2.1. fppf 映射

定义 2.1.0.1. 一个环态射 $A\to B$ 是有限表示的, 如果 $B$ 是有限生成的 $A$-代数, 并且$$A^m\to A^n\to B\to 0$$是正合序列.

定义 2.1.0.2. 一个概形态射 $f:X\to Y$ 是局部有限表示的, 如果对于所有的 $y\in Y$ 我们有一个 $y$ 的仿射开邻域 $U=\mathrm{Spec}A\subseteq Y$ 和一个仿射开覆盖 $f^{-1}(U)={\bigcup }_i{V}_i={\bigcup }_i\mathrm{Spec}{B}_i$, 使得 $A\to B_i$ 是有限表示的.

定义 2.1.0.3. 一个概形态射 $f:X\to Y$ 是忠实平坦的, 如果 $f$ 是平坦的和满射的.

定义 2.1.0.4. 一个概形态射 $f:X\to Y$ 是 fppf 的, 如果 $f$ 是忠实平坦的和局部有限表示的.

例 2.1.0.5. 考虑概形 $X$, 我们定义其 fppf 景如下: 其范畴是俯范畴 $\mathsf{Sch}/X$, 而 Grothendieck 拓扑为 $(Y_i\to Y{)}_i\in \mathrm{Cov}(Y)$ 当且仅当 $Y_i\to Y$ 为平坦的和局部有限表示的, 并且我们有满射 ${\coprod }_i{Y}_i\twoheadrightarrow Y$.

我们考虑 fppf 景的原因是在代数几何中的忠实平坦下降. 准确来说, 假设 P 是一个态射的性质, 然后考虑如下图表$$Y^{\prime }Y{X}^{\prime }X{f}^{\prime }ffppf$$那么很多情况下, $f$ 拥有性质 P 当且仅当 $f^{\prime }$ 拥有性质 P. 这被称之为忠实平坦下降.

一个我们十分熟悉的例子是, 如果 $X={\bigcup }_i{U}_i$ 是一个开覆盖, 那么 $f:Y\to X$ 有性质 P 当且仅当 $f{|}_{f^{-1}(U_i)}$ 拥有性质 P. 这是在 Zariski 拓扑下的忠实平坦下降.

定义 2.1.0.6. 一个 $R$-模 $M$ 被称之为:

1.	平坦的, 如果 $-{\otimes }_{R}M$ 是正合函子.
2.	忠实平坦的, 如果 $N^{\prime }\to N\to N^{\prime \prime }$ 是正合列当且仅当 $N^{\prime }\otimes M\to N\otimes M\to N^{\prime \prime }\otimes M$ 是正合列.

命题 2.1.0.7. 对于 $R$-模来说, 以下条件等价:

1.	$M$ 是平坦的, 并且对于所有 $N,N^{\prime }$, 我们有单射 ${\mathrm{Hom}}_R(N,N^{\prime })\hookrightarrow {\mathrm{Hom}}_R(N\otimes M,N^{\prime }\otimes M)$.
2.	$M$ 是平坦的, 并且对于所有 $N^{\prime }$, 由 $y\mapsto (y\mapsto y\otimes m)$ 给出的映射 $N^{\prime }\hookrightarrow \mathrm{Hom}(M,N^{\prime }\otimes M)$ 是单射.
3.	$M$ 是忠实平坦的.
4.	$N^{\prime }\to N$ 是单射当且仅当 $N^{\prime }\otimes M\to N\otimes M$ 是单射.
5.	$M$ 是平坦的, 并且 $N\otimes M=0$ 则 $N=0$.
6.	$M$ 是平坦的, 并且对于所有极大理想 $\mathfrak{m}\subseteq R$ 我们有 $M/\mathfrak{m}M\ne 0$.
7.	$M$ 是平坦的, 并且对于所有素理想 $\mathfrak{p}\subseteq R$ 我们有 $M/\mathfrak{p}M\ne 0$.

证明. 交换代数

$\square$

推论 2.1.0.8. $\mathrm{Spec}B\stackrel{f}{\to }\mathrm{Spec}A$ 是忠实平坦的当且仅当 $B$ 是忠实平坦的 $A$-模.

