用户: Solution/ 试卷: 代数拓扑与微分形式

123 年春

1.	写出 $\mathbb{C}{P}^1$ 在 $\mathbb{C}{P}^2$ 中的法丛的 Euler 类.(20 pts)
2.	$M$ 是光滑流形, $\mathcal{U}$ 是好覆盖. (20 pts) (a) 利用 collating 公式写出 $[\eta ]\in H^2(\mathcal{U},\mathbb{R})$ 对应的 de Rham 整体上同调类 $[\omega ]\in H_{dR}^2(M)$. (b) 证明任意 de Rham 上同调类可以取一个代表元 $\psi$ 使得 $\mathrm{Supp}\psi \subset \bigcup _{{\alpha }_0<{\alpha }_1}{U}_{{\alpha }_0{\alpha }_1}$.
3.	利用谱序列计算 $\mathbb{C}{P}^n$ 的 de Rham 上同调及其环结构.(20 pts)
4.	$\mathcal{U}$ 是拓扑空间 $X$ 的一个开覆盖, 对于整系数奇异同调, 有广义 MV 序列 (20 pts) $$0\leftarrow S_q^{\mathcal{U}}(X)\stackrel{\epsilon }{\leftarrow }\underset{{\alpha }_0}{⨁}{S}_q(U_{{\alpha }_0})\stackrel{\delta }{\leftarrow }\underset{{\alpha }_0<{\alpha }_1}{⨁}{S}_q(U_{{\alpha }_0{\alpha }_1})\stackrel{\delta }{\leftarrow }\cdots .$$ (a) 给出 $S_q^{\mathcal{U}}(X),\epsilon ,\delta$ 的定义. (b) 简单解释为什么要和为什么可以取 $S_q^{\mathcal{U}}(X)$.
5.	利用整系数同调的 MV 序列计算 $S^3\vee S^6$ 的整系数同调群.(10 pts)
6.	尽可能多地计算 $S^3\vee S^6$ 的同伦群.(10 pts)