用户: Yao/泛函分析

1Banach 代数

定理 1.1. 可除 Banach 代数 $\mathcal{A}$ 等距同构于 $\mathbb{C}$.

证明. 假设存在 $a\in \mathcal{A}\backslash \mathbb{C}e$, 则 $\forall f\in {\mathcal{A}}^{\ast }$, $f((ze-a{)}^{-1})$ 是有界全纯函数.

$\square$

推论 1.2. 对含幺交换 Banach 代数 $\mathcal{A}$ 及 $J\in \mathfrak{M}$, $\mathcal{A}/J\cong \mathbb{C}$.

证明. 范数 $\underset{a\in [a]}{\inf }\Vert a\Vert$ 使 $\mathcal{A}/J$ 成为可除 Banach 代数.

$\square$

定义 1.3. 同态 ${\phi }_J:\mathcal{A}\stackrel{/J}{\to }\mathcal{A}/J\stackrel{\cong }{\to }\mathbb{C},a\mapsto \hat{a}(J)$.

$\mathfrak{M}\to \Delta =\{\text{非零同态 }\mathcal{A}\to \mathbb{C}\},J\mapsto {\phi }_J$ 是双射.

通过这个对应, 把 $\Delta$ 的弱 $\ast$ 拓扑移植到 $\mathfrak{M}$ 上, 即 $\mathfrak{M}$ 的基为 $\{J\in \mathfrak{M}\mid |{\hat{a}}_1(J)-{\hat{a}}_1(J_0)|,\cdots ,|{\hat{a}}_n(J)-{\hat{a}}_n(J_0)|<\epsilon \}$, 可以验证 $\mathfrak{M}$ 是 $T_2$ 紧空间.

定义 1.4. $A$ 的 Gelfand 表示是连续同态 $\Gamma :\mathcal{A}\to C(\mathfrak{M}),a\mapsto \hat{a}$.

引理 1.5. $\Vert \hat{a}{\Vert }_{C(\mathfrak{M})}=\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert a^n{\Vert }^{\frac{1}{n}}$.

定理 1.6. 对 $T_2$ 紧空间 $\mathfrak{M}$, 令 $\mathcal{A}=C(M)$, 有 $x\mapsto \{f\in C(M)\mid f(x)=0\}$ 是 $M$ 到 $\mathfrak{M}$ 的同胚.

定义 1.7. $\ast$ 是代数 $\mathcal{A}\to \mathcal{A}$ 的对合是指 $(a+b{)}^{\ast }=a^{\ast }+b^{\ast },(\lambda a{)}^{\ast }=\bar{\lambda }{a}^{\ast },(ab{)}^{\ast }=b^{\ast }{a}^{\ast },a^{\ast \ast }=a$.

Hermite 元 $a\in \mathcal{A}$ 是指 $a^{\ast }=a$.

含幺 Banach 代数 $\mathcal{A}$ 若有对合使 $\Vert a^{\ast }a\Vert =\Vert a{\Vert }^2$, 称 $\mathcal{A}$ 是 $C^{\ast }$ 代数.

定理 1.8. 对 $T_2$ 紧空间 $\mathfrak{M}$, 设 $\mathcal{A}$ 是 $C(M)$ 的闭子代数, 若 $\mathcal{A}$ 含幺、对复共轭封闭 (即 $f\in \mathcal{A}$ 则 $\bar{f}\in \mathcal{A}）、分离点$ ($x\ne y$ 则存在 $f\in \mathcal{A}$ 使 $f(x)\ne f(y)$) , 那么 $\mathcal{A}=C(M)$.

引理 1.9. 对 Hermite 元 $a$, $\hat{a}$ 是实值函数.

定理 1.10. 设 $\mathcal{A}$ 是交换 $C^{\ast }$ 代数, 那么 Gelfand 表示是满等距 $\ast$ 同构, 即 $\Gamma (\mathcal{A})=C(\mathfrak{M}),\Vert \hat{a}{\Vert }_{C(\mathfrak{M})}=\Vert a\Vert ,\widehat{a^{\ast }}=\bar{\hat{a}}$.

设 $N$ 是 Hilbert 空间 $H$ 上的有界正常算子 ($N^{\ast }N=N{N}^{\ast }$) , 记 ${\mathcal{A}}_N=⟨I,N,N^{\ast }⟩$ 在 $L(H)$ 的闭包, ${\mathfrak{M}}_{{\mathcal{A}}_N}$ 为其极大理想的空间.

