试卷: 楼分析

12024–2025 春期末

一 (30 分)、填空题 (每题 6 分)

(1)	曲线 $x^6+y^{\frac{6}{5}}=1$ 围成的面积为 $\underline{}$.
(2)	${\iiint }_{x^4+y^4+z^4\le 1}\sqrt{|x^4-y^4|}dxdydz=\underline{}$.
(3)	设 $f(x)={\int }_0^1{e}^{-s^3{x}^3}\sin (s^3{x}^3)ds$, 则 $f$ 的 Maclaurin 级数中 $x^{2025}$ 的系数为 $\underline{}$.
(4)	设 $f(x):=\sum _{n=0}^{+\infty }\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k{x}^{n+k}}{(n-k)!(2k+1)!}$, 则 ${\int }_0^{\pi }xf(x)dx=\underline{}$.
(5)	极限 $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_0^n\frac{|\cos x^2|}{x}\ln (1-\frac{x^4}{n^4})dx=\underline{}$.

 
二 (14 分)、设 $f$ 以 $2\pi$ 为周期, $f{|}_{(-\pi ,\pi )}(x)=\mathrm{sgn}(x)\ln (1-\cos \frac{x}{2-\mathrm{sgn}(x)})$. 证明: $f$ 的 Fourier 级数在 $x=0$ 处收敛并求其和.  

三 (18 分)、设 $f\in C(\mathbb{R})$ 以 $2\pi$ 为周期, $\{a_n\}$, $\{b_n\}$ 为 $f$ 的 Fourier 系数.

(1)	进一步, 若 $f$ 连续可微, 证明: $\underset{n\to +\infty }{\lim }n{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }n{b}_n=0$.
(2)	若 $f$ 是两个单调函数之和, 证明它也是两个连续的单调函数之和.
(3)	设 $g$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续、单增, 证明: $\forall \epsilon >0$, 存在 $h\in C^1[0,2\pi ]$ 使得 $g-h$ 在 $[0,2\pi ]$ 上单增, 且 $\underset{x\in [0,2\pi ]}{\max }|g(x)-h(x)|<\epsilon$.
(4)	若 $f$ 是两个单调函数之和, 证明: $\underset{n\to +\infty }{\lim }n{a}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }n{b}_n=0$.

 
四 (18 分)、设 $n\ge 3$, $F(\mathbf{x}):={\int }_{{\mathbb{R}}^n}f(\mathbf{x}-\mathbf{y})\psi (\mathbf{y})d\mathbf{y}$, 其中 $f$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的速降函数, $\psi (\mathbf{x})=|\mathbf{x}{|}^{2-n}$. 证明:

(1)	$\Delta \psi (\mathbf{x})=0$ $(\mathbf{x}\ne 0)$.
(2)	$\forall \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$, 有 $\Delta F(\mathbf{x})={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\nabla f(\mathbf{x}-\mathbf{y})\cdot \nabla \psi (\mathbf{y})d\mathbf{y}$.
(3)	$\forall \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$, 有 $\Delta F(\mathbf{x})=n(n-2){\omega }_{n}f(\mathbf{x})$, 其中 ${\omega }_n$ 为 $n$ 维单位球体积.

 
五 (20 分)、设 ${\mathbb{R}}^2$ 上的连续函数 $f$ 是 $\{(x,y)|y\ne 0\}$ 内的调和函数. 请给出以下问题的反例或证明.

(1)	对于 $x\in \mathbb{R}$ 及 $r>0$, 是否必有 $f(x,0)=\frac{1}{\pi r^2}{\iint }_{(t-x{)}^2+s^2\le r^2}f(t,s)dtds$?
(2)	$f$ 是否为整个 ${\mathbb{R}}^2$ 上的调和函数?
(3)	若 $f\in C^1({\mathbb{R}}^2)$, 则 $f$ 是否为整个 ${\mathbb{R}}^2$ 上的调和函数?
(4)	若 $f\in C^2({\mathbb{R}}^2)$, 则 $f$ 是否为整个 ${\mathbb{R}}^2$ 上的调和函数?

22024–2025 春期中

一 (30 分)、填空题 (每题 6 分)

(1)	计算 $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{\int }_0^{\infty }\frac{n^2\sin x+\sin (n^{2}x)}{(1+n^2{x}^2{)}^2}\mathrm{d}x=\underline{}$.
(2)	设物体 $D=\left\{(x,y,z)|0\le z\le \sqrt{x^2+y^2}\le 1\right\}$, 它在 $(x,y,z)\in D$ 处的密度为 $\sqrt{x^2+y^2}{e}^{x^2+y^2}$, 则其质量为 $\underline{}$.
(3)	设实函数 $f$ 满足常微分方程 $(1-x^2)f^{\prime \prime }(x)-x{f}^{\prime }(x)-2=0$. 则 $f$ 的 MacLaurin 级数为 $\underline{}$.
(4)	设 $a$ 为实常数. 若函数项级数 $\sum _{n=2}^{\infty }\frac{\sin nx}{n^a+(-1{)}^n+\sin nx}$ 关于 $x\in (0,2\pi )$ 内闭一致收敛, 则 $a$ 的取值范围为 $\underline{}$.
(5)	计算 $\underset{n\to \infty }{\lim }\prod _{k=1}^n\left(1+\frac{1}{n}{\cos }^2\frac{2k\pi }{n}\right)=\underline{}$.

 
二 (12 分)、设 $E\subset {\mathbb{R}}^n$ 是可测集, $E$ 上的非负可测函数列 $\{f_k\}$ 依测度收敛于 $f\in L^1(E)$, 且 $\underset{k\to +\infty }{\lim }{\int }_E{f}_k(x)\mathrm{d}x={\int }_{E}f(x)\mathrm{d}x$, 求证: 对于 $E$ 的任何可测子集 $F$, 成立 $\underset{k\to +\infty }{\lim }{\int }_F{f}_k(x)\mathrm{d}x={\int }_{F}f(x)\mathrm{d}x$.

 
三 (18 分)、平面 ${\Sigma }_1:x+2y+3z=0,{\Sigma }_2:3x+4y+7z=0,{\Sigma }_3:5x+6y+9z=0$ 以及 ${\Sigma }_4:5x+4y+3z=12$ 交出了一个四面体 $\Delta$, 求 $\Delta$ 的体积以及三角形 $\Delta \cap {\Sigma }_4$ 的面积.

 
四 (20 分)、设 $R>0$, 实解析函数列 $\{f_n\}$ 在 $[-R,R]$ 上一致收敛于 $f$. 同时对于一切 $n$, $f_n$ 的收敛半径大于 $R$.

