ 写成坐标形式 ${\varphi }^{-1}=(x_1,x_2,\dots ,x_k)$. $V$ 上的这 $k$ 个光滑函数 $x_1,x_2,\dots ,x_k$ 被称作坐标函数 (也称作 $V$ 上的局部坐标, 用来将空间 $U$ 用空间 $V$ 上的 $k$ 维坐标显式确定, 而 $V$ 中的一点 $v\in V$ 可以用如下坐标 $(x_1(v),\dots ,x_k(v))\in U$ 确定) . 空间 $X$ 的维度 $k$ 用 $\dim X$ 来表示.

  下面是一个例子, 这里有一个圆:

$S^1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2+y^2=1\}$

  这是一个一维流形, 设 $(x,y)$ 是圆的上半段上的一点 $(y>0)$. ${\varphi }_1(x)=(x,\sqrt{1-x^2})$ 是一个从开区间 $(-1,1)$ 到上半圆弧的双射, 其定义在上半圆弧上的逆映射 $(x,y)\to x$ 显然是光滑的. 因为 ${\varphi }_1$ 是一个将 ${\mathbb{R}}^2$ 上的点映射到 $\mathbb{R}$ 上的光滑映射, 所以它是一个参数化表示. 下半圆弧上的参数化表达是类似定义的 ${\varphi }_2(x)=(x,-\sqrt{1-x^2})$. 除了两个 $x$ 轴上点 $(-1,0),(1,0)$, 这两个映射给出了 $S^1$ 上所有点的参数化表达. 为了表达这两个点, 我们可以用参数化左右半圆的映射 ${\varphi }_3(y)=(\sqrt{1-y^2},y)$ 和 ${\varphi }_4(y)=(-\sqrt{1-y^2},y)$. 这样我们就将一个圆, 视为用四个参数表示的一维流形. 只用两个参数映射去表示一个圆也不困难 (你能证明为什么不能只用一个映射来参数化表示圆吗? ) . 运用以上内容去证明一个推广结论: ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 维空间中的 $n$ 维球 $S^n=\{x\in {\mathbb{R}}^n:\Vert x\Vert =1\}$ 是一个 $n$ 维流形 $(\Vert x\Vert$ 代表范数 $\sqrt{x_1^2+...+x_n^2})$.

  一种有效的从已知流形制造新流形的方法是: 运用乘积空间. 设 $X$ 是 ${\mathbb{R}}^M$ 的流形, $Y$ 是 ${\mathbb{R}}^N$ 中的流形, 那么 $X\times Y$ 是 ${\mathbb{R}}^M\times {\mathbb{R}}^N={\mathbb{R}}^{M+N}$ 的一个子集. 如果 $\dim X=k,x\in X$, 我们可以找到 ${\mathbb{R}}^k$ 中开集 $W$ 和一个 $x$ 邻域的参数化映射 $\varphi :W\to X$. 类似, 如果 $\dim Y=l,y\in Y$, 可以找到 ${\mathbb{R}}^l$ 中开集 $U$ 和一个 $y$ 邻域的参数化映射 $\psi :U\to Y$. 定义映射 $\varphi \times \psi :W\times U\to X\times Y$ 为$$\varphi \times \psi (w,u)=(\varphi (w),\psi (u)).$$

  显然, $W\times U$ 是 ${\mathbb{R}}^k\times {\mathbb{R}}^l={\mathbb{R}}^{k+l}$ 的一个开集, 容易检验 $\varphi \times \psi$ 是 $X\times Y$ 中 $(x,y)$ 邻域上的一个参数化映射 (仔细检验这个点, 尤其是映射 $(\varphi \times \psi {)}^{-1}$ 在未必是 ${\mathbb{R}}^{M+N}$ 中开集的 $X\times Y$ 的光滑性质) . 对于 $X\times Y$ 上的任意一点 $(x,y)$, $\varphi \times \psi$ 都是局部的参数映射, 因此我们证明了:

定理: 如果 $X$ 和 $Y$ 都是流形, 那么 $X\times Y$ 也是流形, 而且 $\dim X\times Y=\dim X+\dim Y$.

