3. 第一章: 流形与光滑映射 (正在翻译中)

第一章: 流形与光滑映射

1. 定义

  借助微积分, 我们可以直观地得到许多几何空间中优美的性质, 深层的结构. 因为基础的微积分构建在欧氏空间的几何结构之上, 所以, 它自然地适用在一些 “局部与欧氏空间相同” 的几何空间之上. 我们把这样的空间称作 “流形”. 在 “流形” 之中, 任意一点附近的区域都可以看作欧氏空间.

  流形中最直观的例子, 就是球面和圆环面这样的光滑曲面. 在以上两个例子之中, 曲面中的每一点附近的区域都可以看作是一个弯曲的圆盘面, 把这些弯曲的圆盘面拉直, 就是平面上的圆盘. 但是在我们熟悉的老朋友之中, 圆锥面却不符合流形的性质, 因为圆锥的顶点附近的区域无法被视为平面的一部分.

  为了给我们的想法一个精确的数学定义, 首先需要明确 “相同” 的意义, 我们通过建立映射来达成这个目标. 一个从 ${\mathbb{R}}^{\mathbf{n}}$ 中开集 $\mathbf{U}$ 到 ${\mathbb{R}}^{\mathbf{m}}$ 的映射 $\mathbf{f}$, 如果 $\mathbf{f}$ 任意阶的导函数都是连续的, 那么我们称 $\mathbf{f}$ 是光滑 (smooth) 的. 然而. 如果 $f$ 的原象不是开集, 那我们是不能用 “导函数” 来定义的 (想想为什么? ). 所以我们需要将开集的条件推广到更一般的情况. 对于 ${\mathbb{R}}^{\mathbf{n}}$ 中的任意子集 $\mathbf{X}$, 如果函数 $\mathbf{f}:\mathbf{X}\to {\mathbb{R}}^{\mathbf{m}}$ 可以局部拓展为在开集上光滑的映射. 那么称 $f$ 为光滑的. 详细一点说, 对于 $X$ 中的任意一点 $x$, 存在一个开集 $U\ni x$(也就是 $x$ 的一个邻域) 和一个映射 $F:U\to {\mathbb{R}}^m$, $F$ 与 $f$ 在集合 $U\cap X$ 中相同. “局部” 意味着函数仅仅在集合中点的一些邻域内相同. 因为开子集 $X$ 可以被写作 $U\cap X$ 的形式 ($U$ 是 ${\mathbb{R}}^m$ 中的开集). 所以光滑是一个局部性质; 如果 $f：X\to {\mathbb{R}}^m$ 在 $X$ 中的每个点的邻域都是光滑的, 那么 $f$ 是光滑的. (与 “局部” 相对的概念是 “全局”, “全局” 指将整个空间看待为一个统一的整体. )

  如果一个定义在两个欧氏空间子集 $\mathbf{X}$ 和 $\mathbf{Y}$ 上的光滑映射 $\mathbf{f}:\mathbf{X}\to \mathbf{Y}$ 既是单射又是满射, 那我们称 $\mathbf{f}$ 为微分同胚映射, 如果逆映射 ${\mathbf{f}}^{-1}:\mathbf{Y}\to \mathbf{X}$ 也是光滑的, 那么称 $\mathbf{X}$ 与 $\mathbf{Y}$ 是微分同胚的. 在微分拓扑的观点下, 两个微分同胚的集合是等价的. 它们可以被视作一个抽象空间的两个副本, 差异体现在它们的邻域可以用欧氏空间的不同部分来表示. 你需要建立一种关于微分拓扑的直觉, 以便你能迅速判断两个空间是否微分同胚, 我们可以从一些简单的图例开始:

  在明确了 “等价” 的概念之后, 接下来需要定义 “流形”: 用 $X$ 来表示欧氏空间 ${\mathbb{R}}^N$ 的子集, 如果 $X$ 与欧氏空间 $R^k$ 是微分同胚的, 我们称 $X$ 为 $k$ 维流形, 这意味着对于 $X$ 中的任意一点 $x$, 存在 $x$ 的一个邻域 $V(V\subset X)$ 且 $R^k$ 中存在一个开集 $U$ 与 $V$ 微分同胚. 那么我们称微分同胚映射 $\varphi :U\to V$ 是一个 $V$ 的一个参数化映射 ($V$ 可以表示成 $\tilde{V}\cap U$,$\tilde{V}\subset {\mathbb{R}}^N$ 且 $\tilde{V}$ 是开集) . 逆同胚映射 ${\varphi }^{-1}:V\to U$ 被称作 $V$ 的坐标系统. 我们可以将函数 ${\varphi }^{-1}$ 写成坐标形式 ${\varphi }^{-1}=(x_1,x_2,\dots ,x_k)$. $V$ 上的这 $k$ 个光滑函数 $x_1,x_2,\dots ,x_k$ 被称作坐标函数 (也称作 $V$ 上的局部坐标, 用来将空间 $U$ 用空间 $V$ 上的 $k$ 维坐标显式确定, 而 $V$ 中的一点 $v\in V$ 可以用如下坐标 $(x_1(v),\dots ,x_k(v))\in U$ 确定) . 空间 $X$ 的维度 $k$ 用 $\dim X$ 来表示.