1.	对于一切 $n$, $f_n$ 的 MacLaurin 级数在 $[-R,R]$ 上等于 $f_n$.
2.	证明或给出反例, $f$ 的 MacLaurin 级数在 $0$ 的一个邻域内等于 $f$.
3.	我们加强 $2$ 的假设: 如果 $\{f_n\}$ 满足 $\{f_n^{(k)}\}$ 在 $[-R,R]$ 上一致收敛到 $f^{(k)}$, 判断此时 2 是否成立.

注: 若给出 2 的肯定证明, 则不必做 3; 若给出 3 的反例, 则不必做 2.

 
五 (20 分)、对于矩阵 $A$, 定义矩阵范数 $\Vert A\Vert =\underset{|x|=1}{\max }|A\mathbf{x}|$. 当 $\Vert A\Vert <1$ 时, 定义 $\ln (I+A)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^k}{k+1}{A}^{k+1}$. 给定 $k\ge 1,n\ge 2$, 矩阵值函数 $F(\cdot )\in C^k([0,1];{\mathbb{R}}^{n\times n})$ 满足 $\Vert F(t)\Vert <1$ 对任意 $t\in [0,1]$ 均成立.

1.	已知对于一切 $s,t\in [0,1]$, 有 $F(t),F(s)$ 可交换. 求证: $(\ln (I+F(t){)}^{\prime }=(I+F(t){)}^{-1}{F}^{\prime }(t)$ 对一切 $t\in [0,1]$ 成立.
2.	已知 $A,B$ 可交换, $\Vert A\Vert +\Vert B\Vert <\frac{4}{5}$, 求证: $\ln (I+A)(I+B)=\ln (I+A)+\ln (I+B)$.
3.	对于 $\Vert A\Vert <1$, 求证: $e^{\ln (I+A)}=I+A$.
4.	尽你所能, 给出矩阵 $B$ 的充分条件, 使得存在矩阵 $A$, 满足 $e^A=B$.

32024–2025 秋期末

一 (30 分) 、填空题 (每题 6 分)

(1)	设 $f(x)$ 在 $0$ 点附近有两阶导数, $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-(1+\sin x{)}^{1/\sin x}}{x^2}=1$, 则 $(f(0),f^{\prime }(0),f^{\prime \prime }(0))=\underline{}$.
(2)	$\int \frac{\ln x}{(1+\ln x{)}^2}\mathrm{d}x=\underline{}$.
(3)	设有 $f$ 的测量值 $f(0)=3.1,f(1)=3.1,f(2)=-2.05,f(3)=-0.9,f(4)=4$. 现用函数 $\phi (x)\equiv \phi (x;a,b,c):=a\sin \frac{\pi x}{2}+b\cos \frac{\pi x}{2}+c$ 去拟合 $f(x)$, 则使得 $\sum _{k=0}^4|f(k)-\phi (k){|}^2$ 取得最小值的 $(a,b,c)=\underline{}$.
(4)	方程 $f^{\prime \prime }(x)+3f^{\prime }(x)+2f(x)=x+1$ 的通解是 $\underline{}$.
(5)	设 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 上满足 $f^{\prime \prime }(x)+3f^{\prime }(x)+2f(x)=(x^2+x+1)\sin \frac{1}{x}$, 则 $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=\underline{}$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime \prime }(x)=\underline{}$.

 
二 (14 分)、设 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续可微, $g(x)=\sin f(x)$ $(x\in \mathbb{R})$. 若 $|f^{\prime }|\le 1$, 证明:

(1)	对任何 $x\ne y$, 成立 $|g(x)-g(y)|<|x-y|$.
(2)	对任何 $x_0\in \mathbb{R}$, 数列 $\{g_n(x_0)\}$ 收敛, 其中 $g_n$ 表示 $\stackrel{n\text{ 个}}{\overbrace{g\circ g\circ \cdots \circ g}}$.

 
三 (14 分)、设 $\alpha \in (0,1)$ 为常数, $x_0\in \mathbb{R}$, 非负函数 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导, 满足: $\forall x>y$, 有 $f^{\prime }(x)-f^{\prime }(y)<x-y$, 且 $f^{\prime }(x_0)>\sqrt{2\alpha f(x_0)}$. 证明:

(1) $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续可微.            (2) 存在 $\xi <x_0$, 使得 $f^{\prime }(\xi )=\sqrt{2\alpha f(\xi )}$.

(3) 存在 $\eta <x_0$, 使得 $\frac{f^{\prime }(x_0)-f^{\prime }(\eta )}{x_0-\eta }>\alpha$.   (4) $f^{\prime }\le \sqrt{2f}$.

 
四 (14 分)、设数列 $\{a_n\}$ 取值于 $\{0,1\}$, 设 $S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$. 证明: $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{\sqrt{n}}$ 收敛的充要条件是 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{S_n}{n\sqrt{n}}$ 收敛.

 
五 (14 分)、设实数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 满足: $\{\begin{array}{l}{x}_n^2+y_n^2+n{y}_n\sin \frac{2}{n}=2-\cos \frac{1}{n},\\ \\ x_n+n^{\frac{1}{n}}{y}_n=1+e^{-n}.\end{array}$
证明: $\{x_n\},\{y_n\}$ 收敛, 并求其极限.

 
六 (14 分)、设 $f$ 在 ${\mathbb{R}}^2$ 上二阶连续可微, $\underset{(x,y)\to \infty }{\lim }f(x,y)=0$, 且 $\forall (x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, 有$$y^2{f}_{xx}(x,y)+x^2{f}_{yy}(x,y)-2x{f}_x(x,y)-2y{f}_y(x,y)=((x-1{)}^2+(y-1{)}^2+c)f(x,y).$$(1) 若 $c=1$, 证明: $f$ 恒等于零.
(2) 若 $c=0$, 证明: $f$ 恒等于零.

42023–2024 春期末

一 (30 分) 、填空题 (每题 6 分) :

(1)	设 $L$ 为曲线 $(x,y,z)=\left(-2t-\cos (t\pi ),\cos (2t\pi )+t^2-t,t\sin \frac{5t\pi }{2}\right)$ 从 $t=0$ 到 $t=1$ 的那一段, 则积分 ${\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz=\underline{}$, 其中 $(P,Q,R)=e^{-y-z}(z\sin (x+y),z\sin (x+y)+z\cos (x+y),(z-1)\cos (x+y))$.
(2)	考虑牟合方盖 $W:=\left\{(x,y,z)|x^2+y^2\le 1,y^2+z^2\le 1\right\}$, 其表面积为 $\underline{}$.
(3)	设 $f(x)={\int }_0^x\frac{x-t}{\sqrt{1-t^3}}dt$, 则 $f$ 的 Maclaurin 级数中 $x^{2024}$ 的系数为 $\underline{}$.
(4)	设 $\alpha$ 为非零实数, $f$ 以 $2\pi$ 为周期, 对于 $x\in [0,2\pi )$, $f(x)=|\sin (\alpha x){|}^{\frac{1}{\alpha }}$. 则 $f$ 的 Fourier 级数在 $[0,2\pi )$ 上一致收敛的充要条件是 $\alpha \in \underline{}$.
(5)	极限 $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_0^1\frac{|\sin nx|}{x}\ln (1-x)dx=\underline{}$.

