用户: Yao/微分流形习题

36.	沿 $S^2$ 的水平的大圆 (作为一条给定方向的闭路径) 取标架场 $\left\{p;e_1,e_2\right\}$, 使得 $e_1$ 是该路径的切向量, $e_2$ 竖直向上, 那么粘合对径点后, 在同一点两个 $e_1$ 方向相反而两个 $e_2$ 方向相同, 也就是说沿该路径传播得到了相反的定向, 由本章推论 6.2, ${\mathbb{RP}}^2$ 是不可定向的.
37.	参看 $\S$5 例 2 的图, 沿右图中的路径取标架场 $\left\{p;e_1,e_2\right\}$, 使得 $e_1$ 是该路径的切向量, $e_2$ 对应到左下图中是竖直向上的, 即从 $A$ 指向 $D$, 从 $B$ 指向 $C$, 那么粘合成 Klein 瓶后, 在 $A(=B=C=D)$ 点 $e_2$ 翻转了方向而 $e_1$ 的方向良定, 沿该路径传播得到了相反的定向, 由本章推论 6.2, Klein 瓶是不可定向的. 注: 一个更简单的方法是, 假设 ${\mathbb{RP}}^2$ 或 Klein 瓶可定向, 对用于粘合 ${\mathbb{RP}}^2$ 的圆盘剪两刀, 或剪开 Klein 瓶, 就得到了 Möbius 带以及限制于其上的定向, 但本章例 1 已证明 Möbius 带不可定向, 矛盾.
38.	只需验证全纯函数作为复变量的实部与虚部的函数的 Jacobi 行列式 $>0$. 设 $f(x+iy)\triangleq F(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$ 是全纯函数, 由 Cauchy-Riemann 方程, $$J_F=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}& \frac{\partial v}{\partial y}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x}& \frac{\partial u}{\partial y}\\ -\frac{\partial u}{\partial y}& \frac{\partial u}{\partial x}\end{array}\right|=(\frac{\partial u}{\partial x}{)}^2+(\frac{\partial u}{\partial y}{)}^2>0.$$
39.	(1) 对于使 $g(q)>c$ 的 $q\in {\mathbb{R}}^n$, 由 $g$ 的连续性得存在 $q$ 的邻域 $U$ 使得 $g{|}_U>c$, 即 $U\subset \mathrm{Int}M$; 对于 $q\in g^{-1}(c)$, 由 $▽g(q)\ne 0$, 可取合适的光滑函数 $y^1=y^1(x),\cdots ,y^{n-1}=y^{n-1}(x)$ 使得对 $y^n=g(x)-c$ 有 $\det \frac{\partial y^i}{\partial x^j}\ne 0$, 由隐函数定理, 存在 $q$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 的邻域 $U$ 使得 $(U,y^i)$ 是与原坐标系 $(M,x^j)$ $C^{\infty }$ 相关的坐标卡. 在这一坐标卡下, $p\in M$ 等价于 $y_n(p)=g(p)-c\ge 0$, 即 $p$ 的坐标属于 $H^n$, 所以 $q$ 在 $M$ 的邻域 $U\cap M$ 光滑同胚于 $H^n$ 的一个开子集, 且 $q\in \partial M$. 因此, $M$ 是一个 $n$ 维带边流形. (2) 由本章推论 5.5 得到 $g^{-1}(c)$ 是 $n-1$ 维无边流形; 由 (1) 知 $g^{-1}(c)=\partial M$, 所以 $M$ 上的定向 (可由 ${\mathbb{R}}^n$ 的定向限制得到) 诱导出 $\partial M$ 上的定向.
