3. 第一章: 流形与光滑映射 (正在翻译中)

第一章: 流形与光滑映射

1. 定义

  借助微积分, 我们可以直观地得到许多几何空间中优美的性质, 深层的结构. 因为基础的微积分构建在欧氏空间的几何结构之上, 所以, 它自然地适用在一些 “局部与欧氏空间相同” 的几何空间之上. 我们把这样的空间称作 “流形”. 在 “流形” 之中, 任意一点附近的区域都可以看作欧氏空间.

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  流形中最直观的例子, 就是球面和圆环面这样的光滑曲面. 在以上两个例子之中, 曲面中的每一点附近的区域都可以看作是一个弯曲的圆盘面, 把这些弯曲的圆盘面拉直, 就是平面上的圆盘. 但是在我们熟悉的老朋友之中, 圆锥面却不符合流形的性质, 因为圆锥的顶点附近的区域无法被视为平面的一部分.

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  为了给我们的想法一个精确的数学定义, 首先需要明确 “相同” 的意义, 我们通过建立映射来达成这个目标. 一个从 中开集 的映射 , 如果 任意阶的导函数都是连续的, 那么我们称 是光滑 (smooth) 的. 然而. 如果 的原象不是开集, 那我们是不能用 “导函数” 来定义的 (想想为什么? ). 所以我们需要将开集的条件推广到更一般的情况. 对于 中的任意子集 , 如果函数 可以局部拓展为在开集上光滑的映射. 那么称 为光滑的. 详细一点说, 对于 中的任意一点 , 存在一个开集 (也就是 的一个邻域) 和一个映射 , 在集合 中相同. “局部” 意味着函数仅仅在集合中点的一些邻域内相同. 因为开子集 可以被写作 的形式 ( 中的开集). 所以光滑是一个局部性质; 如果 中的每个点的邻域都是光滑的, 那么 是光滑的. (与 “局部” 相对的概念是 “全局”, “全局” 指将整个空间看待为一个统一的整体. )

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  如果一个定义在两个欧氏空间子集 上的光滑映射 既是单射又是满射, 那我们称 为微分同胚映射, 如果逆映射 也是光滑的, 那么称 是微分同胚的. 在微分拓扑的观点下, 两个微分同胚的集合是等价的. 它们可以被视作一个抽象空间的两个副本, 差异体现在它们的邻域可以用欧氏空间的不同部分来表示. 你需要建立一种关于微分拓扑的直觉, 以便你能迅速判断两个空间是否微分同胚, 我们可以从一些简单的图例开始:

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  在明确了 “等价” 的概念之后, 接下来需要定义 “流形”: 用 来表示欧氏空间 的子集, 如果 与欧氏空间 是微分同胚的, 我们称 维流形, 这意味着对于 中的任意一点 , 存在 的一个邻域 中存在一个开集 微分同胚. 那么我们称微分同胚映射 是一个 的一个参数化映射 ( 可以表示成 , 是开集) . 逆同胚映射 被称作 的坐标系统. 我们可以将函数 写成坐标形式 . 上的这 个光滑函数 被称作坐标函数 (也称作 上的局部坐标, 用来将空间 用空间 上的 维坐标显式确定, 而 中的一点 可以用如下坐标 确定) . 空间 的维度 来表示.

  下面是一个例子, 这里有一个圆:

  这是一个一维流形, 设 是圆的上半段上的一点 . 是一个从开区间 到上半圆弧的双射, 其定义在上半圆弧上的逆映射 显然是光滑的. 因为 是一个将 上的点映射到 上的光滑映射, 所以它是一个参数化表示. 下半圆弧上的参数化表达是类似定义的 . 除了两个 轴上点 , 这两个映射给出了 上所有点的参数化表达. 为了表达这两个点, 我们可以用参数化左右半圆的映射 . 这样我们就将一个圆, 视为用四个参数表示的一维流形. 只用两个参数映射去表示一个圆也不困难 (你能证明为什么不能只用一个映射来参数化表示圆吗? ) . 运用以上内容去证明一个推广结论: 维空间中的 维球 是一个 维流形 代表范数 .

