用户: Solution/ 试卷: 复变函数

2023 复变函数试卷

(注: 平行班和荣誉课使用同一张卷子.)

1. 填空题 (非常基础, 共 10 题 *3 分)

2. $f$ 为单位圆 $\mathbb{D}$ 上的全纯函数, 满足 $|f(z)|\le \frac{1}{1-|z|},\forall z\in \mathbb{D}$, 证明: $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast },|f^{(n)}(0)|\le (n+1)!e$.

3. 求将 $S=\{z:0<\text{Im}z<\pi \}$ 映为单位圆 $\mathbb{D}$ 的全体双全纯映射, 并给出证明.

4. 区域 $\Omega \subset \mathbb{C}$, $f:\Omega \to \Omega$ 为全纯映射, 且 $\forall z\in \Omega ,f(f(z))=f(z)$. 证明: $f(z)\equiv z$ 或 $f(z)$ 为常数.

5. 用留数定理计算 ${\int }_0^{+\infty }\frac{x^{\alpha }}{1+x^{\beta }}dx$, 其中 $0<\alpha +1<\beta ,\beta >1$.

6.$f:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ 为全纯映射, 满足 $f(0)=0,f^{\prime }(0)=a\in (0,1)$. 证明: $|z|\frac{a-|z|}{1-|z|a}\le |f(z)|\le |z|\frac{a+|z|}{1+|z|a},\forall z\in \mathbb{D}$.