用户: Zhshr/笔记/Sobolev空间

1向量值空间

定理 1.1. 令 $X$ 是一个 Banach 空间, $u\in W^{1,p}((0,T);X)$ 其中 $1\le p\le \infty$. 那么

a)	$u\in C([0,T],X)$ (在改变 $u$ 在 $(0,T)$ 中一个零测集上的取值之后) . 以下我们假设 $u$ 是连续的.
b)	$u(t)=u(s)+{\int }_s^t{u}^{\prime }(\tau )d\tau$ 对所有的 $s,t\in [0,T]$ 成立.
c)	我们有估计$$\underset{0\le t\le T}{\max }||u(t)||\le C(T)||u|{|}_{W^{1,p}((0,T);X)}$$

证明. 将 $u$ 做零延拓到 $(0,T)$ 之外, 然后取 $u^{ϵ}=J_{ϵ}\ast u$. 和数值情况完全一样, 根据向量值积分的 Lebesgue 控制收敛定理我们有 $u^{ϵ}\in C^{\infty }(\mathbb{R};X)$ 以及, 以及根据弱导数定义有 $(u^{ϵ}{)}^{\prime }=J_{ϵ}\ast u^{\prime }$ 在 $(ϵ,T-ϵ)$ 上. 根据向量值积分的 Lebesgue 微分定理, 我们还有 $u^{ϵ}(t)\to u(t)$ 对于几乎处处的 $t\in \mathbb{R}$.

当 $ϵ\to 0$ 时$$\{\begin{array}{l}{u}^{ϵ}\to u在L^p((0,T);X)中\\ (u^{ϵ}{)}^{\prime }\to u在L_{loc}^p((0,T);X)中\end{array}$$由向量值积分的微积分基本定理, 固定 $s,t\in (0,T)$ 我们有$$u^{ϵ}(t)=u^{ϵ}(s)+{\int }_s^t(u^{ϵ}{)}^{\prime }(\tau )d\tau$$令 $ϵ$ 趋于 $0$ 我们就知道对于几乎处处的 $s,t\in (0,T)$ 有$$u(t)=u(s)+{\int }_s^t(u{)}^{\prime }(\tau )d\tau$$我们可以固定某个 $s\in (0,T)$ 且 $u^{ϵ}(s)\to u(s)$, 并且定义 $v\in C[(0,T);X]$ 使得$$v(t):=u(s)+{\int }_s^t(u{)}^{\prime }(\tau )d\tau$$这样 $u=v$ 几乎处处, 且关于 $s$ 在 $(0,t)$ 上积分以及 Bochner 关于积分的平凡估计我们就得到对于任意的 $t\in [0,T]$ $$||u(t)|{|}_X\le C(T)||u|{|}_{W^{1,p}((0,T);X)}$$

$\square$

定理 1.2 (Lions 的正则性定理). 假定 $U$ 是欧氏空间中的一个开集, $u\in L^2((0,T);H_0^1(U))$, 以及 $u^{\prime }\in L^2((0,T);H^{-1}(U))$. (注意这里的平凡嵌入 $H_0^1(U)\hookrightarrow L^2(U)\hookrightarrow H^{-1}(U)$) 我们有

a)	$u\in C([0,T],X)$ (在改变 $u$ 在 $(0,T)$ 中一个零测集上的取值之后) . 以下我们假设 $u$ 是连续的.
b)	映射$$t\mapsto ||u|{|}_{L^2(U)}^2$$是 $[0,T]$ 上的绝对连续函数. 并且$$\frac{d}{dt}||u(t)|{|}_{L^2(U)}^2=2<u^{\prime }(t),u(t)>$$对于几乎处处的 $t\in [0,T]$ 成立.
c)	进一步我们有估计 $$\underset{0\le t\le T}{\max }||u(t)|{|}_{L^2(U)}\le C(T)(||u|{|}_{L^2((0,T);H_0^1(U))}+||u^{\prime }|{|}_{L^2((0,T);H^{-1}(U))})$$

证明. 我们取阶段函数 $\mathcal{X}$ 是光滑, 在 $[-\infty ,T/3]$ 上恒为 $1$, 且在 $[2T/3,\infty ]$ 上为 $0$ 的截断函数. 我们取 $u^{ϵ}=J_{ϵ}(\cdot +2ϵ)\ast \mathcal{X}u+J_{ϵ}(\cdot -2ϵ)\ast (1-\mathcal{X})u$. 简单的计算我们知道在 $(-ϵ,T+ϵ)$ 上$$(u^{ϵ}{)}^{\prime }=J_{ϵ}(\cdot +ϵ)\ast (\mathcal{X}u{)}^{\prime }+J_{ϵ}(\cdot -ϵ)\ast [(1-\mathcal{X})u{]}^{\prime }$$

当 $ϵ\to 0$ 时$$\{\begin{array}{l}{u}^{ϵ}\to u在L^2((0,T);H_0^1(U))中\\ u^{ϵ}(t)\to u(t)对于几乎处处的t\in (0,1)\\ (u^{ϵ}{)}^{\prime }\to u在L^2((0,T);H^{-1}(U))中\end{array}$$

根据导数的定义计算得对于任意的 $t\in \mathbb{R}$ (注意这里 $u^{ϵ}$ 是光滑的) $$\frac{d}{dt}||u^{ϵ}(t)|{|}_{L^2(U)}^2=2<(u^{ϵ}{)}^{\prime }(t),u^{ϵ}(t)>$$于是对于任意得 $ϵ,\delta >0$, 以及 $t,s\in \mathbb{R}$ $$||u^{ϵ}(t)-u^{\delta }(t)|{|}_{L^2(U)}^2=||u^{ϵ}(s)-u^{\delta }(s)|{|}_{L^2(U)}^2+{\int }_s^{t}2<(u^{ϵ}{)}^{\prime }(\tau )-(u^{\delta }{)}^{\prime }(\tau ),u^{ϵ}(\tau )-u^{\delta }(\tau ))>d\tau$$固定某个 $s\in (0,t)$ 使得 $u^{ϵ}(s)\to u(s)$, 我们有对于任意的 $t\in [0,T]$, $$||u^{ϵ}(t)-u^{\delta }(t)|{|}_{L^2(U)}^2\le ||u^{ϵ}(s)-u^{\delta }(s)|{|}_{L^2(U)}^2+C(T)(||(u^{ϵ}{)}^{\prime }-(u^{\delta }{)}^{\prime }|{|}_{L^2((0,T);H^{-1}(U))}+||u^{ϵ}-u^{\delta }|{|}_{L^2((0,T);H_0^1(U))})$$故 $u^{ϵ}$ 在 $C([0,T],L^2(U))$ 中是柯西列, 它收敛到某个 $v\in C([0,T],L^2(U))$ 并且 $v=u$ 几乎处处 (这里相等是在 $H^{-1}(U)$ 中) . 我们不妨设 $u=v$.

把上面的 $u^{ϵ}-u^{\delta }$ 改成 $u^{ϵ}$, 我们就得到对于任意的 $s,t\in [0,T]$ $$||u(t)|{|}_{L^2(U)}^2=||u(s)|{|}_{L^2(U)}^2+{\int }_s^{t}2<u^{\prime }(\tau ),u(\tau )>d\tau$$由实分析我们知道 b) 成立. 以及有如下估计$$\underset{0\le t\le T}{\max }||u(t)|{|}_{L^2(U)}\le C(T)(||u|{|}_{L^2((0,T);H_0^1(U))}+||u^{\prime }|{|}_{L^2((0,T);H^{-1}(U))})$$

$\square$