5. 一个好用的空间范畴

同伦理论中, 处理一个完备、余完备, 且满足一些关于映射空间的好的性质 (特别是指数律) 的空间组成的范畴较为方便.

指数律在 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 中不总是成立; 局部紧的 Hausdorff 空间构成的范畴虽然有指数律, 但不总有极限和余极限. 不过有一些完备和余完备的范畴介于局部紧的 Hausdorff 空间和所有拓扑空间之间, 且使指数律成立. 紧生成的弱 Hausdorff 空间便组成这样的范畴 (记为 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$), 它是个在同伦理论中比较方便的范畴, 我们会在本章节简要地讨论它.

紧生成空间

定义 5.1. 设 $X$ 是拓扑空间, 如果它的子集 $Y$ 满足对任何紧 Hausdorff 空间 $K$ 和连续映射 $f:K\to X$, $f^{-1}(Y)$ 在 $K$ 中都是闭的, 称 $Y$ 为 " 紧闭的 " (或 "k-闭的 ") . $X$ 上可以定义一个新的拓扑 $kX$, 它将 $X$ 的紧闭子集作为闭集. 则有恒等映射$$kX\to X$$是连续映射. 如果 $kX=X$, 称 $X$ 为紧生成的. 记 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 是由 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 中所有紧生成空间组成的全子范畴.

如果空间 $X$ 是紧生成的, 则对任何 $Y$, 映射 $f:X\to Y$ 连续当且仅当对任何紧 Hausdorff 空间 $K$, 连续映射 $K\to X$, 映射的复合 $K\to X\to Y$ 是连续的. 还可以注意到对任意 $X$ 有$$k^{2}X=kX.$$

命题 5.2. 局部紧的 Hausdorff 空间都是紧生成的.

证明. 设 $X$ 是局部紧的 Hausdorff 空间,$Z$ 是一个 k-闭的子集. 只需证明 $Z=\bar{Z}$ 是闭的.

对任意 $x\in \bar{Z}$. 由于 $X$ 是局部紧的 Hausdorff 空间, $x$ 有一个邻域 $U$ 使 $K=\bar{U}$ 是紧且 Hausdorff 的. 知 $x\in \overline{K\cap Z}$. 又由于 $Z$ 是 k-闭的, 考虑含入映射 $K\to Z$ 可知, $K\cap Z$ 在 $K$ 中闭, 故也在 $X$ 中闭. 因此 $x\in Z$.

$\square$

命题 5.3. 由 $X\mapsto kX$ 给出的函子 $k:\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}\to \mathsf{C}\mathsf{G}$ 是含入函子 $i:\mathsf{C}\mathsf{G}\subset \mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 的右伴随.

证明. 记 $X\in \mathsf{C}\mathsf{G},Y\in \mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$, 只需证 $f:X\to Y$ 连续当且仅当对应的映射 $f:X\to kY$ 连续. 假设 $f:X\to kY$ 连续, 则映射的复合 $X\to kY\to Y$ 连续. 反过来, 假定 $f:X\to Y$ 连续. 令 $Z\subset Y$ 是 k-闭的子集. 则对任意紧 Hausdorff 空间 $K$ , 映射 $g:K\to X$, $$g^{-1}(f^{-1}(Z))=(f\circ g{)}^{-1}(Z)$$在 $K$ 中闭. 从而 $f^{-1}(Z)$ 在 $X$ 中 k-闭, 因此闭. 因此 $f:X\to kY$ 连续.

$\square$

命题 5.4. 如 $X\in \mathsf{C}\mathsf{G}$, $p:X\to Y$ 为商映射, 则 $Y\in \mathsf{C}\mathsf{G}$.

证明. 由命题 5.3, $p$ 穿过 $X\to kY$. 由于商拓扑是使得商映射连续的最细的拓扑, 知有 $Y=kY$.

$\square$

定理 5.5. 范畴 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 完备且余完备. $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中的余极限即是相应空间在 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 中的余极限. $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中的极限由 $k$ 作用于相应空间在 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 中的极限得到.

证明. 设 $F\in \mathsf{F}\mathsf{u}\mathsf{n}(I,\mathsf{C}\mathsf{G})$ 且 $\hat{F}=i\circ F\in \mathsf{F}\mathsf{u}\mathsf{n}(I,\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p})$, 此处 $i:\mathsf{C}\mathsf{G}\to \mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 是嵌入函子.

