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1一些不等式和泛函分析中的定理

定理 1.1 (Hölder 空间的插值不等式). 设 $\Omega \in {\mathbb{R}}^N$ 为开集, $0<\alpha \le 1$. 则对于任意的 $ϵ>0$, $k\in {\mathbb{Z}}_{\ge 1}$, 我们有$$||u|{|}_{C^k(\Omega )}\le C(N,k,\alpha ,ϵ)||u|{|}_{L^{\infty }(\Omega )}+ϵ||u|{|}_{C^{k,\alpha }(\Omega )}\forall u\in C^{k,\alpha }(\Omega )$$

证明. 对 $k$ 归纳和基本的不等式 $||u|{|}_{C^{k,\alpha }}\le ||u|{|}_{C^{k+1}}$ 知道只要证明 $k=1$ 的情况. 因为是偏导数可以假定 $N=1$. 注意到对于任意的 $z\in \Omega$, 由中值定理, 我们可以找到 $x,y\in \Omega$ 有$$\begin{gathered} u(z_0)=\frac{u(x)-u(y)}{x-y} \\ |u^{\prime }(z)|\le |u^{\prime }(z_0)|+||u|{|}_{C^{1,\alpha }}|z-z_0{|}^{\alpha }\le 2||u|{|}_{L^{\infty }}|x-y{|}^{-1}+||u|{|}_{C^{1,\alpha }}|x-y{|}^{\alpha } \end{gathered}$$选取合适的 $|x-y|$ 我们就得到了上面的不等式.

$\square$

定理 1.2 (连续性原理). 设 $E$ 是一个 n.v.s, $F$ 是 Banach 空间, 且 $L0,L1:E\to F$ 线性连续, 若 $L_t=t{L}_0+(1-t)L_1$ 满足$$||x|{|}_E\le C||L_{t}x|{|}_F\forall x\in E$$其中 $C$ 是和 $t$ 和 $x$ 都无关的常数. 那么 $L_0$ 满射等价于 $L_1$ 满射.

证明. 我们只需要证明存在 $\delta >0$, 使得 $L_s$ 满射等价于 $L_t$ 满射对于任意的 $|s-t|<\delta$. $L_t$ 满足的关系事实上保证了 $L_t$ 是一个单射, 且 $L_t(E)$ 是一个闭子空间, 且 $L_t^{-1}:L_t(E)\to E$ 的范数有一致的控制. 这种做小扰动保持满射的性质根据标准的解方程+Banach 不动点定理就能搞定.

$\square$

2向量值积分