用户: Zhshr/笔记/二阶非散度形式椭圆方程

在这一章中我们主要考虑二阶非散度形式的椭圆方程, 即在 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个非空开集 $\Omega$ 上有一个二阶微分算子

$$\mathcal{L}u:=-\sum _{i,j}{a}^{ij}(x)u_{x_i{x}_j}+\sum _i{b}^i(x)u_{x_i}+c(x)u$$满足椭圆性条件$$\begin{gathered} 对于任意x\in \Omega ，存在\lambda (x)>0使得 \\ \sum _{ij}{a}^{ij}(x){\xi }_i{\xi }_j\ge \lambda (x)|\xi {|}^2\forall \xi \in {\mathbb{R}}^n \end{gathered}$$(4.1)我们主要考虑这个方程的经典解, 即 $u\in C^2(\Omega )$ 使得 $\mathcal{L}u=f$ 点点.

1最大模估计

定理 1.1 (弱极值原理). 令 $\Omega \in {\mathbb{R}}^n$ 为有界开集, $\mathcal{L}$ 为 $\Omega$ 上的二阶微分算子满足 (4.1), $u\in C^2(\Omega )\cap C(\bar{\Omega })$ 那么当 $\mathcal{L}$ 的系数满足以下两个条件之一时

(a)$\frac{b(x)}{\lambda (x)}$ 是有界的, 并且 $c(x)\ge 0$.

(b) $c(x)>0$.

则我们有如下的弱极值原理

(1) 若有 $\mathcal{L}u\le 0$, 那么 $\underset{\bar{\Omega }}{\max }u\le \underset{\partial \Omega }{\max }{u}^{+}$.

(2) 若有 $\mathcal{L}u\ge 0$, 那么 $\underset{\bar{\Omega }}{\min }u\ge \underset{\partial \Omega }{\min }{u}^{-}$.

证明. 考虑辅助函数 $u_{ϵ}:=u+ϵ\exp (\alpha x_1)$, 当 $\alpha$ 足够大时, $L{u}_{ϵ}<0$, 然后利用内部取到极值时梯度为 $0$, 海森矩阵半正定 (负定) , 得到极值在边界上取到. 最后令 $ϵ\to 0$ 得证.

$\square$

如果要得到强极值原理 (即如果 $u$ 在 $\Omega$ 内取到极值, 则 $u$ 为常数) , 我们需要下面著名的 Hopf 边界点引理

引理 1.2 (Hopf 边界点引理). $\Omega =B(x_0,r)$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个开球, $\mathcal{L}$ 为 $\Omega$ 上的二阶微分算子满足 (4.1), $u\in C^2(\Omega )$, 在 $\Omega$ 上 $\mathcal{L}u\le 0$, $y_0\in \partial \Omega$. 如果 $\mathcal{L}$ 还满足$$\begin{gathered} \frac{a^{ij}(x)}{\lambda (x)},\frac{b^i(x)}{\lambda (x)},\frac{c(x)}{\lambda (x)} \\ c(x)\ge 0 \end{gathered}$$(4.4) 并且 $u(y_0)>u(x)$ 对于任意的 $x\in \Omega$. 则对于 $y_0$ 处的向量 $v$, 且 $v$ 与 $y_0$ 处外法向量 $\vec{n}$ 夹角小于 $\pi /2$, 我们有$$\lim \underset{t\to 0^{-}}{\inf }\frac{u(y_0)-u(y_0+tv)}{|t|}>0$$

证明. 考虑辅助函数 $w(x)=exp(\theta (r^2-|x-x_0{|}^2))-1$, 那么当 $\theta$ 足够大时, 经过计算有 $Lw<0$ 在 $\tilde{\Omega }=B(x_0,r)-\overline{B(x_0,r/2)}$ 上, 并且 $\frac{\partial w}{\partial v}{|}_{y_0}<0,w(y_0)=0$. 然后取 $u+ϵw$, 在 $\tilde{\Omega }$ 上使用弱极值原理, 可以找到 $ϵ$ 足够小让 $u+ϵw\le u(y_0)$, 于是上面那个下极限大于等于 $-ϵ\frac{\partial w}{\partial v}{|}_{y_0}>0$, 搞定.