注意左伴随函子 $i:\mathsf{C}\mathsf{G}\to \mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 保持余极限, 只需证明 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中对象在 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 中的余极限还在 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中. 对一组 $F(i)\in \mathsf{C}\mathsf{G}$, 它们在 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 中的余积 ${\coprod }_{i\in I}F(i)$ (由不交并给出) 也属于 $\mathsf{C}\mathsf{G}$. 又由于 $\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}\hat{F}$ 是 ${\coprod }_{i\in I}F(i)$ 的商空间, 由命题 5.4, 它也属于 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ . 这证明了关于 $\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}F$ 的陈述.

注意右伴随函子 $k:\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}\to \mathsf{C}\mathsf{G}$ 保持极限,$$\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}F=\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}(k\circ \hat{F})=k\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}\hat{F}.$$

$\square$

推论 5.6. 设 $\{X_i{\}}_{i\in I}$ 是 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中的一族对象. 则它们在 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中的乘积是$$k\prod _{i\in I}{X}_i$$此处 $\prod _{i\in I}{X}_i$ 即是通常的乘积拓扑.

下面我们将会用 $\times ,\prod$ 来表示 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中的乘积, 而用 $\stackrel{t}{\times },{\prod }^t$ 来表示 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 中的乘积.

定理 5.5 的另一个推论如下.

命题 5.7. 假定 $X$ 是紧生成的空间, $Y$ 是局部紧的 Hausdorff 空间, 则 $X\times Y=X\stackrel{t}{\times }Y$.

定义 5.8. 设 $X,Y\in \mathsf{C}\mathsf{G}$. 定义 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(X,Y)$ 上的紧生成拓扑为$$\mathrm{Map}(X,Y)=kC(X,Y)\in \mathsf{C}\mathsf{G}.$$此处 $C(X,Y)$ 的拓扑是某种紧开拓扑, 它由形如下式的集合$$\{f\in {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(X,Y)\mid f(g(K))\subset U\}$$生成, 其中 $g:K\to X$ 是紧 Hausdorff 空间到 $X$ 的映射, $U$ 是 $Y$ 的开集.

注意此处定义 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 的紧生成拓扑与通常的紧开拓扑有少许区别: 我们需要紧 Hausdorff 空间 $K$ 上的一个映射. 我们还将使用指数记号$$Y^X:=\mathrm{Map}(X,Y).$$

引理 5.9. 设 $X,Y\in \mathsf{C}\mathsf{G}$, $K$ 紧 Hausdorff 且 $f:K\to X$ 连续. 则赋值映射$$\begin{array}{rlr}e{v}_K:\mathrm{Map}(X,Y)\stackrel{t}{\times }K& \to & Y,\\ (g,p)\mapsto g(f(p))& & \end{array}$$连续. 特别地, $\mathrm{Map}(X,Y)\times K\to Y$ 连续.

证明. 设 $U\subset Y$ 为开集, 且 $(g,p)\in e{v}_K^{-1}(U)$. 则 $(g\circ f{)}^{-1}(U)$ 在 $K$ 为开集且包含 $p$. 由于 $K$ 是紧 Hausdorff 空间, $p$ 有某邻域 $V$ 使 $\bar{V}\subset g\circ f^{-1}(U)$. 则有$$\{h\mid h(f(\bar{V}))\subset U\}\times V$$是 $(g,p)$ 的开邻域.

$\square$

命题 5.10. 设 $X,Y\in \mathsf{C}\mathsf{G}$, 则赋值映射 $\mathrm{Map}(X,Y)\times X\to Y$ 连续.

证明. 设 $K$ 紧 Hausdorff 且有连续映射 $K\to \mathrm{Map}(X,Y)\times X$. 只需证复合 $K\to \mathrm{Map}(X,Y)\times X\to Y$ 连续. 而其等价于复合$$K\to \mathrm{Map}(X,Y)\times K\to Y,$$连续, 由前述引理可证.

$\square$

命题 5.11. 设 $X,Y,Z\in \mathsf{C}\mathsf{G}$ 且 $f:X\times Y\to Z$ 连续. 则诱导映射$$\begin{array}{rl}\hat{f}:X& \to \mathrm{Map}(Y,Z),\\ x& \mapsto f(x,-)\end{array}$$也连续.

