高等代数 试卷

复旦大学数学科学学院
2024$\sim$2025 学年第一学期期末考试试卷
$⊠$ $\text{A}$ 卷   $\square$ $\text{B}$ 卷   $\square$ $\text{C}$ 卷

课程名称: $\underline{高等代数\text{I}}$ 课程代码: $\underline{\text{MATH120011.05/06/07/08}}$
开课院系: $\underline{数学科学学院}$ 考试形式: $\underline{闭卷}$
姓  名: $\underline{}$ 学  号: $\underline{}$

  提示: 请同学们秉持诚实守信宗旨, 谨守考试纪律, 摒弃考试作弊. 学生如有违反学校考试纪律的行为, 学校将按《复旦大学学生纪律处分条例》规定予以严肃处理 $。$

题号	一	二	三	四	五	六	总分
得分

•	不允许使用计算器 $。$
•	请用英文或中文答题; 书写答案应尽量工整, 避免字迹潦草难以辨认 $。$
•	前 8 页为题目及答题纸, 请把答案写在前 8 页或其背面 $。$ 注意保持装订完整 $。$
•	后 4 页为草稿纸, 答卷前全部撕下使用, 交卷时应一并上交 $。$
•	在 “课程代码” 中圈出你所在的班级 $。$

125 春高等代数 (英才班) 期中试题

第一题, 填空题, 共 10 分, 将答案按次序写在答题纸空白处.

设$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -1\end{array}\right).$$将 $A$ 视作复矩阵, 设 $A=HU$ 是它的一个极分解, 其中 $U$ 为酉阵.

1.	$H$ 的所有可能的值为 $\underline{(1)}$.
2.	$U$ 的所有可能的值为 $\underline{(2)}$.

第二题, 判断题, 共 20 分, 每题 5 分. 判断以下命题是否正确, 若正确, 简要说明理由; 若错误, 举出反例并给出必要解释.

1.	判断: 两个正规阵的和还是正规阵.
2.	判断: 设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$, 如果 $A{A}^{\ast }=-A^{\ast }A$ 则 $A$ 可以酉对角化.
3.	判断: 任何正规的复方阵都酉相似于其有理标准型.
4.	判断: 复方阵的特征值模长最小值一定小于等于最小奇异值.

第三题 (共 20 分) 设线性映射 $T:{\mathbb{R}}^5\to {\mathbb{R}}^2$ 在标准基下的矩阵为$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 1& 0\\ 2& 1& 1& 0& 1\end{array}\right)$$设 $E:{\mathbb{R}}^5\to {\mathbb{R}}^5$ 为往 $\mathrm{Ker}(T)$ 上的正交投影, 求 $E$ 在标准基下的矩阵表示.

第四题 (共 20 分) 设 $A\in {\mathbb{C}}^{6\times 6},A$ 的特征值多项式为$$f_A(x)=x^4(x-1{)}^2.$$如果 $\mathrm{rank}(A^2(A-I))=2$, 求 $A$ 所有可能的 Jordan 标准型与有理标准型, 并将它们对应起来, 即指出哪个 Jordan 标准型与哪个有理标准型是相似的.

第五题 (共 15 分) 对 $n$ 阶实或复方阵 $X$, 定义$$\sin (X)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1{)}^k\frac{X^{2k+1}}{(2k+1)!}.$$设 $n$ 阶实方阵 $A$ 的全体特征值都是实数, 且在开区间 $(-1,1)$ 内, 证明关于 $X$ 的矩阵方程 $\sin X=A$ 必有实矩阵解.

[附加题 (5 分): 如果将开区间改为闭区间, 何时还有实矩阵解? 为什么? ]

第六题 (共 15 分) 设 $A$ 是 Hermite 正定阵, $A=PDQ$ 为 $A$ 的一个奇异值分解, 证明 $P=Q^{\ast }$.

224 秋高等代数 (英才班) 期末试题

第一题, 计算题, 共 20 分, 每题 5 分. 不需要写计算过程. 将解答按序号写在试题下方空白处.

设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ & & \\ -4& 3& 2\\ & & \\ -3& 1& 3\end{array}\right)\in {\mathbb{C}}^{3\times 3},B=\left(\begin{array}{cccc}2024& a& 0& 0\\ & & & \\ 0& 0& b& 0\\ & & & \\ 0& 0& 2024& c\\ & & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\in {\mathbb{C}}^{4\times 4}$.

1.	$A$ 的所有特征值为 $\underline{}$.
2.	使得 $P^{-1}AP$ 为对角阵的一个可逆矩阵 $P\in {\mathbb{C}}^{3\times 3}$ 为 $\underline{}$.
3.	分块矩阵 $\left(\begin{array}{cc}A& I\\ & \\ -I& A\end{array}\right)$ 的行列式为 $\underline{}$.
4.	使得 $B$ 可对角化的 $(a,b,c)$ 的全部取值为 $\underline{}$.

第二题, 判断题, 共 15 分, 每题 5 分. 判断下列命题的叙述是否总成立. 若成立, 给出简要的解释; 若不成立, 给出反例及简要的解释.

1.	若 $V$ 是有限维 $\mathbb{C}$ 线性空间, $T$ 是 $V$ 上的线性映射, 则 $V=\mathrm{Ker}(T)+\mathrm{Im}(T)$.
2.	设 $n$ 是正整数, $T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 是线性映射, $\mathcal{B}$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的有序基, ${\mathcal{B}}^{\ast }$ 是 $\mathcal{B}$ 的对偶基, $A$ 为 $T$ 关于 $\mathcal{B}$ 的表示矩阵, $B$ 为 $T^{\mathsf{T}}$ 关于 ${\mathcal{B}}^{\ast }$ 的表示矩阵, 则 $A=B$.
3.	若 $A,B\in {\mathbb{C}}^{2\times 2}$ 都可对角化, 则 $AB$ 可对角化.

第三题 (共 18 分) 设 $n$ 是正整数, $$A:=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& 1\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& 1& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& 0\end{array}\right)\in {\mathbb{C}}^{n\times n}.$$

1.	(5 分) 求 $A$ 的所有特征值, 并说明理由.
2.	(5 分) 求 $A$ 的极小多项式, 并说明理由.
3.	(8 分) 设 $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$ 是一个置换. 定义 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 上的线性映射 $T$ 使得$$T\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ & & & \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ & & & \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ & & & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1\sigma (1)}& a_{1\sigma (2)}& \cdots & a_{1\sigma (n)}\\ & & & \\ a_{2\sigma (1)}& a_{2\sigma (2)}& \cdots & a_{2\sigma (n)}\\ & & & \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ & & & \\ a_{n\sigma (1)}& a_{n\sigma (2)}& \cdots & a_{n\sigma (n)}\end{array}\right).$$问: $T$ 是否总是可对角化? 说明理由.

第四题 (共 17 分) 设 $V$ 是有限维 $\mathbb{C}$ 线性空间. 设 $T$ 是 $V$ 上的线性映射.

1.	(5 分) 用定义直接验证: 对任意 $c\in \mathbb{C}$, $\mathrm{Ker}(T-cI)$ 是 $T$ 不变子空间.
2.	(12 分, (b) 推 (a) 4 分) 证明以下两个命题等价: (a) 对任意 $c\in \mathbb{C}$, $\dim \mathrm{Ker}(T-cI)\le 1$; (b) 存在线性泛函 $f\in V^{\ast }$, 使得对任意非零 $T$ 不变子空间 $W$, $f{|}_W$ 不恒为 $0$.

第五题 (共 20 分) 对 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$, 若存在正整数 $k$ 使得 $A^k=0$, 则称 $A$ 是幂零矩阵.

1.	(5 分) 若 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 是幂零矩阵, 证明: $\mathrm{tr}(A)=\det (A)=0$.
2.	(5 分) 若 $A\in {\mathbb{C}}^{2\times 2}$ 满足 $\mathrm{tr}(A)=\det (A)=0$, 证明: $A$ 是幂零矩阵.
3.	(10 分) 设 $V\subseteq {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 是由 ${\mathbb{C}}^{n\times n}$ 中所有幂零矩阵张成的 $\mathbb{C}$ 线性子空间. 计算 $V$ 的维数, 并说明理由.

