用户: Yao/非负曲率流形上的调和函数

命题 0.1. 设 $M$ 是 $m$ 维完备流形, $B_x(4\rho )$ 是一个与 $\partial M$ 不相交的测地球, $f$ 是 $B_x(4\rho )$ 上的非负次调和函数. 若在 $B_x(4\rho )$ 上 Ricci 曲率有下界 $R_{ij}\ge -(m-1)R$, 则存在常数 $C_m$ 使得$$\underset{B_x(\rho )}{\sup }{f}^2\lesssim (1+e^{C_m\rho \sqrt{R}}){\int }_{B_x(4\rho )}{f}^2.$$

证明. 令 $h$ 是 Dirichlet 问题$$\{\begin{array}{rl}△h=0,& B_x(2\rho )\\ h=f,& \partial B_x(2\rho )\end{array}$$的解, 最大模原理表明 $f\le h$. 由 Harnack 不等式, $$\underset{B_x(\rho )}{\sup }{f}^2\le \underset{B_x(\rho )}{\sup }{h}^2\le e^{C_m\rho \sqrt{R}}{\int }_{B_x(\rho )}{h}^2.$$$h-f$ 在 $\partial B_x(2\rho )$ 上为 $0$, 由 Poincaré 不等式有$${\int }_{B_x(2\rho )}(h-f{)}^2\lesssim {\rho }^2{e}^{C_m(1+\rho \sqrt{R})}{\int }_{B_x(2\rho )}|\nabla (h-f){|}^2.$$故$$\begin{array}{rl}{\int }_{B_x(\rho )}{h}^2& \le 2{\int }_{B_x(\rho )}(h-f{)}^2+2{\int }_{B_x(\rho )}{f}^2\\ & \lesssim 2{\rho }^2{e}^{C_m(1+\rho \sqrt{R})}{\int }_{B_x(2\rho )}|\nabla (h-f){|}^2+2{\int }_{B_x(4\rho )}{f}^2\\ & \le 4{\rho }^2{e}^{C_m(1+\rho \sqrt{R})}{\int }_{B_x(2\rho )}|\nabla h{|}^2+|\nabla f{|}^2+2{\int }_{B_x(4\rho )}{f}^2.\end{array}$$由调和函数的变分性质, $${\int }_{B_x(2\rho )}|\nabla h{|}^2\le {\int }_{B_x(2\rho )}|\nabla f{|}^2,$$又由 Cacciopolli 不等式, $${\int }_{B_x(2\rho )}|\nabla f{|}^2\lesssim {\int }_{B_x(4\rho )}{f}^2,$$代入上面即得结论.

$\square$

定义 0.2. 称流形 $M$ 满足体积比较条件 $V_{\mu }$ 对 $\mu >1$, 是说对任何 $x\in M$ 与正实数 ${\rho }_1\le {\rho }_2$, 成立$$V_x({\rho }_2)\lesssim V_x({\rho }_1)(\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}{)}^{\mu }.$$

定义 0.3. 称流形 $M$ 满足平均值不等式 $M$, 是说对任何 $x\in M$ 与正实数 $\rho$, 成立$$f^2(x)\lesssim {-\int }_{B_x(\rho )}{f}^2.$$