 
二 (14 分) 、设 $f,g$ 是 $\mathbb{R}$ 上的速降函数, 证明: $f\ast g$ 也是 $\mathbb{R}$ 上的速降函数. 进一步, 试给出一个较弱的条件, 使得 $f\ast g$ 是速降函数.

 
三 (14 分) 、设 $\Sigma$ 为曲面 $x^2+xy+y^2+z^2=4$, 取外侧. 计算$$\underset{\Sigma }{\iint }\frac{xdydz+ydzdx+zdxdy}{(x^2+xy+y^2+z^2{)}^{\frac{1}{2}}(x^2+y^2+z^2{)}^{\frac{3}{2}}}.$$

 
四 (14 分) 、幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ 在 $[-1,1]$ 上绝对收敛与一致收敛的关系如何? 请给出必要的证明或反例.

 
五 (14 分) 、证明或否定: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\underset{x\in [0,1]}{\sup }\left|{\int }_0^{\pi }\ln (x+t)\left(\frac{\sin (n+\frac{1}{20})t}{\sin \frac{t}{24}}-\frac{24\sin (n+\frac{1}{20})t}{t}\right)dt\right|=0.$$

 
六 (14 分) 、设 $f(x)=e^{-x^4},g(x)=e^{-x^2}(x\in \mathbb{R}),F=f+\hat{f}$.

(1)	证明 $\hat{F}=F$.
(2)	推导 $\hat{f}$ 所满足的常微分方程.
(3)	证明不存在常数 $C$, 使得 $F\equiv Cg$.

52022–2023 秋期末

一 (30 分) 、填空题 (每题 6 分) :

(1)	$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan (1+\tan \arcsin x)-\arctan (1+x)}{x^3}=\underline{}$.
(2)	$\int \frac{2x^3+3x^2-4x+5}{(x+1)(2x^2+x+1)(x^2+x+2)}dx=\underline{}$.
(3)	在约束条件 $x^2+y^2+z^2=1$ 下, 函数 $f(x,y,z)=x^2+4y^2+6z^2+4xy+10yz+6zx$ 的最大值落在区间 $[n,n+1)$ 中, 则 $n=\underline{}$.
(4)	设 $f(x)=\frac{1}{(x^2+x+1{)}^2}$, 则 $f^{(100)}(0)=\underline{}$.
(5)	常微分方程 $y^{(4)}-4y^{\prime \prime \prime }+5y^{\prime \prime }-4y^{\prime }+4y=e^{2x}+x\cos x$ 的通解是 $\underline{}$.

 
二 (14 分) 、设 $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$, 证明存在至多可列集 $F\subseteq E$ 使得 $F$ 在 $E$ 中稠密.

 
三 (14 分) 、设 $P,Q,F$ 都是 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2<4\}$ 内的二元连续函数, 对于 $(x,y)\in D,x^2+y^2\ne 1$, $\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=P(x,y),\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=Q(x,y)$. 证明: $F$ 在 $D$ 内连续可微.

 
四 (14 分) 、设 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上有三阶导数, $f^{\prime \prime \prime }\le 1$ 且 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$.

(i)	设 $a>s>0,\epsilon \in \{-1,0,1\}$, 证明: 存在 $\xi \in (a-s,a+s)$ 使得$$f^{\prime \prime \prime }(\xi )=\frac{(2\epsilon +1)f(a+s)+(2\epsilon -1)f(a-s)-4\epsilon f(a)-2s{f}^{\prime }(a+\epsilon s)}{({\epsilon }^2-\frac{1}{3})s^3}.$$
(ii)	证明: $\underset{x\to +\infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=0$.

 
五 (14 分) 、设 $\mathbf{F}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 可微, $\Vert {\mathbf{F}}_{\mathbf{x}}\Vert <1$. 对于 $k\ge 1$, 记 ${\mathbf{F}}^k:=\stackrel{k个}{\overbrace{\mathbf{F}\circ \mathbf{F}\circ \cdots \circ \mathbf{F}}}$.

(i)	若 $\mathbf{F}$ 没有不动点, 证明: 对 ${\mathbb{R}}^n$ 中任何有界集 $E$, 有 $\underset{\mathbf{x}\in E}{\sup }\frac{|{\mathbf{F}}^2(\mathbf{x})-\mathbf{F}(\mathbf{x})|}{|\mathbf{F}(\mathbf{x})-\mathbf{x}|}<1$.
(ii)	若有 ${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2\in {\mathbb{R}}^n$ 使 $\{{\mathbf{F}}^k({\mathbf{x}}_1)+{\mathbf{F}}^k({\mathbf{x}}_2)\}$ 有界, 证明: 对任何 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$, $\{{\mathbf{F}}^k(\mathbf{x})\}$ 均收敛.

 
六 (14 分) 、设 $\{a_n\}$ 为有界的正数列, 证明: 级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛当且仅当级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n}{S_n\ln (S_n+1)}$ 收敛, 其中 $S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$.

62022–2023 秋期中

一 (30 分) 、填空题 (每题 6 分) :

(1)	设 $x_0>0,x_{n+1}=\frac{x_n}{1+x_n^3+x_n^5}$ $(n\ge 0)$. 则 $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt[3]{n}{x}_n=\underline{}$.
(2)	设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+(a+b)x+a^2-3a+2,& x<0,\\ & \\ x+c,& x=0,\\ & \\ x^a\sin \frac{1}{x},& x>0\end{array}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的可微函数, 则 $(a,b,c)=\underline{}$.
(3)	设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=t+\sin t,\\ \\ y=e^t+\ln (1+t^2)\end{array}$ 确定. 则 $\frac{d^{2}y(x)}{d{x}^2}{|}_{x=0}=\underline{}$.
(4)	使得级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{(-1{)}^n{n}^a}-1\right)$ 收敛的实数 $a$ 满足的充要条件是: $\underline{}$.
(5)	设 $f(x)=(x^4+x^2-2{)}^{2022}$, 则 $f^{(2022)}(1)=\underline{}$.

 
二 (16 分) 、设数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 满足$$\{\begin{array}{l}\frac{x_n^2}{\sqrt[n]{n}}+\left(\cos \frac{x_n}{n}+3n\sin \frac{1}{n}\right)y_n^2=2x_n+16y_n,\\ \\ e^{\frac{x_n}{n}}=1+\ln \left(1+\frac{9-8y_n}{n}\right)+\frac{25}{n}.\end{array}$$证明 $\{x_n\},\{y_n\}$ 收敛并求极限.