  下面是一个例子, 这里有一个圆:

$S^1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2+y^2=1\}$

  这是一个一维流形, 设 $(x,y)$ 是圆的上半段上的一点 $(y>0)$. ${\varphi }_1(x)=(x,\sqrt{1-x^2})$ 是一个从开区间 $(-1,1)$ 到上半圆弧的双射, 其定义在上半圆弧上的逆映射 $(x,y)\to x$ 显然是光滑的. 因为 ${\varphi }_1$ 是一个将 ${\mathbb{R}}^2$ 上的点映射到 $\mathbb{R}$ 上的光滑映射, 所以它是一个参数化表示. 下半圆弧上的参数化表达是类似定义的 ${\varphi }_2(x)=(x,-\sqrt{1-x^2})$. 除了两个 $x$ 轴上点 $(-1,0),(1,0)$, 这两个映射给出了 $S^1$ 上所有点的参数化表达. 为了表达这两个点, 我们可以用参数化左右半圆的映射 ${\varphi }_3(y)=(\sqrt{1-y^2},y)$ 和 ${\varphi }_4(y)=(-\sqrt{1-y^2},y)$. 这样我们就将一个圆, 视为用四个参数表示的一维流形. 只用两个参数映射去表示一个圆也不困难 (你能证明为什么不能只用一个映射来参数化表示圆吗? ) . 运用以上内容去证明一个推广结论: ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 维空间中的 $n$ 维球 $S^n=\{x\in {\mathbb{R}}^n:\Vert x\Vert =1\}$ 是一个 $n$ 维流形 $(\Vert x\Vert$ 代表范数 $\sqrt{x_1^2+...+x_n^2})$.

  一种有效的从已知流形制造新流形的方法是: 运用乘积空间. 设 $X$ 是 ${\mathbb{R}}^M$ 的流形, $Y$ 是 ${\mathbb{R}}^N$ 中的流形, 那么 $X\times Y$ 是 ${\mathbb{R}}^M\times {\mathbb{R}}^N={\mathbb{R}}^{M+N}$ 的一个子集. 如果 $\dim X=k,x\in X$, 我们可以找到 ${\mathbb{R}}^k$ 中开集 $W$ 和一个 $x$ 邻域的参数化映射 $\varphi :W\to X$. 类似, 如果 $\dim Y=l,y\in Y$, 可以找到 ${\mathbb{R}}^l$ 中开集 $U$ 和一个 $y$ 邻域的参数化映射 $\psi :U\to Y$. 定义映射 $\varphi \times \psi :W\times U\to X\times Y$ 为$$\varphi \times \psi (w,u)=(\varphi (w),\psi (u)).$$

  显然, $W\times U$ 是 ${\mathbb{R}}^k\times {\mathbb{R}}^l={\mathbb{R}}^{k+l}$ 的一个开集, 容易检验 $\varphi \times \psi$ 是 $X\times Y$ 中 $(x,y)$ 邻域上的一个参数化映射 (仔细检验这个点, 尤其是映射 $(\varphi \times \psi {)}^{-1}$ 在未必是 ${\mathbb{R}}^{M+N}$ 中开集的 $X\times Y$ 的光滑性质) . 对于 $X\times Y$ 上的任意一点 $(x,y)$, $\varphi \times \psi$ 都是局部的参数映射, 因此我们证明了:

定理: 如果 $X$ 和 $Y$ 都是流形, 那么 $X\times Y$ 也是流形, 而且 $\dim X\times Y=\dim X+\dim Y$.

  这里提及另一个有用的性质: 如果 $X$ 和 $Z$ 都是 $R^N$ 中的流形且 $Z\subset X$, 那么 $Z$ 是 $X$ 的一个子流形, $X$ 自身就是 ${\mathbb{R}}^N$ 的一个子流形, $X$ 中的任何开子集都是 $X$ 的子流形.

  读者需要注意, 有一些作者在描述映射的行文过程中会忽略 “光滑” 这个条件, 然而, “光滑” 这个条件总是需要的.