  这里提及另一个有用的性质: 如果 $X$ 和 $Z$ 都是 $R^N$ 中的流形且 $Z\subset X$, 那么 $Z$ 是 $X$ 的一个子流形, $X$ 自身就是 ${\mathbb{R}}^N$ 的一个子流形, $X$ 中的任何开子集都是 $X$ 的子流形.

  读者需要注意, 有一些作者在描述映射的行文过程中会忽略 “光滑” 这个条件, 然而, “光滑” 这个条件总是需要的.

习题

1.	若 $k<l$, 将 ${\mathbb{R}}^k$ 视为 ${\mathbb{R}}^l$ 的子集 $\{(a_1,a_2,\dots ,a_k,0,0,\dots ,0)\}$. 对于 ${\mathbb{R}}^k$ 上的光滑函数, 证明: ${\mathbb{R}}^k$ 上的光滑函数也是 ${\mathbb{R}}^l$ 上的光滑函数.
*2.	$X$ 是 ${\mathbb{R}}^N$ 的子集, $Z$ 是 $X$ 的子集. 证明: 对于任何定义在 $X$ 上的光滑映射, 将该映射限定在 $Z$ 上, 这个映射在 $Z$ 上也是光滑的.
*3.	$X\subset {\mathbb{R}}^N$,$Y\subset {\mathbb{R}}^M$,$Z\subset {\mathbb{R}}^L$ 分别是 ${\mathbb{R}}^N,{\mathbb{R}}^M,{\mathbb{R}}^L$ 中的任意子集. 映射 $f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$ 是光滑的, 证明复合映射 $g\circ f$ 是光滑的. 如果 $f$ 和 $g$ 都是微分同胚映射, 证明复合映射 $g\circ f$ 也是微分同胚映射.
4.	(a): $B_a：\{x:\Vert x\Vert <1\}$ 是 ${\mathbb{R}}^k$ 中的一个开球, 证明映射: $x\to \frac{ax}{\sqrt{a^2-\Vert x{\Vert }^2}}$ 是一个从 $B_a$ 到 ${\mathbb{R}}^k$ 的微分同胚映射 (提示: 直接计算该映射的逆映射) . (b): $X$ 是一个 $k$ 维流形, 证明 $X$ 中每一个点的邻域都和 ${\mathbb{R}}^k$ 微分同胚. 因此该流形的局部参数化可以在 ${\mathbb{R}}^k$ 中选取.
*5.	证明 ${\mathbb{R}}^N$ 中的任意 $k$ 维向量空间 $V$ 都和 ${\mathbb{R}}^k$ 微分同胚, $V$ 上的所有线性映射都是光滑的. 如果 $\varphi :{\mathbb{R}}^k\to V$ 是线性同构, 那么对应的坐标函数是 $V$ 上的线性函数, 称为线性坐标.
6.	流形上的光滑双射未必是微分同胚映射, 例如 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x^3$.
7.	证明 ${\mathbb{R}}^2$ 上两个坐标轴的并集不是流形. (提示: 如果去掉原点, 考虑原点的邻域)
8.	证明 ${\mathbb{R}}^3$ 上的双曲面 $x^2+y^2-z^2=a$, 当 $a>0$ 的时候是流形. 为什么 $x^2+y^2-z^2=0$ 不是流形?
9.	直接写出足够的参数化映射来覆盖 $S^1\times S^1\subset {\mathbb{R}}^4$.
10.	圆环面是 ${\mathbb{R}}^3$ 中与 $xy$ 平面上半径为 $a$ 的圆距离为 $b$ 的几何结构, 其中 $0<b<a$. 证明圆环面和 $S^1\times S^1$ 微分同胚. 考虑 $b=a$ 和 $b>a$ 的情况, 为什么它们不是流形?