 
三 (18 分) 、设 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 可微, $\underset{|\mathbf{x}|\to +\infty }{\lim }\nabla f(\mathbf{x})$ 存在. (1) 证明: $f$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上一致连续. (2) 说明 $f$ 是否满足 Lipschitz 条件: 即存在 $M>0$ 使得对任何 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in {\mathbb{R}}^n$, 有 $|f(\mathbf{x})-f(\mathbf{y})|\le M|\mathbf{x}-\mathbf{y}|$.

 
四 (18 分) 、分别说明是否存在 $\mathbb{R}$ 上的可微函数 $f,g,h$ 满足如下条件:

(1)	$f^{\prime }(0)=1$, 对任何 $\delta >0$, 存在 $\xi \in (0,\delta )$ 以及 $\eta \in (0,\xi )$ 使得 $f(\xi )<f(\eta )$.
(2)	$g^{\prime }(0)=1$, 对任何 $\delta >0$, 存在 $x\in (0,\delta )$ 使得 $g(x)<g\left(\frac{x}{2}\right)$.
(3)	$h^{\prime }(0)=1$, 对任何 $\delta >0$, 存在 $x\in (0,\delta )$ 使得 $h(x)<h(x-x^2)$.

 
五 (18 分) 、设 $[0,+\infty )$ 上实函数 $f$ 局部有界, $A\in \mathbb{R}$.

(1)	若 $\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x+1)-f(x))=A$. 证明: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=A$.
(2)	若 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f\right(x+\frac{1}{x}+1)-f(x))=A$. 证明: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=A$.

72022–2023 春期末

一 (30 分) 、填空题 (每题 6 分) :

(1)	设 $L$ 为曲线 $x^2+4y^2=1$ $(y\ge 0)$, 方向为从点 $(-1,0)$ 到点 $(1,0)$. 则积分 ${\int }_L\left(x^2+\sin x+y^3\right)dx+\left(x^3+\cos x+e^y\right)dy=\underline{}$.
(2)	上半球面 $x^2+y^2+z^2=1$ $(z\ge 0)$ 被柱面 $2x^2+y^2=1$ 所围的那一部分曲面的面积为 $\underline{}$.
(3)	在 $\left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$ 内, 定义 $f(x)={\int }_0^x\frac{2t+1}{(1-t^3)(1-3t^2+9t^4)}dt$, 则 $f$ 的 Maclaurin 级数中 $x^{2023}$ 的系数为 $\underline{}$.
(4)	设 $a,b>0$, 则积分 ${\int }_0^{+\infty }\sin \left(x^a+\frac{1}{x^b}\right)dx$ 收敛的充要条件是 $\underline{}$.
(5)	极限 $\underset{s\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_0^{+\infty }{x}^3{e}^{-s{x}^{-2}{e}^x}dx}{{\int }_0^{+\infty }{e}^{-s{x}^{-2}{e}^x}dx}=\underline{}$.

 
二 (14 分) 、计算 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sum _{k,j=1}^{\infty }\frac{k^2{x}^2}{(1+k^4{x}^4+j^4{x}^4)\sqrt{k^4+j^4}}$ 并说明理由.

 
三 (14 分) 、记 $z=x+iy,dz=dx+idy$. 试计算第二型曲线积分 ${\int }_C\frac{z^2+3}{z^2(1+z^2)}dz$, 其中 $C$ 为曲线 $x^2+4xy+7y^2=2023$, 沿逆时针方向行进.

 
四 (14 分) 、用 $\bar{u}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}u(x)dx$ 表示 $u\in L^1[a,b]$ 在 $[a,b]$ 上的平均值. 现设 $f\in L^1[a,b]$ 满足如下条件: $\forall \phi \in C_0^1[a,b]$, 有 ${\int }_a^{b}f(x){\phi }^{\prime }(x)dx=0$. 证明:

1.	对任何 $\psi \in C[a,b]$, 有 ${\int }_a^b(f(x)-\bar{f})\psi (x)dx=0$.
2.	$f=\bar{f}$ 在 $[a,b]$ 上几乎处处成立.

 
五 (14 分) 、设 $f\in C^{\infty }(\mathbb{R})$ 在 $\mathbb{R}$ 上有界.

1.	证明: 对任何 $n\ge 0$, 成立 $\underset{s\to +\infty }{\lim }{s}^{2n+1}\left({\int }_{\mathbb{R}}f(x)e^{-s^2{x}^2}dx-\sum _{k=0}^n\frac{f^{(2k)}(0)\sqrt{\pi }}{4^{k}k!s^{2k+1}}\right)=0$.
2.	求 $A_0,A_1,\dots ,A_4$ 使得 $\underset{s\to +\infty }{\lim }{s}^4\left({\int }_0^{+\infty }{e}^{-s^2{x}^2}\sin xdx-\sum _{k=0}^4\frac{A_k}{s^k}\right)=0$.

 
六 (14 分) 、设 $f$ 以 $1$ 为周期, $f(x)=x^2(1-x{)}^2$ $(x\in [0,1])$, $f$ 的 Fourier 级数为 $\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos 2n\pi x+b_n\sin 2n\pi x)$. 考虑方程 $H:\{\begin{array}{ll}{u}_t(t,x)=u_{xx}(t,x),& t\ge 0,x\in \mathbb{R},\\ & \\ u(0,x)=f(x),& x\in \mathbb{R}.\end{array}$

1.	若方程 $H$ 的解 $u$ 存在且 $u,u_t,u_x,u_{xx}\in C([0,+\infty )\times \mathbb{R})$, 证明: $F(t):={\int }_0^1{u}^2(t,x)dx$ 在 $[0,+\infty )$ 上单减.
2.	令 $u(t,x)=a_0+\sum _{n=1}^{\infty }{e}^{-4n^2{\pi }^{2}t}(a_n\cos 2n\pi x+b_n\sin 2n\pi x)$, 证明: $u$ 为方程 $H$ 满足 $u,u_t,u_x,u_{xx}\in C([0,+\infty )\times \mathbb{R})$ 的唯一解.

82022–2023 春期中

一 (30 分) 、填空题 (每题 6 分) :

(1)	${\int }_0^{\pi }\frac{x\sin x}{3+\cos 2x}dx=\underline{}$.
(2)	设 $D:=\left\{(x,y)|1\le x^2+\frac{y^2}{4}\le 4,x^2\le y\le 2x^2,x\ge 0\right\}$. 则 $\underset{D}{\iint }\frac{(2x^2+y^2)}{x^3(4x^2+y^2)}dxdy=\underline{}$.
(3)	设实函数 $f$ 满足 $f^{\prime \prime }(x)=x^2\arctan (x^2)$ $(x\in \mathbb{R}),f(0)=1,f^{\prime }(0)=0$. 则 $f$ 的 MacLaurin 级数为 $\underline{}$.
(4)	设 $a$ 为实常数. 若函数项级数 $\sum _{n=2}^{+\infty }\frac{\sin nx}{n^{ax}+\sin nx}$ 关于 $x\in [4\pi ,+\infty )$ 一致收敛, 则 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.
(5)	$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\sin \left(\frac{1}{n}\sin \frac{k\pi }{n}\right)=\underline{}$.