$\square$

对于一般的区域 $\Omega$, 如果我们想要用球上的引理, 我们需要所谓的边界球条件, 即

定义 1.3. 我们称 $\Omega$ 在 $y_0\in \partial \Omega$ 上满足边界球条件, 如果能找到某个球 $B(x_0,r)\subset \Omega$, 并且 $\overline{B(x_0,r)}\cap \Omega =\{y_0\}$.

我们有如下的定理来对于边界 $C^2$ 的区域找到边界球

命题 1.4.

(a) 对于 $x_0,y_0\in {\mathbb{R}}^n$, 并且 $y_0\in \partial B(x_0,r)$, 则对于 $y_0$ 到 $x_0$ 线段上的任意一点 $z_0$, 以 $z_0$ 为圆心, $z_0$ 到 $y_0$ 的距离画一个圆, 则这个圆在 $B(x_0,r)$ 内部.

(b) 如果 $\Omega \in {\mathbb{R}}^n$ 是一个边界 $C^2$ 的开集, 那么 $\Omega$ 上任一点 $y_0$ 满足边界球条件, 且这个球的外法向量等于 $\partial \Omega$ 的外法向量.

证明.

(a) 这也要证?

(b) $\partial \Omega$ 局部上是一个 $C^2$ 函数 $f$ 的图像, 对于 $y_0\in \partial \Omega$, 我们沿着 $y_0$ 处的内法向量走小小的一段在那里放一个球, 把 (b) 的条件用表达式写出来, 利用 $f$ 的泰勒展开 (会出来一个 $Df$ 和法向量有关) 会发现你走的的一段够小就能满足.

$\square$

定理 1.5 (强极值原理). 如果 $\Omega \in {\mathbb{R}}^n$ 是连通开集 $\mathcal{L}$ 为 $\Omega$ 上的二阶微分算子满足 (4.1) 和 (4.4), $u\in C^2(\Omega )$, 在 $\Omega$ 上 $\mathcal{L}u\le 0$. 如果有$$\mathcal{L}u\le 0，并且存在x_0\in \Omega ，0\le u(x_0)=\underset{\Omega }{\sup }u$$或者$$\mathcal{L}u\ge 0，并且存在x_0\in \Omega ，0\ge u(x_0)=\underset{\Omega }{\inf }u$$则 $u$ 在 $\Omega$ 内为常数.

证明. 反证法. 考虑 $M=\{x\in \Omega :u(x)=u(x_0)\}$, 这是 $\Omega$ 内部一个非空非满的闭集, 由 $\Omega$ 连通, 我们知道 $\Omega -M$ 在 $\Omega$ 内不是闭集. 由定义我们知道存在 $B(x_0,r)\subset \overline{B(x_0,r)}$, 以及 $y_0\in \partial M\cap \Omega -M$, 由 Hopf 边界点引理则沿着外法向量导数严格大于 $0$, 这与 $y_0$ 是极值点矛盾.

$\square$

推论 1.6. 如果 $\Omega \in {\mathbb{R}}^n$ 是有界连通边界 $C^2$ 的开集, $\mathcal{L}$ 为 $\Omega$ 上的二阶微分算子满足 (4.1) 和 (4.4), $u\in C^2(\Omega )\cap C^1(\bar{\Omega }),\alpha (x)\ge 0$. 满足

$$\{\begin{array}{l}Lu\le 0in\Omega \\ \frac{\partial u}{\partial \vec{n}}+\alpha (x)u(x)\le 0on\partial \Omega \end{array}$$那么要么 $u\le 0$, 要么 $u$ 在 $\Omega$ 上为常数. 特别的, 满足 (4.1) 和 (4.4) 的椭圆方程混合边值问题的经典解在差一个常数的意义下是唯一的.