习题

1.	若 $k<l$, 将 ${\mathbb{R}}^k$ 视为 ${\mathbb{R}}^l$ 的子集 $\{(a_1,a_2,\dots ,a_k,0,0,\dots ,0)\}$. 对于 ${\mathbb{R}}^k$ 上的光滑函数, 证明: ${\mathbb{R}}^k$ 上的光滑函数也是 ${\mathbb{R}}^l$ 上的光滑函数.
*2.	$X$ 是 ${\mathbb{R}}^N$ 的子集, $Z$ 是 $X$ 的子集. 证明: 对于任何定义在 $X$ 上的光滑映射, 将该映射限定在 $Z$ 上, 这个映射在 $Z$ 上也是光滑的.
*3.	$X\subset {\mathbb{R}}^N$,$Y\subset {\mathbb{R}}^M$,$Z\subset {\mathbb{R}}^L$ 分别是 ${\mathbb{R}}^N,{\mathbb{R}}^M,{\mathbb{R}}^L$ 中的任意子集. 映射 $f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$ 是光滑的, 证明复合映射 $g\circ f$ 是光滑的. 如果 $f$ 和 $g$ 都是微分同胚映射, 证明复合映射 $g\circ f$ 也是微分同胚映射.
4.	(a): $B_a=\{x:|x{|}^2<a\}$ 是 ${\mathbb{R}}^k$ 中的一个开球, 证明映射: $x\to \frac{ax}{\sqrt{a^2-|x{|}^2}}$ 是一个从 $B_a$ 到 ${\mathbb{R}}^k$ 的微分同胚映射 (提示: 直接计算该映射的逆映射) . (b): $X$ 是一个 $k$ 维流形, 证明 $X$ 中每一个点的邻域都和 ${\mathbb{R}}^k$ 微分同胚. 因此该流形的局部参数化可以在 ${\mathbb{R}}^k$ 中选取.
*5.	证明 ${\mathbb{R}}^N$ 中的任意 $k$ 维向量空间 $V$ 都和 ${\mathbb{R}}^k$ 微分同胚, $V$ 上的所有线性映射都是光滑的. 如果 $\varphi :{\mathbb{R}}^k\to V$ 是线性同构, 那么对应的坐标函数是 $V$ 上的线性函数, 称为线性坐标.
6.	流形上的光滑双射未必是微分同胚映射, 例如 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x)=x^3$.
7.	证明 ${\mathbb{R}}^2$ 上两个坐标轴的并集不是流形. (提示: 如果去掉原点, 考虑原点的邻域)
8.	证明 ${\mathbb{R}}^3$ 上的双曲面 $x^2+y^2-z^2=a$, 当 $a>0$ 的时候是流形. 为什么 $x^2+y^2-z^2=0$ 不是流形?
9.	直接写出足够的参数化映射来覆盖 $S^1\times S^1\subset {\mathbb{R}}^4$.
10.	圆环面是 ${\mathbb{R}}^3$ 中与 $xy$ 平面上半径为 $a$ 的圆距离为 $b$ 的几何结构, 其中 $0<b<a$. 证明圆环面和 $S^1\times S^1$ 微分同胚. 考虑 $b=a$ 和 $b>a$ 的情况, 为什么它们不是流形?
11.	证明无法用一个参数化映射来表示 $k$ 维球 $S^k$. (提示, $S^k$ 是紧致的)
*12.	球极平面投影 $\pi$ 是从 $S^2-\{N\}$ 到 ${\mathbb{R}}^2$ 的一个映射, $N$ 是北极点 $(0,0,1)$. 对于任意 $p\in S^2-\{N\}$, 定义 $\pi (p)$ 为 $Np$ 直线与 $xy$ 平面的交点. 证明 $\pi :S^2-\{N\}\to {\mathbb{R}}^2$ 是微分同胚映射. (直接写出 $\pi$ 的坐标来计算 ${\pi }^{-1}$. ) 注意到当 $p$ 接近 $N$ 时, $\pi (p)$ 会非常大. 因此 $\pi$ 可以让我们想到 $S^2$ 与平面和一个 “无穷远点” 的并集在拓扑上等价. 我们也可以用南极点来定义球极平面投影, $S^2$ 可以被两个局部参数化映射覆盖.
13.	推广球极平面投影, 试定义 $S^k-\{N\}\to {\mathbb{R}}^k$.
14.	$f:X\to X^{{}^{\prime }}$ 与 $g:Y\to Y^{{}^{\prime }}$ 都是光滑的, 定义乘积映射:$f\times g:X\times Y\to X^{{}^{\prime }}\times Y^{{}^{\prime }}$ 为 $(f\times g)(x,y)=(f(x),g(y))$. 证明 $f\times g$ 是光滑的.
15.	证明将 $X\times Y$ 映射到 $X$ 的投影映射: $(x,y)\to x$ 是光滑的.
*16.	集合 $X\times X$ 中的对角线 $\Delta$ 是由 $(x,x)$ 组成的集合, 证明: $\Delta$ 和 $X$ 微分同胚, 所以若 $X$ 是一个流形, 那么 $\Delta$ 也是一个流形.
*17.	映射 $f:X\to Y$ 的象是 $X\times Y$ 的一个子集, $\mathrm{graph}(f)=\{(x,f(x)):x\in X\}$. 定义 $F:X\to \mathrm{graph}(f)$ 为 $F(x)=(x,f(x))$. 证明: 如果 $f$ 是光滑的, 那么 $F$ 是一个微分同胚映射, 因此如果 $X$ 是一个流形, 那么 $\mathrm{graph}(f)$ 也是. (注意: 在本题的映射 $f$ 定义之下, $X\times Y$ 中的 $\Delta$ 是从 $X$ 到自身的恒等映射的象) .
*18.	(a): 一个极其有用的函数 $f:{\mathbb{R}}^1\to {\mathbb{R}}^1$ 按如下方式定义: $f(x)=\{\begin{array}{lc}{e}^{\frac{1}{x^2}}& x<0\\ 0& x\le 0\end{array}$ 证明 $f$ 是光滑的. (b): 证明: $g(x)=f(x-a)f(b-x)$ 是一个光滑函数, 在 $(a,b)$ 上是正的, 在其它任何点都是 $0$ (这里 $a<b$) . 那么$$h(x)=\frac{{\int }_{-\infty }^{x}gdx}{{\int }_{-\infty }^{\infty }gdx}$$是一个光滑函数, 且满足如下条件: $h(x)=\{\begin{array}{lc}0& x<a\\ \in (0,1)& x\in (a,b)\\ 1& x>b\end{array}$ (c): 构造一个定义在 ${\mathbb{R}}^k$ 上的函数, 在以原点为球心, $a$ 为半径的球内等于 $1$, 在以 $b$ 为半径的球外等于 $0$, 在半径为 $a$ 与 $b$ 的球壳中的所有点的值在 $(0,1)$ 中 (这里 $0<a<b$) .

2. 导数和相切

3. 反函数定理和浸入

  在真正开始讨论流形的拓扑学之前, 我们必须研究光滑映射的局部表现. 有可能总是研究光滑映射的最恰当的理由是, 其局部表现由导数在微分同胚的意义下完全确定了. 阐明这一评述是第一章的首要任务.

定理. 设光滑映射 $f:X\to Y$ 在点 $x$ 的切映射 $d{f}_x$ 是一个同构, 则 $f$ 是 $x$ 附近的局部微分同胚.