第六题 (共 30 分) 设 $F$ 是域, $n,k\ge 2$ 是正整数.

1.	(10 分) 叙述并证明 Cayley–Hamilton 定理.
2.	(20 分) 设 $A_1,A_2,\dots ,A_k,B_1,B_2,\dots ,B_k\in F^{n\times n}$, 满足 $B_i{B}_j=B_j{B}_i,1\le$ $i\ne j\le k$, 且 ${\sum }_{i=1}^k{A}_i{B}_i=0$. 定义 $p(x_1,x_2,\dots ,x_k)=\det \left({\sum }_{i=1}^k{A}_i{x}_i\right)$. 证明: $p(B_1,B_2,\dots ,B_k)=0$. (证明 $k=2,B_1=A_2,B_2=-A_1$ 的特殊情形, 可得 10 分. )

324 秋高等代数 (英才班) 期中试题

第一题, 计算题, 共 15 分.

不需要写计算过程. 将解答按序号写在试卷下方空白处.

记矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 7& 1\\ -1& 1& 3& 0\\ 2& 3& 19& 1\\ 3& 2& 16& 1\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^{4\times 4},Y=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\\ 5\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^{4\times 1}$.

1.	(5 分) 与 $A$ 行等价的行简化阶梯矩阵为 $\underline{(1)}$.
2.	(5 分) 线性方程组 $AX=Y$ 的解集为 $\underline{(2)}$. 将解集表述成集合$$\left\{X\in {\mathbb{R}}^{n\times 1}\mid X={\gamma }_0+c_1{\gamma }_1+\cdots +c_k{\gamma }_k,c_1,\dots ,c_k\in \mathbb{R}\right\}$$的形式.
3.	(5 分) 记 $T:{\mathbb{R}}^{4\times 1}\to {\mathbb{R}}^{4\times 1}$ 由 $X\mapsto AX$ 给出, 记 $e_1,\dots ,e_4$ 是 ${\mathbb{R}}^{4\times 1}$ 的标准基. 则 $T$ 在有序基 $\left\{e_3,e_2,e_1,e_4\right\}$ 下的表示矩阵是 $\underline{(3)}$.

第二题, 判断题, 共 15 分.

判断下列命题的叙述是否总成立. 若成立, 给出简要的解释; 若不成立, 给出反例及简要的解释.

1.	(5 分) 任意秩为 $2$ 的矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{3\times 3}$ 总可以通过一系列初等行变换变为 $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$.
2.	(5 分) 对任意矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$, 总有 $A^{T}A=A{A}^T$.
3.	(5 分) 对任意线性映射 $T:{\mathbb{R}}^{2\times 2}\to {\mathbb{R}}^{2\times 2}$, 总存在 $P,Q\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ 使得对于任意的 $X\in {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ 均有 $T(X)=PXQ$.

第三题 (共 25 分)

给定 $n\in \mathbb{N}$, $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$. 设 $f,g$ 是 $V$ 到 $\mathbb{R}$ 上的 $\mathbb{R}$ 线性映射, 且 $f,g\ne 0$.

1.	(5 分) 求 $N(f)$ 的维数, 并证明你的结论.
2.	(5 分) 证明: $\dim (N(f)\cap N(g))\ge n-2$.
3.	(10 分) 证明下列三个命题等价:  (a) $\dim (N(f)\cap N(g))=n-2$;  (b) $f,g$ 是 $\mathbb{R}$ 线性无关的;  (c) $\dim (N(f)+N(g))=n$.
4.	(5 分) 若 $f,g$ 是 $\mathbb{R}$ 线性无关的, 证明: 对任意 $\alpha \in V$, 均存在 $\beta ,\gamma \in V$, 使得 $\alpha =\beta +\gamma ,f(\alpha )=f(\beta ),g(\alpha )=g(\gamma )$.

第四题 (共 25 分)

给定 $n$ 为正整数, 给定 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 与 $\alpha \in V$. 设 $\mathcal{B}=\left\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\right\}$ 是其一组有序基, 设 $T$ 是 $V$ 上的 $\mathbb{R}$ 线性映射, 使得 $T{\alpha }_i={\alpha }_{i+1}$ 对 $1\le i\le n-1$, 且 $T{\alpha }_n=0$.

1.	(5 分) 写出 $[T{]}_{\mathcal{B}}$.
2.	(10 分) 对任意正整数 $k$, 求 $\mathrm{rank}(T^k)$, 并证明你的结论.
3.	(10 分) 记 $L(V)$ 是 $V$ 上的 $\mathbb{R}$ 线性映射全体组成的线性空间, 求子空间$$\left\{S\in L(V)\mid ST=TS\right\}$$的维数, 并证明你的结论.

第五题 (共 20 分)

设 $n$ 是正整数, $F$ 是域, 设矩阵 $A\in F^{n\times n}$ 满足 $A^2=0$.

1.	(10 分) 设 $V,W$ 是 $F$ 线性空间, 其中 $W$ 有限维, 设 $S,T$ 是 $V$ 到 $W$ 的线性映射. 证明: $\text{rank}(T+S)\le \text{rank}(T)+\text{rank}(S)$, 并给出: “等号成立当且仅当 $\text{Im}(S)\bigcap \text{Im}(T)=\{0\}$” 这个命题的反例.
2.	(*) (5 分) 设 $F=\mathbb{R}$, 证明: $\mathrm{rank}(A^T+A)=2\mathrm{rank}A$.
3.	(5 分) 设 $n$ 是正奇数, 证明: $A+A^T$ 不是可逆矩阵.

第六题 (共 20 分)

给定 $n\ge 3$, 设 $V$ 是域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间. 设 $V_1\subseteq V_2\subseteq \cdots \subseteq V_r$ 是 $V$ 的一列子空间.

1.	(5 分) 证明: 存在 $V$ 的一组基 $\mathcal{B}$, 使得任何一个 $V_i$ 都能由 $\mathcal{B}$ 中的若干元素张成.
2.	(${}^{\ast }$) (10 分) 设 $W_1\subseteq W_2\subseteq \cdots \subseteq W_s$ 是 $V$ 的第二列子空间. 证明: 存在一组基 ${\mathcal{B}}^{\prime }$, 使得每一个 $V_i,W_j$ 均能由 ${\mathcal{B}}^{\prime }$ 中的若干个元素张成.
3.	(5 分) 设 $U_1\subseteq U_2\subseteq \cdots \subseteq U_t$ 是 $V$ 的第三列子空间, 问: 是否总存在 $V$ 的一组基 ${\mathcal{B}}^{\prime \prime }$, 使得每个 $V_i,W_j,U_k$ 均能由 ${\mathcal{B}}^{\prime \prime }$ 中的若干个元素张成?

423 秋高等代数 (英才班) 期末试题

第一题, 填空题, 共 15 分, 每题 5 分.

将答案按序号写在答题纸上, 不要写在原题目上.

考虑 $A=\left(\begin{array}{ccc}2& a& b\\ 0& 1& c\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\in {\mathbb{C}}^{3\times 3}$. 其中 $a,b,c$ 为参数.

1.	考虑多项式 $f(x)=x^{2023}+1$, 则矩阵 $f(A)$ 的行列式为 $\underline{(1)}。$
2.	$A$ 可对角化的充要条件是 $\underline{(2)}。$
3.	当 $A$ 可对角化时, 写出 ${\mathbb{C}}^{3\times 1}$ 中由 $A$ 的特征向量组成的一组基为 $\underline{(3)}。$

第二题, 举例题, 共 15 分, 每题 5 分.

分别举出满足如下条件的 $2$ 阶复矩阵的例子.

1.	$A$ 不可对角化.
2.	$B$ 和 $C$ 是可对角化矩阵, 但是 $B$ 和 $C$ 不可同时对角化.
3.	$D$ 是对角阵, $E$ 不是对角阵, 但是 $D$ 和 $E$ 可同时对角化.

第三题 (共 15 分)

给定正整数 $n$. 设 $V$ 是 $n$ 维 $\mathbb{C}$-线性空间, 设 $T:V\to V$ 是线性映射.