证明. 考虑 $u$ 在 $\bar{\Omega }$ 上的最大值, 要么在 $\Omega$ 内取到, 根据强极值原理或者 Hopf 边界点引理以及命题 1.4. 得证.

$\square$

定理 1.7 (最大模估计). 令 $\Omega \in {\mathbb{R}}^n$ 为有界开集, $\mathcal{L}$ 为 $\Omega$ 上的二阶微分算子满足 (4.1), $u\in C^2(\Omega )\cap C(\bar{\Omega })$, 并且 $c(x)\ge 0,\frac{b_i(x)}{\lambda (x)}$ 有界, $\mathcal{L}u\le f$, 则存在常数 $C$ 只和 $\Omega$ 的直径和 $\sup \frac{|b_i|}{\lambda }$ 有关使得$$\underset{\Omega }{\sup }u\le \underset{\partial \Omega }{\sup }{u}^{+}+C\underset{\Omega }{\sup }\frac{|f^{+}(x)|}{\lambda (x)}$$特别的我们就得到了 $\mathcal{L}u=f$ 时 $u$ 的最大模估计.

证明. 假定 $\Omega$ 内 $x_1$ 都在 $0$ 和某个 $d>0$ 之间, 以及辅助函数$$v:=\underset{\partial \Omega }{\sup }{u}^{+}+(\exp (\alpha d)-\exp (\alpha x_1))\underset{\Omega }{\sup }\frac{|f^{+}(x)|}{\lambda (x)}$$然后 $u-v\le 0$ 在 $\partial \Omega$ 上, 并且 $\mathcal{L}(u-v)\le 0$ 当 $\alpha$ 足够大时, 由弱极值原理得证.

$\square$

2Hölder 估计

命题 2.1. 设 $f\in C_0^{\alpha }({\mathbb{R}}^n)$, 其中 $0<\alpha \le 1$, $\varphi$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 上的基本解, 即$$\varphi (x)=\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2\pi }\log |x|n=2时\\ \frac{|x{|}^{2-n}}{(2-n)|{\mathbb{S}}^{n-1}|}n\ge 3时\end{array}$$那么 $w=\varphi \ast f$ 有 Hölder 估计$$||w|{|}_{C^{2,\alpha }({\mathbb{R}}^n)}\le C(n)||f|{|}_{C^{\alpha }({\mathbb{R}}^n)}$$

证明. $\forall \rho >0$ 我们取$${\varphi }_{\rho }(x)=\{\begin{array}{l}\varphi (x)|x|>\rho \\ 1/2a|x{|}^2+bx\end{array}$$取 $a,b$ 使得 ${\varphi }_{\rho }\in C^1({\mathbb{R}}^n)$, (差不多是 $a=C_1{\rho }^{-n},b=C_2{\rho }^{2-n}$. ) 简单计算有 ${\varphi }_{\rho }\in C^{1,1}({\mathbb{R}}^n)$, 以及 $u_{\rho }={\varphi }_{\rho }\ast f\rightrightarrows w$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上当 $\rho \to 0$ 时. 同时, 我们有$$\{\begin{array}{l}{\varphi }_{\rho }(x)\le C(n)|x{|}^{2-n}\\ D{\varphi }_{\rho }(x)\le C(n)|x{|}^{1-n}\\ D^2{\varphi }_{\rho }(x)\le C(n)|x{|}^{-n}\end{array}$$