11.	证明无法用一个参数化映射来表示 $k$ 维球 $S^k$. (提示, $S^k$ 是紧致的)
*12.	球极平面投影 $\pi$ 是从 $S^2-\{N\}$ 到 ${\mathbb{R}}^2$ 的一个映射, $N$ 是北极点 $(0,0,1)$. 对于任意 $p\in S^2-\{N\}$, 定义 $\pi (p)$ 为 $Np$ 直线与 $xy$ 平面的交点. 证明 $\pi :S^2-\{N\}\to {\mathbb{R}}^2$ 是微分同胚映射. (直接写出 $\pi$ 的坐标来计算 ${\pi }^{-1}$. ) 注意到当 $p$ 接近 $N$ 时, $\pi (p)$ 会非常大. 因此 $\pi$ 可以让我们想到 $S^2$ 与平面和一个 “无穷远点” 的并集在拓扑上等价. 我们也可以用南极点来定义球极平面投影, $S^2$ 可以被两个局部参数化映射覆盖.
13.	推广球极平面投影, 试定义 $S^k-\{N\}\to {\mathbb{R}}^k$.
14.	$f:X\to X^{{}^{\prime }}$ 与 $g:Y\to Y^{{}^{\prime }}$ 都是光滑的, 定义乘积映射:$f\times g:X\times Y\to X^{{}^{\prime }}\times Y^{{}^{\prime }}$ 为 $(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$. 证明 $f\times g$ 是光滑的.
15.	证明将 $X\times Y$ 映射到 $X$ 的投影映射: $(x,y)\to x$ 是光滑的.
*16.	集合 $X\times X$ 中的对角线 $\Delta$ 是由 $(x,x)$ 组成的集合, 证明: $\Delta$ 和 $X$ 微分同胚, 所以若 $X$ 是一个流形, 那么 $\Delta$ 也是一个流形.
*17.	映射 $f:X\to Y$ 的象是 $X\times Y$ 的一个子集, $\mathrm{graph}(f)=\{(x,f(x)):x\in X\}$. 定义 $F:X\to \mathrm{graph}(f)$ 为 $F(x)=(x,f(x))$. 证明: 如果 $f$ 是光滑的, 那么 $F$ 是一个微分同胚映射, 因此如果 $X$ 是一个流形, 那么 $\mathrm{graph}(f)$ 也是. (注意: 在本题的映射 $f$ 定义之下, $X\times Y$ 中的 $\Delta$ 是从 $X$ 到自身的恒等映射的象) .
*18.	(a): 一个极其有用的函数 $f:{\mathbb{R}}^1\to {\mathbb{R}}^1$ 按如下方式定义: $f(x)=\{\begin{array}{lc}{e}^{\frac{1}{x^2}}& x<0\\ 0& x\le 0\end{array}$ 证明 $f$ 是光滑的. (b): 证明: $g(x)=f(x-a)f(b-x)$ 是一个光滑函数, 在 $(a,b)$ 上是正的, 在其它任何点都是 $0$ (这里 $a<b$) . 那么$$h(x)=\frac{{\int }_{-\infty }^{x}gdx}{{\int }_{-\infty }^{\infty }gdx}$$是一个光滑函数, 且满足如下条件: $h(x)=\{\begin{array}{lc}0& x<a\\ \in (0,1)& x\in (a,b)\\ 1& x>b\end{array}$ (c): 构造一个定义在 ${\mathbb{R}}^k$ 上的函数, 在以原点为球心, $a$ 为半径的球内等于 $1$, 在以 $b$ 为半径的球外等于 $0$, 在半径为 $a$ 与 $b$ 的球壳中的所有点的值在 $(0,1)$ 中 (这里 $0<a<b$) .