1.	(5 分) 证明: 存在 $V$ 的 $1$ 维线性子空间 $W_1$ 满足 $T(W_1)\subset W_1$.
2.	(5 分) 证明: 存在 $V$ 的 $n-1$ 维线性子空间 $W_{n-1}$ 满足 $T(W_{n-1})\subset W_{n-1}$.
3.	(5 分) 判断: 对任意整数 $0\le m\le n$, 是否存在 $V$ 的 $m$ 维线性子空间 $W_m$ 满足 $T(W_m)\subset W_m$? 若成立请给出证明, 若不成立请举出反例.

第四题 (共 20 分)

给定 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$. 定义如下线性映射 $T:{\mathbb{C}}^{n\times n}\to {\mathbb{C}}^{n\times n}$,$$T(X)=AXA+AX+XA.$$假设 $A$ 是幂零的 (即存在一个正整数 $r$, 使得 $A^r=0$) .

1.	(10 分) 证明: $T$ 也是幂零的.
2.	(10 分) 求 $T$ 的特征多项式.

第五题 (共 20 分)

给定正整数 $n>m$. 设 $V$ 是 $n$ 维 $\mathbb{C}$-线性空间, $T:V\to V$ 是 $\mathbb{C}$-线性映射. 假设 $T(W)\subset W$ 对任意 $m$ 维线性子空间 $W\subset V$ 成立.

1.	(10 分) 证明: $T(W^{\prime })\subset W^{\prime }$ 对任意 $1$ 维线性子空间 $W^{\prime }\subset V$ 成立.
2.	(10 分) 求出所有满足条件的 $T$.

第六题 (共 15 分)

设 $V$ 是域 $F$ 上的线性空间, $T$ 是 $V$ 上的线性映射.

1.	(10 分) 设 $f\in F[x]$ 是一个多项式使得 $f(T)=0$, 且 $f=g^{r}h$, 其中 $g$ 和 $h$ 是互素的多项式, $r$ 是正整数. 证明: $N(g^r(T))=N(g^s(T))$ 对任意正整数 $s\ge r$ 成立. 其中 $N(-)$ 表示零空间.
2.	(5 分) 进一步, 设 $V$ 是有限维线性空间, $p$ 是 $T$ 的极小多项式, 且 $p=p_1^{r_1}{p}_2^{r_2}\cdots p_m^{r_m}$ 是 $F[x]$ 中的不可约分解. 对任意 $1\le i\le m$, 取定正整数 $s_i\ge r_i$, 且令 $V_i=N(p_i^{s_i}(T))$. 证明:$$V=V_1\oplus V_2\oplus \cdots \oplus V_m.$$

523 秋高等代数 (英才班) 期中试题

第一题, 填空题, 共 15 分, 每题 5 分.

将答案按序号写在答题纸上, 不要写在原题目上.

1.	考虑实矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 2& 1& 1& 1\\ -1& 1& 1& 2\end{array}\right)$. 使得 $CA$ 是行简化阶梯矩阵 (RREF) 的一个可逆实矩阵 $C=\underline{(1)}。$
2.	考虑 1 中的 $A$, 实系数线性方程组$$A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$的解集是 $\underline{(2)}$ (答案应当表示为列向量空间 ${\mathbb{R}}^{4\times 1}$ 中的带自由参数的集合) $。$
3.	考虑 $T:{\mathbb{R}}^{2\times 2}\to {\mathbb{R}}^{2\times 2}$ 由 $T(X)=CXC$ 给出, 其中 $C=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 0\end{array}\right)$. 考虑有序基 $\mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\right\}$. 则 $T$ 在 $\mathcal{B}$ 下的表示矩阵是 $\underline{(3)}。$

第二题, 判断题, 共 12 分, 每题 4 分.

判断下列叙述是否正确. 若正确, 简要说明理由. 若错误, 举出反例并简要说明.

1.	设 $V$ 是 $F$ 线性空间且 $V_1,V_2,W$ 是 $V$ 的子空间. 如果 $V_1+W=V_2+W$ 且 $V_1\cap W=V_2\cap W=\{0\}$, 则 $V_1=V_2$.
2.	对任意矩阵 $A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $AB$ 和 $BA$ 相似.
3.	若矩阵 $A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 满足 $sA+tB$ 对任意 $s,t\in F$ 都不可逆, 则存在一个非零的 $\alpha \in {\mathbb{R}}^{n\times 1}$ 使得 $B\alpha =A\alpha =0$.

第三题 (共 18 分)

  给定有限维 $\mathbb{R}$ 线性空间 $V$ 及两个 $V$ 中的子空间 $V_1\subset V_2\subset V$. 求最大的整数 $k$ (表示成关于已知空间的维数的函数) , 使得存在 $V$ 的 $k$ 维子空间 $W$ 满足 $W\cap V_2=V_1$, 并给出一种 $W$ 的构造方法.

第四题 (共 10 分)

  给定一个 $n$ 维 $\mathbb{R}$ 线性空间 $V$ 及 $V$ 中的 $m$ 维子空间 $W$. 考虑$$U=\{T:V\to V\mid T\text{ 是线性映射且对任意 }\alpha \in W\text{ 都有 }T\alpha \in W\}.$$  将 $U$ 视为 $L(V)$ 的子空间. 计算 $U$ 的维数.

第五题 (共 20 分)

  将 ${\mathbb{R}}^{n\times n}$ 视为自然的 $\mathbb{R}$ 线性空间. 对给定的矩阵 $A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, 定义线性映射 $T:{\mathbb{R}}^{n\times n}\to {\mathbb{R}}^{n\times n},T(X)=AX-XB$.

1.	(10 分) 令 $\mathcal{B}$ 是 ${\mathbb{R}}^{n\times n}$ 的一组有序基, 计算 $[T{]}_{\mathcal{B}}$ 的迹 (即对角线上元素之和) , 用 $A=(A_{ij}),B=(B_{ij})$ 中的元表示.
2.	(10 分) 令 $A=B=\mathrm{diag}(d_1,\dots ,d_n)$ 是对角矩阵, 其中 $d_i$ 是两两不同的实数. 计算 $T$ 的像空间的维数.

第六题 (共 20 分)

  给定 ${\mathbb{R}}^{n\times n}$ 的一个线性子空间 $V$, 使得对任意的 $A\in V$ 及任意的初等矩阵 $P\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 都有 $PA\in V$. 记 $r_V=\max \{\mathrm{rank}(A)\mid A\in V\}$.

1.	(8 分) 求所有使 $r_V=n$ 的 $V$.
2.	(12 分) 给出 $\dim V$ 的计算公式, 用 $r_V$ 表示.

第七题 (共 15 分)

  设 $n$ 和 $k$ 是正整数.

1.	(10 分) 设 $V$ 是一个 $n$ 维 $\mathbb{Q}$ 线性空间且 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k$ 是 $V$ 中的非零元. 证明: 存在一个 $V$ 的 $n-1$ 维子线性空间 $W$, 使得 ${\alpha }_i\notin W$ 对任意 $1\le i\le k$ 成立.
2.	(10 分) 设 $x_1,x_2,\dots ,x_{2n-1}\notin \mathbb{Q}$ 是 $2n-1$ 个无理数. 求证: 存在指标集 $\{1,2,\dots ,2n-1\}$ 的子集 $S$ 使得 $|S|\ge n$, 并且对 $S$ 的任意非空子集 $S^{\prime }\subset S$, 求和 ${\sum }_{i\in S^{\prime }}{x}_i$ 是无理数.

623 春高等代数 (英才班) 期末试题

第一题 (共 20 分) 考虑带标准内积的欧氏空间 ${\mathbb{R}}^4$ 中的三个向量$$\begin{array}{rl}& {\alpha }_1=(1,-1,0,0);\\ & {\alpha }_2=(0,1,-1,0);\\ & {\alpha }_3=(0,0,1,-1).\end{array}$$记 $V$ 为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 张成的子空间. 利用 Gram–Schmidt 正交化过程, 将 $\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\}$ 化为 $V$ 的一组规范正交基 (orthonormal basis) , 并求 $\beta =(1,2,1,2)$ 在 $V$ 中的正交投影.