断言: 我们只需要证明 $u_{\rho }$ 的二阶导数的 Hölder 范数被 $f$ 的 Hölder 范数一致控制. 即对于任意的 $x_0,y_0\in {\mathbb{R}}^n$ 和任意的 $\rho >0$, 我们有$$\begin{gathered} |D^2{u}_{\rho }(x_0)|\le C(n)||f|{|}_{C^{\alpha }({\mathbb{R}}^{\mathbb{n}})} \\ |D^2{u}_{\rho }(x_0)-D^2{u}_{\rho }(y_0)|\le C(n)||f|{|}_{C^{\alpha }({\mathbb{R}}^{\mathbb{n}})}|x_0-y_0{|}^{\alpha } \end{gathered}$$事实上, 取一串上升紧集 $K_n$ 穷竭 ${\mathbb{R}}^n$, 在 $K_n$ 上根据 Arzela-Ascoli 定理我们选取一串 $D^2{u}_{\rho }$ 一致收敛的子列, 根据 Cantor 对角线选取我们得到一个子列 $u_{\rho }\to w_2$ 在 $C({\mathbb{R}}^n)$ 中 (标准的 Frechet 空间拓扑) , 然后对于 $D{u}_{\rho }$ 由于二阶导数有一致控制在每个固定的紧集上根据中值定理它们是等度连续的, 然后同样的方法可以得到一串子列 $D{u}_{\rho }\to w_1$ 在 $C({\mathbb{R}}^n)$ 中. 根据标准的 newton-Lebniz 公式方法我们知道 $Dw=w_1,D^{2}w=w_2$. 由此我们就得到了 $||w|{|}_{C^{2,\alpha }({\mathbb{R}}^n)}\le C(n)||f|{|}_{C^{\alpha }({\mathbb{R}}^n)}$

接下来我们证明这个断言. 首先由于 ${\varphi }_{\rho }$ 是 $C^{1,1}$ 的我们复刻那个求导数和积分可以交换的证明可以得到 ${\partial }_{ij}{u}_{\rho }={\partial }_{ij}{\varphi }_{\rho }\ast w$ , 然后取 $\eta \in C_0^{\infty }(B(0,1))$ 是标准的截断函数, 将上面那个卷积根据 $\varphi$ 接近 $0$ 时的奇性分成两段$$\begin{array}{rl}{I}_1& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\partial }_{ij}{\varphi }_{\rho }(x_0-y)[f(y)-f(x_0)\eta (y-x_0)]dy\\ I_2& =f(x_0){\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\partial }_{ij}{\varphi }_{\rho }(x_0-y)\eta (y-x_0)]dy\end{array}$$$I_2$ 我们通过分部积分把求导扔到 $\eta$ 上大概就是一个 $f(x_0)$ 乘上 ${\varphi }_{\rho }$ 在 $B(0,2)$ 上积分, 这个东西的 Hölder 范数肯定能被 f 的 Hölder. 数一致控制.

对于 $I_1$, 我们令 $g_{x_0}(y)=f(y)-f(x_0)\eta (y-x_0)$, 然后注意到 $|y-x_0|\le 1/2$ 时它是 $f(y)-f(x_0)$, 可以得到估计 $|g_{x_0}(y)|\le C(n)|y-x_0{|}^{\alpha }||f|{|}_{C^{\alpha }({\mathbb{R}}^n)}$, 然后我们就有$$|I_1|\le C(n)||f|{|}_{C^{\alpha }({\mathbb{R}}^n)}{\int }_{B(x_0,R)}|y-x_0{|}^{\alpha -n}dy$$是可积的. 这样就得到了 $D^2{u}_{\rho }$ 的最大模估计.

同时我们有$$\begin{array}{rl}& |I_1(x_0)-I_1(y_0)|\\ =& |{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\partial }_{ij}{\varphi }_{\rho }(x_0-y)g_{x_0}(y)dy-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{\partial }_{ij}{\varphi }_{\rho }(y_0-y)g_{y_0}(y)dy|\\ \le & {\int }_{{\mathbb{R}}^n}|{\partial }_{ij}{\varphi }_{\rho }(x_0-y)||g_{x_0}(y)-g_{y_0}(y_0+y-x_0)|dy\end{array}$$和前面类似的做法有$$|g_{x_0}(y)-g_{y_0}(y_0+y-x_0)|\le C(n)|y-x_0{|}^{\alpha }||f|{|}_{C^{\alpha }({\mathbb{R}}^n)}$$代回积分就得到断言中所需要的估计.