2. 切映射和相切

3. 反函数定理和浸入

  在真正开始讨论流形的拓扑学之前, 我们必须研究光滑映射的局部表现. 有可能总是研究光滑映射的最恰当的理由是, 其局部表现由导数在微分同胚的意义下完全确定了. 阐明这一评述是第一章的首要任务.

定理. 设光滑映射 $f:X\to Y$ 在点 $x$ 的切映射 $d{f}_x$ 是一个同构, 则 $f$ 是 $x$ 附近的局部微分同胚.

  你大概见过对于 $X$ 和 $Y$ 是欧式空间的开子集这一特殊情形的隐函数定理的证明. 可以容易地借助局部参数化把这一欧式空间的结论转化到流形上.

  记住隐函数定理仅仅是一个局部的结果; 它只告诉我们 $f$ 在 $x$ 附近的表现. 即使 $d{f}_x$ 对每个 $x\in X$ 都是非异的, 也不能得出 $f$ 是空间 $X$ 和 $Y$ 的整体微分同胚. 这样的映射称作局部微分同胚. 一个局部微分同胚而不是整体微分同胚的典型例子是映射 $f:\mathbb{R}\to S^1$, 定义为 $f(t)=(\cos t,\sin t)$.

  当然, 要应用隐函数定理, $X$ 和 $Y$ 的维数必须相等. 当 $\dim X<\dim Y$ 时, 一个映射最好的表现是什么样的? 在微分的层面, 我们最多能要求 $d{f}_x:T_x(X)\to T_y(Y)$ 是单的. 若是, $f$ 称作在 $\mathbf{x}$ 是浸入. 如果 $f$ 在每一点都是浸入, 简单地称作浸入. 典范浸入是标准的含入映射从 ${\mathbb{R}}^k$ 到 ${\mathbb{R}}^l$ 对 $l\ge k$, $(a_1,\dots ,a_k)$ 映到 $(a_1,\dots ,a_k,0,\dots ,0)$. 事实上, 在微分同胚的意义下, 这是局部上唯一的浸入.

局部浸入定理. 设 $f:X\to Y$ 在 $x$ 是浸入, $y=f(x)$. 那么存在 $x$ 和 $y$ 附近的局部坐标使得$$f(x_1,\dots ,x_k)=(x_1,\dots ,x_k,0,\dots ,0).$$换言之, $f$ 局部上相当于 $x$ 附近的典范浸入.

证明. 首先选取局部坐标系使下图交换. 现在试着扩展 $g$ 以运用隐函数定理. 由于 $d{g}_0:{\mathbb{R}}^k\to {\mathbb{R}}^l$ 是单的, 通过换一组 ${\mathbb{R}}^l$ 的基不妨假设它是 $l\times k$ 矩阵$$\left(\begin{array}{c}{I}_k\\ 0\end{array}\right),$$其中 $I_k$ 是 $k\times k$ 单位阵. 现在定义映射 $G:U\times {\mathbb{R}}^{l-k}\to {\mathbb{R}}^l$ 为$$G(x,z)=g(x)+(0,z).$$$G$ 把 ${\mathbb{R}}^l$ 的一个开集映入 ${\mathbb{R}}^l$, 并且 $d{G}_0$ 的矩阵是 $I_l$. 因此隐函数定理表明 $G$ 是 ${\mathbb{R}}^l$ 在 $0$ 的局部微分同胚. 注意到我们的定义使得 $g=G\circ (典范浸入)$. 由于 $\psi$ 和 $G$ 在 $0$ 是局部微分同胚, $\psi \circ G$ 也是; 因而 $\psi \circ G$ 可用作 $Y$ 在 $y$ 附近的局部参数化. 此外, 如果我们充分地缩小 $U$ 和 $V$, 下图交换:

$\square$

  这一有用的推论是显然的: 若 $f$ 在 $x$ 是浸入, 则在 $x$ 的一个邻域是浸入.

  映射 $f:X\to Y$ 称为正则的, 如果 $Y$ 的每个紧集的原象均是 $X$ 的紧集. 单且正则的浸入称为嵌入. 对局部的浸入条件附加了整体的拓扑限制之后, 我们如今能够证明局部浸入定理的一个合理的整体上的推广.

定理. 嵌入 $f:X\to Y$ 把 $X$ 微分同胚地映到 $Y$ 的一个子流形.

  当然, 当 $X$ 本身是紧流形时, 任何映射 $f:X\to Y$ 都是正则的. 因而对紧流形来说, 嵌入就是 $1$-$1$ 浸入.

4. 淹没

  我们继续对于最重要的维数情形的局部分析, $\dim X\ge \dim Y$. 设 $f:X\to Y$ 把 $x$ 映成 $y$, 我们能对其导数 $d{f}_x:T_x(X)\to T_y(Y)$ 施加的最强条件是满性. 若 $d{f}_x$ 是满的, $f$ 称为在 $\mathbf{x}$ 是淹没. 在每点都是淹没的映射简单地称作淹没.

  典范浸入是 ${\mathbb{R}}^k$ 到 ${\mathbb{R}}^l$ 的标准投影对 $k\ge l$, 其中 $(a_1,\dots ,a_k)\mapsto (a_1,\dots ,a_l)$. 与浸入的情形一样, 在微分同胚的意义下, 每个淹没局部上皆是典范的.