证明. 只需证 $\hat{f}:X\to C(Y,Z)$ 连续. 设有紧 Hausdorff 空间 $K$, 连续映射 $h:K\to Y$ 和开集 $U\subset Z$. 考虑 $C(Y,Z)$ 中的开集$$W=\{g:Y\to Z\mid g(h(K))\subset U\}.$$对 $x\in {\hat{f}}^{-1}(W)$, 须找到它在 $f^{-1}(W)$ 中的开邻域 $V$. 由定义 $f(x,h(K))\subset U$. 由于 $f$ 连续且 $K$ 紧, 存在 $x$ 的某个开邻域 $V$ 使有 $f(V,h(K))\subset U$. 则 $V\subset f^{-1}(W)$ 满足要求.

$\square$

定理 5.12 (指数律). 设 $X,Y,Z\in \mathsf{C}\mathsf{G}$. 则自然映射$$\begin{array}{rl}\mathrm{Map}(X\times Y,Z)& \to \mathrm{Map}(X,\mathrm{Map}(Y,Z)),\\ f& \mapsto f(x,-)\end{array}$$是同胚.

证明. 首先我们证明$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(X\times Y,Z)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(X,\mathrm{Map}(Y,Z))$$作为集合是同构的. 这个映射由命题 5.11 知是良定的, 且显然是单射. 又对任何连续的 $g:X\to \mathrm{Map}(Y,Z)$, 我们有连续映射$$f:X\times Y\stackrel{g\times 1}{\to }\mathrm{Map}(Y,Z)\times Y\to Z$$这证明了命题中映射也是满射, 给出集合间的同构.

同胚是则形式上的结论. 事实上, 对任一 $W\in \mathsf{C}\mathsf{G}$, 我们有$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(W,\mathrm{Map}(X\times Y,Z))& \cong {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(W\times X\times Y,Z)\\ & \cong {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(W\times X,\mathrm{Map}(Y,Z))\\ & \cong {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(W,\mathrm{Map}(X,\mathrm{Map}(Y,Z))).\end{array}$$这表示我们有两个函子之间的自然同构.$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(-,\mathrm{Map}(X\times Y,Z))\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(-,\mathrm{Map}(X,\mathrm{Map}(Y,Z))):\mathsf{C}\mathsf{G}\to \mathsf{S}\mathsf{e}\mathsf{t}.$$此时米田引理给出下列同胚$$\mathrm{Map}(X\times Y,Z)\cong \mathrm{Map}(X,\mathrm{Map}(Y,Z)).$$$\square$

命题 5.13. 设 $X,Y,Z\in \mathsf{C}\mathsf{G}$. 则复合$$\begin{array}{rcl}\mathrm{Map}(X,Y)\times \mathrm{Map}(Y,Z)& \to & \mathrm{Map}(X,Z),\\ (f,g)& \mapsto & g\circ f\end{array}$$连续, 也是 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中态射.

证明. 这可由指数律推出. 由米田引理, 我们只需找到一个自然变换$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(W,\mathrm{Map}(X,Y)\times \mathrm{Map}(Y,Z))\to {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(W,\mathrm{Map}(X,Z)),\forall W\in \mathsf{C}\mathsf{G}.$$首先我们观察到$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(W,\mathrm{Map}(X,Y)\times \mathrm{Map}(Y,Z))\cong & {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(W,\mathrm{Map}(X,Y))\times {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(W,\mathrm{Map}(Y,Z))\\ \cong & {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(W\times X,Y)\times {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(W\times Y,Z).\end{array}$$现在给出两个映射 $f:W\times X\to Y,g:W\times Y\to Z$, 我们考虑其复合$$W\times X\stackrel{\Delta \times 1_X}{\to }W\times W\times X\stackrel{1\times f}{\to }W\times Y\stackrel{g}{\to }Z.$$此处 $\Delta :W\to W\times W$ 是对角线映射. 这自然地给出下述集合中的所需元素$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(W\times X,Z)\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(W,\mathrm{Map}(X,Z)).$$$\square$

范畴 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 的另一个好性质是商映射的乘积仍然是商映射.