$\square$

命题 2.2. 设 $f\in C_0^{\alpha }({\mathbb{R}}^n)$, 其中 $0<\alpha \le 1$, $\varphi$ 为 ${\mathbb{R}}^n$ 上的基本解. 那么定义上半空间 ${\mathbb{R}}_{+}^n$ 的牛顿势为对于 $x\in {\mathbb{R}}_{+}^n$ $$w(x)={\int }_{y\in {\mathbb{R}}_{+}^n}\varphi (x-y)f(y)dy$$那么 $w$ 有 Hölder 估计$$||w|{|}_{C^{2,\alpha }({\mathbb{R}}^n)}\le C(n)||f|{|}_{C^{\alpha }({\mathbb{R}}^n)}$$

证明. 和全空间的证明完全一样的取 ${\varphi }_{\rho }$ 和 $u_{\rho }$. 我们只需要证明对于任意 $1\le i,j\le n$ 不都等于 n $$\{\begin{array}{l}|{\partial }_{ij}{u}_{\rho }(x_0)|\le C(n)||f|{|}_{C^{\alpha }({\mathbb{R}}^{\mathbb{n}})}\\ |{\partial }_{ij}{u}_{\rho }(x_0)-{\partial }_{ij}{u}_{\rho }(y_0)|\le C(n)||f|{|}_{C^{\alpha }({\mathbb{R}}^{\mathbb{n}})}|x_0-y_0{|}^{\alpha }\\ |D{u}_{\rho }(x_0)-D{u}_{\rho }(y_0)|\le C(n)||f|{|}_{C^{\alpha }({\mathbb{R}}^{\mathbb{n}})}|x_0-y_0{|}^{\alpha }\end{array}$$这是因为根据于前面相同的做法我们得到了 $w$ 除了 $w_{x_n{x}_n}$ 的二阶导数 Hölder 估计, 但是我们知道 $\Delta w=f$, 根据其它的项就可以得到 $w_{x_n{x}_n}$ 的 Hölder 估计.

我们需要估计这四个积分的 Hölder 模, 其中 $i$ 和 $j$ 不都是 $n$. $$\begin{array}{rl}{I}_1(x_0)& ={\int }_{{\mathbb{R}}_{+}^n}{\partial }_{ij}{\varphi }_{\rho }(x_0-y)[f(y)-f(x_0)\eta (y-x_0)]dy\\ I_2(x_0)& =f(x_0){\int }_{{\mathbb{R}}_{+}^n}{\partial }_{ij}{\varphi }_{\rho }(x_0-y)\eta (y-x_0)]dy\\ I_3(x_0)& ={\int }_{{\mathbb{R}}_{+}^n}{\partial }_i{\varphi }_{\rho }(x_0-y)[f(y)-f(x_0)\eta (y-x_0)]dy\\ I_4(x_0)& =f(x_0){\int }_{{\mathbb{R}}_{+}^n}{\partial }_i{\varphi }_{\rho }(x_0-y)\eta (y-x_0)]dy\end{array}$$

