用户: Yao/黎曼几何

1预备

$p$ 处的 $(\mathbf{r},\mathbf{s})$ 型张量是指多重线性函数$$\theta :\underset{r\text{ 个}}{\underbrace{T_p^{\ast }M\times \cdots \times T_p^{\ast }M}}\times \underset{s\text{ 个}}{\underbrace{T_{p}M\times \cdots \times T_{p}M}}\to \mathbb{R}.$$其局部坐标下表示为$$\theta ={\theta }_{j_1\cdots j_s}^{i_1\cdots i_r}{\partial }_{i_1}\otimes \cdots \otimes {\partial }_{i_r}\otimes d{x}^{j_1}\otimes \cdots \otimes d{x}^{j_s}.$$$(r,0)$ 型张量称为 $r$ 阶逆变张量, $(0,s)$ 型张量称为 $s$ 阶协变张量.

$s$ 阶反对称协变张量 $\omega$, 即 $s$ 阶外形式, 为符合$$\omega (X_{\pi (1)},\cdots ,X_{\pi (s)})=(-1{)}^{\pi }\omega (X_1,\cdots ,X_s)$$的 $s$ 阶协变张量, 其全体记为 ${\bigwedge }^s{T}_p^{\ast }M$.

对于 $\alpha \in {\bigwedge }^r{T}_p^{\ast }M,\beta \in {\bigwedge }^s{T}_p^{\ast }M$, 定义其外积 $\alpha \wedge \beta \in {\bigwedge }^{r+s}{T}_p^{\ast }M$ 为$$\alpha \wedge \beta (X_1,\cdots ,X_{r+s})=\frac{1}{r!s!}\sum _{\pi }(-1{)}^{\pi }\alpha (X_{\pi (1)},\cdots ,X_{\pi (r)})\beta (X_{\pi (r+1)},\cdots ,X_{\pi (r+s)}).$$[比如 $r=s=1$ 时, $\alpha \wedge \beta (X,Y)=\alpha (X)\beta (Y)-\alpha (Y)\beta (X)$.]

由此, $\alpha \wedge \beta =(-1{)}^{rs}\beta \wedge \alpha$, $\dim {\bigwedge }^s{T}_p^{\ast }M=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{s}\right)$.

$\mathbf{s}$ 次微分形式即是 ${\bigwedge }^s{T}^{\ast }M$ 的光滑截面, 其全体记为 ${\Omega }^s(M)$. 定义 $\omega \in {\Omega }^s(M)$ 的外微分 $d\omega$ 为$$d\omega (X_1,\cdots ,X_{s+1})=\sum _{i=1}^{s+1}(-1{)}^{i-1}{X}_i\omega (\cdots ,\widehat{X_i},\cdots )+\sum _{i<j}(-1{)}^{i+j}\omega ([X_i,X_j],\cdots ,\widehat{X_i},\cdots ,\widehat{X_j},\cdots ).$$[比如 $s=1$ 时, $d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])$.]

于是可以验证$$\begin{array}{rl}d(f\omega )& =df\wedge \omega +fd\omega ,\\ d(\omega \wedge \eta )& =d\omega \wedge \eta +(-1{)}^r\omega \wedge d\eta .\end{array}$$

Lie 导数是指, 对 $\omega \in {\Omega }^s(M)$, 设 $X$ 生成的单参数变换群为 $\{{\varphi }_t\}$, 令 $L_X(\omega )\in {\Omega }^s(M)$ 为$$L_X(\omega )=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}{\varphi }_t^{\ast }\omega .$$

2联络

微分流形 $M$ 上的黎曼度量是指每点 $p\in M$ 的切空间 $T_p(M)$ 上给了系数 $g_{ij}$ 关于 $p$ 可微的内积$$⟨v^i{X}_i,w^j{X}_j{⟩}_p=g_{ij}(p)v^i{w}^j,$$即$$d{s}^2=g_{ij}d{x}^i\otimes d{x}^j.$$由内积的对称性, $g_{ij}=g_{ji}$.

对于支集在局部坐标系 $(U,x)$ 中的非负连续函数 $f:M\to \mathbb{R}$, 定义其积分为$${\int }_{M}f=\left|{\int }_{U}f\sqrt{g}dx\right|,$$这就是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的积分, $\sqrt{g}=\sqrt{\det (g_{ij})}$ 的引入确保了这个积分良定, 即不依赖于坐标卡的选取. 也就是说, 设 $d{s}^2={\sum }_{i=1}^{n}d{y}^i\otimes d{y}^i$, 那么积分就是 ${\int }_{U}fd{y}^1\wedge \cdots \wedge d{y}^n$. 对支集在 $U$ 上但不一定非负的 $f$, 拆成 $f=f^{+}-f^{-}$ 即可. 对于一般的 $f$, 利用单位分解不难给出 ${\int }_{M}f$ 的定义. 由 Riesz 表示定理, 存在唯一的 $M$ 上的 Borel 测度 $v$ 使得上述线性泛函是关于 $v$ 积分.