命题 5.14. 设 $p_i:X_i\to Y_i,i=1,2$, 是 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中的商映射. 则 $p_1\times p_2:X_1\times X_2\to Y_1\times Y_2$ 也是商映射.

证明. 我们只需证明如果 $p:X\to Y$ 是商映射, 则诱导映射 $q:X\times Z\to Y\times Z$ 也是商映射. 此处 $X,Y,Z\in \mathsf{C}\mathsf{G}$. 显然, $q$ 作为集合间映射的满射. 这等价于证明对任一映射 $f:Y\times Z\to W$, 如果 $q\circ f$ 连续, 则 $f$ 连续. 由指数律,$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(X\times Z,W)={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(X,\mathrm{Map}(Z,W)).$$因此 $q\circ f$ 等价于连续映射 $X\to \mathrm{Map}(Z,W)$. 由于 $p:X\to Y$ 是商映射, 这表明 $f$ 对应一个连续映射 $Y\to \mathrm{Map}(Z,W)$. 再由指数律,$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(Y,\mathrm{Map}(Z,W))={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}}(Y\times Z,W).$$这表明了 $f$ 的连续性.

$\square$

紧生成的弱 Hausdorff 空间

定义 5.15. 对拓扑空间 $X$, 如果对任何紧 Hausdorff 空间 $K$ 和任何连续映射 $f:K\to X$, 其像 $f(K)$ 在 $X$ 中都是闭集, 则称 $X$ 为弱 Hausdorff 空间.

记 $\mathsf{w}\mathsf{H}$ 为由 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 中所有弱 Hausdorff 空间组成的全子范畴. 记 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 为由 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 中所有紧生成的弱 Hausdorff 空间组成的全子范畴.

例子 5.16. Hausdorff 空间是弱 Hausdorff 空间, 由于 Hausdorff 空间的紧子集是闭的. 因此局部紧的 Hausdorff 空间是紧生成的弱 Hausdorff 空间.

命题 5.17. 函子 $k:\mathsf{w}\mathsf{H}\to \mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 是嵌入函子 $i:\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}\subset \mathsf{w}\mathsf{H}$ 的右伴随.

证明. 这由命题 5.3 给出.

$\square$

引理 5.18. 设 $X\in \mathsf{w}\mathsf{H}$, $K$ 紧 Hausdorff, $f:K\to X$ 连续. 则 $f(K)$ 紧 Hausdorff.

证明. $f(K)$ 是紧且闭的. 进一步, $f:K\to X$ 由假设是闭映射. 设 $x_1,x_2\in f(K)$ 是其中两个点. 由于 $X\in \mathsf{w}\mathsf{H}$, $x_1,x_2$ 作为单点集是闭的. 故 $f^{-1}(x_1),f^{-1}(x_2)$ 是不交的闭集合. 又由于 $K$ 是紧 Hausdorff 空间, 存在不交的开集 $U_1,U_2$ 在 $K$ 中使有 $f^{-1}(x_i)\subset U_i$. 此时 $f(K)-f(K-U_i)$ 给出 $x_i$ 不交的开邻域.

$\square$

注记 5.19. 对弱 Hausdorff 的 $X$, 该引理表明 $Z\subset X$ k-闭当且仅当对任一紧 Hausdorff 子空间 $K\subset X$, $Z\cap K$ 在 $K$ 中闭.

命题 5.20. 设 $X\in \mathsf{C}\mathsf{G}$, 则 $X$ 弱 Hausdorff 当且仅当对角线子空间 ${\Delta }_X=\{(x,x)\mid x\in X\}$ 在 $X\times X$ 闭. 此处 $X\times X$ 是范畴 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中乘积.

证明. 设 $X\in \mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$. 只需证明 ${\Delta }_X$ 在 $X\times X$ 中 k-闭. 记$$f=(f_1,f_2):K\to X\times X,f_i:K\to X,$$此处 $K$ 紧 Hausdorff. 记$$L=f_1(K)\cap f_2(K),$$由引理 5.18 知 $L$ 紧且 Hausdorff . 考虑对角线 ${\Delta }_L$ in $L\times L$, 包含于下述映射的像中$$L\to X\times X.$$由于 $L$ 紧 Hausdorff, ${\Delta }_L$ 是 $X\times X$ 的紧 Hausdorff 子空间, 因此在 $X\times X$ 闭. 从而知 $f^{-1}({\Delta }_X)=f^{-1}({\Delta }_L)$ 闭.

