现代分析基础 II 试卷

125 春期末试卷 (章嘉雯)

一	(15 分) 设 $G$ 为一个离散群. (1) 叙述 $l^{\infty }(G)$ 上左不变平均与顺从性的定义. (2) 叙述 F∅lner 条件与 Hulanicki–Reiter 条件. (3) 证明 ${\mathbb{F}}_2$ 不是顺从群.
二	(20 分) 证明下面的群顺从: (1) $G=\{$ 变换 $x\mapsto ax+b(x\in \mathbb{R}):a,b\in \mathbb{R},a>0\}$; (2) $G=\prod _{n\in \mathbb{N}}{G}_n$, 其中 $G_n$ 均为有限群且 $\underset{n\in \mathbb{N}}{\sup }\#G_n$ 有限, $\#$ 表示集合的势.
三	(15 分) 对于局部凸空间 $X$ 来说, 设 $K\subseteq X$ 为一个非空紧凸集, $G$ 是一个局部紧群, 作用在 $K$ 上 ($G\curvearrowright K$) . 我们称 $G\curvearrowright K$ 是 separately continuous 的, 若 $\stackrel{◯}{1}$ 对任意 $x\in K$, 映射 $G\to K,g\mapsto gx$ 连续; $\stackrel{◯}{2}$ 对任意 $g\in G$, 映射 $K\to K,x\mapsto gx$ 连续. 我们称 $G\curvearrowright K$ 是仿射作用, 若对任意 $g\in G,x,y\in K$, 有$$g(tx+(1-t)y)=tg(x)+(1-t)g(y),\forall 0⩽t⩽1.$$现在假设群 $G$ 有如下性质: 对于每个作用 $G\curvearrowright K$, 其中 $K$ 为局部凸空间的非空紧凸集, 若这个作用是 separately continuous 的且是仿射作用, 则存在 $x\in K$, 使得 $gx=x$ 对任意 $g\in G$ 成立. 证明: $G$ 是顺从群.
四	(20 分) 设 $G$ 是一个局部紧群, 且不是单模的, ${\mu }_G$ 为 $G$ 上的左 Haar 测度, ${\Delta }_G$ 为 $G$ 的模函数. (1) 证明: 存在 $a\in G$ 使得 ${\Delta }_G(a^{-1})⩾2$. (2) 证明: 存在单位元 $1_G$ 的一个对称开邻域 $U$ 使得 $U^2\subseteq \{x\in G:\frac{1}{2}<{\Delta }_G(x)<2\}$. (3) 对正整数 $k$, 取单位元 $1_G$ 的开邻域 $W_k\subseteq U$ 使 ${\mu }_G(W_k)⩽2^{-k}$, 其中 $U$ 如 (2) 所述. 取一个单调递增的正整数数列 $\{n_k{\}}_{k\in \mathbb{N}}$ 使得 ${\mu }_G(W_k)⩾2^{-n_k+1}$. 令 $W:=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{a}^{n_k}{W}_k$, 其中 $a$ 如 (1) 所述. 证明: ${\mu }_G(W)⩽1$, ${\mu }_G(W^{-1})=+\infty$.
五	(15 分) 设群 $G=\left\{\left[\begin{array}{cc}x& y\\ 0& 1\end{array}\right]:x,y\in \mathbb{R},x\ne 0\right\}$, 赋以欧氏拓扑. 计算 $G$ 的左 Haar 测度、右 Haar 测度与模函数.
六	(15 分) (1) 叙述 Kazhdan’s property (T). (2) 证明: 有限群有 Kazhdan’s property (T).