定理 2.1.0.9 (Chevalley). 如果 $f:X\to Y$ 是局部有限表示的, 那么如果 $U$ 是可构建的则 $f(U)$ 是可构建的. 特别地, 如果 $U$ 是开集, 那么 $f(U)$ 是可构建的.

定理 2.1.0.10. 如果 $f:X\to Y$ 是平坦的和局部有限表示的, 那么 $f$ 是开映射.

证明. 首先, 注意如果 $E\subseteq Y$ 是可构建集, 并且 $E$ 在普遍化下封闭, 换句话说, 如果 $y^{\prime }$ 的特殊化 $y$ 在 $E$ 中, 那么 $y^{\prime }$ 也在 $E$ 中. 那么 $E$ 是开集.

所以, 我们只需要证明对于开集 $U$, $f(U)$ 在普遍化下封闭, 那么 $f$ 就是一个开映射. 这显然是一个局部条件, 所以我们假设 $f:\mathrm{Spec}B\to \mathrm{Spec}A$. 假设 $y\in f(U),y^{\prime }\in \overline{\{y\}}$, 以及 $f(x)=y$. 我们需要找到 $x^{\prime }$ 使得 $x^{\prime }$ 特殊化到 $x$, 并且 $f(x^{\prime })=y^{\prime }$.

这意味着我们想要证明存在 $x^{\prime }$ 使得下图交换$$x{x}^{\prime }y{y}^{\prime }$$这意味着我们有 $\mathfrak{q}$ 对应 $x$, 使得其在对应 $y$ 的素理想 $\mathfrak{p}$ 之上, 我们还有 ${\mathfrak{p}}^{\prime }\subseteq \mathfrak{p}$, 其对应的是 $y^{\prime }$.

在局部化以后, 我们有$$B_{\mathfrak{q}}{A}_{\mathfrak{p}}{\mathfrak{p}}^{\prime }{A}_{\mathfrak{p}}flat\subseteq$$而我们想要找到一个 $B_{\mathfrak{q}}$ 中的素理想, 使得其在 ${\mathfrak{p}}^{\prime }{A}_{\mathfrak{p}}$ 之上. 这等价于我们想要 $\mathrm{Spec}{B}_{\mathfrak{q}}\stackrel{g}{\to }\mathrm{Spec}{A}_{\mathfrak{p}}$ 是满射. 但是, 因为 $g$ 是平坦的, $\mathrm{Spec}{A}_{\mathfrak{p}}$ 只有一个闭点, 并且 $g$ 在这个闭点上满射, 根据我们之前证明的命题中 (6) 和 (7) 的等价条件, $g$ 在所有点上满射.

$\square$

推论 2.1.0.11. 如果 $f:X\to Y$ 是 fppf 的, 并且 $U\subseteq Y$ 是拟紧致的开集. 那么存在开覆盖 $f^{-1}(U)={\bigcup }_j{V}_j$ 使得 $V_j$ 是拟紧致的, 并且 $f(V_j)=U$.

定义 2.1.0.12. 对于一个概形态射的性质 P, 我们把 P 称之为在 fppf 拓扑的基上局部, 如果对于所有的笛卡尔图表 (或者说拉回图表)$$X^{\prime }X{S}^{\prime }S{f}^{\prime }\square ffppf$$我们有 $f^{\prime }$ 拥有性质 P 则 $f$ 拥有性质 P.

定理 2.1.0.13. 下述所有性质都在 fppf 拓扑的基上局部: 满射, 局部有限型, 局部有限表示, 有限型, 有限表示, 泛闭, 泛开, 分离的, 紧合, 非分歧, 光滑, 平展, 仿射, 同构, 开浸入, 闭浸入, 有限, 局部拟有限, 拟有限, 拟紧致, 拟分离, 泛单射, 泛同胚, 等等等等.

证明. 详情参见叠项目的条目 02YJ.

我们只证明一些性质.