反过来, 设 $X\in \mathsf{C}\mathsf{G}$ 且 ${\Delta }_X$ 在 $X\times X$ 闭. 设 $K$ 是紧 Hausdorff 空间,$f:K\to X$ 是一连续映射. 只需证 $f(K)$ 在 $X$ 中是 k-闭的. 设 $L$ 是紧 Hausdorff 空间, $g:L\to X$ 是任一连续映射. 考虑$$(f,g):K\times L\to X\times X.$$则$$g^{-1}(f(K))=(f,g{)}^{-1}({\Delta }_X),$$是闭集. 这表明 $f(K)$ 在 $X$ 中 k-闭, 故在 $X$ 中也是闭的.

$\square$

注记 5.21. 回忆 $X\in \mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 是 Hausdorff 当且仅当 ${\Delta }_X$ 在 $X\times X$ 中是闭的. 这个命题表明 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 与 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 的关系类似于 Hausdorff 空间与 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 的关系.

推论 5.22. 设 $\{X_i{\}}_{i\in I}$ 是 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 中的一族对象. 则它们在 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中的乘积 $\prod _{i\in I}{X}_i$ 也在 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 中.

证明. 设 $X=\prod _{i\in I}{X}_i$ 且 ${\pi }_i:X\to X_i$. 需证明对角线 ${\Delta }_X$ 在 $X\times X$ 中是闭的. 设$${\pi }_i\times {\pi }_i:X\times X\to X_i\times X_i,D_i=({\pi }_i\times {\pi }_i{)}^{-1}({\Delta }_{X_i}).$$由于 ${\Delta }_i$ 在 $X_i\times X_i$ 是闭的, 知有 ${\Delta }_X={\bigcap }_{i\in I}{D}_i$ 在 $X\times X$ 中是闭的.

$\square$

命题 5.23. 设 $X\in \mathsf{C}\mathsf{G}$, $E\subset X\times X$ 是 $X$ 上的等价关系. 则该等价关系 $E$ 对应商空间 $X/E$ 属于 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 当且仅当 $E$ 在 $X\times X$ 中闭.

证明. 由命题 5.4, $X/E\in \mathsf{C}\mathsf{G}$. 我们只需验证弱 Hausdorff 性质. 记 $q:X\to Y=X/E$ 该商映射. 由命题 5.14, 该乘积$$q\times q:X\times X\to Y\times Y$$也是商映射. 因此 ${\Delta }_Y$ 在 $Y\times Y$ 中闭当且仅当 $(q\times q{)}^{-1}({\Delta }_Y)=E$ 在 $X\times X$ 中闭.

$\square$

给定 $X\in \mathsf{C}\mathsf{G}$, 记 $E_X$ 是 $X$ 上最小的闭等价关系. $E_X$ 可由所有 $X$ 上闭等价关系的交构造. 则等价关系 $E_X$ 对应商空间 $X/E_X$ 是 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 中对象. 这个构造定义了函子$$h:\mathsf{C}\mathsf{G}\to \mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}.$$

命题 5.24. 函子 $h:\mathsf{C}\mathsf{G}\to \mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 是包含函子 $j:\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}\to \mathsf{C}\mathsf{G}$ 的左伴随. 进一步, $h$ 保持子范畴 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$, 也 $h\circ j$ 是恒等函子.

证明. 设 $X\in \mathsf{C}\mathsf{G},Y\in \mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$, 且 $f:X\to Y$ 连续. 我们只需证明 $f$ 穿过 $X/E_X\to Y$. 考虑$$f\times f:X\times X\to Y\times Y.$$由于 ${\Delta }_Y$ 在 $Y\times Y$ 中闭, $(f\times f{)}^{-1}({\Delta }_Y)$ 在 $X$ 上定义了一个闭等价关系. 因此 $E_X\subset (f\times f{)}^{-1}({\Delta }_Y)$. 这表明 $f$ 通过 $X\to X/E_X\to Y$ 分解.

$\square$

定理 5.25. 范畴 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 完备且余完备. $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 中的极限继承自 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中的极限. $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 中的余极限由 $h$ 作用于 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中的余极限得到.

