用户: Yao/概率论

一、设 ${\left\{X_k\right\}}_{k=1}^n\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }B(1,p)$, 其中 $p\in (0,1)$; $S_n:=X_1+\cdots +X_n$. 请计算 $\mathbb{E}\left[\frac{1}{1+S_n}\right]$.

解答. $S_n\sim B(n,p)$, $$\begin{array}{rl}\mathbb{E}\left[\frac{1}{1+S_n}\right]& =\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{p^k{q}^{n-k}}{1+k}=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1}\right)p^k{q}^{n-k}\\ & =\frac{1}{n+1}\sum _{k=1}^{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k}\right)p^{k-1}{q}^{n+1-k}=\frac{1-(1-p{)}^{n+1}}{p(n+1)}.\end{array}$$

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二、设 ${\left\{X_k\right\}}_{k=1}^2\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim }U(0,1)$, $X_3:=X_1+X_2(\mathrm{mod}1)$. 求证: ${\left\{X_k\right\}}_{k=1}^3$ 两两独立、同分布.

证明. $$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(X_3\le x)& =\mathbb{P}(X_1+X_2\le x)+\mathbb{P}(1<X_1+X_2\le 1+x)\\ & =\frac{x^2}{2}+\frac{1-(1-x{)}^2}{2}=x=\mathbb{P}(X_1\le x).\end{array}$$$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(X_1\le x,X_3\le y)& =\mathbb{P}(X_1\le x,X_2\le y-x\vee 1-x<X_2\le 1+y-x)\\ & =\mathbb{P}(X_1\le x)\mathbb{P}(X_2\le y-x\vee 1-x<X_2\le 1+y-x)\\ & =\mathbb{P}(X_1\le x)(\min (0,y-x)+\max (1+y-x,1)-(1-x))\\ & =\mathbb{P}(X_1\le x)y=\mathbb{P}(X_1\le x)\mathbb{P}(X_3\le y).\end{array}$$$X_2$ 同理.

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三、考虑反复投掷一枚均匀硬币, 如果获得正面则记录 “$\mathrm{H}$”, 获得反面则记录 “$\mathrm{T}$”. 请问为了获得记录 “$\mathrm{HTH}$” 平均所需的最少投掷硬币次数?

解答. 记 $\mathbb{E}$ 为所求的平均次数, $\mathbb{E}[|-]$ 为前几次扔出了记录 $-$ 后平均还需要的次数. 显然$$\mathbb{E}=\mathbb{E}[|\mathrm{T}]=\mathbb{E}[|\mathrm{HTT}],\mathbb{E}[|\mathrm{H}]=\mathbb{E}[|\mathrm{HH}],\mathbb{E}[|\mathrm{HTH}]=0.$$由下图有$$\{\begin{array}{rl}\mathbb{E}& =1+(\mathbb{E}[|\mathrm{H}]+\mathbb{E})/2\\ \mathbb{E}[|\mathrm{H}]& =1+(\mathbb{E}[|\mathrm{H}]+\mathbb{E}[\mathrm{HT}])/2\\ \mathbb{E}[|\mathrm{HT}]& =1+\mathbb{E}/2\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{rl}& \mathbb{E}=10\\ & \mathbb{E}[\mathrm{H}]=8\\ & \mathbb{E}[|\mathrm{HT}]=6\end{array}.$$$\square$

四、设随机变量 $X$ 的分布函数 $F$ 满足: 存在常数 $a>0$, 使得对任意 $x\in \mathbb{R}$, $$F(x+a)-F(x)\in \{0,1\}.$$试论证: $X$ 是退化的随机变量, 即存在 $b\in R$ 使得 $\mathbb{P}(X=b)=1$. 反过来结论也成立.

证明. 首先, 不能对所有的 $x$ 都 $\mathbb{P}(x-a,x]=0$, 即存在 $\bar{x}$ 使 $\mathbb{P}(\bar{x}-a,\bar{x}]=1$.

令 $b=\inf \{x\mid \mathbb{P}(x-a,x]=1\}\le b_0$, 则 $\forall b^{-}<b,\mathbb{P}(b^{-}-a,b^{-}]=0$, 不然 $\mathbb{P}(b^{-}-a,b^{-}]=1$, 与 $b$ 的最小性矛盾;

且 $\forall b^{+}>b,\mathbb{P}(b^{+},\infty )=0$, 不然对任何 $b^{\prime }\in [b,b^{+}),\mathbb{P}(b^{\prime }-a,b^{\prime }]<1$ 故 $=0$, 同样与 $b$ 的定义矛盾.

于是 $\mathbb{P}(X=b)=\mathbb{P}(\bar{x}-a,\bar{x}]-\mathbb{P}(\bar{x}-a,b)-\mathbb{P}(b,\bar{x}]=1$.

反过来, $F(x+a)-F(x)=0$ 对 $x\notin [b-a,b)$, $F(x+a)-F(x)=1$ 对 $x\in [b-a,b)$.

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五、设某游戏中杀死某怪物具有固定的 “爆率” 出现装备 $1,2$. 假定杀死该怪物后, 以 $0.2$ 的概率爆出装备 $1$, 以 $0.1$ 的概率爆出装备 $2$, 以 $0.7$ 的概率不爆出任何装备. 记 $\tau$ 是为了集齐装备 $1,2$ 所需的最小杀怪次数, 求 $\tau$ 的期望和方差.