局部淹没定理. 设 $f:X\to Y$ 在 $x$ 是淹没, $y=f(x)$. 那么存在 $x$ 和 $y$ 附近的局部坐标使得$$f(x_1,\dots ,x_k)=(x_1,\dots ,x_l).$$即, $f$ 局部上相当于 $x$ 附近的典范淹没.

  对于流形的光滑映射 $f:X\to Y$, 点 $y\in Y$ 称为 $f$ 的正则值, 如果 $d{f}_x:T_x(X)\to T_y(Y)$ 在每个符合 $f(x)=y$ 的点 $x$ 都是满的. 刚才的论证证明了

原象定理. 若 $y$ 是 $f:X\to Y$ 的一个正则值, 那么原象 $f^{-1}(y)$ 是 $X$ 的子流形, 且 $\dim f^{-1}(y)=\dim X-\dim Y$.

  点 $y\in Y$ 不是 $f$ 的正则值就称为临界值. $y$ 是临界值的时候解集 $\{x:f(x)=y\}$ 可能相当复杂.

5. 横截性

  我们观察到, 只要 $y$ 是映射 $f:X\to Y$ 的正则值, 方程 $f(x)=y$ 的解就形成一个光滑流形. 现在考虑 $X$ 中函数值的限制不必是一个常数 $y$ 而是满足一个任意的光滑的条件的点集. 故设 $Z$ 是 $Y$ 的一个子流形, 考察 $f(x)\in Z$ 的解集. 什么时候我们能确保解集 $f^{-1}(Z)$ 是一个易处理的几何对象? 这个问题使我们定义一个新的微分性质, 是正则性概念的扩展, 这将是本书的主要题目.

  $f^{-1}(Z)$ 是否是流形是局部上的事情. 就是说, 这是流形当且仅当 $f^{-1}(Z)$ 的每点有 $X$ 的邻域 $U$ 使 $f^{-1}(Z)\cap U$ 是流形. 此观察使我们能把对 $f(x)\in Z$ 的研究简化到我们已考察过的更简单的 $Z$ 是单点的情形. 因为若 $y=f(x)$, 我们能在 $y$ 的邻域把 $Z$ 写成一族无关的函数 $g_1,\dots ,g_l$ 的零点集, $l$ 是 $Z$ 在 $Y$ 中的余维数. 那么在 $x$ 附近, 原象 $f^{-1}(Z)$ 是函数 $g_1\circ f,\dots ,g_l\circ f$ 的零点集. 用 $g$ 代表定义在 $y$ 周围的淹没 $(g_1,\cdots ,g_l)$. 现在能对映射 $g\circ f:W\to {\mathbb{R}}^l$ 用已得到的结果了; $(g\circ f{)}^{-1}(0)$ 确保是流形, 当 $0$ 是 $g\circ f$ 的正则值.

  尽管映射 $g$ 是相当任意的, $0$ 是 $g\circ f$ 的正则值这个条件易于用只有关 $f$ 和 $Z$ 的方式重新表达. 由于$$d(g\circ f{)}_x=d{g}_y\circ d{f}_x,$$线性映射 $d(g\circ f)x:T_x(X)\to {\mathbb{R}}^l$ 是满的当且仅当 $d{g}_y$ 把 $d{f}_x$ 的象映满 ${\mathbb{R}}^l$. 而 $d{g}_y:T_y(Y)\to {\mathbb{R}}^l$ 是满的线性变换, 核为子空间 $T_y(Z)$, 故 $d{g}_y$ 把 $T_y(Y)$ 的一个子空间映满 ${\mathbb{R}}^l$ 正是当那个子空间与 $T_y(Z)$ 张成整个 $T_y(Y)$. 我们得到, $g\circ f$ 在点 $x\in f^{-1}(Z)$ 是淹没当且仅当$$\boxed{\mathrm{Image}(d{f}_x)+T_y(Z)=T_y(X).}$$

我们的研究不可阻挡地把我们引向了这个方程. 映射 $f$ 称为与 $Z$ 横截, 简写为 $f⋔Z$, 若在 $Z$ 的原象的每点 $x$ 这个方程均成立. 我们证明了

定理. 若光滑映射 $f:X\to Y$ 横截于子流形 $Z\subset Y$, 原象 $f^{-1}(Z)$ 就是 $X$ 的子流形. 此外, $f^{-1}(Z)$ 在 $X$ 中的余维数等于 $Z$ 在 $Y$ 中的余维数.   