第二题 (共 20 分) 记 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})=\{e^A\mid A\in {\mathbb{C}}^{2\times 2},\mathrm{trace}(A)=0\},SL(2,\mathbb{C})=\{A\in {\mathbb{C}}^{2\times 2}\mid \det (A)=1\}$.

1.	(5 分) 列出 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 中元素的 Jordan 标准型的所有可能.
2.	(10 分) 当 $A$ 取遍 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 中元素时, 列出 $e^A$ 的 Jordan 标准型的所有可能.
3.	(5 分) 证明: 指数映射 $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})\to SL(2,\mathbb{C}),A\mapsto e^A$ 不是满射.

第三题 (共 20 分) 令 $V$ 为 $2n$ 维实内积空间, $T$ 和 $S$ 均为 $V$ 上的线性算子. 设 $TS=S{T}^{\ast }$, 且 $T$ 的极小多项式为 $(x^2+1{)}^n$.

1.	(5 分) 证明存在 $\alpha \in V$, 使得 $V=\mathrm{span}\{\alpha ,T\alpha ,T^2\alpha ,\dots ,T^{2n-1}\alpha \}$. (注: 不可直接使用存在性定理, 需要解释如何找到这样的 $\alpha$. )
2.	(15 分) 证明 $S=S^{\ast }$.

第四题 (共 25 分)

1.	(共 15 分) 设 $V$ 是有限维复线性空间, $T$ 是 $V$ 上的线性算子, ${\mathrm{Sym}}^2(T)$ 是其在 ${\mathrm{Sym}}^2(V)$ 上诱导的线性算子, 即 ${\mathrm{Sym}}^2(T)(\alpha \cdot \beta )=T(\alpha )\cdot T(\beta ),\forall \alpha ,\beta \in V$. 设 $T$ 的秩为 $r$, 证明 $\mathrm{rank}({\mathrm{Sym}}^2(T))=\frac{r(r+1)}{2}$. [提示: 针对此问题, 你有多大的自由度来选合适的基, 使得 $T$ 的矩阵尽可能简单? ]
2.	(共 10 分) 设 $V={\mathbb{C}}^{5\times 1}$ 且 $T$ 是由矩阵$$\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ & & & & \\ 1& 0& 0& 0& 0\\ & & & & \\ 0& 1& 0& 0& 0\\ & & & & \\ 0& 0& 0& 0& 0\\ & & & & \\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$左乘给出的线性算子. 求 ${\mathrm{Sym}}^2(T)$ 的 Jordan 标准型中 $2\times 2$ Jordan 块的个数.

第五题 (共 15 分) 设 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 是一个复矩阵.

1.	(8 分) 若 $A+A^{\ast }$ 是一个 Hermite 正定矩阵, 证明: $A$ 的所有特征值的实部都是正数.
2.	(7 分) 给出上个命题的逆命题的一个反例, 即给出一个 $A$, 使得 $A$ 的所有特征值的实部都是正数, 但 $A+A^{\ast }$ 不是一个 Hermite 正定矩阵.

(附加题 10 分) 证明: 若 $A$ 的所有特征值的实部都是正数, 则存在一个 Hermite 正定矩阵 $H$ 使得 $HA+A^{\ast }H$ 是一个 Hermite 正定矩阵.

723 春高等代数 (英才班) 期中试题

第一题, 填空题, 共 15 分, 将答案按次序写在答题纸空白处.

令 $A=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ & \\ -3& 3\\ & \\ 1& -1\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{3\times 2}$. 求它的奇异值分解 $V^{\ast }AU=\left[\begin{array}{cc}{\sigma }_1& 0\\ & \\ 0& {\sigma }_2\\ & \\ 0& 0\end{array}\right]$, 使得奇异值 ${\sigma }_1\ge {\sigma }_2$, 且 $V$ 的 $(2,2)$ 元为 $0$.

1.	$({\sigma }_1,{\sigma }_2)=\underline{(1)}$.
2.	$U=\underline{(2)}$. 写出一个满足题意的即可.
3.	$V=\underline{(3)}$. 写出一个满足题意的即可.

第二题, 判断题, 共 15 分, 每题 5 分. 判断以下命题是否正确, 若正确, 简要说明理由; 若错误, 举出反例并给出必要解释.

1.	若矩阵 $A,B\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 相似, 则 $A,B$ 酉相似.
2.	若矩阵 $A,B\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 都是正规矩阵且 $AB$ 也是正规矩阵, 则 $AB=BA$.
3.	若矩阵 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 使得 $A^2$ 正规且 $A$ 可逆, 则 $A$ 也是正规的.

第三题 (共 20 分) 设 $A,B\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 是两个正定 Hermite 矩阵. 证明: $(A+B)(A^{-1}+B^{-1})$ 的特征值都是实数且都大于等于 $4$.

(附加题, 5 分) 设 $A_1,\dots ,A_k\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 都是正定 Hermite 矩阵. 证明: $\left({\sum }_{i=1}^k{A}_i\right)\left({\sum }_{i=1}^k{A}_i^{-1}\right)$ 的特征值都是实数且都大于等于 $k^2$.

第四题 (共 20 分) 对 Hermite 矩阵 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$, 记 ${\lambda }_1(A)\ge {\lambda }_2(A)\ge \cdots \ge {\lambda }_n(A)$ 是 $A$ 的所有特征值 (降序排列) . 证明: 对任意 $1\le k\le n$, $${\lambda }_k(A)=\underset{\begin{array}{c}V\subset {\mathbb{C}}^{n\times 1}\\ \dim V=k\end{array}}{\max }\left(\underset{\alpha \in V\backslash \{0\}}{\min }\frac{{\alpha }^{\ast }A\alpha }{{\alpha }^{\ast }\alpha }\right).$$(附加题, 5 分) 考虑分块 Hermite 矩阵 $B=\left[\begin{array}{cc}A& {\beta }^{\ast }\\ & \\ \beta & a\end{array}\right]$, 其中 $\beta \in {\mathbb{C}}^{n\times 1}$ 且 $a\in \mathbb{R}$. 证明: 对任意 $1\le k\le n$, $${\lambda }_k(B)\ge {\lambda }_k(A)\ge {\lambda }_{k+1}(B).$$

第五题 (共 15 分) 设 $V={\mathbb{R}}^{n\times 1}$ 是有限维实线性空间, $f:V\times V\to \mathbb{R}$ 是 $V$ 上的对称双线性型, 由矩阵乘法 $f(\alpha ,\beta )={\alpha }^{T}A\beta$ 定义, 其中 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$. 设 $A$ 有且只有 $1$ 个正的特征值, 且其对应的特征空间是 $1$ 维的. 设 ${\alpha }_0\in V$ 满足 $f({\alpha }_0,{\alpha }_0)>0$. 证明: 对所有 $\beta \in V$, $(f({\alpha }_0,\beta ){)}^2\ge f({\alpha }_0,{\alpha }_0)\cdot f(\beta ,\beta )$.

第六题 (共 15 分) 设 $V$ 是 $4$ 维实线性空间, $f:V\times V\to \mathbb{R}$ 是 $V$ 上的反对称非退化双线性型.

1.	定义 $\varphi :V\times V\times V\times V\to \mathbb{R}$ 如下: $$\varphi ({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)=\sum _{\sigma \in S_4}\mathrm{sgn}(\sigma )\cdot f({\alpha }_{\sigma (1)},{\alpha }_{\sigma (2)})\cdot f({\alpha }_{\sigma (3)},{\alpha }_{\sigma (4)}).$$验证: $\varphi$ 是 $\underline{非0的交错的}$ 多重线性型. (不需要验证 “多重线性”.)
2.	设 $T$ 是 $V$ 上保持 $f$ 不变的线性算子, 即 $f(T\alpha ,T\beta )=f(\alpha ,\beta )$ 对任意 $\alpha ,\beta \in V$ 成立. 证明: $\det (T)=1$.

822 秋高等代数 (英才班) 期末试题

第一题, 填空题, 共 15 分, 每题 5 分.