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  一种有效的从已知流形制造新流形的方法是: 运用乘积空间. 设 的流形, 中的流形, 那么 的一个子集. 如果 , 我们可以找到 中开集 和一个 邻域的参数化映射 . 类似, 如果 , 可以找到 中开集 和一个 邻域的参数化映射 . 定义映射

  显然, 的一个开集, 容易检验 邻域上的一个参数化映射 (仔细检验这个点, 尤其是映射 在未必是 中开集的 的光滑性质) . 对于 上的任意一点 , 都是局部的参数映射, 因此我们证明了:

定理: 如果 都是流形, 那么 也是流形, 而且 .

  这里提及另一个有用的性质: 如果 都是 中的流形且 , 那么 的一个子流形, 自身就是 的一个子流形, 中的任何开子集都是 的子流形.

  读者需要注意, 有一些作者在描述映射的行文过程中会忽略 “光滑” 这个条件, 然而, “光滑” 这个条件总是需要的.

习题

1.

, 将 视为 的子集 . 对于 上的光滑函数, 证明: 上的光滑函数也是 上的光滑函数.

*2.

的子集, 的子集. 证明: 对于任何定义在 上的光滑映射, 将该映射限定在 上, 这个映射在 上也是光滑的.

*3.

,, 分别是 中的任意子集. 映射 是光滑的, 证明复合映射 是光滑的. 如果 都是微分同胚映射, 证明复合映射 也是微分同胚映射.

4.

(a): 中的一个开球, 证明映射: 是一个从 的微分同胚映射 (提示: 直接计算该映射的逆映射) .

(b): 是一个 维流形, 证明 中每一个点的邻域都和 微分同胚. 因此该流形的局部参数化可以在 中选取.

*5.

证明 中的任意 维向量空间 都和 微分同胚, 上的所有线性映射都是光滑的. 如果 是线性同构, 那么对应的坐标函数是 上的线性函数, 称为线性坐标.

6.

流形上的光滑双射未必是微分同胚映射, 例如 .

7.

证明 上两个坐标轴的并集不是流形. (提示: 如果去掉原点, 考虑原点的邻域)

8.

证明 上的双曲面 , 当 的时候是流形. 为什么 不是流形?

9.

直接写出足够的参数化映射来覆盖 .

10.

圆环面是 中与 平面上半径为 的圆距离为 的几何结构, 其中 . 证明圆环面和 微分同胚. 考虑 的情况, 为什么它们不是流形?

11.

证明无法用一个参数化映射来表示 维球 . (提示, 是紧致的)

*12.

球极平面投影 是从 的一个映射, 是北极点 . 对于任意 , 定义 直线与 平面的交点. 证明 是微分同胚映射. (直接写出 的坐标来计算 . )

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注意到当 接近 时, 会非常大. 因此 可以让我们想到 与平面和一个 “无穷远点” 的并集在拓扑上等价. 我们也可以用南极点来定义球极平面投影, 可以被两个局部参数化映射覆盖.

13.

推广球极平面投影, 试定义 .

14.

都是光滑的, 定义乘积映射:. 证明 是光滑的.

15.

证明将 映射到 的投影映射: 是光滑的.

*16.

集合 中的对角线 是由 组成的集合, 证明: 微分同胚, 所以若 是一个流形, 那么 也是一个流形.

*17.

映射 的象是 的一个子集, . 定义 . 证明: 如果 是光滑的, 那么 是一个微分同胚映射, 因此如果 是一个流形, 那么 也是. (注意: 在本题的映射 定义之下, 中的 是从 到自身的恒等映射的象) .

*18.

(a): 一个极其有用的函数 按如下方式定义:

证明 是光滑的.

(b): 证明: 是一个光滑函数, 在 上是正的, 在其它任何点都是 (这里 ) . 那么是一个光滑函数, 且满足如下条件:

(c): 构造一个定义在 上的函数, 在以原点为球心, 为半径的球内等于 , 在以 为半径的球外等于 , 在半径为 的球壳中的所有点的值在 中 (这里 ) .