  你大概见过对于 $X$ 和 $Y$ 是欧式空间的开子集这一特殊情形的隐函数定理的证明. 可以容易地借助局部参数化把这一欧式空间的结论转化到流形上.

  记住隐函数定理仅仅是一个局部的结果; 它只告诉我们 $f$ 在 $x$ 附近的表现. 即使 $d{f}_x$ 对每个 $x\in X$ 都是非异的, 也不能得出 $f$ 是空间 $X$ 和 $Y$ 的整体微分同胚. 这样的映射称作局部微分同胚. 一个局部微分同胚而不是整体微分同胚的典型例子是映射 $f:\mathbb{R}\to S^1$, 定义为 $f(t)=(\cos t,\sin t)$.

  当然, 要应用隐函数定理, $X$ 和 $Y$ 的维数必须相等. 当 $\dim X<\dim Y$ 时, 一个映射最好的表现是什么样的? 在微分的层面, 我们最多能要求 $d{f}_x:T_x(X)\to T_y(Y)$ 是单的. 若是, $f$ 称作在 $\mathbf{x}$ 是浸入. 如果 $f$ 在每一点都是浸入, 简单地称作浸入. 典范浸入是标准的含入映射从 ${\mathbb{R}}^k$ 到 ${\mathbb{R}}^l$ 对 $l\ge k$, $(a_1,\dots ,a_k)$ 映到 $(a_1,\dots ,a_k,0,\dots ,0)$. 事实上, 在微分同胚的意义下, 这是局部上唯一的浸入.

局部浸入定理. 设 $f:X\to Y$ 在 $x$ 是浸入, $y=f(x)$. 那么存在 $x$ 和 $y$ 附近的局部坐标使得$$f(x_1,\dots ,x_k)=(x_1,\dots ,x_k,0,\dots ,0).$$换言之, $f$ 局部上相当于 $x$ 附近的典范浸入.

证明. 首先选取局部坐标系使下图交换. 现在试着扩展 $g$ 以运用隐函数定理. 由于 $d{g}_0:{\mathbb{R}}^k\to {\mathbb{R}}^l$ 是单的, 通过换一组 ${\mathbb{R}}^l$ 的基不妨假设它是 $l\times k$ 矩阵$$\left(\begin{array}{c}{I}_k\\ 0\end{array}\right),$$其中 $I_k$ 是 $k\times k$ 单位阵. 现在定义映射 $G:U\times {\mathbb{R}}^{l-k}\to {\mathbb{R}}^l$ 为$$G(x,z)=g(x)+(0,z).$$$G$ 把 ${\mathbb{R}}^l$ 的一个开集映入 ${\mathbb{R}}^l$, 并且 $d{G}_0$ 的矩阵是 $I_l$. 因此隐函数定理表明 $G$ 是 ${\mathbb{R}}^l$ 在 $0$ 的局部微分同胚. 注意到我们的定义使得 $g=G\circ (典范浸入)$. 由于 $\psi$ 和 $G$ 在 $0$ 是局部微分同胚, $\psi \circ G$ 也是; 因而 $\psi \circ G$ 可用作 $Y$ 在 $y$ 附近的局部参数化. 此外, 如果我们充分地缩小 $U$ 和 $V$, 下图交换:

$\square$

  这一有用的推论是显然的: 若 $f$ 在 $x$ 是浸入, 则在 $x$ 的一个邻域是浸入.

  映射 $f:X\to Y$ 称为正则的, 如果 $Y$ 的每个紧集的原象均是 $X$ 的紧集. 单且正则的浸入称为嵌入. 对局部的浸入条件附加了整体的拓扑限制之后, 我们如今能够证明局部浸入定理的一个合理的整体上的推广.

定理. 嵌入 $f:X\to Y$ 把 $X$ 微分同胚地映到 $Y$ 的一个子流形.

  当然, 当 $X$ 本身是紧流形时, 任何映射 $f:X\to Y$ 都是正则的. 因而对紧流形来说, 嵌入就是 $1$-$1$ 浸入.

4. 淹没

  我们继续对于最重要的维数情形的局部分析, $\dim X\ge \dim Y$. 设 $f:X\to Y$ 把 $x$ 映成 $y$, 我们能对其导数 $d{f}_x:T_x(X)\to T_y(Y)$ 施加的最强条件是满性. 若 $d{f}_x$ 是满的, $f$ 称为在 $\mathbf{x}$ 是淹没. 在每点都是淹没的映射简单地称作淹没.

  典范淹没是 ${\mathbb{R}}^k$ 到 ${\mathbb{R}}^l$ 的标准投影对 $k\ge l$, 其中 $(a_1,\dots ,a_k)\mapsto (a_1,\dots ,a_l)$. 与浸入的情形一样, 在微分同胚的意义下, 每个淹没局部上皆是典范的.

局部淹没定理. 设 $f:X\to Y$ 在 $x$ 是淹没, $y=f(x)$. 那么存在 $x$ 和 $y$ 附近的局部坐标使得$$f(x_1,\dots ,x_k)=(x_1,\dots ,x_l).$$即, $f$ 局部上相当于 $x$ 附近的典范淹没.

  对于流形的光滑映射 $f:X\to Y$, 点 $y\in Y$ 称为 $f$ 的正则值, 如果 $d{f}_x:T_x(X)\to T_y(Y)$ 在每个符合 $f(x)=y$ 的点 $x$ 都是满的. 刚才的论证证明了

原象定理. 若 $y$ 是 $f:X\to Y$ 的一个正则值, 那么原象 $f^{-1}(y)$ 是 $X$ 的子流形, 且 $\dim f^{-1}(y)=\dim X-\dim Y$.