将答案按序号写在答题纸上, 不要写在原题目上

考虑 $A=\left[\begin{array}{ccc}5& 1& -1\\ & & \\ 0& 1& 0\\ & & \\ 0& -1& 0\end{array}\right]\in {\mathbb{C}}^{3\times 3}$. 令 ${\lambda }_1>{\lambda }_2>{\lambda }_3$ 是 $A$ 的三个特征值且 $V_1,V_2,V_3$ 是对应的特征空间.

1.	$\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\right)=\underline{(1)}。$
2.	考虑 $\alpha =[1,2,3{]}^T$. 设 $\alpha ={\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3$, 其中 ${\alpha }_i\in V_i(i=1,2,3)$. 则 ${\alpha }_1=\underline{(2)}。$
3.	分块矩阵 $\left[\begin{array}{cc}A& 2I_3\\ & \\ I_3& A\end{array}\right]$ 的行列式为 $\underline{(3)}。$

第二题, 判断题, 共 15 分, 每题 3 分.

判断以下命题是否正确, 若正确, 简要说明理由; 若错误, 举出反例并给出简要解释.

1.	若 $A,B\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 是两个幂零矩阵, 则 $AB$ 也是幂零矩阵.
2.	若一个上三角矩阵 $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 可对角化, 则它一定是对角阵.
3.	对于 ${\mathbb{C}}^{2\times 2}$ 中的矩阵 $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ & \\ c& d\end{array}\right]$, 数值 $2a+2d-ad+bc$ 是矩阵相似不变量.
4.	给定矩阵 $A\in {\mathbb{C}}^{m\times n}$, 若齐次线性方程组 $Ax=0$ $(x\in {\mathbb{C}}^{n\times 1})$ 没有非零解, 则存在矩阵 $B\in {\mathbb{C}}^{n\times m}$ 使得 $AB=I_m$.
5.	若矩阵 $A,B\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 有相同的极小多项式以及相同的特征多项式, 则 $A$ 与 $B$ 相似.

第三题 (共 15 分)

令 $T$ 是有限维 $\mathbb{C}$ 线性空间 $V$ 上的线性映射. 设存在 $V$ 的一组有序基 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 使得 $T{\alpha }_i={\alpha }_{i+1}$ 对 $1\le i\le n-1$ 且 $T{\alpha }_n={\alpha }_1$.

1.	(5 分) 计算 $T$ 的特征多项式.
2.	(5 分) 计算 $T$ 的极小多项式.
3.	(5 分) 证明: $T$ 可对角化.

第四题 (共 20 分)

给定矩阵 $A,B\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$. 假设 $A^2=A$ 且 $B^2=B$. 证明: $A$ 与 $B$ 相似当且仅当 $\mathrm{trace}(A)=\mathrm{trace}(B)$.

第五题 (共 20 分)

令 $S$ 和 $T$ 是 $n$ 维 $\mathbb{C}$ 线性空间 $V$ 上的线性映射. 假设 $T$ 有 $n$ 个不同的特征值且 $ST=TS$. 证明: 存在一个多项式 $f\in \mathbb{C}[x]$ 使得 $S=f(T)$.

第六题 (共 15 分)

1.

(3 分) 设矩阵 $A,B\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 有一个公共的特征向量 $\alpha \in {\mathbb{C}}^{n\times 1}$ 使得 $A\alpha =$ $\lambda \alpha$ 且 $B\alpha =\mu \alpha$, 其中 $\lambda ,\mu \in \mathbb{C}$. 证明: 存在一个可逆矩阵 $P\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ 使得 $P^{-1}AP=\left[\begin{array}{cc}\lambda & {\alpha }_1^T\\ & \\ 0& A_1\end{array}\right]$ 且 $P^{-1}BP=\left[\begin{array}{cc}\mu & {\beta }_1^T\\ & \\ 0& B_1\end{array}\right]$, 其中 ${\alpha }_1,{\beta }_1\in {\mathbb{C}}^{(n-1)\times 1}$, $A_1,B_1\in {\mathbb{C}}^{(n-1)\times (n-1)}$.

2.

(12 分) 令 $S$ 和 $T$ 是有限维 $\mathbb{C}$ 线性空间 $V$ 上的线性映射. 假设 $T(T-S)=$ $(T-S)S$. 证明 $T$ 和 $S$ 有相同的特征多项式.

922 秋高等代数 (英才班) 期中试题

第一题, 填空题, 共 15 分, 每题 5 分.

将答案按序号写在答题纸上, 不要写在原题目上.

考虑实矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& -1& 3& 1\\ 1& -2& 2& 0\end{array}\right)$.

1.	使得 $CA$ 是行简化阶梯矩阵 (RREF) 的一个可逆实矩阵 $C=\underline{(1)}。$
2.	以下选项中, 使线性方程组 $Ax=y$ 有解的列向量 $y$ 的全部选项是 $\underline{(2)}。$ a. $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$  b. $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$  c. $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$  d. $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$  e. $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)$
3.	实系数线性方程组$$A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$$的解集是 $\underline{(3)}$ (答案应当表示为列向量空间 ${\mathbb{R}}^{4\times 1}$ 中的带自由参数的集合) $。$

第二题, 判断题, 共 9 分, 每题 3 分.

依次判断下列叙述是否正确. 若正确, 简要说明理由. 若错误, 举出反例并简要说明.

1.	若矩阵 $A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 满足 $AB=0$, 则 $BA=0$.
2.	若矩阵 $A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 满足 $AB=I_n$, 则 $BA=I_n$.
3.	设 $W_1,W_2,W$ 是实线性空间 $V$ 中的三个子空间, 则$$(W_1\cap W)+(W_2\cap W)=(W_1+W_2)\cap W.$$

第三题 (共 18 分)

令 $m\le n$ 是两个非负整数. 记 $V$ 是一个 $n$ 维 $\mathbb{R}$-线性空间, 且 $W$ 是 $V$ 的 $m$ 维线性子空间.

1.	(2 分) 计算 $V$ 中的 $\mathrm{Span}(V\setminus W)$ 的维数 (不需要过程) .
2.	(9 分) 证明: 存在一个 $V$ 的线性子空间 $W^{\prime }$ 使得 $\dim W^{\prime }=n-m$ 且 $W^{\prime }\cap W=\{0\}$.
3.	(7 分) 假设 $0<m<n$. 证明: 满足 $\dim W^{\prime }=n-m$ 且 $W^{\prime }\cap W=\{0\}$ 的 $V$ 的线性子空间 $W^{\prime }$ 有无穷多个. (如果能够证明有至少 $2$ 个这样的 $W^{\prime }$, 可以得 5 分)

第四题 (共 18 分)

给定正整数 $n$. 设 $V$ 和 $W$ 是维数大于 $0$ 的有限维 $\mathbb{R}$-线性空间. 给定 $V$ 中元素 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$.

1.	(9 分) 证明: ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 线性无关当且仅当对任意 $W$ 中元素 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$ 都存在一个线性映射 $T:V\to W$ 使得 $T{\alpha }_i={\beta }_i(1\le i\le n)$.
2.	(9 分) 证明: ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$ 张成 $V$ 当且仅当对任意 $W$ 中元素 ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n$ 都最多存在一个线性映射 $T:V\to W$ 使得 $T{\alpha }_i={\beta }_i(1\le i\le n)$.

第五题 (共 20 分)

设 $V$ 和 $W$ 为 $\mathbb{R}$-线性空间, $T:V\to W$ 为线性映射, 且 $\dim V=5$.

1.	(10 分) 证明: $\mathrm{rank}(T)\le 3$ 当且仅当对于任意 $4$ 维子空间 $U\subset V$, 都有 $\dim T(U)\le 3$.
2.	(10 分) 证明: $\mathrm{rank}(T)\ge 3$ 当且仅当对于任意 $4$ 维子空间 $U\subset V$, 都有 $\dim T(U)\ge 2$.