我们先来估计 $I_1$. 这里和全空间情况不一样的是我们在计算 $|I_1(x_0)-I_1(y_0)|$ 的时候用到了换元积分公式, 但在这里是半空间会多出来一些东西. $$\begin{array}{rl}& |I_1(x_0)-I_1(y_0)|\\ =& |{\int }_{{\mathbb{R}}_{+}^n}{\partial }_{ij}{\varphi }_{\rho }(x_0-y)g_{x_0}(y)dy-{\int }_{{\mathbb{R}}_{+}^n}{\partial }_{ij}{\varphi }_{\rho }(y_0-y)g_{y_0}(y)dy|\\ \le & {\int }_{{\mathbb{R}}_{+}^n}|{\partial }_{ij}{\varphi }_{\rho }(x_0-y)||g_{x_0}(y)-g_{y_0}(y_0+y-x_0)|dy+{\int }_{x_0^n-y_0^n}^0{\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}|{\partial }_{ij}{\varphi }_{\rho }(x_0-y)||g_{y_0}(y_0+y-x_0)|\end{array}$$第一项积分和全空间是一样的. 第二项用估计 $|g_{y_0}(y_0+y-x_0)|\le C(n)|y-x_0{|}^{\alpha }||f|{|}_{C^{\alpha }({\mathbb{R}}^n)}$ 代入我们差不多是要估计$${\int }_0^{|x_0^n-y_0^n|}{\int }_{y^{\prime }\in B_{{\mathbb{R}}^{n-1}}(0,R)}|x_0-y{|}^{-n+\alpha }d{y}^{\prime }d{y}^n$$注意到 $|x_0-y{|}^{-n+\alpha }=|x_0^n-y^n{|}^{-n+\alpha }|(x_0^{\prime }-y^{\prime },1){|}^{-n+\alpha }$, 然后换元积分公式就得到这个积分小于等于 $C(n)|x_0-y_0{|}^{\alpha }$.

然后我们再来估计 $I_2$, 我们用分部积分把求导数干到 $\eta$ 上, 我们得到两项, 一项和 $I_4$ 类似差的只是 $\eta$ 和 $\eta$ 的导数. 还有一项是$${\int }_{{\mathbb{R}}^{n-1}}{\partial }_i{\varphi }_{\rho }(x_0-(y^{\prime },0))\eta ((y^{\prime },0)-x_0)d{y}^{\prime }$$这里因为假定了 $i$ 和 $j$ 不同时为 $n$ 所以 $i\ne n$. 这样再搞一次分部积分估计是平凡的. $I_3$ 和 $I_4$ 的估计也是差不多的.

$\square$

定理 2.3. 对于 $\Omega \in {\mathbb{R}}^n$ 有界开, 边界是 $C^1$ 的, 则对于任意的有界集 $\tilde{\Omega }\supset \Omega$ 存在一个连续的延拓线性映射$$T:C^{\alpha }(\Omega )\to C_0^{\alpha }(\tilde{\Omega })$$

证明. 类似 Sobolev 延拓定理的证明.

$\square$

命题 2.4. 对于 $\Omega \in {\mathbb{R}}^n$ 有界开, 边界是 $C^1$ 的, $f\in C^{\alpha }(\Omega )$, 定义$$w(x)={\int }_{\Omega }\varphi (x-y)f(y)dy$$则对于任意 $ϵ>0$ 有 $u\in C^{2,\alpha }({\Omega }_{ϵ})$, 且$$||u|{|}_{C^{2,\alpha }({\Omega }_{ϵ})}\le C(n,ϵ,\Omega )||f|{|}_{C^{\alpha }(\Omega )}$$

证明. 根据前面的延拓定理将 $f$ 延拓到 $C_0^{\alpha }({\mathbb{R}}^n)$ 上. 然后 $w$ 分成两段$$w(x)=\varphi \ast f-{\int }_{{\mathbb{R}}^n-\Omega }\varphi (x-y)f(y)$$第一个积分在命题 2.1 中已经搞定里, 第二个积分因为 $x$ 到 $\partial \Omega$ 距离大于等于 $ϵ$ 没有奇性直接嗯求导就搞定.