224 春期末试卷 (章嘉雯)

一	(1) 叙述顺从性的定义. (2) 叙述 F∅lner 条件与 Hulanicki–Reiter 条件. (3) 证明 ${\mathbb{F}}_2$ 不是顺从群.
二	(1) $G\triangleq \{$ 双射 $\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}:$ 除了有限个点外, 有 $\sigma (n)=n$ 恒成立 $\}$ 顺从吗? (2) Heisenberg 群 $H\triangleq \left\{\left[\begin{array}{ccc}1& x& y\\ 0& 1& z\\ 0& 0& 1\end{array}\right]:x,y,z\in \mathbb{Z}\right\}$ 顺从吗?
三	(阅读理解) 对于局部凸空间 $X$ 来说, 设 $K\subseteq X$ 为一个非空紧凸集, $G$ 是一个局部紧群, 作用在 $K$ 上 ($G\curvearrowright K$) . 我们称 $G\curvearrowright K$ 是 separately continuous 的, 若 $\stackrel{◯}{1}$ 对任意 $x\in K$, 映射 $G\to K,g\mapsto gx$ 连续; $\stackrel{◯}{2}$ 对任意 $g\in G$, 映射 $K\to K,x\mapsto gx$ 连续. 我们称 $G\curvearrowright K$ 是仿射作用, 若对任意 $g\in G,x,y\in K$, 有$$g(tx+(1-t)y)=tg(x)+(1-t)g(y),\forall 0⩽t⩽1.$$现在假设群 $G$ 有如下性质: 对于每个作用 $G\curvearrowright K$, 其中 $K$ 为局部凸空间的非空紧凸集, 若这个作用是 separately continuous 的且是仿射作用, 则存在 $x\in K$, 使得 $gx=x$ 对任意 $g\in G$ 成立. 证明: $G$ 是顺从群.
四	(1) 叙述局部紧群上的左 Haar 测度的定义. (2) 证明: 对于局部紧群 $G$ 来说, $G$ 是紧群当且仅当左 Haar 测度有限 ($\mu (G)<\infty$) .
五	设群 $G=\left\{\left[\begin{array}{cc}x& y\\ 0& x^{-1}\end{array}\right]:x,y\in \mathbb{R},x\ne 0\right\}$, 赋以欧氏拓扑. 计算 $G$ 的左 Haar 测度、右 Haar 测度与模函数.
六	(1) 叙述 a–T–menability 性质, 举出有 a–T–menability 性质但不是顺从群的例子 (无需证明) . (2) 叙述 Kazhdan’s property (T). (3) 证明: 有限群有 Kazhdan’s property (T).

323 春期末试卷 (章嘉雯)

复旦大学数学科学学院
2022$\sim$2023 学年第二学期期末考试试卷
$\text{A}$ 卷

课程名称: $\underline{现代分析基础\text{ II}}$ 课程代码: $\underline{\text{MATH130090}}$
开课院系: $\underline{数学科学学院}$ 考试形式: $\underline{开卷}$
姓 名: $\underline{}$ 学 号: $\underline{}$ 专 业: $\underline{}$

  提示: 请同学们秉持诚实守信宗旨, 谨守考试纪律, 摒弃考试作弊. 学生如有违反学校考试纪律的行为, 学校将按《复旦大学学生纪律处分条例》规定予以严肃处理.

题号	第一题	第二题	第三题	第四题	第五题	第六题	第七题	总分/100
得分

  本张试卷, 每一题中的各小题可能存在逻辑关系, 做后面的小题时可以直接应用前面小题的结论. 最终的卷面得分会折算成满分 100 分的得分.