第六题 (共 20 分)

  令 $n$ 是正整数. 记 $V$ 是所有 ${\mathbb{R}}^{n\times n}$ 到 ${\mathbb{R}}^{n\times n}$ 的 $\mathbb{R}$-线性映射全体, 视为一个自然的 $\mathbb{R}$-线性空间.
  对一个矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, 记 $L_A:{\mathbb{R}}^{n\times n}\to {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 为由 $X\mapsto AX$ 定义的线性映射, 记 $R_A:{\mathbb{R}}^{n\times n}\to {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 为由 $X\mapsto XA$ 定义的线性映射.
  令 $W_1=\left\{L_A\mid A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}\right\},W_2=\left\{R_A\mid A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}\right\}$. 易知它们都是 $V$ 的线性子空间.

1.	(3 分) 计算 $\dim V$ 并证明你的结论.
2.	(6 分) 计算 $\dim W_L$ 和 $\dim W_R$ 并证明你的结论.
3.	(11 分) 计算 $\dim (W_L+W_R)$ 并证明你的结论.

第七题 (共 20 分)

设 $n$ 是正整数, 已知矩阵 $A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ 满足 $AB-BA=A$.

1.	(4 分) 证明 $\mathrm{tr}(A)=0$.
2.	(4 分) 对任意给定的正整数 $k$, $\mathrm{tr}(A^k)$ 是否是一个常数? 若是则求出 $\mathrm{tr}(A^k)$, 若不是则说明理由.
3.	(6 分) $A$ 是否是可逆矩阵? 证明你的结论.
4.	(6 分) 若 $n=2$, 那么 $A^2$ 是否是一个与 $A$ 无关的常值矩阵? 若是则求出 $A^2$, 若不是则说明理由.

1022 春高等代数 (英才班) 期末试题

1.	(15 pt) Consider the complex matrix$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 2& 1\\ -1& -2& -1\end{array}\right]$$ (1) (5 pt) Find the characteristic polynomial of $A$. (2) (10 pt) Find its Jordan normal form $J$ and an invertible matrix $C$ such that$$C^{-1}AC=J.$$
2.	(10 pt) Let $V\subset \mathbb{C}[x]$ be the space of polynomials in $x$ with complex coefficients of degree at most $2$, equipped the inner product$$(f\mid g)={\int }_0^{1}f(x)\overline{g(x)}\mathrm{d}x.$$Let $W\subset V$ be the subspace defined by$$W=\{f\in V\mid f(0)+f(1)=0\}.$$ (1) (5 pt) Find an orthonormal basis of $W$; (2) (5 pt) Find the vector $v\in W$ that is closest to $1\in V$.
3.	(15 pt) Consider the complex matrix$$A=\left[\begin{array}{cc}0& -2\\ 0& 2\end{array}\right]$$ (1) (5 pt) Find a semi-positive definite Hermitian matrix $H_1$ such that$$A=U_1{H}_1.$$for some unitary matrix $U_1$. (In this question you are only asked to compute $H_1$.) (2) (5 pt) Find a semi-positive definite Hermitian matrix $H_2$ such that$$A=H_2{U}_2.$$for some unitary matrix $U_2$. (In this question you are only asked to compute $H_2$.) (3) (5 pt) Find all solutions for the unitary matrix $U_1$ in (1).
4.	(20 pt) Let $V$ be a finite-dimensional $\mathbb{C}$-linear space with an inner product. Let $T:V\to V$ be a linear map. Let $W$ be a subspace of $V$. (Note: in this question, you are not allowed to use any theorems. Try to only use basic definitions.) (1) (1 pt) Give the definition of $W^{\perp }$. (2) (6 pt) Show that $V=W\oplus W^{\perp }$. (3) (1 pt) Give the definition of $T^{\ast }$. (4) (6 pt) Suppose that $W$ is $T$-invariant, show that $W^{\perp }$ is $T^{\ast }$-invariant. (5) (6 pt) Suppose that $T$ is normal and $T\alpha =c\alpha$ for some $c\in \mathbb{C}$ and $\alpha \in V$, show that $T^{\ast }\alpha =\bar{c}\alpha$.
5.	(20 pt) Let $V,W$ be $F$-linear spaces and $T:V\to W$ be a linear map. Suppose that $T$ is surjective. Show that if $f:V\to U$ is a linear map such that $f(x)=\{0\}$ for any $x\in \mathrm{Null}(T)$, then there exists a unique map $g:W\to U$ such that $f=g\circ T$.
6.	(20 pt) Let $A,B\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ be Hermitian matrices. Denote $\lambda (X)$ to be the smallest eigenvalue of the Hermitian matrix $X$. Denote $\mu (X)$ to be the largest eigenvalue of the Hermitian matrix $X$. (1) (10 pt) Show that$$\lambda (A)=\underset{\begin{array}{c}x\in {\mathbb{C}}^{n\times 1}\\ x^{T}x=1\end{array}}{\min }{x}^{T}Ax.$$ (2) (10 pt) Show that$$\lambda (A)+\lambda (B)\le \lambda (A+B)\le \lambda (A)+\mu (B).$$ In the second question, you can use the following fact without proof:$$\mu (A)=\underset{\begin{array}{c}x\in {\mathbb{C}}^{n\times 1}\\ x^{T}x=1\end{array}}{\max }{x}^{T}Ax.$$

1121 秋高等代数 (英才班) 期末试题

1.	(15 pt) Consider the linear system over $\mathbb{R}$: $$\left[\begin{array}{ccc}-1& a& 1\\ 2& 0& 1\\ 1& -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$where $a$ is a constant. (1) Find all values of $a$ so that the system has a unique solution. (2) Find all values of $a$ so that the system has infinitely many solutions. (3) Find all values of $a$ so that the system has no solution.
2.	(6 pt) Let $W$ be the subspace of $V={\mathbb{R}}^4$ spanned by $(1,0,-1,2),(2,3,1,1)$, and $(1,3,2,-1)$. Find a basis of the annihilator of $W$ in $V^{\ast }$.
3.	(10 pt) Let $a,{\lambda }_i\in \mathbb{C}$. (1) Find the characteristic polynomial of$$\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& a\\ a& {\lambda }_2\end{array}\right].$$ (2) Find the characteristic polynomial of$$\left[\begin{array}{cccc}3& 1& 1& 1\\ 1& 2& 1& 1\\ 1& 1& -2& 1\\ 1& 1& 1& -3\end{array}\right].$$
4.	(20 pt) Let $V,W,U$ be finite–dimensional $\mathbb{R}$-linear spaces and let $T:V\to W$, $S:W\to U$ be linear maps. Show that $\mathrm{rank}(ST)=\mathrm{rank}(T)$ if and only if $ST$ and $T$ have the same null space.
5.	(20 pt) Let $V,W$ be finite–dimensional $\mathbb{R}$-linear spaces and let $T:V\to W$ be a linear map and $T^t:W^{\ast }\to V^{\ast }$ be the transpose of $T$. Given $\beta \in W$. Show that the following two statements are equivalent: (1) $\beta \in \mathrm{Range}(T)$; (2) for any $f\in \mathrm{Null}(T^t)$, $f(\beta )=0$.
6.	(13 pt) Let $V$ be a finite–dimensional $\mathbb{R}$-linear space and $\alpha \ne \beta \in V$. Show that there exists a linear functional $f\in V^{\ast }$ such that $f(\alpha )\ne f(\beta )$.
7.	(16 pt) Consider 3 polynomials in $\mathbb{C}[x]$: $$p_0=-(x-1)(x+1),p_1=\frac{1}{2}x(x+1),p_2=\frac{1}{2}x(x-1).$$Then a direct check shows that $1=p_0(x)+p_1(x)+p_2(x)$ and $x=p_1(x)-p_2(x)$. (No need to verify.) Let $T:V\to V$ be a linear map on a finite–dimensional $\mathbb{C}$-linear space $V$, having minimal polynomial $m_T(x)=x(x-1)(x+1)$. Let $P_i=p_i(T)$. Show that $P_0,P_1$ and $P_2$ satisfy the properties  (1) $I=P_0+P_1+P_2$;  (2) $T=P_1-P_2$;  (3) $P_i^2=P_i$ for all $i$;  (4) $P_i\cdot P_j=0$ for $i\ne j$.

