3. 局部化函子

对一个锥状闭集 $C\subset T^{\ast }X$, 一个自然的问题是如何刻画局部化函子$$\mathrm{Sh}(X)⟶{\mathrm{Sh}}_C(X)$$(3.1)Dima 在课上做出以下声称, 不过目前并没有给出证明:

命题 3.0.1. 考虑道路空间$${\mathcal{P}}_C:=\{p\in C^{\infty }([0,1],X)\mid p^{\prime }\in -C^{\circ }\},$$这里 $C^{\circ }:=\{v\in TX\mid \text{ 对所有的 }\xi \in C,⟨v,\xi ⟩>0\}$. 由于 $X$ 仿紧, 根据 [Lurie 2009, Corollary 7.1.4.4], 有如下等价: $$\mathrm{Sh}(X)\simeq \mathrm{N}({\mathrm{Top}}_{/X}^{\circ }).$$这里我们使用 [Lurie 2009] 的记号.

在这个等价下对应下, 函子 (3.1) 会把 $Y\to X$ 发送到 $Y{\times }_X{\mathcal{P}}_C\to X$.

另一方面, 由于 (3.1) 保持极限, 我们知道此函子必然由一个核给出.

换一个角度来考虑. 从现在开始, 本节只考虑 稳定 $(\infty ,1)$-范畴系数下的层. 假定 $\mathcal{C}$ 是一个稳定无穷范畴, $k$ 是其中的零对象. 考虑取值在 $\mathcal{C}$ 里的层.

考察 $X={\mathbb{R}}^n$, $\Omega ={\mathbb{R}}^{\times }{\mathbb{R}}_{>0}^n$, $C=T^{\ast }X-\Omega$ 的情况. 注意到 $X$ 是一个拓扑群, 记其上的加法为 $m$, 定义$${\mathcal{F}}_1\star {\mathcal{F}}_2=m_{!}(p_1^{-1}{F}_1\otimes p_2^{-1}{F}_2).$$考虑集合$$Z={\mathbb{R}}_{\ge 0}^n-\{0\}$$使用记号 $i:Z\to {\mathbb{R}}^n$, $k_Z=i_{!}{i}^{-1}{k}_{{\mathbb{R}}^n}$. 我们有:

命题 3.0.2. 局部化函子 $P_C$ 此时由 $k_Z[1]\star -$ 给出.

证明.

证明分为两步. 首先说明 $k_Z\star \mathcal{F}$ 在 $\Omega$ 上非奇异. 一个办法或许是使用 [Kashiwara–Schapira, §7] 的结论. 不过严格来说我们需要验证其中所有的论证在稳定无穷范畴中都成立.

Dima 提了另一种办法, 需要使用如下引理.

引理 3.0.3. 我们有: $$\mathcal{F}\in {\mathrm{Sh}}_C(X)⟺k_{\overline{Z}}\star \mathcal{F}=0$$

这一引理的证明笔者尚未想出, 或许之后会补上.

注意到 $k_{\overline{Z}}\star k_Z=0$, 根据引理 3.0.3, $k_Z\star \mathcal{F}$ 在 $\Omega$ 上非奇异.

其次我们说明对所有的 $\mathcal{G}\in {\mathrm{Sh}}_C(X)$, 都有$$\mathrm{Hom}(k_Z[1]\star \mathcal{F},\mathcal{G})\simeq \mathrm{Hom}(\mathcal{F},\mathcal{G})$$考虑纤维列: $$k_Z⟶k_{\overline{Z}}⟶k_{\{0\}}⟶k_Z[1]$$所需结论由 [Lurie 2009, 5.2.7.4] 给出.

$\square$

3.1参考文献

•	Masaki Kashiwara, Pierre Schapira. Sheaves on manifolds, vol. 292. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]. Springer-Verlag, Berlin. With a chapter in French by Christian Houzel, Corrected reprint of the 1990 original.

•	Jacob Lurie (2009). Higher topos theory, vol. 170. Annals of Mathematics Studies. Princeton University Press, Princeton, NJ. (doi) ()