  点 $y\in Y$ 不是 $f$ 的正则值就称为临界值. $y$ 是临界值的时候解集 $\{x:f(x)=y\}$ 可能相当复杂.

5. 横截性

  我们观察到, 只要 $y$ 是映射 $f:X\to Y$ 的正则值, 方程 $f(x)=y$ 的解就形成一个光滑流形. 现在考虑 $X$ 中函数值的限制不必是一个常数 $y$ 而是满足一个任意的光滑的条件的点集. 故设 $Z$ 是 $Y$ 的一个子流形, 考察 $f(x)\in Z$ 的解集. 什么时候我们能确保解集 $f^{-1}(Z)$ 是一个易处理的几何对象? 这个问题使我们定义一个新的微分性质, 是正则性概念的扩展, 这将是本书的主要题目.

  $f^{-1}(Z)$ 是否是流形是局部上的事情. 就是说, 这是流形当且仅当 $f^{-1}(Z)$ 的每点有 $X$ 的邻域 $U$ 使 $f^{-1}(Z)\cap U$ 是流形. 此观察使我们能把对 $f(x)\in Z$ 的研究简化到我们已考察过的更简单的 $Z$ 是单点的情形. 因为若 $y=f(x)$, 我们能在 $y$ 的邻域把 $Z$ 写成一族无关的函数 $g_1,\dots ,g_l$ 的零点集, $l$ 是 $Z$ 在 $Y$ 中的余维数. 那么在 $x$ 附近, 原象 $f^{-1}(Z)$ 是函数 $g_1\circ f,\dots ,g_l\circ f$ 的零点集. 用 $g$ 代表定义在 $y$ 周围的淹没 $(g_1,\cdots ,g_l)$. 现在能对映射 $g\circ f:W\to {\mathbb{R}}^l$ 用已得到的结果了; $(g\circ f{)}^{-1}(0)$ 确保是流形, 当 $0$ 是 $g\circ f$ 的正则值.

  尽管映射 $g$ 是相当任意的, $0$ 是 $g\circ f$ 的正则值这个条件易于用只有关 $f$ 和 $Z$ 的方式重新表达. 由于$$d(g\circ f{)}_x=d{g}_y\circ d{f}_x,$$线性映射 $d(g\circ f{)}_x:T_x(X)\to {\mathbb{R}}^l$ 是满的当且仅当 $d{g}_y$ 把 $d{f}_x$ 的象映满 ${\mathbb{R}}^l$. 而 $d{g}_y:T_y(Y)\to {\mathbb{R}}^l$ 是满的线性变换, 核为子空间 $T_y(Z)$, 故 $d{g}_y$ 把 $T_y(Y)$ 的一个子空间映满 ${\mathbb{R}}^l$ 正是当那个子空间与 $T_y(Z)$ 张成整个 $T_y(Y)$. 我们得到, $g\circ f$ 在点 $x\in f^{-1}(Z)$ 是淹没当且仅当$$\boxed{\mathrm{Image}(d{f}_x)+T_y(Z)=T_y(Y).}$$

  我们的研究不可阻挡地把我们引向了这个方程. 映射 $f$ 称为与 $Z$ 横截, 简写为 $f⋔Z$, 若在 $Z$ 的原象的每点 $x$ 这个方程均成立. 我们证明了

定理. 若光滑映射 $f:X\to Y$ 横截于子流形 $Z\subset Y$, 原象 $f^{-1}(Z)$ 就是 $X$ 的子流形. 此外, $f^{-1}(Z)$ 在 $X$ 中的余维数等于 $Z$ 在 $Y$ 中的余维数.

  对于这个关于余维数的断言, 注意局部上我们把 $f^{-1}(Z)$ 写成了 $l$ 个无关的函数 $g_1\circ f,\dots ,g_l\circ f$ 的零点集. 因此 $f^{-1}(Z)$ 在 $X$ 中的余维数是 $l$, 一开始设 $l$ 为 $Z$ 在 $Y$ 中的余维数.

  当 $Z$ 只是 $Y$ 的单点时, 其切空间是 $T_y(Y)$ 的零子空间. 故 $f$ 与 $Z$ 横截若 $d{f}_x[T_x(X)]=T_y(Y)$ 对所有 $x\in f^{-1}(y)$, 这就是说 $y$ 是 $f$ 的正则值. 所以横截性包含正则性的概念作为特殊情况.

  举一个很简单的横截性的例子, 考虑映射 $f:{\mathbb{R}}^1\to {\mathbb{R}}^2$ 定义为 $f(t)=(0,t)$, 令 $Z$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 的 $x$ 轴. 映射 $g:{\mathbb{R}}^1\to {\mathbb{R}}^2$ 定义为 $f(t)=(t,t^2)$, 而不与 $Z$ 横截.