1221 秋高等代数 (英才班) 期中试题

1.	(20pt) Computations. All matrices and linear equations are over the real number field $\mathbb{R}$. Write down the correct results of each question. (1) (7pt) Compute the inverse of $\left[\begin{array}{ccc}3& -4& 5\\ 2& -3& 1\\ 3& -5& -1\end{array}\right]$; (2) (6pt) Compute the rank of $A=\left[\begin{array}{ccccc}2& -1& 3& -2& 4\\ 4& -2& 5& 1& 7\\ 2& -1& 1& 8& 2\end{array}\right]$; (3) (7pt) Describe the solutions of $$A\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ 5\\ 1\end{array}\right].$$
2.	(20pt) Let $V,W$ be finite–dimensional $\mathbb{R}$-linear spaces. Fix a positive integer $n$. Let ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in V$, and ${\beta }_1,\dots ,{\beta }_n\in W$. Prove that the following two statements are equivalent: (1) There is an $\mathbb{R}$-linear map $T:V\to W$ such that $T{\alpha }_i={\beta }_i$ for all $1\le i\le n$. (2) For any $c_1,\dots ,c_n\in \mathbb{R}$, if ${\sum }_{i=1}^n{c}_i{\alpha }_i=0$, then ${\sum }_{i=1}^n{c}_i{\beta }_i=0$.
3.	(20pt) Let $V,W$ be finite–dimensional $\mathbb{R}$-linear spaces and let $T:V\to W$ be a linear map. For a subset $U\subset W$, denote $T^{-1}(U)$ to be the pre–image of $U$ under $T$, that is, $T^{-1}(U)=\{\alpha \in V\mid T(\alpha )\in U\}$. (1) (2pt) If $W^{\prime }$ is a subspace of $W$, show that $T^{-1}(W^{\prime })$ is a subspace of $V$. (2) (4pt) Given $2$ subspaces $W_1,W_2\subset W$. Show that $T^{-1}(W_1+W_2)=T^{-1}(W_1)+T^{-1}(W_2)$. (3) (14pt) Given $2$ subspaces $W_1,W_2\subset W$. Show that the following two statements are equivalent: (a) $W_1\cap W_2\cap R(T)=\{0\}$ and $T$ is injective. (b) $\dim (T^{-1}(W_1))+\dim (T^{-1}(W_2))=\dim (T^{-1}(W_1+W_2))$.
4.	(20pt) Given a positive integer $n$. A matrix $A=[a_{ij}]\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ is called a magic matrix if the sum of entries in each column and each row is a fixed number, namely, ${\sum }_{k=1}^n{a}_{kj}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}$ for all $1\le i,j\le n$. A matrix $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ is called a permutation matrix if in each column and each row, there is exactly one entry to be $1$ and others are $0$ (for example, the identity matrix $I_n$). Denote $\mathcal{M}$ to be the set of all magic matrices in ${\mathbb{R}}^{n\times n}$, and $\mathcal{P}$ to be the set of all permutation matrices in ${\mathbb{R}}^{n\times n}$. (1) (4pt) Compute $|\mathcal{P}|$. (2) (8pt) Compute the dimension of $\mathrm{Span}(\mathcal{M})$. (3) (8pt) Show that $\mathrm{Span}(\mathcal{M})=\mathrm{Span}(\mathcal{P})$.
5.	(20pt) Let $V$ be an $\mathbb{R}$-linear space. Let $T:V\to V$ and $S:V\to V$ be invertible linear maps such that $T^{-1}=T$ and $S^{-1}=S$. (1) (3pt) Show that $(T-S)(T+S)=-(T+S)(T-S)$. (2) (3pt) Show that $(T+S{)}^2+(T-S{)}^2=4I$, where $I$ is the identity map. (3) (14pt) Show that$$R(ST-TS)=R(T-S)\cap R(T+S).$$Here $R(\ast )$ is the range of the linear map.

1321 春高等代数 (英才班) 期末试题

1.	1-a. (5pt) For the $A$ provided, calculate $e^A$. 1-b. (5pt) For the $B$ provided, calculate $e^B$. Here$$A=\left[\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\text{ and }B=\left[\begin{array}{ccc}-6& -3& -4\\ 1& 1& 1\\ 7& 3& 5\end{array}\right].$$
2.	(15pt) Let $W\subset {\mathbb{R}}^4$ be the subspace spanned by$${\alpha }_1=(1,1,1,1),{\alpha }_2=(1,-1,1,-1),{\alpha }_3=(1,2,3,4).$$ (1) (5pt) Find an orthonormal basis of $W$ by applying the Gram–Schmidt process to ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$. (2) (5pt) Let $P$ be the orthogonal projection $P:{\mathbb{R}}^4\to W$, find $P(\beta )$ where $\beta =(0,0,0,1)$. (3) (5pt) Find the matrix of $P$ with respect to the standard basis of ${\mathbb{R}}^4$ and the orthonomal basis of $W$ found in (1).
3.	(20pt) Let $V$ be an $\mathbb{R}$-vector space of $\dim V=n$. Let $f:V\times V\to \mathbb{R}$ be a non-degenerate symmetric bilinear form. (1) (5pt) Show that there exists an integer $0\le k\le n$ and a basis $\mathcal{B}=\{{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n\}$ of $V$ such that$$f({\beta }_i,{\beta }_j)=\{\begin{array}{ll}0& \text{ if }i\ne j;\\ 1& \text{ if }i=j\le k;\\ -1& \text{ if }i=j>k.\end{array}$$ (2) (5pt) Suppose $V={\mathbb{R}}^{1\times 4}$ and $f(\alpha ,\beta )={\alpha }^{T}A\beta$ where $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0\end{array}\right]$. Find $k$ of $f$ in (1). (3) (10pt) Show that $k$ is independent of the choice of $\mathcal{B}$ in (1).
4.	(10pt) For the Lie algebra ${\mathfrak{sl}}_2\mathbb{C}$, we fix its generators$$H=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right],X=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right],\text{ and }Y=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right].$$Let $V$ be a finite-dimensional representation of ${\mathfrak{sl}}_2\mathbb{C}$. Suppose $v\in V$ is an eigenvector of $H$, show that there is an integer $k$ such that $X^k(v)\ne 0$ and $X^{k+1}(v)=0$.
5.	(15pt) Let $V$ be a finite-dimensional $\mathbb{C}$-vector space with an inner product $⟨\cdot \mid \cdot ⟩$. Let $T:V\to V$ be a linear map. (1) (5pt) Suppose there exists a polynomial $p\in \mathbb{C}[t]$ such that $T^{\ast }=p(T)$. Show that $T$ is normal. (2) (10pt) Suppose $T$ has the property that a subspace $W\subset V$ is $T^{\ast }$-invariant if and only if $W$ is $T$-invariant. Show that $T$ is normal.

1421 春高等代数 (英才班) 期中试题

1.	(15 pt) Let $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -3& -3& 3\\ -2& -2& 2\end{array}\right]\in {\mathbb{C}}^{3\times 3}$. (1) (2 pt) Compute the characteristic polynomial of $A$. (2) (2 pt) Compute the minimal polynomial of $A$. (3) (2 pt) Compute all eigenvalues of $A$. (4) (4 pt) Compute the Jordan canonical form of $A$. (5) (5 pt) Compute $e^A$.
2.	(10 pt) Consider the linear equations$$\begin{array}{r}2x_1+x_2-x_3+x_4-3x_5=0;\\ x_1+x_2-x_3+x_5=0.\end{array}$$ (1) (5 pt) Give a basis of the solution space (as a subspace of ${\mathbb{R}}^5$). (2) (5 pt) Use the Gram–Schmidt process to make the basis given in (1) orthonormal.
3.	(10 pt) Let $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]\in {\mathbb{C}}^{2\times 3}$. Compute the singular value decomposition (SVD) of $A$.
4.	(18 pt) Let $V$ be a complex inner product space. Let $T:V\to V$ be a linear map. Suppose that the adjoint $T^{\ast }$ exists. (1) (4 pt) Show that for $\alpha \in V$, $T^{\ast }T\alpha =0$ if and only if $T\alpha =0$; (2) (8 pt) Show that $V=R(T)\oplus N(T^{\ast })$ if and only if $R(T^{\ast })=R(T^{\ast }T)$. (3) (6 pt) Suppose that $V$ is finite dimensional and $T=I-U$ where $U$ is unitary. Show that $R(T^{\ast })=R(T^{\ast }T)$.
5.	(15 pt) Let $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ be a positive-definite Hermitian matrix, and let $X\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$ be a Hermitian matrix. Let $k,l,m$ be positive integers. (1) (5 pt) Show that if $X^k=0$, then $X=0$. (2) (10 pt) Show that if $X^{k}A{X}^{l}A{X}^m=0$, then $X=0$.
6.	(16 pt) Let $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$. Show that $A$ is similar to $A^k$ for all integers $k\ne 0$ if and only if $1$ is the only eigenvalue of $A$.
7.	(16 pt) Let $A\in {\mathbb{C}}^{n\times n}$. Show that (1) (8 pt) $A$ is normal if and only if all eigenvalues of $A{A}^{\ast }-A^{\ast }A$ are zero. (2) (8 pt) $A$ is normal if and only if $A^2{A}^{\ast }=A{A}^{\ast }A$.

