试卷: 李群和李代数

12025 春

一、(24 分)

记 $ISO({\mathbb{R}}^4)$ 为 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^4$ 上的等距变换群, $IS{O}_0({\mathbb{R}}^4)$ 为 $ISO({\mathbb{R}}^4)$ 的单位元连通分支.

•	证明 $ISO({\mathbb{R}}^4)$ 和 $IS{O}_0({\mathbb{R}}^4)$ 均为 Lie 群.
•	求 $ISO({\mathbb{R}}^4)$ 对应的 Lie 代数.
•	$ISO({\mathbb{R}}^4)$ 是否是连通的? 证明你的结论.
•	$IS{O}_0({\mathbb{R}}^4)$ 是否为紧的? 证明你的结论.
•	$IS{O}_0({\mathbb{R}}^4)$ 的万有覆盖群是什么?
•	试将 $ISO({\mathbb{R}}^4)$ 的所有紧致连通 Lie 子群进行分类.

二、(20 分)

设 $G$ 为 Lie 群, $H$ 为 $G$ 的子群. 判断下列命题是否正确, 并证明你的结论:

•	若 $H$ 为 $G$ 的嵌入 Lie 子群, 则 $H$ 必为闭子群.
•	若 $H$ 为 $G$ 的闭子群, 则 $H$ 必为 $G$ 的嵌入 Lie 子群.
•	若 $H$ 为 $\{a^k:k\in \mathbb{Z}\}$ 的闭包, 则 $H$ 为 $G$ 的一个子环群.
•	若 $H$ 为 $G$ 的一个子环群, 则存在 $a\in H$, 使得 $H$ 为 $\{a^k:k\in \mathbb{Z}\}$ 的闭包．
•	若 $H$ 为 $G$ 的一个子环群, 则存在 $G$ 的极大子环群 (维数最大的子环群) $T$, 使得 $H\subset T$.

三、(24 分)

设 $G$ 为连通紧 Lie 群, $\mathfrak{g}$ 为 $G$ 的 Lie 代数. 记 $\mathrm{Aut}(G)$ 为 $G$ 的自同构群, $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ 为 $\mathfrak{g}$ 的自同构群. 形如 $\mathrm{Ad}(g)(g\in G)$ 的全体伴随表示构成 $\mathfrak{g}$ 的内自同构群 $\mathrm{Ad}(\mathfrak{g})$.

(1)

以下关系式是否成立? 若成立, 请证明; 若不一定成立, 请举出反例, 并给出关系式成立的条件. $\bullet$ $\mathrm{Aut}(G)=\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$. $\bullet$ $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})=\mathrm{Ad}(\mathfrak{g})$.

(2)

设 $(\cdot ,\cdot )$ 为 $\mathfrak{g}$ 上的伴随不变正定内积, $\mathfrak{h}$ 为 $\mathfrak{g}$ 的 Cartan 子代数, $\Delta \subset \mathfrak{h}$ 为 $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ 的根系, $W$ 为 $\Delta$ 对应的 Weyl 群. 判断下列命题是否正确, 并证明你的结论. $\bullet$ $(\cdot ,\cdot )$ 与 $\mathfrak{g}$ 上的 Killing 型成比例． $\bullet$ 若 $\varphi \in \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ 并且 $\varphi (\mathfrak{h})=\mathfrak{h}$, 则 $\varphi {|}_{\mathfrak{h}}\in W$. $\bullet$ $\forall \sigma \in W$, 存在 $\varphi \in \mathrm{Ad}(\mathfrak{g})$, 使得 $\varphi {|}_{\mathfrak{h}}=\sigma$. $\bullet$ 若 $\mathfrak{g}$ 为紧半单 Lie 代数, $\sigma$ 为 $(\mathfrak{h},(\cdot ,\cdot ))$ 上的正交变换, 则存在 $\varphi \in \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$, 使得 $\varphi {|}_{\mathfrak{h}}=\sigma$ 的充要条件是 $\sigma (\Delta )=\Delta$.

四、(18 分)

求证: 存在紧单 Lie 代数 $\mathfrak{g}$, 使得 $\mathfrak{g}$ 的根系与抽象根系 $F_4$ 同构.