证明. 设 $F\in \mathsf{F}\mathsf{u}\mathsf{n}(I,\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H})$, 则只需证$$\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}F=h\left(\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}(j\circ F)\right),j(\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}F)=\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}(j\circ F).$$

关于余极限的陈述可由 $h\circ j$ 是恒等函子且 $h$ 保持余极限这一事实证明. 至于极限, 设$$X=\prod _{i\in I}F(i),Y=\prod _{i\stackrel{f}{\to }j}F(j)$$是 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中的乘积, 由引理 5.22 其也属于 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ . 考虑两个映射 $g_1,g_2:X\to Y$, 使有$$g_1(\{x_i\})=\{x_j{\}}_{i\stackrel{f}{\to }j},g_2(\{x_i\})=\{f(x_i){\}}_{i\stackrel{f}{\to }j}.$$则$$\mathbf{l}\mathbf{i}\mathbf{m}(j\circ F)=\{x\in X|g_1(x)=g_2(x)\}=(g_1\times g_2{)}^{-1}({\Delta }_Y)$$是 $X$ 的闭子空间, 也属于 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$. 可验证此即 $F$ 的极限.

$\square$

注记 5.26. 该定理的证明中关于极限的部分不依赖于 $h$. 它表明 $j:\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}\to \mathsf{C}\mathsf{G}$ 保持所有极限. 伴随函子定理表明 $h$ 抽象的存在性.

命题 5.27. 令 $X,Y\in \mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$. 则 $\mathrm{Map}(X,Y)\in \mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$.

证明. 我们只需证明 $\mathrm{Map}(X,Y)\times \mathrm{Map}(X,Y)$ 的对角线 ${\Delta }_{\mathrm{Map}(X,Y)}$ 是闭的. 记$$\begin{array}{rcl}e{v}_x:\mathrm{Map}(X,Y)& \to & Y,\\ f& \mapsto & f(x),\end{array}$$其连续. 则$${\Delta }_{\mathrm{Map}(X,Y)}=\bigcap _{x\in X}(e{v}_x\times e{v}_x{)}^{-1}({\Delta }_Y)$$由于 ${\Delta }_Y$ 在 $Y\times Y$ 中是闭的, 上述对角线也是闭的.

$\square$

结合命题 5.27, 命题 5.10, 定理 5.12, 命题 5.13, 我们有下述定理.

定理 5.28. 设 $X,Y,Z\in \mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$. 则有

1.	赋值映射 $\mathrm{Map}(X,Y)\times X\to Y$ 连续;
2.	复合映射 $\mathrm{Map}(X,Y)\times \mathrm{Map}(Y,Z)\to \mathrm{Map}(X,Z)$ 连续;
3.	指数律成立, 即我们有同伦$$\mathrm{Map}(X\times Y,Z)\cong \mathrm{Map}(X,\mathrm{Map}(Y,Z)).$$

因此 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 是完备且余完备的满的 $\mathsf{T}\mathsf{o}\mathsf{p}$ 子范畴使指数律在其中成立.

我们给出关于 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中 " 子空间拓扑 " 简短讨论来结束这一节.

设 $X\in \mathsf{C}\mathsf{G}$ 且 $A$ 是 $X$ 的一个子集. $A$ 的子空间拓扑不一定是紧生成的. 我们通过应用 $k$ 于通常意义下的子空间拓扑赋予 $A$ 紧生成的拓扑. 这会被称为范畴 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中的子空间拓扑. 当我们写下 $A\subset X$ 时, $A$ 即理解为赋予这个紧生成范畴的 $X$ 的子空间. 显然, 如果 $X\in \mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$, 则 $A\in \mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$. 可验证如果 $A$ 是 $X$ 中一个开集和闭集的交, 则通常意义下的子空间拓扑 $A$ 已经是紧生成的, 所以在这种情况下这两种关于子空间的记号一致.

这个约定满足在 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中子空间的标准特性: 给定 $Y\in \mathsf{C}\mathsf{G}$, 映射 $Y\to A$ 连续当且仅当它视为 $Y\to X$ 间的映射时连续.