2. 切映射和相切

3. 反函数定理和浸入

  在真正开始讨论流形的拓扑学之前, 我们必须研究光滑映射的局部表现. 有可能总是研究光滑映射的最恰当的理由是, 其局部表现由导数在微分同胚的意义下完全确定了. 阐明这一评述是第一章的首要任务.

定理. 设光滑映射 在点 的切映射 是一个同构, 则 附近的局部微分同胚.

  你大概见过对于 是欧式空间的开子集这一特殊情形的隐函数定理的证明. 可以容易地借助局部参数化把这一欧式空间的结论转化到流形上.

  记住隐函数定理仅仅是一个局部的结果; 它只告诉我们 附近的表现. 即使 对每个 都是非异的, 也不能得出 是空间 的整体微分同胚. 这样的映射称作局部微分同胚. 一个局部微分同胚而不是整体微分同胚的典型例子是映射 , 定义为 .

  当然, 要应用隐函数定理, 的维数必须相等. 当 时, 一个映射最好的表现是什么样的? 在微分的层面, 我们最多能要求 是单的. 若是, 称作 是浸入. 如果 在每一点都是浸入, 简单地称作浸入. 典范浸入是标准的含入映射从 , 映到 . 事实上, 在微分同胚的意义下, 这是局部上唯一的浸入.

局部浸入定理. 是浸入, . 那么存在 附近的局部坐标使得换言之, 局部上相当于 附近的典范浸入.

证明. 首先选取局部坐标系使下图交换. 现在试着扩展 以运用隐函数定理. 由于 是单的, 通过换一组 的基不妨假设它是 矩阵其中 单位阵. 现在定义映射 的一个开集映入 , 并且 的矩阵是 . 因此隐函数定理表明 的局部微分同胚. 注意到我们的定义使得 . 由于 是局部微分同胚, 也是; 因而 可用作 附近的局部参数化. 此外, 如果我们充分地缩小 , 下图交换:

  这一有用的推论是显然的: 若 是浸入, 则在 的一个邻域是浸入.

  映射 称为正则的, 如果 的每个紧集的原象均是 的紧集. 单且正则的浸入称为嵌入. 对局部的浸入条件附加了整体的拓扑限制之后, 我们如今能够证明局部浸入定理的一个合理的整体上的推广.

定理. 嵌入 微分同胚地映到 的一个子流形.

  当然, 当 本身是紧流形时, 任何映射 都是正则的. 因而对紧流形来说, 嵌入就是 - 浸入.

4. 淹没

  我们继续对于最重要的维数情形的局部分析, . 设 映成 , 我们能对其导数 施加的最强条件是满性. 若 是满的, 称为 是淹没. 在每点都是淹没的映射简单地称作淹没.

  典范浸入 的标准投影对 , 其中 . 与浸入的情形一样, 在微分同胚的意义下, 每个淹没局部上皆是典范的.

局部淹没定理. 是淹没, . 那么存在 附近的局部坐标使得即, 局部上相当于 附近的典范淹没.

  对于流形的光滑映射 , 点 称为 正则值, 如果 在每个符合 的点 都是满的. 刚才的论证证明了

原象定理. 的一个正则值, 那么原象 的子流形, 且 .

   不是 的正则值就称为临界值. 是临界值的时候解集 可能相当复杂.

5. 横截性

  我们观察到, 只要 是映射 的正则值, 方程 的解就形成一个光滑流形. 现在考虑 中函数值的限制不必是一个常数 而是满足一个任意的光滑的条件的点集. 故设 的一个子流形, 考察 的解集. 什么时候我们能确保解集 是一个易处理的几何对象? 这个问题使我们定义一个新的微分性质, 是正则性概念的扩展, 这将是本书的主要题目.

   是否是流形是局部上的事情. 就是说, 这是流形当且仅当 的每点有 的邻域 使 是流形. 此观察使我们能把对 的研究简化到我们已考察过的更简单的 是单点的情形. 因为若 , 我们能在 的邻域把 写成一族无关的函数 的零点集, 中的余维数. 那么在 附近, 原象 是函数 的零点集. 用 代表定义在 周围的淹没 . 现在能对映射 用已得到的结果了; 确保是流形, 当 的正则值.