五、(18 分) 从以下两题中任选一题:

(1)	本学期你印象最深刻的定理是什么? 请说明理由.
(2)	Lie 群 Lie 代数理论有着广泛的应用. 你对哪个领域的应用最有兴趣? 请阐述理由.

22024 春

一	(20 分) 设 $G$ 为连通 Lie 群, $\mathfrak{g}$ 为 $G$ 的 Lie 代数, $\exp :\mathfrak{g}\to G$ 为指数映射. 判断下列命题是否正确, 并证明你的结论: ($a$) $\exp$ 是光滑的.  ($b$) $\exp$ 为局部微分同胚.  ($c$) $\exp$ 是满射. ($d$) $G$ 为可交换 Lie 群当且仅当 $\mathfrak{g}$ 为可交换 Lie 代数.
二	(15 分) 设 $G$ 为 Lie 群, $H$ 为 $G$ 的子群. 判断下列命题是否正确, 并证明你的结论: ∘ 若 $H$ 为 $G$ 的嵌入 Lie 子群, 则 $H$ 必为闭子群. ∘ 若 $H$ 为 $G$ 的闭子群, 则 $H$ 必为 $G$ 的 Lie 子群. ∘ 若 $H$ 为 $a\in G$ 生成的群, 则 $H$ 的闭包为 $G$ 的一个子环群.
三	(25 分) 设 $G$ 为连通紧 Lie 群, $\mathfrak{g}$ 为 $G$ 的 Lie 代数. 记 $\mathrm{Aut}(G)$ 为 $G$ 的自同构群, $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ 为 $\mathfrak{g}$ 的自同构群. 形如 $\mathrm{Ad}(\mathfrak{g})(g\in G)$ 的全体伴随表示构成 $\mathfrak{g}$ 的内自同构群 $\mathrm{Ad}(\mathfrak{g})$. (1) 以下关系式是否成立? 若成立, 请证明; 若不一定成立, 请举出反例, 并给出关系式成立的条件. ∘ $\mathrm{Aut}(G)=\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$. ∘ $\mathrm{Aut}(\mathfrak{g})=\mathrm{Ad}(\mathfrak{g})$. (2) 设 $(\cdot ,\cdot )$ 为 $\mathfrak{g}$ 上的 $\mathrm{Ad}(\mathfrak{g})$-不变正定内积, $\mathfrak{h}$ 为 $\mathfrak{g}$ 的 Cartan 子代数, $\Delta \subset \mathfrak{h}$ 为 $(\mathfrak{g},\mathfrak{h})$ 的根系, $W$ 为 $\Delta$ 对应的 Weyl 群. 判断下列命题是否正确, 并证明你的结论. ∘ 若 $\varphi \in \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$ 并且 $\varphi (\mathfrak{h})=\mathfrak{h}$, 则 $\varphi {|}_{\mathfrak{h}}\in W$. ∘ $\forall \varphi \in W$, 存在 $\varphi \in \mathrm{Ad}(\mathfrak{g})$, 使得 $\varphi {|}_{\mathfrak{h}}=\sigma$. ∘ 若 $\mathfrak{g}$ 为紧半单 Lie 代数, $\sigma$ 为 $(\mathfrak{h},(\cdot ,\cdot ))$ 上的正交变换, 则存在 $\varphi \in \mathrm{Aut}(\mathfrak{g})$, 使得 $\varphi {|}_{\mathfrak{h}}=\sigma$ 的充要条件是 $\sigma (\Delta )=\Delta$.
四	(20 分) 记 $\mathbb{O}$ 为八元数域, 求 $\mathbb{O}$ 的自同构群 $\mathrm{Aut}(\mathbb{O})$ 的 Lie 代数、根系、Dynkin 图以及万有覆盖群.
五	(20 分) 从以下两题中任选一题: (1) 本学期你印象最深刻的定理是什么? 请说明理由. (2) Lie 群 Lie 代数理论有着广泛的应用. 你对哪个领域的应用最有兴趣? 请阐述理由.