用户: Solution/ 试卷: 数理方程

2022 年秋数理方程 (H) (雷震) 期末试卷

1.	(10 分) 叙述 Poisson 方程的 Dirichlet 问题、Neumann 问题.
2.	(15 分) 设 $u$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的调和函数, $1\le p,q\le \infty$. 记 $B_r$ 是中心为 $0$ 半径为 $r$ 的球, 证明$$\Vert u{\Vert }_{L^p(B_r)}\le C{r}^{\frac{n}{p}-\frac{n}{q}}\Vert u{\Vert }_{L^q(B_{2r})}.$$
3.	(15 分) 求解$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u-{\partial }_x^{2}u=4\sin 2x,& (t,x)\in (0,+\infty )\times (0,2\pi )\\ u(t,0)=0,& t\in (0,+\infty )\\ u(t,2\pi )=1,& t\in (0,+\infty )\\ u(0,x)=\sin 3x+\frac{x}{2\pi },& x\in (0,2\pi ).\end{array}$$
4.	(20 分) 区域 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 上的热方程$$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u-\Delta u=0,& (t,x)\in (0,+\infty )\times \Omega \\ u(0,x)=\phi (x),& x\in \Omega \\ \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}=0,& (t,x)\in (0,+\infty )\times \partial \Omega .\end{array}$$(1) 证明解的能量关于时间的指数衰减性; (2) 证明解的唯一性、关于初值的 $L^2$ 稳定性.
5.	(20 分) ${\mathbb{R}}^n$ 上的非线性波动方程$$\{\begin{array}{l}{\partial }_t^{2}u-\Delta u-u^5=0,\\ u(0,x)=\phi (x),{\partial }_{t}u(0,x)=\psi (x).\end{array}$$证明解的唯一性.
6.	(20 分) ${\mathbb{R}}^2$ 上的波动方程$$\{\begin{array}{l}{\partial }_t^{2}u-\Delta u=0,\\ u(0,x)=0,{\partial }_{t}u(0,x)=\psi (x).\end{array}$$其中 $\psi$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 上的光滑紧支函数, 支集 $\mathrm{supp}\psi \subset B_R(0)$. (1) (5 分) 写出 $u$ 的表达式; (2) (15 分) 证明存在常数 $C$ 使 $\Vert u(t,\cdot ){\Vert }_{L^{\infty }({\mathbb{R}}^2)}\le C{R}^{\frac{3}{2}}\Vert \psi {\Vert }_{L^{\infty }({\mathbb{R}}^2)}(t+R{)}^{-\frac{1}{2}}$.

 

