1. 奇异同调论

  本章的目标是介绍任意一个拓扑空间的奇异同调理论. 在定义以及同伦不变性的证明之后, 我们陈述极其重要的计算工具 (定理 1.14) , 其证明留到附录 I, 这样阐述不会被其包含的构造打断. 注意 Mayer-Vietoris 序列是这个定理的直接推论, 它随后用于计算球面的同调群. 用这些结果, 能证明若干经典的定理: 圆盘不能收缩到其边界、Brouwer 不动点定理、偶数维球面上不存在向量场、Jordan-Brouwer 分离定理、以及关于区域不变性的 Brouwer 定理.

命题 1.0.1. 设 $x_0,\cdots ,x_p\in {\mathbb{R}}^n$, 以下命题等价:
(a) $x_1-x_0,\cdots ,x_p-x_0$ 是线性无关的;
(b) 若 $\sum s_i{x}_i=\sum t_i{x}_i$ 且 $\sum s_i=\sum t_i$, 则 $s_i=t_i$ 对 $i=0,\cdots ,p$.

命题 1.0.2. 设单形 $s$ 是 $\{x_0,\cdots ,x_p\}$ 的凸包, $s$ 中的每个点能唯一地表示成 $\sum t_i{x}_i$ 的形式, 其中各个 $t_i\ge 0$ 且 $\sum t_i=1$.

命题 1.0.3. 复合映射 $\partial \circ \partial$ 在$$S_n(X)\stackrel{\partial }{\to }{S}_{n-1}(X)\stackrel{\partial }{\to }{S}_{n-2}(X)$$是零映射.

命题 1.0.4. 设 $X$ 是非空道路连通空间, 有 $H_0(X)=\mathbb{Z}$.

引理 1.0.5. $H_p(\sum C^{\alpha })=\underset{\alpha }{⨁}{H}_p(C^{\alpha })$.

命题 1.0.6. 设空间 $X$ 的道路连通分支为 $\{X_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$, 有$$H_p(X)=\underset{a\in A}{⨁}{H}_p(X_{\alpha }).$$

定理 1.0.7. 设 $f:X\to Y$ 是同胚, 对所有 $p$, $$f_{\ast }:H_p(X)\to H_p(Y)$$是同构.

定理 1.0.8. 设 $X$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的一个凸子集, 有$$H_p(X)=0\text{对 }p>0.$$

命题 1.0.9. 设链映射 $f,g:C\to C^{\prime }$ 链同伦, 那么 $H_{\ast }(C)\to H_{\ast }(C^{\prime })$ 的同态 $f_{\ast }=g_{\ast }$.

定理 1.0.10. 设映射 $f_0,f_1:X\to Y$ 同伦, 那么 $H_{\ast }(X)\to H_{\ast }(Y)$ 的同态 $f_{0\ast }=f_{1\ast }$.

命题 1.0.11. 设映射 $f:X\to Y$ 是同伦等价, 那么 $f_{\ast }:H_{\ast }(X)\to H_{\ast }(Y)$ 是同构.

推论 1.0.12. 设 $A$ 是 $X$ 的一个收缩, 那么 $i:A\hookrightarrow X$ 给出的同态 $i_{\ast }:H_{\ast }(A)\to H_{\ast }(X)$ 是到一个直和分量的单射. 设 $A$ 是 $X$ 的一个形变收缩, 那么 $i_{\ast }:H_{\ast }(A)\to H_{\ast }(X)$ 是同构.

定理 1.0.13. 设 $0\to C\stackrel{f}{\to }D\stackrel{g}{\to }E\to 0$ 是短正合列, 那么有长正合列$$\cdots \stackrel{f_{\ast }}{\to }{H}_n(D)\stackrel{g_{\ast }}{\to }{H}_n(E)\stackrel{\partial }{\to }{H}_{n-1}(C)\stackrel{f_{\ast }}{\to }{H}_{n-1}(D)\stackrel{g_{\ast }}{\to }\cdots .$$

定理 1.0.14. 设 $\mathcal{U}$ 是 $X$ 的一族子集, $\mathrm{Int}\mathcal{U}$ 是 $X$ 的覆盖, 那么 $i_{\ast }:H_{\ast }(S_{\ast }^{\mathcal{U}}(X))\to H_{\ast }(X)$ 是同构.

定理 1.0.15. $$H_j(S^n)=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Z},& j=0,n\\ 0,& \text{其它}\end{array}.$$

推论 1.0.16. 对 $n\ne m$, $S^n$ 与 $S^m$ 不同伦.

推论 1.0.17. $S^n$ 不能收缩成 $D^{n-1}$.

推论 1.0.18 (Brouwer 不动点定理). 映射 $f:D^n\to D^n$ 存在不动点.

命题 1.0.19. 反射 $f:S^n\to S^n,(x_1,x_2,\cdots ,x_{n+1})\mapsto (-x_1,x_2,\cdots ,x_{n+1})$ 的度 $d(f)=-1$.

命题 1.0.20. 设映射 $f:S^n\to S^n$, 有 $d(\sum f)=d(f)$.

推论 1.0.21. 反射 $f:S^n\to S^n,(x_1,\cdots ,x_{n+1})\mapsto (x_1,\cdots ,-x_i,\cdots ,x_{n+1})$ 的度 $d(f)=-1$.

推论 1.0.22. 对径映射 $A:S^n\to S^n,(x_1,\cdots ,x_{n+1})\mapsto (-x_1,\cdots ,-x_{n+1})$ 的度 $d(A)=(-1{)}^{n+1}$.

命题 1.0.23. 设映射 $f,g:S^n\to S^n$, 如果 $f(x)\ne g(x)$ 对任何 $x\in S^n$, 那么 $g$ 同伦于 $A\circ f$.

推论 1.0.24. 设映射 $f:S^{2n}\to S^{2n}$, 存在 $x\in S^{2n}$ 使 $f(x)=x$ 或 $-x$.

推论 1.0.25. 不存在映射 $f:S^{2n}\to S^{2n}$ 使 $x,f(x)$ 对任何 $x\in S^{2n}$ 都正交.

推论 1.0.26. $S^{2n}$ 上不存在非零向量场.

引理 1.0.27. 设 $\{X_a\}$ 是 $X$ 的所有紧集构成的族, 序关系为包含, 那么 $\{H_{\ast }(X_a)\}$ 及包含映射给出的同态构成了一个正向系统, 且 $\underset{\to a}{\lim }{H}_{\ast }(X_a)=H_{\ast }(X)$.

引理 1.0.28. 设 $S^n$ 的子集 $A$ 同胚于 $I^k$, 那么$$H_j(S^n-A)=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Z},& j=0\\ 0,& j>0\end{array}.$$

推论 1.0.29. 设 $S^n$ 的子集 $B$ 同胚于 $S^k$, 那么$$H_j(S^n-B)=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Z},& j=0,n-k-1\\ 0,& \text{其它}\end{array}.$$

定理 1.0.30 (Jordan-Brouwer 分离定理). $S^{n-1}$ 嵌入 $S^n$ 后把 $S^n$ 分成了两个分支, 且它是这两个分支的边界.

定理 1.0.31. 设 $U_1,U_2$ 是 $S^n$ 的开集, $h:U_1\to U_2$ 是同胚. 如果 $U_1$ 是开集, 那么 $U_2$ 也是开集.