用户: TravorLZH/Zeta 函数在非零区域的上界

在本文中我们将研究 $\zeta (s)$ 在 de la Vallée Poussin 非零区域, 即 $T\ge 4$ 时 (我们接下来会把 $c$ 调小一些使得 $s$ 与零点的距离总是 $\gg 1/\log T$) : $$\sigma \ge 1-\frac{c}{\log T},|t|\le T$$(1)中的上界问题, 并证明当 $s=\sigma +it$ 位于上述区域内时总有: $$\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(s)=O(\log T),$$(2)$$|\log \zeta (s)|\le \log \log T+O(1).$$(3)

1零点展开式的应用

利用 Borel-Carathéodory 定理, 可以证明 $-1\le \sigma \le 2,t=T\ge 2$ 时下列展开一致成立: $$\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(s)=\sum _{\rho }\frac{1}{s-\rho }+O(\log T),$$(4)其中被求和符号取到的 $\zeta (s)$ 零点 $\rho =\beta +i\gamma$ 满足 $-1\le \beta \le 2,|\gamma -T|\le 1$. 现在我们设 $s_0=1+\delta +iT$, 则根据 (4) 可知: $$\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(s)-\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(s_0)=\sum _{\rho }\frac{s_0-s}{(s-\rho )(s_0-\rho )}+O(\log T)$$由于当 $\delta >0$ 时$$\left|\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(s_0)\right|\le -\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(1+\delta )\le \frac{1}{\delta }+O(1),$$(5)所以代入 $\delta =1/\log T$ 就有: $$\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(s)\ll \frac{1}{\log T}\sum _{\rho }\frac{1}{|s_0-\rho {|}^2}+\log T.$$现在设 $\delta =1/\log T$ 则根据 $1+\delta -\beta \gg 1/\log T$ 可知: $$\frac{1}{|s_0-\rho {|}^2\log T}\ll \Re \frac{1}{s_0-\rho }.$$此时再结合 (5) 便得 (2).

2微积分基本定理的应用

结合对数函数的定义, 可知当位于 (1) 的 $s$ 满足 $\sigma \le 1+\delta$ 时总有: $$\begin{array}{rl}|\log \zeta (s)|& \le |\log \zeta (s_0)|+{\int }_{1+\delta }^{\sigma }\left|\frac{{\zeta }^{\prime }}{\zeta }(u+iT)\right|\mathrm{d}u\\ & \le \log \zeta (1+\delta )+O\left(|1+\delta -\sigma |\log T\right)\\ & \le \log {\delta }^{-1}+O(1)\le \log \log T+O(1).\end{array}$$这便证明了 (3).

3推论

通过对 (3) 取指数我们就可以得到下述推论:

推论 3.1. 若 $k$ 为实数且 $s$ 在 (1) 所述区域内时, 则存在 $C_{|k|}>0$ 使得 $|\zeta (s){|}^k<C_{|k|}{\log }^{|k|}T$ 在 $T\ge 4$ 时恒成立.

而这个结论在诸多围道积分的估计问题中发挥巨大的作用.