$\square$

命题 2.5 (Poisson 方程的局部 Hölder 估计). 设 $\Omega \in {\mathbb{R}}^n$ 开集, $u\in C^2(\Omega )$ 使得 $-\Delta u=f\in C^{\alpha }(\bar{\Omega })$. 那么对于任意的 ${\Omega }_1\subset \subset {\Omega }_2\subset \subset \Omega$, 我们有$$||u|{|}_{C^{2,\alpha }({\Omega }_1)}\le C(n,{\Omega }_1,{\Omega }_2)(||f|{|}_{C^{\alpha }({\Omega }_2)}+||u|{|}_{L^{\infty }({\Omega }_2)})$$

证明. 取 $w$ 为命题 2.3 中所示, 则 $-\Delta w=f$, 并且 $u-w$ 在 $\Omega$ 中为调和函数. 由经典的调和函数导数估计 ($k$ 阶导数在球内的最大值小于等于 $r^{-k}$ 乘以 $u$ 的无穷范数, 详见 Evans 的第二章, 然后用半径为 $dist({\Omega }_1,\partial {\Omega }_2)$ 的球把 ${\Omega }_1$ 盖住) , 我们知道$$||u-w|{|}_{C^{2,\alpha }({\Omega }_1)}\le C(n,{\Omega }_1,{\Omega }_2)||u-w|{|}_{L^{\infty }({\Omega }_2)}$$再根据命题 2.3 得到结论.

$\square$

为了得到整个区域的 Hölder 估计, 我们必须考虑边界. 我们先考虑半球的情况

引理 2.6. 如果 $u\in C^2(B^{+}(0,1))\cup C(B^{+}(0,1)\cap \partial {\mathbb{R}}_{+}^n)$ 是在 $B^{+}(0,1)$ 上的调和函数, 并且 $u{|}_{B^{+}(0,1)\cap \partial {\mathbb{R}}_{+}^n}=0$, 那么 $u$ 可以被延拓成 $B(0,1)$ 上的调和函数.

证明. 定义$$\tilde{u}(x^{\prime },x_n)=\{\begin{array}{l}u(x^{\prime },x_n)x_n\ge 0\\ -u(x^{\prime },x_n)x_n<0\end{array}$$这样 $\tilde{u}$ 在上半球和下半球是调和的. 为了记号的简便下面我们用 $u$ 代替 $\tilde{u}$. 而对于任意 $x\in \partial {\mathbb{R}}_{+}^n$, 我们能找到一个以 $x$ 为圆心的闭球 $B(x,r)$ 在 $B(0,1)$ 中, 然后以球面上的值为初始值, 根据球上调和函数的泊松积分公式得到球里的一个调和函数 $v$, 并且 $v-u{|}_{\partial {\mathbb{R}}_{+}^n}=0$ 而 $u-v$ 在 $B^{+}(x,r)$ 中调和, 在边界为 0, 故 $u=v$. 同理在 $B^{-}(x,r)$ 有 $u=v$.

$\square$

命题 2.7. 对于 $f\in C^{\alpha }(B^{+}(0,1))$, $u\in C^2(B^{+}(0,1))\cup C(B^{+}(0,1)\cap \partial {\mathbb{R}}_{+}^n)$ 有 $-\Delta u=f$, 并且 $u{|}_{B^{+}(0,1)\cap \partial {\mathbb{R}}_{+}^n}=0$ 则我们有估计$$||u|{|}_{C^{2,\alpha }(B^{+}(0,1/2))}\le C(n)(||f|{|}_{C^{\alpha }(B^{+}(0,1))}+||u|{|}_{L^{\infty }(B^{+}(0,1))})$$

