用户: Tangss/ 一些关于 Brauer 群的计算

约定一些记号, 对于有限扩张 $E/K$, Galois 群记为 $G=\mathrm{Gal}(E/K)$. 对于上圈 $\phi \in H^2(E/K)\stackrel{\text{def}}{=}{H}^2(G,E^{\times })$, 我们定义 $K$ 上的中心单代数 $(E,G,\phi )$ 是向量空间 $\underset{\sigma \in G}{⨁}E{e}_{\sigma }$, 满足乘法$$\{\begin{array}{ll}{e}_{\sigma }\cdot a=\sigma (a)\cdot e_{\sigma },& \text{对任意 }a\in E\\ e_{\sigma }\cdot e_{\tau }=\phi (\sigma ,\tau )e_{\sigma \tau },& \text{对 }\sigma ,\tau \in G\end{array}$$有集合的双射:$$\begin{array}{rl}{H}^2(E/K)& ⟶\mathrm{Br}(E/K)\\ \phi & ⟼[(E,G,\phi )]\end{array}$$

对于域扩张 $K\subset L\subset E$, 利用张量积的结合性, 有如下图表交换:因此有自然嵌入 $\mathrm{Br}(L/K)\hookrightarrow \mathrm{Br}(E/K)$, 事实上它就是上同调群的膨胀映射.

命题 1. $E\supset L$ 都是 $K$ 的有限 Galois 扩张, 有图表交换:

这个证明几乎是纯线性代数运算.

证明. 假设 $G=\mathrm{Gal}(E/K)$ 及 $H=\mathrm{Gal}(E/L)$, 我们有 $\mathrm{Gal}(L/K)=G/H$. 任意取 $\overline{\phi }\in H^2(L/K)$, 它在两个箭头下的像分别记作 $\phi =\mathrm{Inf}(\overline{\phi })$ (在 $L\hookrightarrow E$ 里取值) 和 $A=(L,G/H,\overline{\phi })=\underset{\overline{\sigma }\in G/H}{⨁}L{v}_{\overline{\sigma }}$. 令 $r=[E:L]$, 计算维数$$\begin{array}{rl}& {\dim }_K{M}_{r\times r}(A)=r^2{\dim }_{K}A=r^2({\dim }_{K}L{)}^2\\ =& ({\dim }_{L}E\cdot {\dim }_{K}L{)}^2=({\dim }_{K}E{)}^2={\dim }_K(E,G,\phi )\end{array}$$

因此想要证明 $A\stackrel{\mathrm{Br}(K)}{=}(E,G,\phi )$, 我们只需证明作为 $K$-代数 $M_{r\times r}(A)$ 与 $(E,G,\phi )$ 同构.
由于有自然嵌入 (对角映射) $A\hookrightarrow M_{r\times r}(A)$, $A$ 满足的乘法关系可以写为: $$\{\begin{array}{ll}{v}_{\overline{\sigma }}\cdot a=\overline{\sigma }(a)\cdot v_{\overline{\sigma }},& \text{其中 }a\in M_{r\times r}(L)\\ v_{\overline{\sigma }}{v}_{\overline{\tau }}=\overline{\phi }(\overline{\sigma },\overline{\tau })v_{\overline{\sigma \tau }}=\phi (\sigma ,\tau )v_{\overline{\sigma \tau }},& \text{其中 }\phi (\sigma ,\tau )\in L^{\times }.\end{array}$$令 $(E,G,\phi )=\underset{\sigma \in G}{⨁}E{u}_{\sigma }$, 定义映射: $$\begin{array}{rl}f:(E,G,\phi )& ⟶M_{r\times r}(A)\\ x{u}_{\sigma }& ⟼l_x{U}_{\sigma }{v}_{\overline{\sigma }}\end{array}$$$E$ 可以看作 $r$ 维 $L$-向量空间, $x$ 左乘和 $\sigma$ 作用可实现为 $M_{r\times r}(L)$ 中元素, 记作 $l_x$ 和 $U_{\sigma }$. 只需考虑对任意 $x,y\in E$, $\sigma ,\tau \in G$: $$\begin{array}{rl}f(x{u}_{\sigma }\cdot y{u}_{\tau })& =f(x\sigma (y)\phi (\sigma ,\tau )u_{\sigma \tau })\\ & =l_x{l}_{\sigma (y)}{U}_{\sigma \tau }\phi (\sigma ,\tau )v_{\overline{\sigma \tau }}\\ & =l_x{l}_{\sigma (y)}{U}_{\sigma \tau }{v}_{\overline{\sigma }}{v}_{\overline{\tau }}\\ & =l_x{l}_{\sigma (y)}{U}_{\sigma }\sigma (U_{\tau })v_{\overline{\sigma }}{v}_{\overline{\tau }}\\ & =l_x{U}_{\sigma }{l}_y{v}_{\overline{\sigma }}{U}_{\tau }{v}_{\overline{\tau }}\\ & =l_x{U}_{\sigma }{v}_{\overline{\sigma }}\cdot l_y{U}_{\tau }{v}_{\overline{\tau }}\\ & =f(x{u}_{\sigma })\cdot f(y{u}_{\tau })\end{array}$$其中 $\sigma (U_{\tau })$ 代表 $\sigma$ 作用在矩阵元素上. 第四、五处等号的交换性只需取出 $E$ 在 $L$ 上的基验证, 而第六处等号是因为 $G/H=\mathrm{Gal}(E/L)$ 有 $\sigma (l_y)=l_y$.

$\square$