  最重要且易于想象的特殊情况是有关子流形 $X\subset Y$ 到另一子流形 $Z\subset Y$ 的包含映射 $i$. 说点 $x\in X$ 属于原象 $i^{-1}(Z)$ 不过意味着 $x$ 属于交 $X\cap Z$. 此外, 导数 $d{i}_x:T_x(X)\to T_x(Y)$ 只不过是包含映射 $T_x(X)$ 到 $T_x(Y)$. 所以 $i⋔Z$ 当且仅当, 对每个 $x\in X\cap Z$, $$T_x(X)+T_x(Z)=T_x(Y).$$注意到这个方程对 $X$ 与 $Z$ 对称. 当它成立, 我们说两个子流形 $X$ 与 $Z$ 是横截的, 写成 $X⋔Z$. 上面的定理特殊化为

定理. 两个 $Y$ 的横截的流形的交同样是子流形. 而且, $$\mathrm{codim}(X\cap Z)=\mathrm{codim}X+\mathrm{codim}Z.$$

  余维数的可加性 (用上一个定理的余维数断言带来的平凡运算得到) 是完全自然的. 在属于 $X\cap Z$ 的点 $x$ 周围, 子流形 $X$ 由 $k=\mathrm{codim}X$ 个无关的函数截出, $Z$ 由 $l=\mathrm{codim}Z$ 个无关的函数截出. 那么 $X\cap Z$ 局部上就是放在一起的 $k+l$ 个函数的零点集; 这 $k+l$ 个函数共同无关正是横截性条件.

  必须记得 $X$ 与 $Z$ 的横截性亦取决于背景空间 $Y$. 例如, 两个坐标轴在 ${\mathbb{R}}^2$ 横截, 视作 ${\mathbb{R}}^3$ 的子流形时却不. 一般地, 如果 $X$ 和 $Z$ 的维数加起来不到 $Y$ 的维数, 它们要横截相交只能通过根本不相交做到. 例如若 $X$ 和 $Y$ 是 ${\mathbb{R}}^3$ 的曲线, $X⋔Y$ 就表明 $X\cap Y$ 为空.

6. 同伦和稳定性

  映射的很多性质在光滑形变下是不变的. 直观上, 一个光滑映射 $f_1:X\to Y$ 是另一个 $f_0:X\to Y$ 的形变若它们能用一族光滑地演变的映射 $f_t:X\to Y$ 连接.

  在感官知觉和物理测量的真实世界中, 没有连续数量或函数关系是完全测定的. 映射的唯一的物理上有意义的性质因而是那些在映射微小的形变时保持有效的. 这些性质是稳定的性质, 有一族特定的稳定性质的映射可称为一稳定族映射. 确切地说, 一个性质是稳定的, 只要当 $f_0:X\to Y$ 有此性质并且 $f_t:X\to Y$ 是 $f_0$ 的一个同伦, 那么, 对某 $ϵ>0$, 每个 $f_t,t<ϵ$ 也有此性质.

  比如, 考虑平面中的曲线, 即 ${\mathbb{R}}^1$ 到 ${\mathbb{R}}^2$ 的光滑映射. 曲线通过原点这个性质不是稳定的, 因为一个小扭动能立即把任何这种曲线变形得避开 $0$. 相交于 $x$ 轴相交也不是. 然而, 横截相交于 $x$ 轴是一个稳定的性质, 如你能轻松明白. 这个情况是非常普遍的. 质朴的相交的点集条件很少是稳定的, 因此在客观世界是无意义的. 横截性, 一个一开始显得不直观地正式的概念, 是我们所能真实感觉的全部.

  我们证明所有讨论过的映射 $X\to Y$ 的可微性质都是稳定的, 只要 $X$ 是紧的.

稳定性定理. 下列紧流形 $X$ 到流形 $Y$ 的光滑映射类是稳定类:
(a) 局部同胚.
(b) 浸入.
(c) 淹没.
(d) 横截于任一特定闭子流形 $Z\subset Y$ 的映射.
(e) 嵌入.
(f) 同胚.

  稳定性的概念为横截性带来了深入理解. 例如, 为什么两个 ${\mathbb{R}}^3$ 中的曲线不能横截相交除非根本不交? 正式的答案是 $1+1<3$, 不过有个更几何的原因. 通过一条曲线的小形变, 可以突然把这两条完全拉开; 其相交不是稳定的.

  同样的原理解释了一切横截定义的自动维数排除的真正原因. 如果 $\dim X+\dim Y<\dim Z$, 且 $f:X\to Y$ 碰到 $Z$, 那么可以立即把 $f$ 拉离 $Z$ 来扰动. 故没有映射 $f$ 与 $Z$ 稳定地相交.

  此外, 其它维数未在运算上使之不可能的不横截的相交, 能从相同的观点来理解.

7. Sard 定理和 Morse 函数

Sard 定理. 若 $f:X\to Y$ 是流形的光滑映射, 那么 $Y$ 的几乎所有点都是 $f$ 的正则值.

Sard 定理 (重述) . 光滑映射 $f:X\to Y$ 的临界值测度是 $0$.

推论. 光滑映射 $f:X\to Y$ 的正则值在 $Y$ 稠密. 事实上, 若 $f_i:X_i\to Y$ 是可数个光滑映射, 同时是所有的 $f_i$ 的正则值的 $Y$ 的点是稠密的.

  注意: 正则和临界值处于 $Y$; 正则和临界点处于 $X$. [注释: $y$ 是正则值如果每个 $x\in f^{-1}(y)$ 是正则点. $y$ 是临界值只要有一个 $x\in f^{-1}(y)$ 是临界点. ]

  反正在临界点周围函数有一种 “最好的形式”. 让我们先在 ${\mathbb{R}}^k$ 工作, 设 $f$ 在 $x$ 有个临界点. 你可能记得微积分里面当 $d{f}_x=0$ 时 ——即, 当所有偏导数 $(\partial f/\partial x_1),\cdots ,(\partial f/\partial x_k)$ 在 $x$ 是 $0$——那么存在相当直接的检验来确定 $f$ 在 $x$ 是有最大值、最小值、或是鞍点. 这些检验涉及 $f$ 的二阶导数, 只要二阶导数的 Hesse 矩阵$$H=\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}\right)$$非异就提供确定的信息. 如果在临界点 $x$ 的 Hesse 矩阵非异, 就说 $x$ 是 $f$ 的非退化临界点.