泛闭: 我们需要证明在任意如下图表中$$X_{T}XTSf\forall$$$X_T\to T$ 是闭的. 对此, 考虑如下笛卡尔图表$$X_{T^{\prime }}^{\prime }{X}_T{X}^{\prime }X{T}^{\prime }T{S}^{\prime }S{g}^{\prime }g{f}^{\prime }f$$

不难看出, 在这一情况下, $f^{\prime }$ 是泛闭的则 $g^{\prime }$ 是闭的. 所以我们得到如下图表$$X_{T^{\prime }}^{\prime }{X}_T{T}^{\prime }T{\pi }^{\prime }{g}^{\prime }g\pi fppf$$我们想要证明 $g^{\prime }$ 在上图中是闭得. 特别地, 上图中 $\pi$ 是开映射.

所以, $\pi$ 是满射和开映射, 所以对于 $W\subseteq T$ 我们有 $W$ 是闭的当且仅当 ${\pi }^{-1}(W)$ 是闭的. 任取闭子集 $Z\subseteq X_T$, 如果想要证明 $g(Z)$ 是闭的, 我们只需要证明 ${\pi }^{-1}(g(Z))$ 是闭子集. 定义$$Z^{\prime }:=({\pi }^{\prime }{)}^{-1}(Z)=\{(t^{\prime },z):z\in Z,\pi (t^{\prime })=g(z)\}\}$$不难注意到 $Z^{\prime }$ 是闭的, 并且$$g^{\prime }(Z^{\prime })=\{t^{\prime }:\exists z\in Z,\pi (t^{\prime })=g(z)\}\}$$所以 $g^{\prime }(Z^{\prime })={\pi }^{-1}(g(Z))$. 因为 $g^{\prime }$ 是闭映射, 我们有 $g^{\prime }(Z^{\prime })$ 是闭子集, 所以性质泛闭在 fppf 拓扑的基上局部.

分离: 我们只需要证明对角线映射 ${\Delta }_{X/S}$ 是闭映射. 考虑图表$$X_{T}XTS$$我们得到另一个图表$$X_{T}X{X}_T{\times }_T{X}_{T}X{\times }_{S}XTS{\Delta }_{X_T/T}{\Delta }_{X/S}$$因为分离在基变换下稳定, ${\Delta }_{X/S}$ 是闭映射等价于 ${\Delta }_{X/S}$ 是泛闭. 所以, 我们有$$X^{\prime }X{X}^{\prime }{\times }_{S^{\prime }}{X}^{\prime }{X}_S\times X{S}^{\prime }S{\Delta }_{X^{\prime }/S^{\prime }}{\Delta }_{X/S}fppf$$其中最下面的箭头是 fppf 的, 所以因为 ${\Delta }_{X^{\prime }/S^{\prime }}$ 是泛闭的, 我们得到 ${\Delta }_{X/S}$ 是泛闭的.

局部有限型: 我们可以把其简化到局部的情况. 剩下的就是一些交换代数了. 准确来说, 我们有$$\mathrm{Spec}{B}^{\prime }\mathrm{Spec}B\mathrm{Spec}{A}^{\prime }\mathrm{Spec}Afppf$$其中 $B^{\prime }$ 是有限生成 $A$-代数. 让 $y_i^{\prime }\in B^{\prime }$ 为生成元, 则因为 $B^{\prime }=A^{\prime }{\otimes }_{A}B$, 我们有 $y_i^{\prime }={\sum }_j{a}_{ij}^{\prime }\otimes x_{ij}$. 定义 $C\subseteq B$ 为 $x_{ij}$ 生成的 $A$-子代数, 则因为 $A\to A^{\prime }$ 是平坦的, 我们有$$C{\otimes }_A{A}^{\prime }\hookrightarrow B{\otimes }_A{A}^{\prime }=B^{\prime }$$所以 $C{\otimes }_A{A}^{\prime }=B^{\prime }$. 但是因为我们有忠实平坦, 所以 $C=B$.

拟紧致: 简单.

紧合: 紧合等价于泛闭+分离+局部有限型+拟紧致.

$\square$