2023 年秋数理方程 (H) (曲鹏) 期末试卷

1.	记 $\Omega ={\bar{B}}_1^c$, 证明以下外 Neumann 问题的经典解唯一: $$\{\begin{array}{ll}\Delta u=0,& x\in \Omega \\ \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}+\sigma u=g(x),& x\in \partial \Omega \\ \underset{|x|\to \infty }{\lim }u(x)=0.& \end{array}$$其中 $\sigma >0$ 为常数, $\mathbf{n}$ 为指向球内的单位法向量.
2.	求解: $$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u-{\partial }_x^{2}u=0,& (t,x)\in (0,+\infty )\times (0,1)\\ u(0,x)=x,& x\in (0,\frac{1}{2}]\\ u(0,x)=1-x,& x\in (\frac{1}{2},1)\\ u(t,0)=u(t,1)=0,& t\in (0,+\infty ).\end{array}$$
3.	讨论解的相容性条件, 并求解: $$\{\begin{array}{l}\left(1-\frac{x}{h}\right){\partial }_t^{2}u=a^2{\partial }_x\left({\left(1-\frac{x}{h}\right)}^2{\partial }_{x}u\right),\\ u(0,x)=\phi (x),{\partial }_{t}u(0,x)=\psi (x).\end{array}$$
4.	设 $u$ 是 $B_R(x_0)$ 上的非负调和函数, 在 ${\bar{B}}_R(x_0)$ 上是连续的. 对于 $x\in B_R(x_0)$, 记 $r=|x-x_0|$, 证明: $${\left(\frac{R}{R+r}\right)}^{n-2}\frac{R-r}{R+r}u(x_0)\le u(x)\le {\left(\frac{R}{R-r}\right)}^{n-2}\frac{R+r}{R-r}u(x_0).$$
5.	对于二维波动方程, 证明在初值 $\left(\phi ,\psi \right)$ 都是光滑紧支函数时, 其 Cauchy 问题的解在 $t\to \infty$ 时按 $t^{-1/2}$ 衰减.
6.	设 $u$ 是 $B_1(0)$ 上的调和函数, 证明存在 $C>0$, 使得对任意的 $0<r_1<r_2<1$, 有$${\int }_{B_{r_1}}|Du{|}^{2}dx\le \frac{C}{(r_2-r_1{)}^2}{\int }_{B_{r_2}}|u{|}^{2}dx.$$
7.	设 $\phi \in C^{\alpha }({\mathbb{R}}^n)$, $0<\alpha <1$, 即存在 $C>0$ 使得$$|\phi (x)-\phi (y)|\le C|x-y{|}^{\alpha }.$$设 $u=P_t\phi =H(t,\cdot )\ast \phi$. (1) 证明: 存在常数 $D>0$ 使得$$|u(t,x)|\le D(1+|x|+t).$$(2) 证明: 存在常数 $A>0$ 使得$$|u(t,x)-u(s,y)|\le A(|x-y{|}^{\alpha }+|t-s{|}^{\frac{\alpha }{2}}).$$

6的提示.

6 的提示. 取 $B_1$ 上的非负光滑函数 $\eta$ 使 $\eta =1$ 在 $B_{r_1}$ 上, $\eta =0$ 在 $B_{r_2}$ 外, 考虑 ${\int }_{B_1}Du\cdot D({\eta }^{2}u)$.

$\square$

6的解答.

6 的解答. 由于$${\int }_{B_1}2\eta uDu\cdot D\eta +{\eta }^2|Du{|}^2={\int }_{B_1}Du\cdot D({\eta }^{2}u)=-{\int }_{B_1}{\eta }^{2}u\Delta u+{\int }_{\partial B_1}\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}{\eta }^{2}u=0,$$有$${\int }_{B_1}{\eta }^2|Du{|}^2=-2{\int }_{B_1}\eta uDu\cdot D\eta \le 2({\int }_{B_1}|D\eta {|}^2{u}^2{)}^{\frac{1}{2}}({\int }_{B_1}{\eta }^2|Du{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}.$$进一步要求 $|D\eta |\le C/|r_2-r_1|$, $C$ 是任意大于 $1$ 的数, 得到$${\int }_{B_{r_1}}|Du{|}^2\le {\int }_{B_1}{\eta }^2|Du{|}^2\le 4{\int }_{B_1}|D\eta {|}^2{u}^2\le \frac{4C^2}{(r_2-r_1{)}^2}{\int }_{B_{r_2}}{u}^2.$$$\square$

7的解答.

7 的解答. (1) 由于$$\begin{array}{rl}u(t,x)-\phi (0)& ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{1}{(4\pi t{)}^{\frac{n}{2}}}{e}^{-\frac{|y{|}^2}{4t}}\phi (x-y)dy-\phi (0)\\ & ={\int }_{{\mathbb{R}}^n}\frac{1}{(4\pi t{)}^{\frac{n}{2}}}{e}^{-\frac{|y{|}^2}{4t}}(\phi (x-y)-\phi (0))dy\\ & ={\pi }^{-\frac{n}{2}}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-z^2}(\phi (x-\sqrt{4t}z)-\phi (0))dz,\end{array}$$有$$\begin{array}{rl}|u(t,x)-\phi (0)|& \le {\pi }^{-\frac{n}{2}}C{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-z^2}|x-\sqrt{4t}z{|}^{\alpha }dz\\ & \le {\pi }^{-\frac{n}{2}}C{\int }_{{\mathbb{R}}^n}{e}^{-z^2}(|x{|}^{\alpha }+|\sqrt{4t}z{|}^{\alpha })dz\\ & \le A(|x{|}^{\alpha }+t^{\frac{\alpha }{2}})\\ & \le B(1+|x|+t).\end{array}$$那么, 令 $D=|\phi (0)|+B$.