命题 1.11. $\sigma (N)={\sigma }_{{\mathcal{A}}_n}(N)$, 且 ${\mathfrak{M}}_{{\mathcal{A}}_N}$ 与之通过 $J\to \hat{N}(J)$ 同胚.

由此可以把 $C({\mathfrak{M}}_{{\mathcal{A}}_N})$ 等同于 $C(\sigma (N))$, 于是能对函数 $\phi \in C(\sigma (N))$ 定义算子 $\phi (N)\in {\mathcal{A}}_N$, 如下图.由 Riesz 表示定理, 存在 $\sigma (N)$ 上的复 Borel 测度 $m_{x,y}$ 使对任何 $\phi \in C(\sigma (N))$ 有$$(\phi (N)x,y)={\int }_{\sigma (N)}\phi (z)d{m}_{x,y}.$$记有界 Borel 函数全体 $B(\sigma (N))$, $\psi \in B(\sigma (N))$ 的范数为 $\Vert \psi \Vert =\underset{\sigma (N)}{\sup }|\psi (z)|$, 由另一种 Riesz 表示定理, 存在唯一的 $\psi (N)\in L(H)$ 使$$(\psi (N)x,y)={\int }_{\sigma (N)}\psi (z)d{m}_{x,y}.$$$\ast$ 同态 $B(\sigma (N))\to L(H),\psi \mapsto \psi (N)$ 是 $C(\sigma (N))\to L(H),\phi \mapsto \phi (N)$ 的扩张, 且有以下结论.

命题 1.12.

•	$\Vert \psi \Vert \ge \Vert \psi (N)\Vert$.
•	对 ${\psi }_n,\psi \in B(\sigma (N))$, 若 ${\psi }_n\to \psi$ a.e.$m_{x,x},\forall x\in H$, 且 ${\psi }_n$ 一致有界, 则 ${\psi }_n(x)\to \psi (x),\forall x\in H$.
•	对 $A\in L(H)$, 若 $AN=NA$, 则 $A\psi (N)=\psi (N)A$.

命题 1.13. $N$ 自伴等价于 $\sigma (N)\subset \mathbb{R}$; $N$ 正 ($N$ 自伴且 $(Nx,x)\ge 0$) 等价于 $\sigma (N)\subset {\mathbb{R}}_{\ge 0}$.

定义 1.14. $P\in L(H)$ 是投影算子, 若 $P$ 自伴且 $P^2=P$.

命题 1.15. 设 $P_1,P_2$ 是投影算子, $P_1{P}_2$ 是投影算子等价于 $P_1{P}_2=P_2{P}_1$, $P_1+P_2$ 是投影算子等价于 $P_1{P}_2=0$, $P_2-P_1$ 是投影算子等价于 $P_2$ 是 $P_1$ 的部分算子 (即 $\mathrm{ran}{P}_2\subset \mathrm{ran}{P}_1$) .

定义 1.16. 谱族 $E:\mathbb{C}\text{ 的一切Borel集}\to P(H),\Omega \to {\chi }_{\Omega \cap \sigma (N)}(N)$.

可以写$$(\psi (N)x,y)={\int }_{\sigma (N)}\psi (z)d(E(z)x,y),$$其中 $E(z)=E(\{a+bi\in \sigma (N)\mid a\le \mathrm{Re}z,b\le \mathrm{Im}z\})$. 进一步有下面的谱分解定理.

定理 1.17. $\psi (N)={\int }_{\sigma (N)}\psi (z)dE(z)$ 在 Lebesgue 积分及算子范数意义下成立.

定义 1.18. $T\in B(H)$ 的谱 $\sigma (T)$ 分为以下三者:

•	点谱 ${\sigma }_p(T)=\{\lambda \in \mathbb{C}\mid \lambda I-T\text{ 不单}\}$,
•	连续谱 ${\sigma }_c(T)=\{\lambda \in \mathbb{C}\mid \lambda I-T\text{ 单},\overline{\mathrm{ran}(\lambda I-T)}=H\}$,
•	剩余谱 ${\sigma }_r(T)=\{\lambda \in \mathbb{C}\mid \lambda I-T\text{ 单},\overline{\mathrm{ran}(\lambda I-T)}\ne H\}$.

命题 1.19. 对正常算子 $N$, $\sigma (N)=\{\lambda \mid \forall \lambda \text{ 的邻域 }U,E(U)\ne 0\}$, ${\sigma }_p(N)=\{\lambda \mid E(\{\lambda \})\ne 0\}$, ${\sigma }_r(N)\ne \varnothing$.

