用户: Zhshr/笔记/二阶散度形式椭圆方程

在这一章中我们主要考虑二阶非散度形式的椭圆方程, 即在 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个非空开集 $\Omega$ 上有一个二阶微分算子

$$\mathcal{L}u:=-\sum _i(\sum _j{a}^{ij}(x)u_{x_j}+d^i(x)u{)}_{x_i}+\sum _i{b}^i(x)u_{x_i}+c(x)u$$满足一致椭圆性条件$$\begin{gathered} 存在\lambda >0，使得对于任意x\in \Omega ，有 \\ \sum _{ij}{a}^{ij}(x){\xi }_i{\xi }_j\ge \lambda |\xi {|}^2\forall \xi \in {\mathbb{R}}^n \end{gathered}$$(3.1)我们的目标是对于 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个开集 $\Omega$ 研究齐次 Dirichlet 问题$$\{\begin{array}{l}\mathcal{L}u=fin\Omega \\ u{|}_{\partial \Omega }=0on\partial \Omega \end{array}$$(3.2)和非齐次 Dirichlet 问题$$\{\begin{array}{l}\mathcal{L}u=fin\Omega \\ u{|}_{\partial \Omega }=gon\partial \Omega \end{array}$$(3.2’)

1弱解的存在唯一性

偏微分方程中很重要的一个问题就是如何定义解. 最直观的想法是假定解 $u\in C^2(\Omega )\cap C(\bar{\Omega })$, 那么 $\mathcal{L}u$ 和 $u{|}_{\partial \Omega }$ 是什么意思我们是清楚的, 在这种情况下满足 (3.2) 的 $u$ 我们称作经典解.

如果我们把 $u$ 的正则性条件减弱, 如果 $u$ 没有经典的二阶导数, 而只有弱的二阶导数, 比如说 $u\in H^2(\Omega )$, 那么 $\mathcal{L}u$ 是什么含义我们也是清楚的, 但是 $u$ 在 $\partial \Omega$ 上的限制就不是经典意义上的取值, 而是我们在第二章中定义的从 $W^{1,p}(\Omega )$ 到 $L^p(\Omega )$ 的 Trace. 在这种情况下满足在这种情况下满足 (3.2) 的 $u$ 我们称作强解.

更进一步, 如果我们仅仅假定 $u$ 是 $H^1$. 而 $\mathcal{L}u=f$ 在分布的意义就是$${\int }_{\Omega }\sum _i(\sum _j{a}^{ij}{u}_{xj}+d^{i}u)v_{x_i}+\sum _i{b}^i{u}_{x_i}v+c(x)uv={\int }_{\Omega }fv\forall v\in C_0^{\infty }(\Omega )$$当然这里积分有意义需要 $a,b,c,d,f$ 有一定的要求. 我们的选择是将左右两边都看成 $H_0^1(\Omega )$ 上的线性泛函, 这样根据 Sobolev 嵌入定理 ($H^1\hookrightarrow L^{\frac{2n}{n-2}}$ 在 $\Omega$ 的条件比较好时) 和简单的 Hölder 不等式, 我们需要$$\{\begin{array}{l}{a}^{ij}\in L^{\infty }(\Omega );d^i,b^i\in L^n(\Omega );c\in L^{n/2}(\Omega )(n\ge 3)\\ a^{ij}\in L^{\infty }(\Omega );d^i,b^i\in L^p(\Omega );c\in L^{p/2}(\Omega )对于一些p>2(n=2)\end{array}$$(3.3)以及 $f\in H^{-1}(\Omega )$. 这样我们就定义了 $L:H^1\to H^{-1}(\Omega )$ 以及双线性型 $B(u,v):=<\mathcal{L}u,v>$. 同时, 齐次问题 (3.2) 中要求 $u$ 的边界迹为 $0$ 等价于 $u\in H_0^1(\Omega )$.