 
二 (16 分) 、证明: 方程 $\{\begin{array}{l}{y}^{\prime }=3x^{2}y-e^y+1,\\ \\ y(0)=2\end{array}$ 的解 $y=y(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上存在唯一.

 
三 (18 分) 、计算以下极限并说明理由: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_0^1{\left(1-x^2\right)}^{n}dx}{{\int }_0^{\frac{1}{2}}{\left(1-x^2\right)}^{n}dx},\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_0^1{\left(1-x^2\right)}^{n}dx}{{\int }_0^1{\left(1-\frac{x^2}{2023}\right)}^{n}dx},\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_0^1\frac{{\sin }^{n}x}{x^n}dx}{{\int }_0^1\frac{x^n}{{\tan }^{n}x}dx}.$$

 
四 (18 分) 、设 $k\ge 1,n\ge 2$, 矩阵值函数 $A(\cdot )\in C^k([0,1];{\mathbb{R}}^{n\times n})$ 满足 $\Vert A(\cdot )\Vert <1$. 证明: 存在矩阵值函数 $G(\cdot )\in C^k([0,1];{\mathbb{R}}^{n\times n})$ 使得: $G^2(\cdot )=I-A(\cdot )$ 以及 $\Vert G(\cdot )\Vert \ge \sqrt{1-\Vert A(\cdot )\Vert }$, 其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵.

 
五 (18 分) 、设 $h_n(x)=\sin (nx){\chi }_{[0,2\pi ]}(x)$ $(n\ge 1)$.

(1)	若 $L^2(\mathbb{R})$ 中函数列 $\{f_n\}$ 收敛于 $f$, 则 $\Vert f{\Vert }_2=\underset{n\to +\infty }{\lim }\Vert f_n{\Vert }_2$, 且对任何 $g\in L^2(\mathbb{R})$, 有 $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_{\mathbb{R}}{f}_n(x)g(x)dx={\int }_{\mathbb{R}}f(x)g(x)dx$.
(2)	证明: $\{h_n\}$ 是 $L^2(\mathbb{R})$ 中有界列, 但没有收敛子列.

 
附加题 (20 分) 、设 $X=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left\{f{\chi }_{[-n,n]}|f\in \mathcal{P}\right\}$, 其中 $\mathcal{P}$ 为 $\mathbb{R}$ 上的有理系数多项式全体.

(1)	证明: 对任何 $f\in L^2(\mathbb{R})$, 成立 $\underset{g\in X}{\inf }\Vert g-f{\Vert }_{L^2(\mathbb{R})}=0$.
(2)	设 $\{f_n\}$ 是 $L^2(\mathbb{R})$ 中的有界列. 证明存在 $\{f_n\}$ 的子列 $\{f_{n_k}\}$ 使得对任何 $g\in L^2(\mathbb{R})$, $\underset{k\to +\infty }{\lim }{\int }_{\mathbb{R}}{f}_{n_k}(x)g(x)dx$ 存在.

92021–2022 秋期中

一 (30 分) 、填空题 (每题 6 分)

(1)	设 $x_{n+1}=x_n-x_n^4(n\ge 0)$. 若实数 $a$ 和正数 $b$ 使得 $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^{\alpha }{x}_n=b$, 则 $b=\underline{}$.
(2)	设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}a{e}^x+b\sin 2x,& x<0\\ c{x}^2+\ln (1+x)+x,& x\ge 0\end{array}$ 是 $\mathbb{R}$ 上二阶连续可导函数, 则 $a=\underline{}$, $b=\underline{}$, $c=\underline{}$.
(3)	设 $\mathbb{R}$ 上的二阶可导函数 $f(x)$ 满足 $x+\pi e^{xf(x)}+f(x)-\sin f(x)=0$. 则 $f^{\prime \prime }(0)=\underline{}$.
(4)	使得级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{n}^{\alpha }\left[\right(1+\frac{1}{n}{)}^n-1]$ 收敛的实数 $\alpha$ 满足的充要条件是: $\underline{}$.
(5)	设 $f(x)=x^{2019}{e}^{2020x}\sin x$, 则 $f^{(2021)}(0)=\underline{}$.

 
二 (10 分)、试构造 $\mathbb{R}$ 上的实函数 $f$ 使得它仅在 $0,1$ 两点连续, 且 $f^{\prime }(0)=1$, $f^{\prime }(1)=0$.

 
三 (20 分)、设 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上可导的实函数, 恒成立 $|f^{\prime }(x)|\le 1$, 且 $\{x\in \mathbb{R}|f^{\prime }(x)=1\}$ 无内点. 记 $f_n(x)$ 为 $\stackrel{n\text{ 次}}{\overbrace{f\circ f\circ \cdots \circ f}}(x)$, $\{f_n(0)\}$ 收敛于 $\xi$.

(1)	证明: 对任意 $x<y$, $|f(x)-f(y)|<|x-y|$.
(2)	对于确定的 $x\in \mathbb{R}$, 若 $\{f_n(x)\}$ 的子列 $\{f_{n_k}(x)\}$ 收敛, 证明: $\{f_{(n_k+1)}(x)\}$ 收敛.
(3)	证明: 对任何 $x\in \mathbb{R}$, $\{f_n(x)\}$ 收敛于 $\xi$.

 
四 (20 分)、
(1) 对于给定的 $\alpha >0$, 构造数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_n\le \sum _{k=n}^{\infty }\frac{1}{k^{1+\alpha }}\le b_n$, 且 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{b_n}{a_n}=1$.
(2) 证明: $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\alpha }{n^{\alpha }}\ln (1+\frac{1}{n})=\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\alpha }{n^{\alpha +1}}$.
(3) 计算: $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\alpha }{n^{\alpha }}\ln (1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2})$.

 
五 (20 分)、设 $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 为非空集, $f$ 为 $E$ 上的实函数. 证明: $f$ 局部有界当且仅当 $f$ 在 $E$ 的任何紧子集上有界.

