测度论 试卷

12024–2025 学年春季学期期末 (张国华)

1.	(10 分) 在以下若干概念中任选两个精确叙述它们的定义: 测度、外测度、符号测度.
2.	(10 分) 在以下若干定理中任选两个精确叙述它们的内容: Carathéodory 测度扩张定理、Jordan–Hahn 分解定理、Lebesgue 分解定理.
3.	(12 分) (1) 设在代数 $\mathcal{A}$ 上有一个 $\sigma$ 可加的集函数 $\mu :\mathcal{A}\to \mathbb{R}\cup \{-\infty ,+\infty \}$, 满足 $\mu (\varnothing )=0$. 设 $A\in \mathcal{A}$, $\{A_n:n\in \mathbb{N}\}\subseteq \mathcal{A}$ 满足 $A_n\nearrow A$, 证明: $\underset{n\to \infty }{\lim }\mu (A_n)=\mu (A)$. (2) 利用上述结论证明: 若 $\mathcal{C}$ 为一个 $\pi$ 类, 在 $\sigma (\mathcal{C})$ 上有两个 $\sigma$ 可加的集函数 ${\mu }_1,{\mu }_2:\sigma (\mathcal{C})\to \mathbb{R}$, 满足 ${\mu }_1(C)={\mu }_2(C),\forall C\in \mathcal{C}$, 则 ${\mu }_1(D)={\mu }_2(D),\forall D\in \sigma (\mathcal{C})$.
4.	(10 分) 设 $(X,\mathcal{F},\mu )$ 为一有限测度空间, $B\in \mathcal{F}$, $\{B_n:n\in \mathbb{N}\}\subseteq \mathcal{F}$ 满足 $1_{B_n}$ 依测度 $\mu$ 收敛到 $1_B$, 试判断 $1_{B_n}$ 是否一定几乎处处收敛到 $1_B$ 并说明理由.
5.	(10 分) 设 $(X,\mathcal{F},\mu )$ 为一测度空间, $f$ 为 $X$ 上一个非负广义实值 $\mathcal{F}$ 可测函数, 试利用定义证明:$$\mu (f)=\sup \{\mu (g):g⩽f,g\text{ 为 X 上一个非负简单 F 可测函数}\}.$$
6.	(12 分) 设 $(X,\mathcal{F})$ 为一可测空间, $\mu$ 为其上一个符号测度, $f$ 是 $X$ 上一个实值 $\mathcal{F}$ 可测函数. 对于 $X$ 上的实值 $\mathcal{F}$ 可测函数 $g$, 定义 $g$ 关于 $\mu$ 的积分存在, 若 ${\mu }^{+}(g^{+})+{\mu }^{-}(g^{-})$ 和 ${\mu }^{+}(g^{-})+{\mu }^{-}(g^{+})$ 中至少一者有限, 此时定义$$\mu (g)=[{\mu }^{+}(g^{+})+{\mu }^{-}(g^{-})]-[{\mu }^{+}(g^{-})+{\mu }^{-}(g^{+})].$$现假设 $f$ 关于 ${\mu }^{+},{\mu }^{-}$ 的积分都存在, 请在下列情况下分别讨论 $f$ 关于 $\mu$ 的积分是否存在; 若存在, 请求出 $\mu (f)$ 的值. (1) ${\mu }^{+}(f)=+\infty$, ${\mu }^{-}(f)=+\infty$; (2) ${\mu }^{+}(f)=+\infty$, ${\mu }^{-}(f)=-\infty$.
7.	(36 分) 设 $(X,\mathcal{F})$ 为一可测空间, $\mu ,\nu$ 为其上两个符号测度. (1) 试叙述 $\nu \perp \mu$, $\nu \ll \mu$, $\nu \sim \mu$ 的精确定义. (2) 设 $\mu ,\nu$ 为两个相互奇异的有限测度, 求出 $(\mu -\nu {)}^{+}$ 与 $(\mu -\nu {)}^{-}$ 并说明理由. (3) 设 $\mu ,\nu$ 为两个相互奇异的实值符号测度, 求出 $(\mu -\nu {)}^{+}$ 与 $(\mu -\nu {)}^{-}$ 并说明理由. (4) 设 $\nu$ 为 $\sigma$ 有限的符号测度, 依定义易见 $\nu \sim |\nu |$, 试利用 $\nu$ 的 Hahn 分解计算 Radon–Nikodym 导数 $\frac{\mathrm{d}|\nu |}{\mathrm{d}\nu }$ 与 $\frac{\mathrm{d}\nu }{\mathrm{d}|\nu |}$ 并说明理由.