用户: Solution/ 试卷: 泛函分析

1书单

[i]	$\text{John B. Conway, }\text{A Course in Functional Analysis},\text{GTM 96, Springer.}$
[ii]	$\text{Jan van Neerven, }\text{Functional Analysis},\text{Cambridge Studies in Advanced Mathematics 201, Cambridge University Press.}$
[iii]	$\text{Barry Simon, }\text{Operator Theory: A Comprehensive Course in Analysis, Part 4},\text{AMS.}$
[iv]	林源渠, 泛函分析学习指南, 北京大学出版社.

  同本课程内容最匹配的略有进阶的参考书是 [i], 重点推荐. 经典教材推荐看 这里. 此外, [ii] 涉及了很多的主题, [iii] 是算子理论的加深.

  习题可使用 [iv], 以及链接里的 Brezis 的书.

22023 秋 泛函分析 (H) 期末试卷

1.	(10 分) (1) 叙述 Baire 纲定理. (2) 用 Baire 纲定理证明: $[0,1]$ 是不可数集.
2.	(15 分) (1) 叙述 Hahn–Banach 定理. (2) 在有界实数列构成的空间 $l^{\infty }$ 中, 证明存在线性泛函 $F$, 使得对于 $\{a_n\}\in l^{\infty }$, ① $F(\{a_n\})=F(\{a_{n+1}\})$; ② $\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{a}_n\le F(\{a_n\})\le \underset{n\to \infty }{\overline{\lim }}{a}_n$.
3.	(15 分) (1) 叙述弱收敛的定义. (2) 证明: $L^1[0,1]$ 中的函数列 $f_n$ 弱收敛至 $f$ 当且仅当 $\underset{n}{\sup }\Vert f_n\Vert <\infty$ 并且对 $[0,1]$ 中的任何 Lebesgue 可测集 $E$, 成立 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_{n}dm={\int }_{E}fdm$.
4.	(15 分) (1) 叙述紧算子的定义. (2) 设 $T$ 是 $l^2$ 上的线性算子. $e_n=(\cdots ,0,1,0,\cdots )$ 是 $l^2$ 的一组标准正交基, $T$ 满足$$T{e}_k=\sum _{j=1}^{\infty }{a}_{jk}{e}_j.$$若 $\sum _{j,k=1}^{\infty }|a_{jk}{|}^2<\infty$, 证明 $T$ 是 $l^2$ 上的紧算子.
5.	(15 分) 设 $T$ 是 $L^2[0,1]$ 到 $L^2[0,1]$ 的有界线性算子, 并且将连续函数映成连续函数. 证明: $T$ 是 $C[0,1]$ 到 $C[0,1]$ 的有界线性算子.
6.	(15 分) 设 Hilbert 空间 $H$ 上的算子 $P,P_1,P_2,\cdots$ 分别是 $H$ 到闭子空间 $M,M_1,M_2,\cdots$ 的正交投影. 请问何时有 $\sum _{n=1}^{\infty }{P}_n$ 强算子收敛至 $P$?
7.	(15 分) 设 $K(x,y)$ 是 $[0,1]\times [0,1]$ 上的连续函数. $(Tf)(x)={\int }_0^{1}K(x,y)f(y)\mathrm{d}y$ 是 $L^2[0,1]$ 上的自伴迹类正算子. 正实数 ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots$ 以及 $L^2[0,1]$ 的一组完备标准正交基 $\{e_n\}$ 满足 $T{e}_n={\lambda }_n{e}_n$. (1) 证明: 对任意的 $x\in [0,1]$, $K(x,x)\ge 0$. (2) 证明: $e_n$ 是连续函数. (3) 证明: 对固定的 $x\in [0,1]$, $\sum _{n=1}^{\infty }{\lambda }_n{e}_n(x)\overline{e_n(y)}$ 按 $L^2$ 范数收敛到 $K(x,y)$. (4) 证明: $\mathrm{tr}T={\int }_0^{1}K(x,x)\mathrm{d}x$.

32021 秋 泛函分析 (H) 期末试卷

1.	对于 $[0,1]$ 上的 Lebesgue 可测函数 $\phi$, 定义算子 $M_{\phi }:L^2[0,1]\to L^2[0,1]$ 为$$M_{\phi }f=\phi f.$$  (1) 对什么样的 $\phi$, $M_{\phi }$ 是有界算子?  (2) 对什么样的 $\phi$, $M_{\phi }$ 是 Fredholm 算子?
2.	称 Hilbert 空间 $H$ 上的有界线性算子 $T$ 为迹类算子, 若存在 $M>0$ 使得对于 $H$ 的任何两组规范正交基 $\{e_i\},\{f_i\}$ 有$$\sum _i|⟨T{e}_i,f_i⟩|\le M.$$求证: (1) 迹类算子按算子范数构成 Banach 空间.    (2) 迹类算子是紧算子.
3.	证明或否定: $L^2[0,2\pi ]$ 的序列 $\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n^2}{e}^{ikx}$ 当 $n\to \infty$ 时弱收敛于 $0$.
4.	忘了.
5.	设 $C[0,1]$ 的闭线性子空间 $M$ 包含于 $[0,1]$ 上连续可微的函数的空间 $C^1[0,1]$. 证明 $M$ 是有限维的.
6.	设 $X,Y$ 是赋范线性空间, $T$ 是 $X$ 到 $Y$ 的线性算子, 满足: 若 $X$ 的序列 $x_n$ 弱收敛于 $x$, 则 $T{x}_n$ 弱收敛于 $Tx$. 求证 $T$ 是有界算子.

42023 秋 泛函分析 (G) 期末试卷

下文涉及的课本为郭坤宇编著的算子理论基础.

1.	叙述 Baire 纲定理, 并且证明如下命题: 给定 $f$ 为完备度量空间 $X$ 上的函数, 其连续点集 $C_f$ 在 $X$ 中稠密. 证明其不连续点集 $D_f$ 是第一纲的.
2.	(1) 叙述并证明开映射定理. (2) 对复数序列 $(a_n{)}_{n\in \mathbb{Z}},{\lim }_{|n|\to \infty }{a}_n=0$, 是否存在 $f\in L^1[0,2\pi ]$ 使得 $\hat{f}(n)=a_n$?
3.	课本第二章 2.2 节习题的第 2 题.
4.	(1) 课本第二章 2.3 节习题的第 19 题. (2)(课本第二章 2.3.4 小节的例子 2.3.12) 请用 Krein-Milman 定理和 Banach-Alaoglu 定理说明 $L^1[0,1]$ 不是赋范线性空间的对偶.
5.	课本第四章 4.2 节正文一开始到定理 4.2.2 证明结束.