定义 1.20. 正常算子 $N\in B(H)$ 的谱 $\sigma (N)$ 又分为以下二者:

•	本质谱 ${\sigma }_{\mathrm{ess}}(N)=\{\lambda \mid \forall \lambda \text{ 的Borel邻域 }U,\mathrm{ran}E(U)\text{无限维}\}$,
•	离散谱 ${\sigma }_d(N)=\{\text{其余的 }\lambda \}$.

命题 1.21. 对正常算子 $N$, ${\sigma }_d(N)=\{\lambda \mid \text{是 }\sigma (N)\text{ 的孤立点，且 }\ker (\lambda I-T)\text{ 有限维}\}$.

2无界算子

定义 2.1. 闭算子 $T$ 是指 $T:\text{(}X\text{ 的子空间) }D(T)\to Y$ 的图 $\Gamma (T)=\{(x,Tx)\mid x\in D(T)\}$ 是 $X\times Y$ 的闭集.

若 $T$ 能延拓为某图像为 $\overline{\Gamma (T)}$ 的算子, 则记之为 $\overline{T}$, 称 $T$ 为可闭化的.

若 $\overline{D(T)}=X$, 称 $T$ 为稠定算子.

命题 2.2. $T$ 可闭化当且仅当对 $(0,y)\in \overline{\Gamma (T)}$ 有 $y=0$.

定义 2.3. 对稠定算子 $T$, 记 $D(T^{\ast })=\{g\in Y^{\ast }\mid f(Tx)=g(x)\text{ 对某 }f\in X^{\ast }\}$, $T$ 的共轭算子为 $T^{\ast }:D(T^{\ast })\to X^{\ast },f\mapsto g$.

命题 2.4. $T^{\ast }$ 是闭的, 且若 $T_1\subset T_2$ 则 $T_2^{\ast }\subset T_1^{\ast }$.

命题 2.5. 对稠定算子 $T:H\to H$, $T$ 可闭化当且仅当 $T^{\ast }$ 稠定, 此时 $\overline{T}=T^{\ast \ast }$.

定义 2.6. 对稠定算子 $T:H\to H$, $T$ 对称是指 $T\subset T^{\ast }$ (即 $(Tx,y)=(x,Ty)$ 对 $x,y\in D(T)$) , $T$ 自伴是指 $T=T^{\ast }$ (即 $(Tx,y)=(x,Ty)$ 对 $x,y\in D(T)$ 且 $D(T)=D(T^{\ast })$) , $T$ 本质自伴是指 $T$ 可闭化且 $\overline{T}$ 自伴.

定理 2.7. Cayley 变换是指 $H$ 上的 $\{\text{闭对称算子}\}\to \{\text{闭等距算子}\},A\mapsto U=(A-i)(A+i{)}^{-1}:\mathrm{im}(A+i)\to \mathrm{im}(A-i)$.

Cayley 反变换为 $U\mapsto A=i(1+U)(1-U{)}^{-1}$.

定理 2.8. 设 $A$ 是 $H$ 上的对称算子, 以下等价:

•	$A$ 自伴,
•	$A$ 闭且 $\ker (A^{\ast }\pm i)=0$,
•	$\mathrm{im}(A\mp i)=H$.

定理 2.9. 设 $A$ 是 $H$ 上的对称算子, 以下等价:

•	$A$ 本质自伴,
•	$\ker (A^{\ast }\pm i)=0$,
•	$\overline{\mathrm{im}(A\mp i)}=H$.

定理 2.10. 设 $A$ 是 $H$ 上的自伴算子, 存在唯一的谱族 $(\mathbb{R}\text{ 的Borel集},E)$ 使 $A={\int }_{\mathbb{R}}\lambda d{E}_{\lambda }$.

定理 2.11. 设 $A$ 是 $H$ 上的无界正常算子, 存在唯一的谱族 $(\mathbb{C}\text{ 的Borel集},E)$ 使 $(Nx,y)={\int }_{\mathbb{C}}zd(E(z)x,y),x\in D(N),y\in H$.

定理 2.12. 设 $A$ 是 $H$ 上的闭对称算子, 则 $D(A^{\ast })=D(A)\oplus \ker (A-i)\oplus \ker (A+i)$.

定义 2.13. 上式直和的后两者的维数记为 $(n_{+},n_{-})$, 称为 $A$ 的亏指数.

命题 2.14. 设 $A$ 是 $H$ 上的闭对称算子, 则 $\sigma (A)$ 是 $\{\mathrm{Im}z\ge 0\},\{\mathrm{Im}z\le 0\},\mathbb{C},$ 或 $\mathbb{R}$ 的子集, 最后一种情况当且仅当 $A$ 是自伴的.