102021–2022 秋期末

一 (30 分) 、填空题 (每题 5 分)

(1)	设 $f(x)=\frac{1}{4\sqrt{2}}\ln \frac{\sqrt{1+x^4}+\sqrt{2}x}{\sqrt{1+x^4}-\sqrt{2}x}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan \frac{\sqrt{1+x^4}}{\sqrt{2}x}$, 则 $f^{\prime }(x)=\underline{}$.
(2)	$\int \frac{\sqrt{1+x^4}}{1-x^4}\mathrm{d}x=\underline{}$.
(3)	$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+\sin \tan x)-\ln (1+\tan x)}{x^3}=\underline{}$.
(4)	设 $f(x,y)=2x^2+y^2+xy-6x-5y$, 则 $f(x,y)$ 在 $[0,+\infty )\times [0,+\infty )$ 上的最小值为 $\underline{}$.
(5)	设在 $0$ 点附近, $f(x)=\ln (1+x)+\frac{1}{2}\arcsin x^2$, $f(\phi (x))\equiv x$, 则 $f(x)$ 和 $\phi (x)$ 的带 Peano 型余项的四阶 MacLaurin 展式依次为: $f(x)=\underline{}$ 和 $\phi (x)=\underline{}$.
(6)	常微分方程 $y^{(5)}(x)+2y^{(3)}(x)+y^{\prime }(x)=x{e}^{2x}+\sin x$ 的通解是 $\underline{}$.

 
二 (14 分)、设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是为有界区域, $f:\overline{\Omega }\to \mathbb{R}$ 连续, 且 $f$ 在 $\Omega$ 内可微. 对任何 $\mathbf{x}\in \Omega$, $\nabla f(\mathbf{x})\ne 0$. 进一步存在 ${\mathbf{x}}_0\in \Omega$ 满足 $|f({\mathbf{x}}_0)|\le \underset{\mathbf{x}\in \partial \Omega }{\min }|f(\mathbf{x})|$, 证明: $f$ 在 $\Omega$ 内有零点.

 
三 (14 分)、已知非负数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 满足$$\{\begin{array}{l}{x}_n^{\frac{2n+2021}{n}}+x_n+y_n=\cos \frac{1}{2n},\\ 3y_n^{\frac{n+2}{n}}+4x_n+y_n=4y_n^{\frac{2}{n}}+\tan \frac{1}{n}.\end{array}$$证明: $\{x_n\},\{y_n\}$ 收敛, 并求其极限.

 
四 (14 分)、
  (1) 实函数 $y$ 在 $(0,+\infty )$ 上两阶可导, 满足 $(1+x^2)y^{\prime \prime }+4x{y}^{\prime }+2y=0$. 试用代换 $z(x)=\frac{1+x^2}{1+x}y(x)$ 导出 $z$ 的微分方程并求解, 进而求 $y$ 的通解.

  (2) 设实函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续, 在 $(0,3)$ 内两阶可导, $f(0)=f(1)=1,f(3)=\frac{2}{5}$. 证明: 存在 $\xi \in (0,3)$ 使得 $(1+{\xi }^2)f^{\prime \prime }(\xi )+4\xi f^{\prime }(\xi )+2f(\xi )=0$.

 
五 (14 分)、设 $f(x)=\ln (1+x)+\frac{1}{2}\arcsin x^2$. 试分蘖构造满足如下条件的实数列 $\{a_n\}$, 或说明这样的数列不存在.
  (1) $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛, 而 $\sum _{n=1}^{\infty }f(a_n)$ 发散.
  (2) $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 发散, 而 $\sum _{n=1}^{\infty }f(a_n)$ 收敛.

 
六 (14 分)、设 $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$. (1) 证明: $(E^{\prime }{)}^{\prime }\subseteq E^{\prime }$. (2) 试给出 $(E^{\prime }{)}^{\prime }\ne E^{\prime }$ 的例子.

112021–2022 春期末

一 (30 分) 、填空题 (每题 5 分)

(1)	积分 ${\int }_0^1\frac{\ln (1-x+x^2)}{x}\mathrm{d}x=\underline{}$.
(2)	曲面 $z=x^2+2y^2$ 落在区域 $x^2+4y^2\le 4$ 内的那一部分的面积为 $\underline{}$.
(3)	函数 $\frac{1}{(1+x)(1+2x+4x^2)}$ 的 Maclaurin 级数中 $x^{2022}$ 项的系数为 $\underline{}$.
(4)	使得函数项级数 $\sum _{n=2022}^{+\infty }(-1{)}^n{x}^n(1+\frac{ax}{n}{)}^{-n^2}$ 关于 $x\in [1,+\infty )$ 一致收敛的实常数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.
(5)	设 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上的实值速降函数, $g(x)={\int }_{\mathbb{R}}yf(2y)e^{-2\pi \mathrm{i}xy}\mathrm{d}y(x\in \mathbb{R})$. 若 ${\int }_{\mathbb{R}}|g(x){|}^2\mathrm{d}x=1$, 则 ${\int }_{\mathbb{R}}{x}^{3}f(x)f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\underline{}$.
(6)	极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\int }_0^1\frac{{\ln }^n(1+x)}{x^n}\mathrm{d}x}{{\int }_0^1\frac{{\sin }^{n}x}{x^{n-1}}\mathrm{d}x}=\underline{}$.

 
二 (14 分)、设 $1\le p<+\infty$, $f\in L^p({\mathbb{R}}^n)$. 依次证明:
  1. 对任意 $\epsilon >0$, 存在 $g\in C_c({\mathbb{R}}^n)$ 使得 ${\int }_{{\mathbb{R}}^n}|g(\mathbf{x})-f(\mathbf{x}){|}^p\mathrm{d}\mathbf{x}\le \epsilon .$
  2. $\underset{\mathbf{u}\to 0}{\lim }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}|f(\mathbf{x}+\mathbf{u})-f(\mathbf{x}){|}^p\mathrm{d}\mathbf{x}=0.$
  3. $\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{{\mathbb{R}}^n}(\frac{1}{|B_{\delta }(\mathbf{x})|}{\int }_{B_{\delta }(\mathbf{x})}|f(\mathbf{y})-f(\mathbf{x}){|}^p\mathrm{d}\mathbf{y})\mathrm{d}\mathbf{x}=0.$

 
三 (14 分)、设 $f$ 在复区域 $D$ 内解析 (即 $f$ 在 $D$ 内任一点附近可以展开为幂级数) , 且 $f$ 的零点有聚点 $z_0\in D$. 证明: $f$ 在 $D$ 内恒为零.

 
四 (14 分)、计算 $\underset{R\to +\infty }{\lim }\underset{x^2+y^2\le R^2}{\iint }\frac{\sin (x^2+xy+y^2)}{x^2+xy+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 并说明计算过程的正确性.

 
五 (14 分)、对于具有正实部的复数 $z$, 定义 $\Gamma (z)={\int }_0^{+\infty }{x}^{z-1}{e}^{-x}dx$. 证明 (若仅证明了 $z$ 为实数情形时的结果, 计 10 分): 对任何复数 $z$, 有 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\Gamma (x+z)}{x^z\Gamma (x)}=1$.