  尽管映射 是相当任意的, 的正则值这个条件易于用只有关 的方式重新表达. 由于线性映射 是满的当且仅当 的象映满 . 而 是满的线性变换, 核为子空间 , 故 的一个子空间映满 正是当那个子空间与 张成整个 . 我们得到, 在点 是淹没当且仅当

我们的研究不可阻挡地把我们引向了这个方程. 映射 称为与 横截, 简写为 , 若在 的原象的每点 这个方程均成立. 我们证明了

定理. 若光滑映射 横截于子流形 , 原象 就是 的子流形. 此外, 中的余维数等于 中的余维数.   

6. 同伦和稳定性

7. Sard 定理和 Morse 函数

Sard 定理. 是流形的光滑映射, 那么 的几乎所有点都是 的正则值.

Sard 定理 (重述) . 光滑映射 的临界点测度是 .

推论. 光滑映射 的正则值在 稠密. 事实上, 若 是可数个光滑映射, 同时是所有的 的正则值的 的点是稠密的.

8. 把流形嵌入欧式空间

  我们接下来给出 Sard 定理的第二个应用, 是 Whitney 嵌入定理的一个证明. Whitney 研究的是 必须多大才能使 包含任意一个 维流形的微分同胚的复制. 他的初步答案是 足够了; 这是我们会证明的结果. 在大量艰苦工作之后, Whitney 把他的结果改进了 , 证明了每个 维流形事实上能嵌入 .

  一种理解 Whitney 定理的方式是作为流形可能的复杂度的一种极限. 一个典型的例子是 Klein 瓶, 一个可以在 中构造出的曲面, 通过把圆柱面两端的圆形以相反的方向贴起来. 在 中, Klein 瓶的浸入是存在的, 然而不能避免自交; 对嵌入来说, 没有充足的空间可以弯曲.

  Klein 瓶表明 Whitney 的结果是最优的, 因为这是一个 维流形却不能嵌入 维空间里. (圆圈是另一个例子. )

  Whitney 定理的证明之中涉及的一个有用的对象, 是 中的流形 切丛. 确切地说, 的子集, 定义为

定理. 每个 维流形皆能 - 地浸入 .

证明. 事实上, 设 维流形, 以及 , 我们将构造一个线性投影 , 它可以限制成为 - 浸入. 使用归纳, 下面将证明若 是一个单浸入, 那么存在一个单位向量 使得 复合上从 的正交补空间的投影映射是一个单浸入. 现在正交补空间 的一个 维线性子空间, 于是同构于 ; 由此我们得到了一个到 之中的单浸入.

定义映射 . 并且, 定义映射 . 由于 , Sard 定理表明存在一点 不在 的像中; 注意 , 因为 在两者的像中.

的正交补空间 上的投影. 显然 是单射. 这是因为设 , 的定义表明 对某系数 , 如果 , 那么因为 单, 有 , 于是 , 同 的选取矛盾.

类似地, 是浸入. 这是因为设非零向量 使 , 由于 是线性的, 有 , 故 对某系数 , 因为 是浸入, 有 , 于是 , 再次同 的选取矛盾.

定理. 每个 维流形皆能嵌入 .

证明. 首先, 有 - 浸入. 复合上任一 到其单位球的微分同胚 ——比如 ——我们得到一个单浸入 使得 对一切 . 令 是正则函数, 并定义一个新的单浸入 . 下面像上一定理一样, 对 复合一个正交投影 , 其中 是某个适当的向量 的正交补空间, 同构于 .

回忆一下映射 仍是单浸入对几乎所有 , 所以我们可以取不是球的两个极点的一个 . 而现在易见 是正则的. 事实上, 给定上界 , 我们断言存在 使得 包含于 . 由于 正则, 后者是 的紧集, 于是 的任一闭球在 下的原象也是 的紧集, 即 是正则的.

下面证明此断言, 若否, 存在 的一列点 , 满足 . 根据定义, 对任何 , 中使 的倍数的一点. 故对每个 , 向量 的倍数. 考虑令 会发生什么. 这是因为 . 的范数 , 故收敛到 . 因而 . 而每个 的倍数, 故其极限亦是, 那么 就只能是 的南北极点, 矛盾. 这就证明了断言和定理.