试卷: 泛函分析续论

下文涉及的课本为郭坤宇编著的算子理论基础 (第二版), 若版本不同, 命题的序号可能会有差异.

12025 春期末

每大题 20 分.

一、	(1) 叙述 von Neumann 二次换位子定理, 证明 p.184 习题 1. (2) 用 Gelfand–Naimark 定理证明定理 4.4.17.
二、	证明推论 4.3.5 (i) (ii), 4.3.6.
三、	叙述连续函数代数的表示定理, 并利用此证明 Riesz 表示定理, 即: 设 $X$ 是一个紧 Hausdorff 空间, $C(X)$ 是 $X$ 上连续函数赋以最大模范数构成的 Banach 空间, 若 $F$ 是 $C(X)$ 上的一个正线性泛函, 那么存在 $X$ 上唯一的正则 Borel 测度 $\mu$ 使得 $F(f)={\int }_{X}f\text{d}\mu$, $f\in C(X)$.
四、	证明 p.180 习题 1.
五、	记 $\mathcal{S}$ 为直线 $\mathbb{R}$ 上的速降函数空间, $f\in \mathcal{S}$, 证明: (1) $\hat{f}\in \mathcal{S}$. (2) $f(t)={\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(s)e^{\text{i}st}\text{d}m(s),t\in \mathbb{R}.$

22024 秋期末

1.	(i) 陈述并证明 Baire 纲定理, 并以之证明共鸣定理. (ii) 陈述并证明 Banach–Alaoglu 定理, 并予以证明. (iii) 设 $\mathcal{A}$ 为交换的 Banach 代数, 证明 $\mathcal{A}$ 中的极大理想与 $\mathcal{A}$ 上的可乘线性泛函一一对应.
2.	设 $PC[0,\infty )$ 表示 $[0,\infty )$ 上周期为 $2\pi$ 的连续函数全体构成的 Banach 空间, $\Vert f\Vert ={\sup }_{0⩽x<\infty }|f(x)|$. 定义 $(S(t)f)(s)=f(t+s)$. 证明: (i) $\{S(t):t⩾0\}$ 是一个等距的 $C_0$-算子半群. (ii) 求其母元 $S$ 的表达式及其定义域 $\mathcal{D}(S)$.
3.	设拓扑线性空间 $X$ 上的拓扑由一族半范数 $\mathcal{P}=\{p_n\}$ 定义, $f$ 为 $X$ 上的线性泛函. 证明: $f$ 连续当且仅当存在 $p_1,\cdots ,p_n\in \mathcal{P}$ 和 $M>0$, 使得 $|f(x)|⩽M(p_1(x)+\cdots +p_n(x))$.
4.	求 $l^1(\mathbb{Z})$ 的 Gelfand 变换, 并证明 Wiener 定理.
5.	设 $G$ 为离散的 Abel 群, $X$ 为局部紧的 Hausdorff 空间, $G$ 在 $X$ 上有连续的作用, 证明: 存在 $X$ 的 Borel 子集全体上的一个非负函数 $\mu$, 使得 (i) $\mu$ 是有限可加的, (ii) $\mu (X)=1$, (iii) $\mu$ 是关于 $G$-作用不变的.

32024 春期末

1.	证明推论 4.3.5, 4.3.6. (25 分)
2.	用 Moore 再生核函数方法证明 GNS 构造. (15 分)
3.	证明定理 4.5.7. (20 分)
4.	叙述并证明 von Neumann 二次换位子定理. (20 分)
5.	(1) 如果 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的速降函数, 证明 $f$ 的 Fourier 变换 $\hat{f}$ 是速降函数. (2) 证明 $\Vert f{\Vert }_{L^2}=\Vert \hat{f}{\Vert }_{L^2}$. (3) 证明 Fourier 变换可以唯一延拓为 $L^2(\mathbb{R})$ 上的酉算子. (20 分)

42023 秋期末

1.	叙述 Baire 纲定理, 并且证明如下命题: 给定 $f$ 为完备度量空间 $X$ 上的函数, 其连续点集 $C_f$ 在 $X$ 中稠密. 证明其不连续点集 $D_f$ 是第一纲的.
2.	(1) 叙述并证明开映射定理. (2) 对复数序列 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{Z}},{\lim }_{|n|\to \infty }{a}_n=0$, 是否存在 $f\in L^1[0,2\pi ]$ 使得 $\hat{f}(n)=a_n$?
3.	课本第二章 2.2 节习题的第 2 题.
4.	(1) 课本第二章 2.3 节习题的第 19 题. (2) (课本第二章 2.3.4 小节的例子 2.3.12) 请用 Krein–Milman 定理和 Banach–Alaoglu 定理说明 $L^1[0,1]$ 不是赋范线性空间的对偶.
5.	课本第四章 4.2 节正文一开始到定理 4.2.2 证明结束.

52023 春期末

一.	(1) (i) 证明 $C^{\ast }$-代数上的正线性泛函连续; (ii) 证明正线性泛函的 Cauchy–Schwarz 不等式. (2) 叙述正规元的连续函数演算及 $\sigma (f(N))=$? (3) 叙述 von Neumann 二次换位子定理, 证明 P184 习题 1. (4) 证明 $C^{\ast }$-代数之间的单同态是等距, 特别地, 对于同态 $\rho :\mathcal{A}\to \mathcal{B}$, $\rho (\mathcal{A})$ 是 $\mathcal{B}$ 的子代数.
二.	证明 p.145 系 4.3.5.
三.	证明 p.171 定理 4.5.7.
四.	证明 p.180 习题 1.