Morse 引理. 设点 $x\in {\mathbb{R}}^k$ 是函数 $f$ 的非退化临界点, 并且$$(h_{ij})=\left(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}\right)$$是 $f$ 在 $a$ 的 Hesse 矩阵. 那么存在 $a$ 周围的局部坐标系 $(x_1,\cdots ,x_k)$ 使得在 $a$ 附近$$f=f(a)+\sum h_{ij}{x}_i{x}_j.$$

  故每个函数在非退化临界点附近都局部等价于一个系数构成 Hesse 矩阵的二次多项式. 显然, 我们不证也不用的 Morse 引理, 比 Hesse 矩阵确定 $f$ 在 $a$ 有最大值或最小值这个断言强得多.

  尽管非退化性能定义在流形上的证实不够简明, 这个概念是有很大价值的. 对其重要性有几个密切关联的原因. 首先, Morse 引理完全描述了函数在非退化点附近的样子, 使细致的构造成为可能. 其次, 临界值全都非退化的函数——称为 Morse 函数——显示了大量它们的定义域流形的拓扑.

  第三个非退化性的重要性的原因是这是一般的情况; 退化临界点的出现真的非常少. 事实上, 我们会从 Sard 推出, 在一个合理的意义下, 绝大多数函数实际上是 Morse 函数. 设流形 $X$ 处在 ${\mathbb{R}}^N$ 里, 令 $x_1,\dots ,x_n$ 是 ${\mathbb{R}}^N$ 通常的坐标函数. 若 $f$ 是 $X$ 上的函数且 $a=(a_1,\dots ,a_N)$, 我们定义 $X$ 上的新函数 $f_a$ 为$$f_a=f+a_1{x}_1+\cdots +a_N{x}_N.$$我们暗指的结论是下面的

定理. 不论函数 $f:X\to R$ 是什么, 对几乎所有 $a\in {\mathbb{R}}^n$, 函数 $f_a$ 是 $X$ 上的 Morse 函数.

引理. 令 $f$ 是 ${\mathbb{R}}^k$ 的开集 $U$ 上的光滑函数. 那么对几乎所有 $a\in {\mathbb{R}}^k$, 函数 $f_a$ 是 $U$ 上的 Morse 函数.

证明. 我们同样用函数 $g:U\to {\mathbb{R}}^k$ 定义为$$g=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1},\cdots ,\frac{\partial f}{\partial x_k}\right).$$现在 $f_a$ 在一点 $p$ 的导数在坐标下表示为$$(d{f}_a{)}_p=\left(\frac{\partial f_a}{\partial x_1}(p),\cdots ,\frac{\partial f_a}{\partial x_k}(p)\right)=g(p)+a.$$故 $p$ 是 $f_a$ 的临界点当且仅当 $g(p)=-a$. 此外, 由于 $f_a$ 和 $f$ 有相同的二阶导数, $f$ 在 $p$ 的 Hesse 矩阵是矩阵 $(dg{)}_p$. 现假定 $-a$ 是 $g$ 的正则值. 那么当 $g(p)=-a$ 时 $(dg{)}_p$ 就是非异的. 因此, $f_a$ 的临界点是非退化的. 而 Sard 说明 $-a$ 是 $g$ 的正则值对几乎所有 $a\in {\mathbb{R}}^k$.

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8. 把流形嵌入欧式空间

  我们接下来给出 Sard 定理的第二个应用, 是 Whitney 嵌入定理的一个证明. Whitney 研究的是 $N$ 必须多大才能使 ${\mathbb{R}}^N$ 包含任意一个 $k$ 维流形的微分同胚的复制. 他的初步答案是 $N=2k+1$ 足够了; 这是我们会证明的结果. 在大量艰苦工作之后, Whitney 把他的结果改进了 $1$, 证明了每个 $k$ 维流形事实上能嵌入 ${\mathbb{R}}^{2k}$.

  一种理解 Whitney 定理的方式是作为流形可能的复杂度的一种极限. 一个典型的例子是 Klein 瓶, 一个可以在 ${\mathbb{R}}^4$ 中构造出的曲面, 通过把圆柱面两端的圆形以相反的方向贴起来. 在 ${\mathbb{R}}^3$ 中, Klein 瓶的浸入是存在的, 然而不能避免自交; 对嵌入来说, ${\mathbb{R}}^3$ 没有充足的空间可以弯曲.

  Klein 瓶表明 Whitney 的结果是最优的, 因为这是一个 $k=2$ 维流形却不能嵌入 $3=2k-1$ 维空间里. (圆圈是另一个例子. )

  Whitney 定理的证明之中涉及的一个有用的对象, 是 ${\mathbb{R}}^N$ 中的流形 $X$ 的切丛. 确切地说, $T(X)$ 是 $X\times {\mathbb{R}}^N$ 的子集, 定义为$$T(X)=\{(x,v)\in X\times {\mathbb{R}}^N:v\in T_x(X)\}.$$

定理. 每个 $k$ 维流形皆能 $1$-$1$ 地浸入 ${\mathbb{R}}^{2k+1}$.