一、	对于以下这些群, 求其上的左、右 Haar 测度与模函数.
(a)	$G=\left\{\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& 1\end{array}\right):x\in \mathbb{R}\setminus \{0\},y\in \mathbb{R}\right\}$.
(b)	$G=GL(2,\mathbb{R})$.
二、	设 $G$ 是一个非离散的局部紧群, $\lambda$ 是左 Haar 测度. 证明, 存在 $\lambda$ 不可测集.
三、	设 $G$ 不是单模的.
(1)	证明, 存在 $a\in G$, 使得 $\Delta (a^{-1})\ge 2$;
(2)	证明, 存在 $e$ 的一个对称邻域 $U$, 使得 $U^2\subset \{x\in G:\frac{1}{2}<\Delta (x)<2\}$;
(3)	取一列 $e$ 的邻域 $W_k\subset U$, $\lambda (W_k)\le 2^{-k}$. 必有一个递增的正整数列 $\{n_k\}$, 满足 $2^{-n_{k+1}}\le \lambda (W_k)$. 记 $W={\bigcup }_{k=1}^{\infty }{a}^{n_k}{W}_k$, 证明, $\lambda (W)\le 1,\lambda (W^{-1})=+\infty$.
四、	证明下列群是顺从群:
(a)	$G=\{\sigma :\mathbb{N}\to \mathbb{N}\mid \sigma \text{ 是双射},\text{ 且除有限个 }n\text{ 外都成立 }\sigma (n)=n\}$.
(b)	Heisenberg 群 $H=\left\{\left(\begin{array}{ccc}1& x& y\\ 0& 1& z\\ 0& 0& 1\end{array}\right):x,y,z\in \mathbb{R}\right\}$.
(c)	$G={\prod }_{i\in I}{G}_i$, 其中每个 $G_i$ 都是有限集且满足 ${\sup }_{i\in I}|G_i|<+\infty$.
五、	设 $m$ 是 ${\ell }^{\infty }(\mathbb{Z})$ 上的一个不变平均 (invariant mean). 对于 $n\in \mathbb{N}$, 按如下定义 $f_n\in {\ell }^1(\mathbb{Z}{)}_{1,+}$: $$f_n(k)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2n+1},& \text{如果 }|k|\le n;\\ 0,& \text{如果 }|k|>n.\end{array}$$
(a)	假设存在 $(f_n{)}_n$ 的一个子列 $(f_{l(n)}{)}_n$ 使其按照弱 *-拓扑收敛到 $m$. 证明: 再次选取子列后, 我们可以假设 $l(n)\ge 3l(n-1)$ 对于 $n\ge 2$.
(b)	定义 $\mathbb{Z}$ 上的有界函数 $g$ 满足 $g(k)=1$ 如果 $|k|\le l(1)$, 且 $g(k)=(-1{)}^n$ 如果 $l(n)<|k|\le l(n+1)$ 其中 $n\ge 1$. 证明: 数列 $(f_{l(n)}(g){)}_n$ 发散.
(c)	证明: ($f_n{)}_n$ 的任何子列按照弱 *-拓扑都不会收敛到 $m$.
六、
(a)	设 $f\in S(\mathbb{R})$, 求$${\int }_{\mathbb{R}}xf(x)\overline{f^{\prime }(x)}dx$$的实部, 并证明$$\left({\int }_{\mathbb{R}}{x}^2|f(x){|}^{2}dx\right)\left({\int }_{\mathbb{R}}{t}^2|\hat{f}(t){|}^{2}dt\right)\ge \frac{1}{4}.$$