定理 1.1. 设 $\Omega \in {\mathbb{R}}^n$ 是开集, $\mathcal{L}$ 系数满足 (3.1) 和 (3.3), 则上述定义的 $L:H^1(\Omega )\to H^{-1}(\Omega )$ 是连续线性算子, 且 $B:H_0^1(\Omega )\times H_0^1(\Omega )\to \mathbb{R}$ 是连续的双线性型. 即

定义 1.2. 设 $\Omega \in {\mathbb{R}}^n$ 是开集, $\mathcal{L}$ 满足 (3.1) 和 (3.3), 则称 $u\in H_0^1$ 为问题 (3.2) 的弱解如果 $B(u,v)=<f,v>$ 对于 $v\in H_0^1(\Omega )$ 成立, 即 $\mathcal{L}u=f$ 在

2弱解的正则性

3弱解的特征值问题

前面的两小节中我们将散度形式椭圆微分算子转化成了一个连续线性算子 $\mathcal{L}:H_0^1(\Omega )\to H^{-1}(\Omega )$ 中, 解方程转化成在 $H^{-1}$ 中解泛函问题 $\mathcal{L}u=f$. 在这一小节中我们考虑这个算子 $\mathcal{L}$ 的特征值.

简单起见, 我们假定 $\mathcal{L}$ 的系数满足$$a^{ij}是对称的，并且d^i=b^i。同时a^{ij},b^i,c^i\in L^{\infty }(\Omega )$$(3.34)这样算子 $\mathcal{L}$ 就是对称的, 即 $<\mathcal{L}u,v{>}_{H^{-1}\times H_0^1}=<\mathcal{L}v,u{>}_{H^{-1}\times H_0^1}$.

定理 3.1.

4Morse 迭代和 De Giorgi 定理

为简单起见本小节中我们只考虑如下形式的方程$$\mathcal{L}u:=-\sum _{i,j}(a^{ij}(x)u_{x_i}{)}_{x_j}+c(x)u=f$$其中 $a^{ij}\in L^{\infty }(\Omega )$ 为对称正定矩阵, 并且有常数 $\lambda$ 使得 $\{a^{ij}\}$ 的特征值大于等于 $\lambda$ 并且小于等于 ${\lambda }^{-1}$.

注: 本小节的结果在 $b^i,d^i\in L^{\infty }$ 时也是对的.

定理 4.1 (Morse 迭代). 设 $\Omega \in {\mathbb{R}}^n$ 为有界开集, $u\in H_0^1(\Omega )$ 是上述方程弱解, 并且存在 $q>n$ 使得 $c,f\in L^{\frac{q}{2}}(\Omega )$ , 则存在正常数 $C=C(\lambda ,n,q,|\Omega |,||c|{|}_{L^{\frac{q}{2}}(\Omega )})$ , 使得$$||u|{|}_{L^{\infty }(\Omega )}\le C(||u|{|}_{L^2(\Omega )}+||f|{|}_{L^{\frac{q}{2}}(\Omega )})$$

证明. 要证明 $||u|{|}_{L^{\infty }}\le C$ 的控制, 我们只需要证明对于 $||u||L^p\le C$ 对于 $p$ 足够大成立即可. 我们的想法是说明存在 $\alpha >1$, 使得$$u\in L^p(\Omega )\Rightarrow u\in L^{\alpha p}(\Omega )$$这样根据迭代我们就得到了一致的控制.