微分流形 $M$ 上的仿射联络是指 $\nabla :\Gamma (M)\times \Gamma (M)\to \Gamma (M)$ 满足$$\begin{array}{rl}& {\nabla }_{fX+gY}Z=f{\nabla }_{X}Z+g{\nabla }_{Y}Z,\\ & {\nabla }_X(Y+Z)={\nabla }_{X}Y+{\nabla }_{Y}Z,\\ & {\nabla }_X(fY)=f{\nabla }_{X}Y+X(f)Y.\end{array}$$

注意, 最后一条性质表明, 仿射联络全体并不是一个线性空间 (更不是一个 $C^{\infty }(M)$ 模) , 但是对于 $\sum _{i=1}^{\infty }{f}_i=1$, $\sum _{i=1}^{\infty }{f}_i{\lambda }^i$ 是一个联络. 这说明微分流形上一定有联络, 因为在每个局部坐标系, 方向导数 ${\nabla }_{X}Y=(\frac{\partial Y_1}{\partial X},\cdots ,\frac{\partial Y_n}{\partial X})$ 就是该坐标系上的一个联络, 再利用单位分解即可.

那么就可以对向量场 $V$ 在可微曲线 $c$ 上求导得到另一向量场 $\frac{DV}{dt}$, 称为 $V$ 沿 $c$ 的协变导数: $$\begin{array}{rl}& \frac{D}{dt}(V+W)=\frac{D}{dt}(V)+\frac{D}{dt}(W),\\ & \frac{D}{dt}(fV)=\frac{df}{dt}(V)+f\frac{DV}{dt},\\ & \frac{D(V(c(t))}{dt}={\nabla }_{\frac{dc}{dt}}V.\end{array}$$

那么, 对于 $c(t)=(x_1(t),\cdots ,x_n(t))$ 与 $V=v^j(t)X_j(c(t))$, $$\begin{array}{rl}\frac{DV}{dt}=& \frac{d{v}^j}{dt}{X}_j+v^j\frac{D{X}_j(c(t))}{dt}\\ =& \frac{d{v}^j}{dt}{X}_j+v^j{\nabla }_{\frac{dc}{dt}}{X}_j\\ =& \frac{d{v}^j}{dt}{X}_j+\frac{d{x}_i}{dt}{v}^j{\nabla }_{X_i}{X}_j.\end{array}$$

向量场 $V$ 是沿 $c$ 的平行向量场, 是指$$\frac{DV}{dt}=0.$$

引入 Christoffel 符号$${\nabla }_{X_i}{X}_j={\Gamma }_{ij}^k{X}_k,$$

那么 $V$ 沿 $c$ 的平行向量场等价于常微分方程组 $0=\frac{d{v}^k}{dt}+{\Gamma }_{ij}^k{v}^j\frac{d{x}_i}{dt},k=1,\cdots ,n$, 因而存在且唯一.

黎曼流形 $M$ 上的仿射联络 $\nabla$ 称为与度量相容, 是指若 $P$ 和 $P^{\prime }$ 沿 $c$ 平行则 $⟨P,P^{\prime }⟩$ 为常数, 这等价于 (设 $V=v^i{P}_i$, $P_1,\cdots ,P_n$ 是一组沿 $c$ 的正交基, 则 $\frac{DV}{dt}=\frac{d{v}^i}{dt}{P}_i$, 于是有) $$\frac{d}{dt}⟨Y,Z⟩=⟨\frac{DY}{dt},Z⟩+⟨Y,\frac{DZ}{dt}⟩,$$即 (令 $\frac{dc}{dt}=X(c(t))$ 得) $$X⟨Y,Z⟩=⟨{\nabla }_{X}Y,Z⟩+⟨Y,{\nabla }_{X}Z⟩.$$

微分流形 $M$ 上的仿射联络 $\nabla$ 称为对称的, 是指$${\nabla }_{X}Y-{\nabla }_{Y}X=[X,Y].$$这说明 ${\nabla }_{X_i}{X}_j={\nabla }_{X_j}{X}_i$, 即 ${\Gamma }_{ij}^k={\Gamma }_{ji}^k$.