定理 2.15. 闭对称算子 $A$ 有自伴扩张当且仅当 $n_{+}=n_{-}$.

定理 2.16. 设 $A$ 是 $H$ 上的对称算子, $A\ge -M$ (即 $(x,Ax)\ge -M(x,x)$) , 则 $A$ 有自伴扩张且 $\ge -M$.

命题 2.17. 设可闭化算子 $B$ 是 $A$ 紧的, $\forall \epsilon >0$, 存在 $b_{\epsilon }>0$ 使 $\Vert Bx\Vert \le \epsilon \Vert Ax\Vert +b_{\epsilon }\Vert x\Vert$.

定理 2.18. 设对称算子 $B$ 关于自伴算子 $A$ 的界 $<1$, 则 $A+B$ 在 $D(A)$ 自伴;
设对称算子 $B$ 关于本质自伴算子 $A$ 的界 $\le 1$, 则 $A+B$ 在 $D(A)$ 本质自伴.

定理 2.19. 设对称算子 $B$ 是自伴算子 $A$ 紧的, 有 ${\sigma }_{\mathrm{ess}}(A+B)={\sigma }_{\mathrm{ess}}(A)$.

3算子半群

定义 3.1. 设 $X$ 是 Banach 空间, $\{T(t){\}}_{t\ge 0}\subset L(H)$ 是强连续半群是指:
$T(0)=I,T(s)T(t)=T(s+t),\forall x,T(t)x\to x$ 当 $t\downarrow 0$, 其生成元是 $A:D(A)=\left\{\underset{t\downarrow 0}{\lim }\frac{T(t)-I}{t}x\text{ 存在}\right\}\to \text{该极限}$.

命题 3.2. $A$ 是稠定的闭算子, 且 $\frac{dT(t)x}{dt}=AT(t)x=T(t)Ax$.

定义 3.3. 若所有 $\Vert T(t)\Vert \le 1$, 则称 $\{T(t){\}}_{t\ge 0}$ 是压缩半群.

引理 3.4. 设 $A$ 是压缩半群 $\{T(t){\}}_{t\ge 0}$ 的生成元, 则 $\{\mathrm{Re}\lambda >0\}\subset \rho (A)$, 且 $\mathrm{Re}\lambda >0$ 时 $R_{\lambda }(A)={\int }_0^{\infty }{e}^{-\lambda t}T(t)dt$.

定理 3.5. 稠定闭算子 $A$ 是某压缩半群 $\{T(t){\}}_{t\ge 0}$ 的生成元, 当且仅当 $(0,\infty )\subset \rho (A)$ 且 $\Vert R_{\lambda }(A)\Vert \le \frac{1}{\lambda }$ 对 $\lambda >0$.

定理 3.6. 稠定闭算子 $A$ 是某强连续半群 $\{T(t){\}}_{t\ge 0}$ 的生成元, 当且仅当存在 ${\omega }_0>0$ 使 $({\omega }_0,\infty )\subset \rho (A)$ 且存在 $M>0$ 使 $\Vert R_{\lambda }(A{)}^n\Vert \le \frac{M}{(\lambda -\omega {)}^n}$ 对 $\lambda >\omega >{\omega }_0$ 与所有 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$.

命题 3.7. 设 $A$ 是压缩半群 $\{T(t){\}}_{t\ge 0}$ 的生成元, 则 $T(t)=s\text{-}\underset{n\to \infty }{\lim }(I-\frac{t}{n}A{)}^{-n}$.

定理 3.8. 稠定闭算子 $A$ 是某强连续半群 $\{T(t){\}}_{t\ge 0}$ 的生成元, 当且仅当 $A$ 耗散 (即 $\forall x\in D(A)$ 存在其规范切泛函 $x^{\ast }$ 使 $\mathrm{Re}(x^{\ast },Ax)\ge 0$) 且 $\mathrm{im}(I-A)=A$.

命题 3.9. 设 $A$ 是压缩半群 $\{T(t){\}}_{t\ge 0}$ 的生成元, 则 $A^{\ast }$ 是压缩半群 $\{T(t{)}^{\ast }{\}}_{t\ge 0}$ 的生成元.

定理 3.10. 稠定闭算子 $B$ 是某强连续酉算子群 $\{U(t){\}}_{t\in \mathbb{R}}$ 的生成元, 当且仅当存在自伴算子 $A$ 使 $B=iA$, 此时 $U(t)=e^{itA}={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{it\lambda }d{E}_{\lambda }$.