良序定理

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1概要

设 $<$ 是集合 $s$ 上的全序关系, 如果对 $s$ 的任意非空子集都有 $<$ - 极小元, 则称 $<$ 为 $s$ 上的良序关系, $s$ 叫做由关系 $<$ 所良序的, $(s,<)$ 称为一个良序结构.

作为例子, 任意序数由其上的 $\in$ 关系所良序.

很多全序集都不是良序集, 比如整数集 $(\mathbb{Z},<)$, 但是如果改变一下次序, 或许就能将它们良序化, 例如令整数按$$0,1,\cdots ,n,\cdots ,-1,-2,\cdots ,-n,\cdots$$或$$0,1,-1,2,-2,\cdots ,n,-n,\cdots$$排序, 就将其化为了良序结构.

有些集合, 例如实数集 $\mathbb{R}$, 虽说一时构造不出其上的良序, 一些学者也认为它应该是可以良序化的. 1904 年, Zemelo 运用选择公理 (AC, axiom of choice), 在 ZF 系统下证明了下述良序定理:

定理 1.1. 任意集合都是可以良序化的.

事实上, ZF 下, 良序定理同样蕴涵选择公理, 即良序定理与 AC 等价.

2证明

证明之前, 先陈述 AC 的一个形式:

任意集合 $x$, 存在序数 $\alpha$ 及函数 $g$, 使对任意 $y\in x$ 都存在 $\beta \in \alpha$ 使 $g(\beta )=y$.