黎曼流形 $M$ 上存在唯一的对称且相容的仿射联络 $\nabla$, 称为 Levi-Civita 联络, 计算得其表达式为$$⟨{\nabla }_{X}Y,Z⟩=\frac{1}{2}(X⟨Y,Z⟩-Z⟨X,Y⟩+Y⟨Z,X⟩-⟨X,[Y,Z]⟩-⟨Z,[X,Y]⟩+⟨Y,[Z,X]⟩).$$

称 $\gamma$ 是一条测地线, 若$$\frac{D}{dt}\left(\frac{d\gamma }{dt}\right)=0.$$

由于 $\frac{d}{dt}⟨\frac{d\gamma }{dt},\frac{d\gamma }{dt}⟩=2\frac{D}{dt}⟨\frac{d\gamma }{dt},\frac{d\gamma }{dt}⟩=0$, 可以令 $\left|\frac{d\gamma }{dt}\right|\equiv 1$.

直接计算得 $\gamma$ 是测地线等价于 $0=\frac{d^2{v}^k}{d{t}^2}+{\Gamma }_{ij}^k{v}^j\frac{d{x}_i}{dt}\frac{d{x}_j}{dt},k=1,\cdots ,n$, 因而局部存在且局部唯一.

黎曼流形 $M$ 的曲率 $R$ 是指对每组 $X,Y\in \Gamma (M)$, 对应一个映射 $R(X,Y):\Gamma (M)\to \Gamma (M)$, $$R(X,Y)Z={\nabla }_Y{\nabla }_{X}Z-{\nabla }_X{\nabla }_{Y}Z+{\nabla }_{[X,Y]}Z.$$不难验证这是一个 $C^{\infty }(M)$ 线性映射. 直接计算得到 Bianchi 恒等式$$R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0.$$以下记 $⟨R(X,Y)Z,T⟩=(X,Y,Z,T)$.

对于 $T_p(M)$ 的二维子空间 $\sigma$, 定义其截面曲率为$$K(\sigma )=\frac{(x,y,x,y)}{|x\wedge y{|}^2},$$其中 $x,y\in \sigma$, $|x\wedge y{|}^2=|x{|}^2|y{|}^2-⟨x,y{⟩}^2$. 不难验证它与 $x,y$ 的选取无关.

对于 $T_p(M)$ 中的单位向量 $x$, 取 $\{x,z_1,\cdots ,z_{n-1}\}$ 为一组正交基, 定义 $\mathbf{x}$ 方向的 Ricci 曲率$${\mathrm{Ric}}_p(x)=\frac{1}{n-1}\sum _i⟨R(x,z_i)x,z_i⟩,$$以及数量曲率$$K(p)=\frac{1}{n}\sum _j{\mathrm{Ric}}_p(z_j).$$注意到 $(n-1){\mathrm{Ric}}_p=\mathrm{tr}(R(x,\cdot )y)$ (该双线性映射的迹) $:=⟨K(x),y⟩$ (诱导了线性算子 $K$) , $K(p)=\frac{1}{n(n-1)}\mathrm{tr}(K)$, 因此 ${\mathrm{Ric}}_p$ 和 $K(p)$ 与 $z_1,\cdots ,z_{n-1}$ 的选取无关.

设 $f:M\to \overline{M}$ 是浸入 (即 $df$ 是单射) . 定义 $f$ 在 $p$ 点关于法向量 $\eta$ 的第二基本形式为$$I{I}_{\eta }(x)=⟨B(x,x),\eta ⟩.$$

为了使$$⟨X,\nabla f⟩=X(f)$$仍成立, 即 $g_{ij}{X}^i(\nabla f{)}^j=X^i{f}^i$, 定义 $\nabla f$ 为$$\nabla f=g^{ij}{\partial }_{i}f{\partial }_j.$$

定义$$\mathrm{div}X=\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_j(\sqrt{g}{Z}^j),$$以及$$\Delta f=-\mathrm{div}\nabla f=-\frac{1}{\sqrt{g}}{\partial }_j(\sqrt{g}{g}^{ij}{\partial }_{i}f).$$

这样定义的意义在于, 调和函数, 即满足 $\Delta f=0$ 的函数 $f$, 是能量$$E(f)={\int }_M||\nabla f|{|}^2\sqrt{g}dx={\int }_M{g}^{ij}{\partial }_{i}f{\partial }_{j}f\sqrt{g}dx$$的临界点, 即对任何 $\eta$ 有$$\frac{d}{dt}E(f+t\eta ){|}_{t=0}=0.$$

事实上, $$\begin{array}{rl}0=& \frac{1}{2}\frac{d}{dt}{\int }_M{g}^{ij}({\partial }_{i}f+t{\partial }_i\eta )({\partial }_{j}f+t{\partial }_j\eta )\sqrt{g}dx{|}_{t=0}\\ =& {\int }_M{g}^{ij}{\partial }_{i}f{\partial }_j\eta \sqrt{g}dx\\ =& -{\int }_M{\partial }_j(g^{ij}{\partial }_{i}f\sqrt{g})\eta dx\\ =& {\int }_M\Delta f\eta \sqrt{g}dx.\end{array}$$