解答. 记 ${\tau }_1,{\tau }_2$ 是得到装备 $1,2$ 所需的次数, $\tau =\max ({\tau }_1,{\tau }_2)$, 则$$\mathbb{P}(\tau >n)=\mathbb{P}({\tau }_1>n)+\mathbb{P}({\tau }_2>n)-\mathbb{P}({\tau }_1>n,{\tau }_2>n)=0.8^n+0.9^n-0.7^n.$$故$$\mathbb{E}[\tau ]=\sum _{n=0}^{\infty }\mathbb{P}(\tau >n)=\sum _{n=0}^{\infty }0.8^n+0.9^n-0.7^n=5+10-\frac{10}{3}=\frac{35}{3},$$$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[{\tau }^2]& =\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)\mathbb{P}(\tau >n)=\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)(0.8^n+0.9^n-0.7^n)\\ & =50-5+200-10-\frac{200}{9}+\frac{10}{3}=216+\frac{1}{9},\end{array}$$$$\mathbb{V}\mathrm{ar}(\tau )=216+\frac{1}{9}-\frac{35^2}{9}=80.$$这里用到了$$\begin{array}{rl}& \mathbb{E}[{\tau }^2]=\sum _{m=1}^{\infty }{m}^2\mathbb{P}(\tau =m)=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=0}^{m-1}(2n+1)(\mathbb{P}(\tau >m-1)-\mathbb{P}(\tau >m))\\ & =\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)\sum _{m=n+1}^{\infty }(\mathbb{P}(\tau >m-1)-\mathbb{P}(\tau >m))=\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)\mathbb{P}(\tau >n),\end{array}$$$$\sum _{n=0}^{\infty }(2n+1)p^n=2\sum _{n=0}^{\infty }(x^{n+1}{)}^{\prime }{|}_{x=p}-\sum _{n=0}^{\infty }{p}^n=\frac{2}{(1-p{)}^2}-\frac{1}{1-p}.$$$\square$

六、设 $\{X_n{\}}_{n=1}^{\infty }$ 独立同分布, 它们与非负整数值随机变量 $\tau$ 相互独立, 其中 $\mathbb{E}[|X_1|]<\infty ,\mathbb{E}\tau <\infty$. 记 $S_n:=X_1+\cdots +X_n$, 求证:

(1)	$\mathbb{E}{S}_{\tau }=(\mathbb{E}\tau )\cdot \mathbb{E}{X}_1$;
(2)	当 $\mathbb{E}[X_1^2]<\infty ,\mathbb{E}[{\tau }^2]<\infty$ 时, $\mathbb{V}\mathrm{ar}(S_{\tau })=(\mathbb{E}\tau )\cdot \mathbb{V}\mathrm{ar}(X_1)+(\mathbb{E}{X}_1{)}^2\mathbb{V}\mathrm{ar}(\tau )$.

证明.

(1)

$$\mathbb{E}{S}_{\tau }=\int \mathbb{E}(S_t)dF(t)=\int t\mathbb{E}{X}_{1}dF(t)=(\mathbb{E}\tau )\cdot \mathbb{E}{X}_1.$$

(2)

$$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[S_{\tau }^2]& =\int \mathbb{E}(S_t^2)dF(t)=\int t\mathbb{E}[X_1^2]+(t^2-t)\mathbb{E}(X_1{X}_2)dF(t)\\ & =(\mathbb{E}\tau )\cdot \mathbb{E}[X_1^2]+(\mathbb{E}[{\tau }^2]-\mathbb{E}\tau )(\mathbb{E}{X}_1{)}^2,\end{array}$$于是$$\mathbb{V}\mathrm{ar}(S_{\tau })=\mathbb{E}[S_{\tau }^2]-(\mathbb{E}{S}_{\tau }{)}^2=(\mathbb{E}\tau )\cdot (\mathbb{E}[X_1^2]-(\mathbb{E}{X}_1{)}^2)+(\mathbb{E}{X}_1{)}^2(\mathbb{E}[{\tau }^2]-(\mathbb{E}\tau {)}^2).$$$\square$

七、求证: (1) 如果 $\mathbb{E}[|X|]<\infty$, 那么 $\underset{a\to \infty }{\lim }a\mathbb{P}(|X|>a)=0$.

(2) 如果对某个 $p>0$, $\sup \{a^p\mathbb{P}(|X|>a):a\ge 0\}<\infty$, 那么对任意 $0<\epsilon <p$, $\mathbb{E}[|X{|}^{p-\epsilon }]<\infty$.

证明. (1) $a{\chi }_{X>a}$ 点点收敛到 $0$ 且为可积变量 $X$ 控制, 根据 Lebesgue 控制收敛定理,$$a\mathbb{P}(|X|>a)=\int a{\chi }_{X>a}\to \int 0=0.$$

(2)$$\begin{array}{rl}& \mathbb{E}[|X{|}^{p-\epsilon }{]}^{p-\epsilon }=(p-\epsilon ){\int }_0^{\infty }{a}^{p-\epsilon -1}\mathbb{P}(|X|>a)da\\ & \le (p-\epsilon )({\int }_0^1{a}^{p-\epsilon -1}da+{\int }_1^{\infty }{a}^{-\epsilon -1}\sup \{a^p\mathbb{P}(|X|>a):a\ge 0\}da)\\ & =1+\frac{p-\epsilon }{\epsilon }\sup \{a^p\mathbb{P}(|X|>a):a\ge 0\}<\infty .\end{array}$$

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八、设 $N\ge 2$ 是一个正整数, ${\Sigma }_N:=\{1,2,\cdots ,N\},\Omega :={\Sigma }_N$, $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 是古典概率模型. 请问: 在这个古典概率模型中能定义多少个不同的随机变量 $X$, 使得 $X\sim U({\Sigma }_N)$?

解答. 就是把 ${\Sigma }_N$ 划分成 $A_1\uplus A_2\uplus \cdots \uplus A_N$ 以对应到 $1,2,\cdots ,N$, 那所有的 $A_i$ 都是单元素集, 有 $N!$ 种方式.

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