用户: TravorLZH/Laplace 积分估计法

在本文中, 我们将给出当 $m\to +\infty$ 时, 积分

$$I_m={\int }_a^b{e}^{mf(x)}\mathrm{d}x$$

的渐近公式, 其中 $f(x)$ 只取实值.

1动机

在 $m$ 增长时, $e^{mk}$ 在 $k$ 值越大时增速越快, 所以我们可以假设 $f(x)$ 在 $c\in (a,b)$ 处取得最大值, 并分割积分: $$I_m={\int }_a^{c-\delta }+{\int }_{c-\delta }^{c+\delta }+{\int }_{c+\delta }^b,$$

由于 $f(x)$ 取最大值时 $f^{\prime }(c)=0,f^{\prime \prime }(c)<0$ 所以根据 Taylor 定理可知 $x$ 在 $c$ 附近时: $$f(x)\approx f(c)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(c)(x-c{)}^2,$$

所以此时有: $$\begin{array}{rl}{I}_m& \approx e^{mf(c)}{\int }_{c-\delta }^{c+\delta }{e}^{\frac{1}{2}m{f}^{\prime \prime }(c)(x-c{)}^2}\mathrm{d}x=e^{mf(c)}{\int }_{-\delta }^{\delta }{e}^{-[(-\frac{1}{2}m{f}^{\prime \prime }(c){)}^{1/2}u{]}^2}\mathrm{d}u\\ & \approx \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-m{f}^{\prime \prime }(c)}}{e}^{mf(c)}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-v^2}\mathrm{d}v=e^{mf(c)}\sqrt{\frac{2\pi }{-m{f}^{\prime \prime }(c)}}.\end{array}$$

上面这段不严谨的推导事实上给出了 $I_m$ 正确的主项, 接下来我们就用严谨的方法将其证明.

2严谨推导

主项的确定

当 $f(x)$ 在 $c$ 附近二阶连续可微时, 根据 Taylor 定理可知存在 $\delta >0$ 使得 $|x-c|\le \delta$ 时总存在 $c-\delta \le {\theta }_x\le c+\delta$ 使: $$f(x)=f(c)+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }({\theta }_x)(x-c{)}^2$$(1)现在设置 $0<\epsilon <\delta$ 使得 $m\to +\infty$ 时 $\epsilon \to 0,m^{1/2}\epsilon \to +\infty$, 则 ${\theta }_x\to c$, 所以有: $${\int }_{c-\epsilon }^{c+\epsilon }{e}^{mf(x)}\mathrm{d}x\sim \frac{e^{mf(c)}}{\sqrt{m}}{\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(c)t^2}\mathrm{d}t=e^{mf(c)}\sqrt{\frac{2\pi }{-m{f}^{\prime \prime }(c)}}.$$结合上面我们对 $\epsilon$ 的要求, 便可设 $\epsilon =m^{-\theta }$ 其中 $0<\theta <\frac{1}{2}$.

误差项的估计 ($|x-c|\le \delta$ 的情况)

利用 (1) 以及 $f^{\prime \prime }(x)$ 的连续性, 可以让 $\delta$ 足够小使得存在 $k>0$ 使 $|x-c|\le \delta$ 时总有 $f^{\prime \prime }(c)\le -k$, 所以: $${\int }_{c-\delta }^{c-\epsilon }+{\int }_{c+\epsilon }^{c+\delta }\ll e^{mf(c)-mk{\epsilon }^2}=e^{mf(c)-k{m}^{1-2\theta }}.$$再结合上面对 $\theta$ 的要求便能发现最右侧的增速远远低于主项. 处理完 $[c-\delta ,c+\delta ]$ 上的积分之后我们就可以来看看 $[a,c-\delta ]$ 和 $[c+\delta ,b]$ 上的积分了.

误差项的估计 ($|x-c|>\delta$ 的情况)

利用 $f(x)$ 的连续性, 可知存在 $u>0$ 使得 $f(x)\le f(c)-u$ 在 $|x-c|>\delta$ 时成立, 于是:

$${\int }_a^{c-\delta }+{\int }_{c+\delta }^b\le (b-a)e^{m[f(c)-u]}$$

因此当 $a,b$ 有限时右侧也会被主项吞噬. 有了这些信息后我们就可以得到结论了.

3结论

定理 3.1 (Laplace). 若 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上二阶连续可微, 且存在唯一的 $c\in (a,b)$ 使得 $f^{\prime }(c)=0,f^{\prime \prime }(c)<0$, 则当 $m\to +\infty$ 时: $${\int }_a^b{e}^{mf(x)}\mathrm{d}x\sim e^{mf(c)}\sqrt{\frac{2\pi }{-m{f}^{\prime \prime }(c)}}.$$