抽象代数续论 (H) 试卷

125 春 (易灵飞)

1.	设 $k$ 是一个域, $R=k[x]/(x^n)$, 其中 $n\ge 2$. 对 $0\le p,q\le \frac{n}{2},m\ge 0$, 证明$${\mathrm{Tor}}_m^R(R/(x^p),R/(x^q))=R/(x^{\min \{p,q\}}).$$
2.	设 $k$ 是一个域, $R=\left\{\left[\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ b& c& d\\ 0& 0& e\end{array}\right]|a,b,c,d,e\in k\right\}$ 是 $M_3(k)$ 的子环. 设 $M$ 是 $k$ 上三维列向量空间, 通过左乘将 $M$ 看作一个 $R$-模.
(a)	$M$ 的 $k$ 子空间 $\left\{\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ 0\end{array}\right)|a,b\in k\right\}$ 和 $\left\{\left(\begin{array}{c}0\\ a\\ b\end{array}\right)|a,b\in k\right\}$ 是否是 $M$ 的投射子 $R$-模?
(b)	$M$ 是否是投射 $R$-模?
3.	$R=\mathbb{Z}[x,y],I=(x,y),A=R/(xy)$. 计算 ${\mathrm{Tor}}_{\ast }^R(R/I,A)$ 作为 Abel 群的 rank.
4.	设群 $G$ 有挠元, 即存在阶数有限的非单位元. 将 $\mathbb{Z}$ 看作平凡 $G$-模, 求证 $p{d}_{\mathbb{Z}G}(\mathbb{Z})=\infty$
5.	考虑 Heisenberg 群$$H=\left\{\left(\begin{array}{ccc}1& x& y\\ 0& 1& z\\ 0& 0& 1\end{array}\right)|x,y,z\in \mathbb{Z}\right\}$$
(a)	求 $H$ 的中心.
(b)	将 $\mathbb{Z}$ 看作平凡 $H$-模, 计算 $H_{\ast }(H,\mathbb{Z})$(提示: 先直接计算出 $H_1(H,\mathbb{Z})$).