6. 同伦和稳定性

7. Sard 定理和 Morse 函数

Sard 定理. 若 $f:X\to Y$ 是流形的光滑映射, 那么 $Y$ 的几乎所有点都是 $f$ 的正则值.

Sard 定理 (重述) . 光滑映射 $f:X\to Y$ 的临界点测度是 $0$.

推论. 光滑映射 $f:X\to Y$ 的正则值在 $Y$ 稠密. 事实上, 若 $f_i:X_i\to Y$ 是可数个光滑映射, 同时是所有的 $f_i$ 的正则值的 $Y$ 的点是稠密的.

8. 把流形嵌入欧式空间

  我们接下来给出 Sard 定理的第二个应用, 是 Whitney 嵌入定理的一个证明. Whitney 研究的是 $N$ 必须多大才能使 ${\mathbb{R}}^N$ 包含任意一个 $k$ 维流形的微分同胚的复制. 他的初步答案是 $N=2k+1$ 足够了; 这是我们会证明的结果. 在大量艰苦工作之后, Whitney 把他的结果改进了 $1$, 证明了每个 $k$ 维流形事实上能嵌入 ${\mathbb{R}}^{2k}$.

  一种理解 Whitney 定理的方式是作为流形可能的复杂度的一种极限. 一个典型的例子是 Klein 瓶, 一个可以在 ${\mathbb{R}}^4$ 中构造出的曲面, 通过把圆柱面两端的圆形以相反的方向贴起来. 在 ${\mathbb{R}}^3$ 中, Klein 瓶的浸入是存在的, 然而不能避免自交; 对嵌入来说, ${\mathbb{R}}^3$ 没有充足的空间可以弯曲.

  Klein 瓶表明 Whitney 的结果是最优的, 因为这是一个 $k=2$ 维流形却不能嵌入 $3=2k-1$ 维空间里. (圆圈是另一个例子. )

  Whitney 定理的证明之中涉及的一个有用的对象, 是 ${\mathbb{R}}^N$ 中的流形 $X$ 的切丛. 确切地说, $T(X)$ 是 $X\times {\mathbb{R}}^N$ 的子集, 定义为$$T(X)=\{(x,v)\in X\times {\mathbb{R}}^N:v\in T_x(X)\}.$$

定理. 每个 $k$ 维流形皆能 $1$-$1$ 地浸入 ${\mathbb{R}}^{2k+1}$.

证明. 事实上, 设 $X\subset {\mathbb{R}}^{N+1}$ 是 $k$ 维流形, 以及 $N>2k+1$, 我们将构造一个线性投影 ${\mathbb{R}}^N\to {\mathbb{R}}^{2k+1}$, 它可以限制成为 $X$ 的 $1$-$1$ 浸入. 使用归纳, 下面将证明若 $f:X\to {\mathbb{R}}^M,M>2k+1$ 是一个单浸入, 那么存在一个单位向量 $a\in {\mathbb{R}}^M$ 使得 $f$ 复合上从 ${\mathbb{R}}^M$ 到 $a$ 的正交补空间的投影映射是一个单浸入. 现在正交补空间 $H=\{b\in {\mathbb{R}}^M:b\perp a\}$ 是 ${\mathbb{R}}^M$ 的一个 $M-1$ 维线性子空间, 于是同构于 ${\mathbb{R}}^{M-1}$; 由此我们得到了一个到 ${\mathbb{R}}^{M-1}$ 之中的单浸入.

定义映射 $h:X\times X\times \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^M$ 为 $h(x,y,t)=t[f(x)-f(y)]$. 并且, 定义映射 $g:T(X)\to {\mathbb{R}}^M$ 为 $g(x,v)=d{f}_x(v)$. 由于 $M>2k+1$, Sard 定理表明存在一点 $a\in {\mathbb{R}}^M$ 不在 $h,g$ 的像中; 注意 $a\ne 0$, 因为 $0$ 在两者的像中.