1520 秋高等代数 (英才班) 期末试题

1.	(10 points) Let $A=\left[\begin{array}{ccc}-1& -2& 0\\ -1& 0& 2\\ -1& -1& 1\end{array}\right]$; let $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$; let ${\vec{b}}_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ -1\end{array}\right]$ and ${\vec{b}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\end{array}\right]$; (1) find all solutions of the system $A\mathbf{x}={\vec{b}}_1$; (2) find all solutions of the system $A\mathbf{x}={\vec{b}}_2$.
2.	(10 points) Let $T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$ be a linear transformation, given by the $3\times 3$ matrix $A$:$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ -1& 0& 1\end{array}\right].$$Let $\mathfrak{B}=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]\right\}$, (1) show that $\mathfrak{B}$ is a basis of ${\mathbb{R}}^3$; (2) find $[T{]}_{\mathfrak{B}}$, which is a $3\times 3$ matrix.
3.	(15 points) (1) Let $A=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 0\end{array}\right]$, find $\det A$; (2) let $B=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& c_0\\ 1& 0& c_1\\ 1& 1& c_2\end{array}\right]$, find its characteristic polynomial $\det (xI-B)$; (3) Find an $n\times n$ matrix $C$ so that its characteristic polynomial is$$\det (xI-C)=x^n+c_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_0.$$Prove it.
4.	(15 points) Let $T:V\to W$ be a linear transformation between two finite dimensional $\mathbb{R}$ vector spaces. Show that$$\dim \mathrm{Null}(T)+\dim \mathrm{Range}(T)=\dim V.$$
5.	(15 points) Let $T:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ be a linear transformation given by $A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right]$, (1) we know $c_1=1$ is an eigenvalue of $A$; find the other eigenvalue $c_2$; further for each eigenvalue $c_1$ and $c_2$, find one of its associated eigenvector; (2) write the minimal polynomial of $A$ as $p(x)=(x-c_1)(x-c_2)$; let $p_i(x)=(x-c_i)$. Show that each $\mathrm{Null}({p_i(x)|}_{x=A})$ is the span of one of the eigenvectors found; (3) Following Theorem 12 of Section 6, we know that there are projections $E_1$ and $E_2:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ so that$$T=c_1{E}_1+c_2{E}_2.$$Find the matrix forms $A_1$ and $A_2$, of $E_1$ and $E_2$, respectively; verify the above identity. Let $A$ be an $n\times n$ matrix. We know that the row space (resp. column space) of $A$ is the span of the row vectors (resp. column vectors) of $A$; the row rank of $A$ is the dimension of its row space, identical to the column rank. Answer the following question; when asked why, give a brief reason.
6.	(17 points) Let $A^{\prime }$ be derived from $A$ via a sequence of row operations. Answer the following questions: (1) Are the row spaces of $A$ and $A^{\prime }$ the same? Do they have identical dimensions? Why? (2) Are the column spaces of $A$ and $A^{\prime }$ the same? Do they have identical dimensions? Why? (3) In case $A^{\prime }$ is in Echelon form, how to read the row rank of $A^{\prime }$? And how to read off the column rank of $A^{\prime }$?
7.	(18 points) Let $T:{\mathbb{R}}^6\to {\mathbb{R}}^6$ be a linear transformation, having characteristic polynomial $$f(x)=(x-1{)}^3(x+1{)}^3.$$ Let $W_{\pm }=\mathrm{Null}\left((T\pm I{)}^3\right)$. Show that (1) $W_{-}$ and $W_{+}$ are $T$ invariant, namely $T(W_{\pm })\subset W_{\pm }$; (2) ${\mathbb{R}}^6=W_{-}\oplus W_{+}$.

1620 秋高等代数 (英才班) 期中试题

1.	(20 pt) Computations. Write down the correct results of each question. (1) (5 pt) Compute the inverse of $\left[\begin{array}{ccc}3& -1& 2\\ 1& 4& -3\\ 2& 2& 1\end{array}\right]$; (2) (5 pt) Compute the rank of $\left[\begin{array}{cccc}1& 7& 7& 9\\ 7& 5& 1& -1\\ 4& 2& -1& -3\\ -1& 1& 3& 5\end{array}\right]$; (3) (5 pt) Describe the solutions of$$\begin{array}{rl}5x_1+3x_2+5x_3+12x_4& =10;\\ 2x_1+2x_2+3x_3+5x_4& =4;\\ x_1+7x_2+9x_3+4x_4& =2.\end{array}$$(4) (5 pt) Let $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 4& 3& 2& 1\\ 1& 4& 1& 1\\ 5& 1& 1& 1\\ 1& 1& 3& 1\end{array}\right]$. Find an invertible matrix $P$ such that $PA$ is a row–reduced echelon matrix.
2.	(20 pt) Let $V$ be an $\mathbb{R}$-linear space. Consider two finite subsets $S,T$ of $V$. Suppose that $S$ is linearly independent, and $T$ spans $V$. Show that for any integer $0\le k\le \min \{|S|,|T|\}$, we can find subsets $S_k\subseteq S,T_k\subseteq T$, such that $\left|S_k\right|=\left|T_k\right|=k$ and $\left(T\setminus T_k\right)\cup S_k$ spans $V$.
3.	(20 pt) Let $V$ be an $n$-dimensional $\mathbb{R}$-linear space. Consider an $\mathbb{R}$-linear map $T:V\to V$ satisfying $T^2=-I$. (1) (5 pt) Show that for any non–zero $\alpha \in V$, $\{\alpha ,T\alpha \}$ is linearly independent. (2) (10 pt) Show that we can find an ordered basis of $V$ of the form$$\left\{{\alpha }_1,T{\alpha }_1,{\alpha }_2,T{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k,T{\alpha }_k\right\}.$$(3) (3 pt) Write down the matrix of $T$ relative to the ordered basis in (2). (4) (2 pt) Show that any two matrices $A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ satisfying $A^2=B^2=-I_n$ are similar to each other.
4.	(20 pt) Let $m,n,k,l$ be positive integers. Consider two matrices $A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ and $B\in {\mathbb{R}}^{k\times l}$. Consider the $\mathbb{R}$-linear map $T:{\mathbb{R}}^{n\times k}\to {\mathbb{R}}^{m\times l}$ defined by $T(X)=AXB$. (1) (8 pt) Show that $T$ is invertible if and only if $m=n,k=l$, and $A,B$ are invertible. (2) (12 pt) Compute $r(T)$ in terms of $r(A)$ and $r(B)$.
5.	(20 pt) Let $V,W,Z$ be finite–dimensional $\mathbb{R}$-linear spaces. Consider two linear maps $T:V\to W$ and $U:W\to Z$. Prove that (1) (10 pt) $r(UT)=r(U)$ if and only if there exists a linear map $S:W\to V$ such that $UTS=U$. (2) (10 pt) $r(UT)=r(T)$ if and only if there exists a linear map $S^{\prime }:Z\to W$ such that $S^{\prime }UT=T$.