证明. 首先我们定义 $f(x^{\prime },x_n):=2f(x^{\prime },-x_n)-f(x^{\prime },0)$ 对于 $(x,-x_n)\in B^{+}(0,1)$, 这样 $f\in B(0,1)$, 再根据 Hölder 函数的扩张定理我们可以不妨假定 $f\in C_0^{\alpha }({\mathbb{R}}^n)$ 以及 $f$ 是关于 $\partial {\mathbb{R}}_{+}^n$ 对称的. 根据半空间的格林函数, 我们定义$$\begin{array}{rl}w(x)& ={\int }_{y\in {\mathbb{R}}_{+}^n}(\varphi (x-y)-\varphi (x-\tilde{y}))f(y)dy\\ & =2{\int }_{y\in {\mathbb{R}}_{+}^n}\varphi (x-y)f(y)dy-{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\varphi (x-y)f(y)dy\end{array}$$根据全空间和半空间的 Hölder 估计2.1和2.2我们知道$$||w|{|}_{C^{2,\alpha }(B^{+}(0,1))}\le C(n)||f|{|}_{C^{\alpha }(B^{+}(0,1))}$$然后对 $u-w$ 用调和函数的反射定理和标准的用最大模控制导数模的方法我们就得到$$||u-w|{|}_{C^{2,\alpha }(B^{+}(0,1/2))}\le C(n)||u-w|{|}_{L^{\infty }(B(0,1))}$$于是命题得证.

引理 2.8. 考虑 ${\Omega }_1$ 和 ${\Omega }_2$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中两个开集, 且 $\Phi :{\Omega }_1\to {\Omega }_2$ 是 $C^{k,\alpha }$ 的且 $||\Phi |{|}_{C^{k,\alpha }(\overline{{\Omega }_1})}<\infty$. 那么当 $k\ge 1$ 时, 有拉回 ${\Phi }^{\ast }:C^{k,\alpha }(\overline{{\Omega }_2})\to C^{k,\alpha }(\overline{{\Omega }_1})$ 是连续的线性映射. 当 $k=0$ 时, ${\Phi }^{\ast }:C^{k,\alpha }(\overline{{\Omega }_2})\to C^{k,{\alpha }^2}(\overline{{\Omega }_1})$ 是连续的. 特别的, 当 $k\ge 1$ 且 $\Phi$ 为双射且 ${\Phi }^{-1}$ 也是 $C^{k,\alpha }(\overline{{\Omega }_2})$ 时, ${\Phi }^{\ast }$ 是一个线性同构.

证明. 复合函数求导.

$\square$

接下来我们比较一般的只有二阶常系数的椭圆方程, 即 $A=a_{i,j}$ 是一个正交矩阵, $b$ 和 $c$ 都是 $0$ 的情况. 泊松方程对应的就是 $A=I_n$.

命题 2.9. 设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 有界开, $A=\{a^{ij}{\}}_{1\le i,j\le n}$ 是一个实的正定对称矩阵. $u\in C^2(\Omega )$ 满足$$-\sum _{ij}{a}^{ij}{u}_{x_i{x}_j}=f\in C^{\alpha }(\Omega )$$在 $\Omega$ 中.

•	a) 对于任意的 ${\Omega }_1\subset \subset {\Omega }_2\subset \subset \Omega$, 有$$||u|{|}_{C^{2,\alpha }(\overline{{\Omega }_1})}\le C(n,{\Omega }_1,{\Omega }_2)||f|{|}_{C^{\alpha }(\overline{{\Omega }_2})}$$
•	b) 当 $\Omega =B^{+}(0,r)$ 时, 有$$||u|{|}_{C^{2,\alpha }(\overline{B^{+}(0,r/2)})}\le C(n)||f|{|}_{C^{\alpha }(\overline{B^{+}(0,r)})}$$

证明. 由线性代数, 存在正交矩阵 $Q$ 和 $n$ 个正实数 ${\lambda }_1\cdots {\lambda }_n$ 使得使得 $QA{Q}^T=diag({\lambda }_1\cdots {\lambda }_n)$, 那么取 $y=Qx$, 定义 $\tilde{u}:=u\circ Q^{-1}$ $$-\sum _i{\lambda }_i{\tilde{u}}_{y_i{y}_i}=f\circ Q^{-1}$$在 $Q(\Omega )$ 中. 在 $Q(\Omega )$ 中定义 $w(y_1\cdots y_n):=v(y_1/\sqrt{{\lambda }_1}\cdots (y_{/}\sqrt{{\lambda }_1})$

$\square$