(b)	设 $G$ 是一个有限交换群, 其上的 Haar 测度就是归一化的计数测度 $\mu (\{x\})=\frac{1}{|G|}$. 对于 $G$ 上的非零函数 $f$, 证明$$|\mathrm{supp}(f)|\cdot |\mathrm{supp}(\hat{f})|\ge |G|.$$并确定等号成立的条件.
(c)	上面两个结论说明什么?
七、
(a)	设 $A:{\mathbb{C}}^n\to {\mathbb{C}}^n$ 是一个线性变换, 它在 ${\bigwedge }^k{\mathbb{C}}^n$ 上的延拓为 ${\bigwedge }^k(A)$. 证明, $$\det (1+A)=\sum _{k=0}^n\mathrm{Tr}\left(\stackrel{k}{\bigwedge }(A)\right).$$
(b)	以下设 $H$ 是一个无限维可分复 Hilbert 空间, $T\in L^1(H)$ (假设它不是一个有限秩算子). 证明, ${\bigwedge }^k(T)\in L^1({\bigwedge }^k(H))$, 且$${\Vert \stackrel{k}{\bigwedge }(T)\Vert }_1=\sum _{j_1<\cdots <j_k}{\mu }_{j_1}(T)\cdots {\mu }_{j_k}(T)\le \frac{\Vert T{\Vert }_1^k}{k!}.$$由此, 我们定义$$\det (1+T)=\sum _{k=0}^{\infty }\mathrm{Tr}\left(\stackrel{k}{\bigwedge }(T)\right)\text{(这是一个绝对收敛级数)}.$$
(c)	证明, $$|\det (1+T)|\le \min \left(\det (1+|T|)=\prod _{k=1}^{\infty }(1+{\mu }_k(T)),\exp (\Vert T{\Vert }_1)\right),$$$$|\det (1+T_1)-\det (1+T_2)|\le \Vert T_1-T_2{\Vert }_1\exp (\Vert T_1{\Vert }_1+\Vert T_2{\Vert }_1+1).$$
(d)	设 $F$ 是 $H$ 的一个有限维子空间, 且 $T$ 限制在 $F^{\perp }$ 上是 $0$, $T(F)\subset F$, 则$$\det (1+T)=\underset{F}{\det }(1+T{|}_F),$$其中 ${\det }_F$ 是有限维空间上的行列式. 由此证明$$\det (1+T_1+T_2+T_1{T}_2)=\det (1+T_1)\det (1+T_2).$$
(e*)	证明: 若 $1+T$ 可逆, 则 $\det (1+T)\ne 0$; 若 $1+T$ 不可逆, 则 $-1$ 是一个特征值, 且 $f(z)=\det (1+zT)$ 在 $z=1$ 处有一个 $l$ 阶零点 (其中 $l$ 是特征值 $-1$ 的阶数).
(f)	对于任意 $\epsilon >0$, 证明存在常数 $C_{\epsilon }$, 使得$$|f(z)|\le C_{\epsilon }{e}^{\epsilon |z|}.$$
(g)	函数 $f(z)$ 的零点和 $T$ 的特征值是一一对应的. 利用$$\sum |{\lambda }_k(T)|\le \sum {\mu }_k(T),$$来说明$$\sum \frac{1}{|z_n|}<+\infty .$$从而我们可以利用复变中的一个命题 (强 Hadamard 分解定理) 得到$$f(z)=f(0)\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-\frac{z}{z_k}\right),$$即$$\det (1+zT)=\prod _{k=1}^{\infty }(1+z{\lambda }_k(T)).$$
(h)	由此证明 $\mathrm{Tr}(T)=\sum {\lambda }_k(T)$.