令 $\pi$ 是 ${\mathbb{R}}^M$ 到 $a$ 的正交补空间 $H$ 上的投影. 显然 $\pi \circ f:X\to H$ 是单射. 这是因为设 $\pi \circ f(x)=\pi \circ f(y)$, $\pi$ 的定义表明 $f(x)-f(y)=ta$ 对某系数 $t$, 如果 $x\ne y$, 那么因为 $f$ 单, 有 $t\ne 0$, 于是 $h(x,y,1/t)=a$, 同 $a$ 的选取矛盾.

类似地, $\pi \circ f:X\to H$ 是浸入. 这是因为设非零向量 $v\in T_x(X)$ 使 $d(\pi \circ f{)}_x(v)=0$, 由于 $\pi$ 是线性的, 有 $\pi \circ d{f}_x=d(\pi \circ f{)}_x=0$, 故 $d{f}_x(v)=ta$ 对某系数 $t$, 因为 $f$ 是浸入, 有 $t\ne 0$, 于是 $g(x,1/t)=a$, 再次同 $a$ 的选取矛盾.

$\square$

定理. 每个 $k$ 维流形皆能嵌入 ${\mathbb{R}}^{2k+1}$.

证明. 首先, 有 $X$ 到 ${\mathbb{R}}^{2k+1}$ 的 $1$-$1$ 浸入. 复合上任一 ${\mathbb{R}}^{2k+1}$ 到其单位球的微分同胚 ——比如 $z\to z/(1+|z{|}^2)$——我们得到一个单浸入 $f:X\to {\mathbb{R}}^{2k+1}$ 使得 $|f(x)|<1$ 对一切 $x\in X$. 令 $\rho :X\to \mathbb{R}$ 是正则函数, 并定义一个新的单浸入 $F:X\to {\mathbb{R}}^{2k+2}$ 为 $F(x)=(f(x),\rho (x))$. 下面像上一定理一样, 对 $F$ 复合一个正交投影 $\pi :{\mathbb{R}}^{2k+2}\to H$, 其中 $H$ 是某个适当的向量 $a\in {\mathbb{R}}^{2k+2}$ 的正交补空间, 同构于 ${\mathbb{R}}^{2k+1}$.

回忆一下映射 $\pi \circ F:X\to H$ 仍是单浸入对几乎所有 $a\in S^{2k+1}$, 所以我们可以取不是球的两个极点的一个 $a$. 而现在易见 $\pi \circ F$ 是正则的. 事实上, 给定上界 $c$, 我们断言存在 $d$ 使得 $\{x\in X\mid |\pi \circ F(x)|\le c\}$ 包含于 $\{x\in X\mid |\rho (x)|\le d\}$. 由于 $\rho$ 正则, 后者是 $X$ 的紧集, 于是 $H$ 的任一闭球在 $\pi \circ F$ 下的原象也是 $X$ 的紧集, 即 $\pi \circ F$ 是正则的.

下面证明此断言, 若否, 存在 $X$ 的一列点 $\{x_i\}$, 满足 $|\pi \circ F(x_i)|<c$ 而 $\rho (x_i)\to \infty$. 根据定义, 对任何 $z\in {\mathbb{R}}^{2k+2}$, $\pi (z)$ 是 $H$ 中使 $z-\pi (z)$ 为 $a$ 的倍数的一点. 故对每个 $i$, 向量$$w_i=\frac{F(x_i)-\pi \circ F(x_i)}{\rho (x_i)}$$是 $a$ 的倍数. 考虑令 $i\to \infty$ 会发生什么. $$\frac{F(x_i)}{\rho (x_i)}=(\frac{f(x_i)}{\rho (x_i)},1)\to (0,\dots ,0,1),$$这是因为 $|f(x_i)|<1$. $$\frac{\pi \circ F(x_i)}{\rho (x_i)}$$的范数 $\le c/\rho (x_i)$, 故收敛到 $0$. 因而 $w_i\to (0,\dots ,0,1)$. 而每个 $w_i$ 是 $a$ 的倍数, 故其极限亦是, 那么 $a$ 就只能是 $S^{2k+1}$ 的南北极点, 矛盾. 这就证明了断言和定理.

$\square$