(2) 不妨设 $t>s$, 这就是以 $s$ 为初始时间 $y$ 为原点的 (1). 将 $s,y$ 当作参数, 令$$v(\tau ,z)=u(\tau +s,z+y)-u(s,y).$$$v$ 是 $H$ 与其初值 $\psi (z)=u(s,z+y)-u(s,y)$ 的卷积, 这里 $\psi$ 同样符合$$\begin{array}{rl}|\psi (z)-\psi (w)|& =|u(s,z+y)-u(s,w+y)|\\ & =|{\int }_{{\mathbb{R}}^n}H(s,x)(\phi (z+y-x)-\phi (w+y-x)\left)dx\right|\\ & \le \underset{x\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }|\phi (z+y-x)-\phi (w+y-x)|\\ & \le |z-w{|}^{\alpha }.\end{array}$$此外 $\psi (0)=0$. 对 $v$ 使用 (1) 中红色的不等式, 有$$|u(t,x)-u(s,y)|=|v(t-s,x-y)|\le A(|x-y{|}^{\alpha }+(t-s{)}^{\frac{\alpha }{2}}).$$$\square$

 

2023 年秋数理方程 (王志强) 期末试卷

以下每道题都是 20 分.

1.	记 $\Omega ={\bar{B}}_1^c$, 证明以下外 Neumann 问题的经典解唯一: $$\{\begin{array}{ll}\Delta u=0,& x\in \Omega \\ \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}+\sigma u=g(x),& x\in \partial \Omega \\ \underset{|x|\to \infty }{\lim }u(x)=0.& \end{array}$$其中 $\sigma >0$ 为常数, $\mathbf{n}$ 为指向球内的单位法向量.
2.	求解, 并证明解的唯一性: $$\{\begin{array}{ll}{\partial }_{t}u-{\partial }_x^{2}u=0,& (t,x)\in (0,+\infty )\times (0,1)\\ u(0,x)=x,& x\in (0,\frac{1}{2}]\\ u(0,x)=1-x,& x\in (\frac{1}{2},1)\\ u(t,0)=u(t,1)=0,& t\in (0,+\infty ).\end{array}$$
3.	求解: $$\{\begin{array}{l}\left(1-\frac{x}{h}\right){\partial }_t^{2}u=a^2{\partial }_x\left({\left(1-\frac{x}{h}\right)}^2{\partial }_{x}u\right),\\ u(0,x)=\phi (x),{\partial }_{t}u(0,x)=\psi (x).\end{array}$$ 提示: $v=\left(1-\frac{x}{h}\right)u$.
4.	设 $u$ 是 $B_R(x_0)$ 上的非负调和函数, 在 ${\bar{B}}_R(x_0)$ 上是连续的. 对于 $x\in B_R(x_0)$, 记 $r=|x-x_0|$, 证明: $${\left(\frac{R}{R+r}\right)}^{n-2}\frac{R-r}{R+r}u(x_0)\le u(x)\le {\left(\frac{R}{R-r}\right)}^{n-2}\frac{R+r}{R-r}u(x_0).$$
5.	写出二维波动方程的传播特性, 证明在初值 $\left(\phi ,\psi \right)$ 都是光滑紧支函数时, 其 Cauchy 问题的解在 $t\to \infty$ 时按 $t^{-1/2}$ 衰减.
6.	(1) 写出最印象深刻的定理, 给出理由. (2) 对课程的建议.