421 秋期末试卷 (姚一隽)

复旦大学数学科学学院
2021$\sim$2022 学年第一学期期末考试试卷
$\text{A}$ 卷

课程名称: $\underline{现代分析基础\text{ II}}$ 课程代码: $\underline{\text{MATH130090.01}}$
开课院系: $\underline{数学科学学院}$ 考试形式: $\underline{开卷}$
姓 名: $\underline{}$ 学 号: $\underline{}$ 专 业: $\underline{}$

  提示: 请同学们秉持诚实守信宗旨, 谨守考试纪律, 摒弃考试作弊. 学生如有违反学校考试纪律的行为, 学校将按《复旦大学学生纪律处分条例》规定予以严肃处理.

题 号	第一部分	第二部分	第三部分	总 分/300	折算分/100
得 分

  本张试卷, 每一部分中的各题可能存在逻辑关系, 做后面的小题时可以直接应用前面小题的结论. 最终的卷面得分会折算成满分 100 分的得分.

第一部分

我们在区间 $(a,b)$ 上考虑 $(-i{)}^n\frac{d^n}{d{x}^n}$.

•	定义在 $C_0^{\infty }(a,b)$ 上时, 记为 $T_{n,0}$;
•	定义在$$\{f,f\text{ 及其直到}n-2次导数都是连续可微的,f^{(n-1)}\text{ 是绝对连续的},f^{(n)}\in L^2(a,b)\}$$上时, 记为 $T_n$.

1.	证明, 函数 $g\in C_0^{\infty }(a,b)$ 在 $T_{n,0}$ 的像集中, 当且仅当对于 $k=0,1,\dots ,n-1$, 都成立$${\int }_a^b{x}^{k}g(x)dx=0.$$
2.	证明, $T_{n,0}^{\ast }=T_n$.
3.	如果 $(a,b)$ 是整个实轴, 证明 $\overline{T_{n,0}}=T_n^{\ast }=T_n$.
4.	此时, 证明 $\sigma (T_{2n})=[0,\infty )$, 而 $\sigma (T_{2n-1})=\mathbb{R}$.
5.	如果 $(a,b)\ne \mathbb{R}$, 证明 $\overline{T_{n,0}}\ne T_n$.

第二部分

设 $T,S$ 是复 Hilbert 空间 $H$ 上的两个 (无界) 自伴算子.

1.	证明, 在 $D(T+S)$ 上,$$⟨f,g{⟩}_{T+S}=⟨f,(T+S)g{⟩}_H$$是一个完备的内积. 记相应的范数为 $\Vert \cdot {\Vert }_{T+S}$.
2.	对于任意 $f\in D(T+S)$, 证明, 当 $t\to 0$ 时, $$\frac{1}{t}(e^{itT}{e}^{itS}-e^{it(T+S)})f$$弱收敛到 $0$.
3.	由此说明, 存在常数 $C$, 使得对于任意 $f\in D(T+S)$ 和任意非零的 $t$, 都成立$$\Vert \frac{1}{t}(e^{itT}{e}^{itS}-e^{it(T+S)})f\Vert ⩽C\Vert f{\Vert }_{T+S}.$$
4.	设 $T+S$ 对应的恒等映射的分解是 $\{E(t)\}$. 证明, $(t^2+1)$ 关于 $d\Vert E(t)f{\Vert }^2$ 是可积的.
5.	由此证明, 对于任意 $f\in D(T+S)$, 当 $s^{\prime }\to s$ 时, $\Vert e^{is(T+S)}f-e^{i{s}^{\prime }(T+S)}f{\Vert }_{T+S}\to 0$.
6.	证明, 对于任意 $f\in D(T+S)$, $r>0$, 函数族 $(t\ne 0)$ $${\phi }_t(s)=t^{-1}(e^{itT}{e}^{itS}-e^{it(T+S)})e^{is(T+S)}f$$在 $[-r,r]$ 上是等度连续的.
7.	证明, 当 $t\to 0$ 时, ${\phi }_t$ 在 $[-r,r]$ 上一致收敛到 $0$.
8.	证明, 对于任意 $f\in D(T+S)$, $[e^{i(t/n)T}{e}^{i(t/n)S}{]}^{n}f$ 当 $n\to \infty$ 时收敛到 $e^{it(T+S)}f$.
9.	证明, $[e^{i(t/n)T}{e}^{i(t/n)S}{]}^n$ 当 $n\to \infty$ 时强收敛到 $e^{it(T+S)}$.

第三部分

3.1 谐振子的准经典 (quasi–classical) 态

假设我们有一个谐振子, 质量为 $m$, 振动频率为 $\omega$.

