试卷: 数学控制论

12024 年期末

1．给定矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n},B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$, 考虑控制系统$$\dot{y}(t)=Ay(t)+Bu(t),t\in [0,+\infty ).$$

如果对于任意的 $\rho >0$, 都存在 $F_{\rho }\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ 以及 $M\ge 1$ 满足$$\Vert e^{(A+B{F}_{\rho })t}\Vert \le M{e}^{-\rho t},t\in [0,+\infty ),$$

试证明原控制系统能控.

2．给定两个稳定的正实系数多项式 $f,g$, 且 $\mathrm{deg}(f)=\mathrm{deg}(g)$. 证明: 若$$\mathrm{Im}\left(\frac{f(i\omega )}{g(i\omega )}\right)\ne 0,\forall \omega \in \mathbb{R}\setminus \{0\},$$

则 $f+g$ 也稳定.

3．给定矩阵 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n},B_1\in {\mathbb{R}}^{n\times m_1},B_2\in {\mathbb{R}}^{n\times m_2}$. 试求控制系统$$\dot{y}(t)=Ay(t)+B_1{u}_1(t)+B_2{u}_2(t),y(0)=0$$

如下能达集$${\mathcal{A}}_{2024}\triangleq \{y(2024;0,0,u_1,u_2)\mid u_1\in L^2(0,2024;{\mathbb{R}}^{m_1}),u_2\in L^2(0,2024;{\mathbb{R}}^{m_2}),u_1(t)=0\text{ 和 }{u}_2(t)=0\text{ 至少一个成立, }\forall t\in [0,2024]\}.$$

4．试讨论控制系统$$\dot{y}(t)=y(t)+u(t),y(0)=x$$

在性能指标$${\int }_0^{+\infty }\left[4y^2(t)+2y(t)u(t)+u^2(t)\right]\mathrm{d}t$$

取最小值时的最优控制.

5．考虑时间最优控制问题: 对于任意的 $(t,x)\in [0,+\infty )\times {\mathbb{R}}^n$, 考虑控制系统$$\{\begin{array}{l}\dot{y}(s)=f(s,y(s),u(s)),s\ge t,\\ y(t)=x,\end{array}$$

打到 $0$. 值函数作如下定义$$V(t,x)\triangleq \inf \{t_f\ge t\mid \text{ exists }u\in L^2(t,t_f;{\mathbb{R}}^m)\text{ so that }y(t_f;t,x,u)=0\}.$$

试给出形式的 HJB 方程．

6．考虑如下最优控制问题: $$\{\begin{array}{l}\dot{y}(t)=u(t),t\in (0,1)\\ y(0)=1,\end{array}$$

其中控制约束集 $U=[-1,1]$, 约束条件$$y(1/2)=1,$$

性能指标$$J(u)={\int }_0^{1}y(t)u(t)\mathrm{d}t.$$

请给出最大值原理, 并求相应的最优控制．

22023 年期末

一、	假设$$\left[\left(\begin{array}{cc}{A}_1& A_2\\ A_3& A_4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}B\\ 0\end{array}\right)\right]\text{能稳.}$$证明: $(A_4,A_3)$ 能稳.
二、	已知正系数多项式$$f(s)=\sum _{j=0}^{2n+1}{a}_j{s}^j$$稳定. 试问以下两个多项式是否稳定? 说明理由. $$\sum _{k=0}^n{a}_{2k}{s}^{2k+1}+\sum _{k=0}^n{a}_{2k+1}{s}^{2k};\sum _{k=0}^n{a}_{2(n-k)+1}{s}^{2k+1}+\sum _{k=0}^n{a}_{2(n-k)}{s}^{2k}.$$
三、	设 $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $B\in {\mathbb{R}}^{n\times m}$, $C\in {\mathbb{R}}^{l\times n}$, $T>0$. 考虑系统$$\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t),\\ y(t)=Cx(t)\end{array}t\in [0,+\infty ).$$假定 $A$ 稳定, 且控制函数 $u\in L_{\mathrm{loc}}^1(0,+\infty ;{\mathbb{R}}^m)$ 是以 $T$ 为周期的周期函数. 对于任意的初值 $x(0)=x_0\in {\mathbb{R}}^{n\times 1}$, 问$$\underset{t\to +\infty }{\lim }y(t)$$是否存在? 请说明理由. 若存在, 给出刻画.
四、	试举出一个时间最优控制问题的例子, 最优控制存在但都没有 Bang–Bang 性.
五、	设 $\xi$ 是取值于 $[0,1]$ 上的连续型随机变量. 对于任意 $\lambda \in [0,1]$, 问是否存在 $[0,1]$ 上的可测集 $M$ 使得以下结论成立? 请说明理由. $$\lambda (E({\xi }^2)+\lambda \mu (E(\xi ){)}^2)=E({\xi }^2\cdot {\chi }_M(\xi ))+\mu [E(\xi \cdot {\chi }_M(\xi )){]}^2,\forall \mu \in \mathbb{R}.$$
六、	对于脉冲控制系统$$\{\begin{array}{l}\dot{y}(s)=f(y(s)),s\in (t,+\infty )\setminus \mathbb{N},\\ y(k)=y(k-)+{\xi }_k,k\ge t,\\ y(t-)=x,\end{array}$$性能指标为$$J_{t,x}(\xi )={\int }_t^{+\infty }{e}^{-\lambda s}g(y(s))\mathrm{d}s+\sum _{k\ge t}^{\infty }{e}^{-\lambda k}h({\xi }_k),$$其中 $\xi =\{{\xi }_k{\}}_{k\ge t}\subseteq U$. 试写出最优性原理以及形式上的 HJB 方程.

提示.

提示.

二、	用 Hurwitz 判据, 两者都不稳定.
三、	存在当且仅当 ${\int }_{t-T}^{t}C{e}^{A(t-s)}Bu(s)\mathrm{d}s$ 同 $t$ 无关.
五、	对 $\left(\begin{array}{c}{\xi }^2\\ \xi \end{array}\right):[0,1]\to {\mathbb{R}}^2$ 用 Liapounoff 定理.
六、	$$\{\begin{array}{l}V(t-,x)=\underset{{\xi }_t\in U}{\inf }[e^{-\lambda t}h({\xi }_t)+V(t+,x+{\xi }_t)],t\in \mathbb{N},\\ V_t(t,x)+⟨V_x(t,x),f(x)⟩=0,t\notin \mathbb{N}.\end{array}$$$\square$