不妨假定 $n\ge 3$ ($n=2$ 的情况取 Sobolev 共轭指数的时候随便取一下是一样的) 我们先假定 $f\ne 0$, 并且归一化之后假定 $||f|{|}_{L^{\frac{q}{2}}}=1$ 定义$$G(y):={\int }_1^y|F^{\prime }(t){|}^{2}dt$$其中$$F(z):=\{\begin{array}{l}{z}^{\beta }-1,z\in [1,N]\\ \beta N^{\beta -1}(z-N)+{\beta }^N-1,z\in (N,\infty )\end{array}$$其中 $\beta >1$ 和 $N>1$ 是待定的数. 这样取保证了 $F\in C^1[1,\infty )$ 并且导数有界. 同样的 $G$ 作为 $\mathbb{R}$ 上的函数除了在 $1$ 以外连续可微且是全局 Lipschitz 的, 这样复合 $G$ 就是 $H^1$ 上的连续线性映射, 故取 $w:=u^{+}+1$ 我们有 $\eta :=G(w)\in H_0^1(\Omega )$. 由 $u$ 是弱解我们就有$${\int }_{\Omega }-\sum _{i,j}{a}^{ij}(x)u_{x_i}{\eta }_{x_j}+c(x)u\eta (x)dx={\int }_{\Omega }f\eta (x)dx$$化简一下就是$${\int }_{u>0}\sum _{ij}{a}^{ij}{w}_{x_i}{w}_{x_j}|F^{\prime }(w){|}^{2}dx={\int }_{\Omega }(cu-f)G(w)dx$$注意到 $F\circ w\in H_0^1(\Omega )$ 以及 $D(F\circ w)=F^{\prime }(w)Dw$, 根据 Gagliardo-Nirenberg-Sobolev 不等式, 一致椭圆条件以及 Hölder 不等式我们有$$\begin{array}{rl}||F\circ w|{|}_{L^{\frac{2n}{n-2}}}^2& \le \frac{C(n)}{\lambda }{\int }_{\Omega }(|c|+|f|)|w||G(w)|dx\\ & \le \frac{C(n)}{\lambda }(||c|{|}_{L^{\frac{q}{2}}(\Omega )}+1)||w^2|F^{\prime }(w){|}^2|{|}_{L^{\frac{q}{q-2}}(\Omega )}\\ & =C(n,\lambda ,||c|{|}_{L^{\frac{q}{2}}(\Omega )})||w{F}^{\prime }(w)|{|}_{L^{\frac{2q}{q-2}}(\Omega )}^2\end{array}$$第二个不等号那里用到了平凡估计 $G(y)\le |y-1|F^{\prime }(y)$. 注意到 $F$ 和 $F^{\prime }$ 都是关于 $N$ 增大的函数, 令 $N\to \infty$ 由单调收敛定理我们有$$||w^{\beta }-1|{|}_{L^{\frac{2n}{n-2}}}\le C(n,\lambda ,||c|{|}_{L^{\frac{q}{2}}(\Omega )})\beta ||w^{\beta }|{|}_{L^{\frac{2q}{q-2}}(\Omega )}$$注意到 $q>n$, 我们可以开始迭代. 化简一下就有$$||w|{|}_{L^{\frac{2n\beta }{n-2}}}\le [C(n,\lambda ,||c|{|}_{L^{\frac{q}{2}}(\Omega )},|\Omega |){]}^{1/\beta }||w|{|}_{L^{\frac{2q\beta }{q-2}}(\Omega )}$$对于任意的 $\beta \ge 1$ 成立. 令 $\alpha =\frac{n(q-2)}{q(n-2)}>1$, 从最开始的 $w\in L^{\frac{2n}{n-2}}$ (由 Sobolev 嵌入定理保证的) 取 $\beta =\alpha ,{\alpha }^2,{\alpha }^3\cdots$ 我们有对于任意的 $m\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1}$ $$||w|{|}_{L^{\frac{2n}{n-2}{\alpha }^m}}\le C^{{\sum }_{j=1}^m{\beta }^{-j}}||w|{|}_{L^{\frac{2n}{n-2}}}\le \tilde{C}||w|{|}_{L^{\frac{2n}{n-2}}}$$因此 $||w|{|}_{L^{\infty }}\le C||w|{|}_{L^{\frac{2n}{n-2}}}$ 由 $L^p$ 空间中的插值不等式我们就得到了$$||u^{+}|{|}_{L^{\infty }}\le C(||u|{|}_{L^2}+1)。$$同理考虑 $-u$ 是对应方程右端 $-f$ 的弱解, 我们就得到了想要的估计

最后我们处理 $f=0$ 的情况. 前面的证明并没有任何区别, 只是估计项里多了一个 $1$. 对于任意 $ϵ>0$, 我们考虑 $u_{ϵ}=u/ϵ$, 然后 $u_{ϵ}$ 依然是对应方程的弱解, 并且我们有估计$$||u_{ϵ}^{+}|{|}_{L^{\infty }}\le C(||u_{ϵ}|{|}_{L^2}+1)。$$令 $ϵ\to 0$ 即可.

$\square$