证明. 事实上, 设 $X\subset {\mathbb{R}}^{N+1}$ 是 $k$ 维流形, 以及 $N>2k+1$, 我们将构造一个线性投影 ${\mathbb{R}}^N\to {\mathbb{R}}^{2k+1}$, 它可以限制成为 $X$ 的 $1$-$1$ 浸入. 使用归纳, 下面将证明若 $f:X\to {\mathbb{R}}^M,M>2k+1$ 是一个单浸入, 那么存在一个单位向量 $a\in {\mathbb{R}}^M$ 使得 $f$ 复合上从 ${\mathbb{R}}^M$ 到 $a$ 的正交补空间的投影映射是一个单浸入. 现在正交补空间 $H=\{b\in {\mathbb{R}}^M:b\perp a\}$ 是 ${\mathbb{R}}^M$ 的一个 $M-1$ 维线性子空间, 于是同构于 ${\mathbb{R}}^{M-1}$; 由此我们得到了一个到 ${\mathbb{R}}^{M-1}$ 之中的单浸入.

定义映射 $h:X\times X\times \mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^M$ 为 $h(x,y,t)=t[f(x)-f(y)]$. 并且, 定义映射 $g:T(X)\to {\mathbb{R}}^M$ 为 $g(x,v)=d{f}_x(v)$. 由于 $M>2k+1$, Sard 定理表明存在一点 $a\in {\mathbb{R}}^M$ 不在 $h,g$ 的像中; 注意 $a\ne 0$, 因为 $0$ 在两者的像中.

令 $\pi$ 是 ${\mathbb{R}}^M$ 到 $a$ 的正交补空间 $H$ 上的投影. 显然 $\pi \circ f:X\to H$ 是单射. 这是因为设 $\pi \circ f(x)=\pi \circ f(y)$, $\pi$ 的定义表明 $f(x)-f(y)=ta$ 对某系数 $t$, 如果 $x\ne y$, 那么因为 $f$ 单, 有 $t\ne 0$, 于是 $h(x,y,1/t)=a$, 同 $a$ 的选取矛盾.

类似地, $\pi \circ f:X\to H$ 是浸入. 这是因为设非零向量 $v\in T_x(X)$ 使 $d(\pi \circ f{)}_x(v)=0$, 由于 $\pi$ 是线性的, 有 $\pi \circ d{f}_x=d(\pi \circ f{)}_x=0$, 故 $d{f}_x(v)=ta$ 对某系数 $t$, 因为 $f$ 是浸入, 有 $t\ne 0$, 于是 $g(x,1/t)=a$, 再次同 $a$ 的选取矛盾.

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定理. 每个 $k$ 维流形皆能嵌入 ${\mathbb{R}}^{2k+1}$.

证明. 首先, 有 $X$ 到 ${\mathbb{R}}^{2k+1}$ 的 $1$-$1$ 浸入. 复合上任一 ${\mathbb{R}}^{2k+1}$ 到其单位球的微分同胚 ——比如 $z\to z/(1+|z{|}^2)$——我们得到一个单浸入 $f:X\to {\mathbb{R}}^{2k+1}$ 使得 $|f(x)|<1$ 对一切 $x\in X$. 令 $\rho :X\to \mathbb{R}$ 是正则函数, 并定义一个新的单浸入 $F:X\to {\mathbb{R}}^{2k+2}$ 为 $F(x)=(f(x),\rho (x))$. 下面像上一定理一样, 对 $F$ 复合一个正交投影 $\pi :{\mathbb{R}}^{2k+2}\to H$, 其中 $H$ 是某个适当的向量 $a\in {\mathbb{R}}^{2k+2}$ 的正交补空间, 同构于 ${\mathbb{R}}^{2k+1}$.

回忆一下映射 $\pi \circ F:X\to H$ 仍是单浸入对几乎所有 $a\in S^{2k+1}$, 所以我们可以取不是球的两个极点的一个 $a$. 而现在易见 $\pi \circ F$ 是正则的. 事实上, 给定上界 $c$, 我们断言存在 $d$ 使得 $\{x\in X\mid |\pi \circ F(x)|\le c\}$ 包含于 $\{x\in X\mid |\rho (x)|\le d\}$. 由于 $\rho$ 正则, 后者是 $X$ 的紧集, 于是 $H$ 的任一闭球在 $\pi \circ F$ 下的原象也是 $X$ 的紧集, 即 $\pi \circ F$ 是正则的.

下面证明此断言, 若否, 存在 $X$ 的一列点 $\{x_i\}$, 满足 $|\pi \circ F(x_i)|<c$ 而 $\rho (x_i)\to \infty$. 根据定义, 对任何 $z\in {\mathbb{R}}^{2k+2}$, $\pi (z)$ 是 $H$ 中使 $z-\pi (z)$ 为 $a$ 的倍数的一点. 故对每个 $i$, 向量$$w_i=\frac{F(x_i)-\pi \circ F(x_i)}{\rho (x_i)}$$是 $a$ 的倍数. 考虑令 $i\to \infty$ 会发生什么. $$\frac{F(x_i)}{\rho (x_i)}=(\frac{f(x_i)}{\rho (x_i)},1)\to (0,\dots ,0,1),$$这是因为 $|f(x_i)|<1$. $$\frac{\pi \circ F(x_i)}{\rho (x_i)}$$的范数 $\le c/\rho (x_i)$, 故收敛到 $0$. 因而 $w_i\to (0,\dots ,0,1)$. 而每个 $w_i$ 是 $a$ 的倍数, 故其极限亦是, 那么 $a$ 就只能是 $S^{2k+1}$ 的南北极点, 矛盾. 这就证明了断言和定理.

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