随机过程试卷

12024–2025 学年春季学期期末 (应坚刚)

本次考试延长了 30 分钟, 考试时长共 2.5 小时.

1.	(10) 叙述并证明 Kolmogorov 01 律.
2.	(20) 设 $(X_n)$ 是一维整数点上从零点出发的简单随机游动, $p⩽q$, $T$ 是首次返回零点的时间. (1) 求 $P(T<\infty )$, 任意方法均可, 需要过程; (2) 当 $p<q$ 时, 定义 $\xi ={\sup }_n{X}_n$. 证明 $P(\xi <\infty )=1$, 并求 $\xi$ 的分布.
3.	(20) 证明: (1) 设 $X,Y$ 独立且期望为零, 则 $\mathbb{E}|X|⩽\mathbb{E}|X+Y|$; (2) 非负上鞅几乎所有的轨道在碰到零后都取值恒为零.
4.	(10) 证明有限状态不可分的马氏链正常返.
5.	(20) 设 $abcd$ 是正方形, 连接处于对角的 $ac$ 两点形成一电路图, 每条导线的电导均为 1. 求 $P^a({\tau }_a<{\tau }_b^{+})$, $E^a({\tau }_a^{+})$ 与 $E^a({\tau }_b^{+})$, 其中 ${\tau }^{+}$ 表示首中时, $\tau$ 表示进入时.
6.	(15) 设 $B=(B_t)$ 是标准布朗运动. (1) 求随机变量 ${\int }_0^1{B}_t\mathrm{d}t$ 的数学期望和方差; (2) 求随机变量 ${\int }_0^1{B}_t^2\mathrm{d}t$ 的数学期望和方差; (3) 设 $0<s<t$, 求 $E(B_t^2|B_s^2+(B_t-B_s{)}^2)$.
7.	(5) 证明两个独立的泊松过程不会同时跳跃.

22023–2024 学年春季学期期末 (应坚刚)

1.	(10) 设 $X,Y$ 独立且期望为零, 证明: $\mathbb{E}|X|⩽\mathbb{E}|X+Y|$.
2.	(20) 设 $(X_n)$ 是一维整数点上零点出发的简单随机游动 $p<q$, $T$ 是首次返回零点的时间. (1) 求 $P(T<\infty )$, 需要过程; (2) 定义 $\xi ={\sup }_n{X}_n$. 证明 $P(\xi <\infty )=1$, 并求 $\xi$ 的分布.
3.	(20) 设 $(Y_n)$ 独立且等可能取值 $\frac{1}{2}$ 和 $\frac{3}{2}$. 令 $X_n=Y_1{Y}_2\cdots Y_n$. (1) 证明 $(X_n)$ 是鞅; (2) 证明 $X_n$ 几乎处处趋于零.
4.	(20) 设 $X$ 是正方形图 $abcd$ 上的简单随机游动, $a$ 与 $b$ 相邻, 与 $c$ 对角. 求 $P^a({\tau }_b<{\tau }_a)$ 与 $P^a({\tau }_c<{\tau }_a)$, 其中 ${\tau }_a=\inf \{n⩾1:X_n=a\}$.
5.	(20) 设马氏链 $X$ 的转移函数图如下: (1) 问哪些状态暂留, 常返, 零常返, 正常返? (2) 求 $f_{1,4}$, 与 ${\mathbb{E}}^4({\tau }_4)$.
6.	(10) 设 $X$ 是一个有限状态马氏链. 证明平稳分布存在.