用户: Solution/ 试卷: 现代分析基础I

12022 春期末试卷

1.	(20 分) 设 $T:L^p({\mathbb{R}}^n)\to L^p({\mathbb{R}}^n)$ 是有界线性算子, $\{f_j{\}}_{j=1}^M\subseteq L^p({\mathbb{R}}^n)$, 证明存在不依赖于 $M$ 的常数 $C$, 使得$$\Vert (\sum _{j=1}^M{\left|T(f_j)\right|}^2{)}^{\frac{1}{2}}{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)}\le C\Vert (\sum _{j=1}^M{\left|f_j\right|}^2{)}^{\frac{1}{2}}{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)}.$$注: 这个引理在 Fefferman 关于圆盘乘子的证明中出现过.
2.	(20 分) (1) 构造 ${\mathbb{R}}^n$ 中支撑在单位闭球内的非零紧支光滑函数. (2) 构造 ${\mathbb{R}}^n$ 中在 $\{1\le \left|x\right|\le 2\}$ 等于 $1$ 且在 $\{\frac{1}{2}\le \left|x\right|\le 4\}$ 之外为 $0$ 的紧支光滑函数. (3) 设 $f$ 为非负 Schwartz 函数, 当 $\left|\xi \right|\le 1$ 时, $\hat{f}(\xi )$ 为常数, 证明 $f=0$.
3.	(20 分) (1) 对于 $\lambda ,\gamma ,b>1$, 证明存在不依赖于 $\lambda ,\gamma ,b$ 的常数 $C$ 使得$$\left|{\int }_0^b{e}^{i\lambda t^{\gamma }}\mathrm{d}t\right|\le C{\lambda }^{-\frac{1}{\gamma }}.$$(2) 对于 $b,\lambda >1$, 证明存在不依赖于 $b,\lambda$ 的常数 $C$ 使得$$\left|{\int }_0^b{e}^{i\lambda t\log t}\mathrm{d}t\right|\le C{\lambda }^{-\frac{1}{2}}.$$(3) 证明第 (2) 问中的常数是最佳的, 即当 $b,\lambda >1,\alpha >\frac{1}{2}$, 不存在不依赖于 $b,\lambda$ 的常数 $C$ 使得$$\left|{\int }_0^b{e}^{i\lambda t\log t}\mathrm{d}t\right|\le C{\lambda }^{-\alpha }.$$
4.	(20 分) (1) 证明以下等价: (i)$R^{\ast }(2\to p^{\prime })$; (ii)$\Vert f\ast \widehat{\mathrm{d}\sigma }{\Vert }_{L^{p^{\prime }}({\mathbb{R}}^n)}\lesssim \Vert f{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)}.$ (2) 叙述 Stein-Tomas 定理.
5.	(20 分) (1) 证明 $D_N(x):=\sum _{|k|\le N}{e}^{2\pi ikx}=\frac{\sin (2N+1)\pi x}{\sin \pi x}$; (2) 证明存在 $C>0$, 使得 $\Vert D_N{\Vert }_{L^1(\mathbb{T})}\ge C\log N,N\ge 2$.

22021 春期末试卷

1.	(20 分) 对单位球面 ${\mathbb{S}}^{n-1}$ 上的函数 $f$, 定义 $E(f)(x)={\int }_{{\mathbb{S}}^{n-1}}f(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }d\sigma (\xi )$, 其中 $\sigma$ 为 ${\mathbb{S}}^{n-1}$ 上的标准测度. 证明: 若存在常数 $C>0$ 使得对于任意 $f\in L^p({\mathbb{S}}^{n-1})$ 有$$\Vert E(f){\Vert }_{L^q({\mathbb{R}}^n)}\le C\Vert f{\Vert }_{L^p({\mathbb{S}}^{n-1})},$$则 $q>\frac{2n}{n-1}$, 且 $q\ge \frac{n+1}{n-1}{p}^{\prime }$.
2.	(20 分) 考虑振荡积分 $I(\lambda )={\int }_{[a,b]}{e}^{i\lambda \phi (t)}\psi (t)dt$, 其中 $\psi$ 和 $\phi$ 均为光滑实值函数. (i) 证明: 设 $\forall t\in (a,b)$ 有 ${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$, 且 $\psi$ 的支集包含于有限区间 $(a,b)$. 对于任意 $N\ge 0$, 当 $\lambda \to +\infty$ 时有$$I(\lambda )=O({\lambda }^{-N}).$$(ii) 请举例说明: 若 $\psi$ 的支集不是有限区间 $(a,b)$ 的子集, 则上述结论可能不成立.
3.	(20 分) (i) 请陈述 Hardy-Littlewood 极大函数 $M(f)(x)$ 的定义. (ii) 设 $\phi (x)=(1+|x|{)}^{-n-1},x\in {\mathbb{R}}^n$. 请证明: 存在常数 $C>0$ 使得对任意局部可积函数 $f$ 有$$T_{\ast }(f)(x)=\underset{t>0}{\sup }|(f\ast {\phi }_t)(x)|\le CM(f)(x).$$其中 ${\phi }_t(x)=t^{-n}\phi (t^{-1}x)$.
4.	(20 分) (i) 对于 $x\in \mathbb{T}=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 以及 $0\le r<1$, 定义 Poisson 核$$P_r(x)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{r}^{|k|}{e}^{2\pi ikx}.$$请证明: $$P_r(x)=\frac{1-r^2}{1-2r\cos (2\pi x)+r^2}.$$(ii) 证明: 当 $r\to 1^{-}$ 时 $\{P_r(x){\}}_r$ 是 $\mathbb{T}$ 上的逼近恒等 (approximate identity) .
5.	(20 分) 请证明: (i) 若 $f(x)=e^{-\pi |x{|}^2},x\in {\mathbb{R}}^n$, 则 $\hat{f}(\xi )=f(\xi )$. (ii) 记 $f^{\vee }$ 为 $f$ 的傅里叶逆变换. 请利用上述结论证明: 对于任意 Schwartz 函数 $f$ 有$$(\hat{f}{)}^{\vee }(x)=f(x).$$