1.	写出经典物理中这个谐振子的能量.
2.	把能量表达式中的动量 $p$ 和位置 $x$ 改成相应的算子 $\hat{p}$ 和 $\hat{x}$, 我们得到了这种情况下的 Hamilton 量 $\hat{H}$. 记 $\hat{H}$ 的特征向量为 $\{|n⟩\}$, 我们直接承认: 本征态 $|n⟩$ 对应的能量为 $E_n=(n+1/2)\hslash \omega$. 定义 $X=x\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}$, $P=\frac{p}{\sqrt{m\hslash \omega }}$ (这是两个无量纲的量). 写出相应的算子 $\hat{X}$, $\hat{P}$.
3.	我们记$$\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{X}+i\hat{P}\right),{\hat{a}}^{†}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\hat{X}-i\hat{P}\right),\hat{N}={\hat{a}}^{†}\hat{a}.$$计算 $[\hat{X},\hat{P}]$, $[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]$. 讨论 $\hat{N}$ 和 $\hat{H}$ 以及 $|n⟩$ 的关系.
4.	计算 $[\hat{N},\hat{a}]$, 证明 $\hat{a}|n⟩$ 和 $\sqrt{n}|n-1⟩$ 只差一个相位因子 (即一个模长为 $1$ 的复数). 下面我们规定这个因子就是 $1$.
5.	$n=0$ 对应的本征态 (基态) 波函数 ${\psi }_0(X)$ 及其 Fourier 变换 ${\phi }_0(P)$ 具有怎样的形式?
6.	对于任意的复数 $\alpha$, 证明$$|\alpha ⟩=e^{-|\alpha {|}^2/2}\sum _n\frac{{\alpha }^n}{\sqrt{n!}}|n⟩$$是 $\hat{a}$ 的一个模长为 $1$ 的特征向量. 对应的特征值是什么?
7.	计算 $|\alpha ⟩$ 对应的能量, $\Delta x$ 和 $\Delta p$. 后两个量的乘积是多少?
8.	证明, $|n⟩$ 也是算子 $\hat{W}=\hslash g({\hat{a}}^{†}\hat{a}{)}^2$ 的特征向量, 这里 $g$ 是一个常数.

3.2 理论的物理

我们假设 8. 中的 $g$ 非常非常大, $T>0$ 满足 $\omega T$ 非常非常小. 这样在时间区间 $[0,T]$ 上, 系统的演化可以近似地认为由 $\hat{W}$ 所决定.

9.	设在 $t=0$ 时, 系统的波函数 $|\psi (0)⟩=|\alpha ⟩$, 求 $T=\frac{\pi }{2g}$ 时 $|\psi (T)⟩$ 的表达式.
10.	设 9. 中的 $\alpha$ 是一个模长很大的纯虚数, 定性地描述系统的 $P$ 值的分布.
11.	现在假设物理学家 $A$ 制备了 $N\gg 1$ 个相互独立的上述物理系统, 然后来测量每一个系统的动量. 用来测量动量的仪器具有精度 $\delta p$, 满足$$\sqrt{m\hslash \omega }\ll \delta p\ll |\alpha |\sqrt{2m\hslash \omega }.$$定性地描述测量值的分布.
12.	如果 $A$ 用一个精度为 $\delta x\ll \frac{1}{|\alpha |}\sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }}$ 来测量这 $N$ 个系统的位置, 会观测到怎样的图像?
13.	由此说明, 这的确是 $N$ 个 (宏观水平的) 量子物理系统, 而不是由 $N/2$ 个 $|\alpha ⟩$ 与 $N/2$ 个 $|-\alpha ⟩$ 做统计意义上的平均得到的.

3.3 数值的例子

 假设我们的谐振子是单摆, 摆长 $1$ 米, 质量为 $1$ 克. 假设这个系统由一个准经典态描述, 且 $t=0$ 时, $⟨x_0⟩$ 位于距离经典的平衡位置 $1$ 毫米处, 速度为 $0$.

14.	用两种方法表示系统的能量, 取 $\hslash =6.62607015\times 10^{-34}/2\pi \text{ J}\cdot {\text{Hz}}^{-1}$, 计算 $\alpha (0)$.
15.	利用第 7 题, 求位置 $x_0$ 的不确定性.
16.	对应到第 12 题, 测量位置的仪器的精度要达到多少?