40.	(1) 设 $\left\{(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })\right\}$ 是 $M$ 的一个定向, $\left\{(V_{\beta },{\varphi }_{\beta })\right\}$ 是 $N$ 的一个定向, 那么 $\left\{(U_{\alpha }\times V_{\beta },({\phi }_{\alpha },{\varphi }_{\beta }))\right\}$ (包含于的定向相符的极大容许坐标卡集) 就是 $M\times N$ 的一个定向, 这是因为当 $(U_{\alpha }\times V_{\beta })\cap (U_{{\alpha }^{\prime }}\times V_{{\beta }^{\prime }})\ne \varnothing$ 时$$\det \left(\frac{\partial (({\phi }_{{\alpha }^{\prime }},{\varphi }_{{\beta }^{\prime }})\circ (({\phi }_{\alpha },{\varphi }_{\beta }{)}^{-1}{)}^i}{\partial x_{\alpha }^j\partial y_{\beta }^k}\right)=\det \left(\frac{\partial ({\phi }_{\alpha }^{\prime }\circ {\phi }_{\alpha }^{-1}{)}^i}{\partial x_{\alpha }^j}\right)\det \left(\frac{\partial ({\varphi }_{{\beta }^{\prime }}\circ {\varphi }_{\beta }^{-1}{)}^i}{\partial y_{\beta }^k}\right)>0.$$(2) 即证明若 $M\times N$ 是可定向的, 则 $M,N$ 都是可定向的. 设 $\left\{(W_{\gamma },{\psi }_{\gamma })\right\}$ 是 $M\times N$ 的一个定向, $\left\{(U_{\alpha }\times V_{\beta },({\phi }_{\alpha },{\varphi }_{\beta }))\right\}$ 为其中全体这种形式的元素, 显然 $M\times N=\bigcup _{\alpha ,\beta }(U_{\alpha }\times V_{\beta })$. 注意到当 $U_{\alpha }\cap U_{{\alpha }^{\prime }}\ne \varnothing$ 时, 对任意一个 $\beta$, $$\det \left(\frac{\partial ({\phi }_{{\alpha }^{\prime }}\circ {\phi }_{\alpha }^{-1}{)}^i}{\partial x_{\alpha }^j}\right)=\det \left(\frac{\partial (({\phi }_{{\alpha }^{\prime }},{\varphi }_{\beta })\circ ({\phi }_{\alpha },{\varphi }_{\beta }{)}^{-1}{)}^i}{\partial x_{\alpha }^j\partial y_{\beta }^k}\right)>0,$$所以 $\left\{(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })\right\}$ 是 $M$ 的一个定向, 同理 $\left\{(V_{\beta },{\varphi }_{\beta })\right\}$ 是 $N$ 的一个定向. (3) 设 $\left\{(U_{\alpha },{\phi }_{\alpha })\right\}$ 是带边流形 $M$ 的微分结构, $\left\{(V_{\beta },{\varphi }_{\beta })\right\}$ 是流形 $N$ 的微分结构, 那么 $\left\{(U_{\alpha }\times V_{\beta },({\phi }_{\alpha },{\varphi }_{\beta }))\right\}$ 是带边流形 $M\times N$ 的微分结构, 这是因为 $({\phi }_{\alpha },{\varphi }_{\beta })$ 是 $U_{\alpha }\times V_{\beta }$ 到 $H^m\times {\mathbb{R}}^n=H^{m+n}$ 的开子集的同胚 (这里 $m=\dim M,n=\dim N$, $H^{m+n}=\left\{x\in {\mathbb{R}}^{m+n}\mid x_m\ge 0\right\}$) , 且 $(p,q)\in \partial (M\times N)$ 当且仅当存在坐标卡使 $({\phi }_{\alpha }(p),{\varphi }_{\beta }(q))\in \partial H^{m+n}$, 当且仅当 ${\phi }_{\alpha }(p)\in \partial H^m$, 当且仅当 $p\in \partial M$, 所以 $\partial (M\times N)=\partial M\times N$.
41.	这是单位分解定理 (本章定理 2.7) 的一个推论. $\left\{M\backslash A,M\backslash B\right\}$ 是 $M$ 的一个开覆盖, 根据单位分解定理, 存在一个局部有限的加细开覆盖 ${\left\{V_i\right\}}_{i=1}^{\infty }$ 以及一族光滑函数 ${\left\{f_i\right\}}_{i=1}^{\infty }$ 使得 $0\le f_i\le 1$, ${\sum }_{i=1}^{\infty }{f}_i=1$, 且 $\mathrm{supp}{f}_i\subset V_i\subset M\backslash A$ 或 $M\backslash B$, 也就是说 $f_i{|}_A\equiv 0$ 或 $f_i{|}_B\equiv 0$. 令 $\psi =\sum _{f_i{|}_B=0}{f}_i$, 则 $0\le \psi \le 1$, $\psi {|}_B\equiv 0$, 且由于若 $f_i{|}_B\not\equiv 0$ 就有 $f_i{|}_A\equiv 0$, 得$$\psi {|}_A=(\sum _i{f}_i-\sum _{f_i{|}_B\not\equiv 0}{f}_i){|}_A\equiv 1,$$而且 ${\left\{V_i\right\}}_{i=1}^{\infty }$ 局部有限表明 $\psi =\sum _{f_i{|}_B=0}{f}_i$ 局部为有限个非零 $f_i$ 之和, 所以 $\psi$ 也光滑.