 
六 (14 分)、设 $f$ 以 $2\pi$ 为周期, $f{|}_{[0,2\pi ]}\in L^1[0,2\pi ]$, $f$ 的 Fourier 级数为 $\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$. 记$$S_n(f;x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx),{\sigma }_n(f;x)=\frac{1}{n}\sum _{k=0}^{n-1}{S}_k(f;x).$$  1. 证明: 对于 $n\ge 1$, 以及 $x\in \mathbb{R}$, 有 ${\sigma }_n(f;x)=\frac{1}{2n\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x+t)(\frac{\sin \frac{nt}{2}}{\sin \frac{t}{2}}{)}^2\mathrm{d}t.$
  2. 若 $f$ 连续, 则 ${\sigma }_n(f;x)$ 关于 $x\in \mathbb{R}$ 一致收敛.

122020–2021 秋期中

一 (30 分) 、填空题 (每题 6 分)

(1)	设 $x_0\in (0,2)$, $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3}{6}(n\ge 0)$. 若实数 $a$ 和正数 $b$ 使得 $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^{\alpha }{x}_n=b$, 则 $b=\underline{}$.
(2)	设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}a{x}^2+b\cos x,& x<0\\ e^x+\ln (1+x)+cx,& x\ge 0\end{array}$ 是 $\mathbb{R}$ 上二阶连续可导函数, 则 $a=\underline{}$, $b=\underline{}$, $c=\underline{}$.
(3)	设 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $x+f(x)+\sin f(x)=0$. 则 $f^{\prime \prime \prime }(0)=\underline{}$.
(4)	使得级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(1-\frac{x}{\sqrt{n}}{)}^n$ 收敛的实数 $x$ 满足的充要条件是: $\underline{}$.
(5)	设 $f(x)=e^x\cos x$, 则 $f^{(2020)}(0)=\underline{}$.

 
二 (10 分)、试构造 $\mathbb{R}$ 上的实函数 $f$ 使得它仅在 $0$ 点连续, 且在 $0$ 点的导数为 $1$.

 
三 (20 分)、若 $f(x_0)=x_0$, 则称 $x_0$ 为 $f$ 的不动点. 现设 $f$ 为 $[0,1]$ 上处处可导的实函数, $0$ 和 $1$ 均为 $f$ 的不动点, 且 $f^{\prime }(0)>1$, $f^{\prime }(1)>1$. 证明:

(1)	$f$ 在 $(0,1)$ 中也有不动点.
(2)	存在 $f$ 的不动点 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f^{\prime }(\xi )\le 1$.

 
四 (20 分)、证明:

(1)	对于任何 $\alpha >0$ 以及 $n\ge 1$, 成立 $n^{-\alpha }+(n+2{)}^{-\alpha }\ge 2(n+1{)}^{-\alpha }$.
(2)	对于任何 $\alpha >0$ 以及非负整数 $m$, 级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n+m{)}^{\alpha }}$ 收敛.
(3)	对于任何非负整数 $m$, 级数 $\underset{\alpha \to 0^{+}}{\underline{\lim }}\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{(n+m{)}^{\alpha }}\ge \frac{1}{2}$.
(4)	$\underset{\alpha \to 0^{+}}{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^{\alpha }}=\frac{1}{2}$.

 
五 (20 分)、设 $E\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 为非空集, $\alpha \in (0,1)$, $f$ 为 $E$ 上的实函数. 称 $f\in C^{\alpha }(E)$, 如果存在常数 $M>0$ 使得对任何 $x,y\in E$ 成立 $|f(x)-f(y)|\le M|x-y{|}^{\alpha }$. 现设 $D$ 为单位闭方体 $[0,1{]}^n$, $B_{\delta }(x_0)$ 表示 ${\mathbb{R}}^n$ 中以 $x_0$ 为心 $\delta$ 为半径的球体.

(1)	设 $\alpha \in (0,1)$, 若 $f\in C_{loc}^{\alpha }(D)$, 即对任何 $x_0\in D$, 存在 $\delta >0$ 使得 $f\in C^{\alpha }(B_{\delta }(x_0)\cap D)$. 证明: $f\in C^{\alpha }(D)$.
(2)	若对于任何 $x_0\in D$, 存在 $\alpha \in (0,1)$ 以及 $\delta >0$ 使得 $f\in C^{\alpha }(B_{\delta }(x_0)\cap D)$. 证明或举例否定: 存在 $\beta \in (0,1)$ 使得 $f\in C^{\beta }(D)$.

132020–2021 秋期末

一 (30 分) 、填空题 (每题 5 分)

(1)	设 $f(x,y)=x^2+2y^2-2xy+3x-9y$, 则 $f(x,y)$ 在 $[0,+\infty )\times [0,+\infty )$ 上的最小值为 $\underline{}$.
(2)	$\int x{e}^x\cos xdx=\underline{}$.
(3)	$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(1+\tan x{)}^{\frac{1}{\tan x}}-(1+x{)}^{\frac{1}{x}}}{x^3}=\underline{}$.
(4)	对于 $n\ge 6$, 设 ${\xi }_n\in (0,\frac{1}{n})$ 满足 $\sin {\xi }_n=\frac{1}{n}{e}^{{\xi }_n}$, 则 $\underset{n\to \infty }{\lim }n{\xi }_n=\underline{}$.
(5)	设函数 $f$ 在 $x=0$ 附近有三阶导数, 且其带 Peano 型余项的三阶 MacLaurin 展式为 $f(x)=x+3x^2+4x^3+o(x^3)(x\to 0)$, 则 $f$ 的反函数 $g$ 的带 Peano 型余项的三阶 MacLaurin 展式为: $g(x)=\underline{}$.
(6)	常微分方程 $y^{\prime \prime \prime }-3y^{\prime }+2y=x{e}^x+\cos x$ 的通解是 $\underline{}$.

 
二 (12 分)、试构造 ${\mathbb{R}}^2$ 上的二元函数 $f$ 使得 $0$ 点不是它的极小值点, 但对任何 $\alpha \in [0,2\pi ]$, $g(t):=f(t\cos \alpha ,t\sin \alpha )$ 在 $t=0$ 取到严格极小值. 进一步, 能否取到这样的一个 $f$ 使得它在 ${\mathbb{R}}^2$ 上连续? 请证明你的结论.

 
三 (18 分)、设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=e^t+t,\\ y=\cos t-3t\end{array}$ 确定.
(1) 计算 $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$.   (2) 计算 $\int y(x)dx$.
(3) 固定 $x_0\ne 1$, 定义 $x_{n+1}=y(x_n)(n\ge 0)$. 试讨论 $\{x_n\}$ 的有界性与收敛性.

 
四 (14 分)、设实函数 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内两阶可导, $f(0)=0$, $f(\frac{1}{2})=\frac{\pi }{6}$, $f(1)=\frac{\pi }{2}$. 证明: 存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f^{\prime \prime }(\xi )=\frac{\xi }{1-{\xi }^2}{f}^{\prime }(\xi )$.