定义 5.29. 在范畴 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中, 如 $\mathsf{C}\mathsf{G}$ 中的映射 $i:A\to X$, 使 $A\to i(A)$ 是同胚, 则称其为嵌入, 此处 $i(A)$ 是 $A$ 赋予 $X$ 的紧生成子空间拓扑的像.

命题 5.30. 设 $X\stackrel{i}{\to }Y\stackrel{r}{\to }X$ 是 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 中的映射使有 $r\circ i=1_X$. 则 $i$ 是闭嵌入, $r$ 是商映射.

证明. 显然 $i$ 是嵌入,$r$ 是商映射. 下证 $i(X)$ 是闭嵌入. 考虑$$(i\circ r,1_Y):Y\to Y\times Y.$$设 ${\Delta }_Y\subset Y\times Y$ 是闭对角线. 则 $i(X)=(i\circ r,1_Y{)}^{-1}({\Delta }_Y)$ 也是闭的.

$\square$

命题 5.31. 设 $X,Y,Z\in \mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 而 $i:X\to Y$ 是一个嵌入. 则 $i\times 1_Z:X\times Z\to Y\times Z$ 也是嵌入. 如果 $i$ 是闭的, 则 $i\times 1_Z$ 也是闭的.

我们将经常用到空间对相应的记号. 给定 $X,Y\in \mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$, 和子空间 $A\subset X,B\subset Y$, 记$$\mathrm{Map}((X,A),(Y,B))=\{f\in \mathrm{Map}(X,Y)\mid f(A)\subset B\}$$是从 $A$ 到 $B$ 的映射 $\mathrm{Map}(X,Y)$ 的子空间. 它满足下面的推回图表

在我们往后关于同伦理论的讨论中, 我们主要处理 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$, 一个空间总是意味着一个 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 中的对象, 且所有的极限和余极限在 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 中. 例如, 给定 $X,Y\in \mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$, 它们的乘积 $X\times Y$ 总是意味着 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 范畴的乘积. 子空间总有紧生成子空间拓扑.

为简化记号, 我们将会使用$$\underline{\mathcal{T}}=\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}和\underline{h\mathcal{T}}$$分别代表范畴 $\mathsf{C}\mathsf{G}\mathsf{W}\mathsf{H}$ 和 $\underline{\mathcal{T}}$ 在映射同伦等价类下的商范畴.

我们还将需要带有基点空间的范畴.

定义 5.32. 我们定义带有基点空间的范畴为 $\underline{{\mathcal{T}}_{\star }}$, 此处

•	$(X,x_0)$ 中的对象是一个空间 $X\in \underline{\mathcal{T}}$ 和一个基点 $x_0\in X$ 且
•	映射是保持基点且连续的, 即将基点映至基点$${\mathrm{Hom}}_{\underline{{\mathcal{T}}_{\star }}}((X,x_0),(Y,y_0))=\mathrm{Map}((X,x_0),(Y,y_0)).$$

我们将记$${\mathrm{Map}}_{\star }(X,Y)=\mathrm{Map}((X,x_0),(Y,y_0))$$当基点没有显式地提及时, ${\mathrm{Map}}_{\star }(X,Y)$ 看作 $\underline{{\mathcal{T}}_{\star }}$ 中的对象, 其基点是从 $X$ 到 $Y$ 的基点的常映射.

下面的定理可由上述关于 $\underline{\mathcal{T}}$ 的定理类推得到.

定理 5.33. 范畴 $\underline{{\mathcal{T}}_{\star }}$ 完备且余完备. 设 $X,Y,Z\in \underline{{\mathcal{T}}_{\star }}$, 则

1.	赋值映射 ${\mathrm{Map}}_{\star }(X,Y)\wedge X\to Y$ 连续;
2.	复合映射 ${\mathrm{Map}}_{\star }(X,Y)\wedge {\mathrm{Map}}_{\star }(Y,Z)\to {\mathrm{Map}}_{\star }(X,Z)$ 连续;
3.	指数律成立, 即我们有同胚$${\mathrm{Map}}_{\star }(X\wedge Y,Z)\cong {\mathrm{Map}}_{\star }(X,{\mathrm{Map}}_{\star }(Y,Z)).$$

这里 $\wedge$ 是缩积$$X\wedge Y=\frac{X\times Y}{X\times \{y_0\}\cup \{x_0\}\times Y}.$$