 
五 (14 分)、设 $a_n\ne 1(n\ge 1)$, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=0$, 无穷乘积 $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_n)$ 收敛.
(1) 举例说明级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛和发散的情形都有可能发生.
(2) 证明级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 收敛当且仅当 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n^2$ 收敛.

 
六 (12 分)、设 ${\mathbb{R}}^n$ 上连续函数列 $\{f_k(\mathbf{x})\}$ 对于每一个 $\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n$ 都是有界的. 证明: 存在内点非空的集合 $E\subset {\mathbb{R}}^n$ 使得 $\{f_k\}$ 在 $E$ 上一致有界, 即存在与 $k$ 无关的常数 $M>0$ 使得$$|f_k(\mathbf{x})|\le M,\forall k\ge 1,\mathbf{x}\in E.$$

142020–2021 春期中

一 (30 分) 、填空题 (每题 6 分)

(1)	${\int }_0^{\pi }\frac{x\sin x}{1+\sin x}dx=\underline{}$.
(2)	$\underset{x^2+4y^2\le 2x+4y}{\iiint }(x^2+y^2)dxdy=\underline{}$.
(3)	设 $\alpha \in \mathbb{R}$ 为给定常数, 则使得函数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }(1-x{)}^{\alpha }{x}^{n^2}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛的 $\alpha$ 的取值范围是 $\underline{}$.
(4)	设 $D\subseteq (0,+\infty )\times (0,+\infty )$, 若函数项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{\sin (n+\frac{1}{n^{\beta }})}{n^{\alpha }+\sin n}$ 关于 $(\alpha ,\beta )\in D$ 内闭一致收敛, 则满足上述条件的最大的集合 $D$ 是 $\underline{}$.
(5)	$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\ln (1+\frac{\ln k}{n\ln n})=\underline{}$.

 
二 (10 分)、设 $E\subset {\mathbb{R}}^n$ 是 Jordan 可测的有界集, $f:E\to \mathbb{R}$ 有界. 证明: $f$ 在 $E$ 上 Riemann 可积当且仅当 $f$ 在 $E$ 的内部 $E^o$ 中 Riemann 可积.

 
三 (20 分)、计算以下极限并说明理由:

(1) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_0^{\frac{1}{2}}{x}^{nx}dx}{{\int }_{\frac{1}{2}}^1{x}^{nx}dx}$.   (2) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\int }_0^1\frac{x^{nx}}{1+x^2}dx}{{\int }_0^1{x}^{nx}dx}$.

 
四 (20 分)、已知对于 $\alpha \in (0,1)$ 成立 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2-{\alpha }^2}=\frac{1}{2{\alpha }^2}-\frac{\pi \cot (\alpha \pi )}{2\alpha }$. 证明: 对于任何实数 $\alpha$ 成立 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+{\alpha }^2}=-\frac{1}{2{\alpha }^2}+\frac{\pi }{2\alpha \tanh (\alpha \pi )}$.

 
五 (20 分)、对于 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, 定义 $\Vert A\Vert :=\underset{\begin{array}{c}\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n\\ |\mathbf{x}|=1\end{array}}{\sup }|A\mathbf{x}|$. 记 $X:=\{A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}|\Vert A\Vert <1\}$. 进一步, 对于 $A\in X$, 定义 $\arcsin A:=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{C_{2n}^n}{4^n(2n+1)}{A}^{2n+1}$.

(1)	证明: $X$ 是 ${\mathbb{R}}^{n\times n}$ 中的区域.
(2)	证明: $\arcsin A$ 在 $X$ 中任意次连续可微.
(3)	若 $A\in X$ 是对称阵, $1\le k\le n$, 证明: $\lambda$ 是 $A$ 的 $k$ 重特征根当且仅当 $\arcsin \lambda$ 是 $\arcsin A$ 的 $k$ 重特征根.

152020–2021 春期末

一 (30 分) 、填空题 (每题 5 分)

(1)	积分 $\underset{x^2+4y^2+9z^2\le 4x+8y+6z}{\iiint }(x^2+y^2+z^2)dxdydz=\underline{}$.
(2)	使得函数项级数 $\sum _{n=2}^{+\infty }\frac{\sin nx}{n^{ax}}$ 关于 $x\in [\pi ,+\infty )$ 一致收敛的实常数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.
(3)	${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{(1+x^8{)}^2}dx=\underline{}$.
(4)	设 $i$ 为虚数单位, $C$ 为椭圆周 $x^2+4y^2=16$, 方向为逆时针, 则曲线积分 ${\int }_C\frac{dx+idy}{(x+iy{)}^2+1}=\underline{}$.
(5)	通过将函数 $f(x):=e^{x/2}(x\in [0,2\pi ])$ 展开成 Fourier 级数, 可得 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{4n^2+1}=\underline{}$.
(6)	极限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{e}^x|\sin nx|dx=\underline{}$.

 
二 (14 分)、设 $f$ 为 $\mathbb{R}$ 上的实函数, 在 $\mathbb{R}$ 的任何有界区间上, $(f^{+}{)}^2$ 与 $(f^{-}{)}^2$ 的广义积分均收敛. 证明: 对于任何有界闭区间 $[a,b]$, 成立$$\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }{\int }_a^b|f(x)-\frac{1}{2\delta }{\int }_{-\delta }^{\delta }f(x+t)dt{|}^{2}dx=0.$$ 
三 (14 分)、设 $\{b_n\}$ 为单调下降的正数列, 证明: $\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin nx$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上一致收敛的充要条件是 $\underset{n\to \infty }{\lim }n{b}_n=0$.

 
四 (14 分)、计算 $\underset{n\to +\infty }{\lim }n\sqrt{n}{\int }_0^{+\infty }\frac{\sin x^2}{(1+x^2{)}^n}dx$ 并说明计算过程的正确性.

 
五 (14 分)、设 $f\in C^2({\mathbb{R}}^n)$, 且 $\Delta f(\mathbf{x})\le 0(\forall \mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n)$. 令 $F(r):=\frac{1}{r^{n-1}}\underset{|\mathbf{x}|=r}{\int }f(\mathbf{x})dS(r>0)$. 证明 $F$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调下降.

 
六 (14 分)、对于 ${\mathbb{R}}^n$ 上的速降函数 $f$, 用 $\mathcal{F}(f)$ 表示其 Fourier 变换. 定义 $g(\mathbf{x}):=e^{-\pi |\mathbf{x}{|}^2}(\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n)$. 1. 证明 $\mathcal{F}(g)=g$. 2. 对于 ${\mathbb{R}}^n$ 上的速降函数 $f$, 证明: ${\mathcal{F}}^4(f)\equiv \mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{F}(\mathcal{F}(f))))=f$. 进而尝试构造满足 $\mathcal{F}(f)=f$ 且 $f(\mathbf{x})e^{\pi |\mathbf{x}{|}^2}$ 不为常数的函数 $f$.