用户: Solution/ 笔记: 示性类

1第一课: 导论

  示性类: Chern 类, Stiefel-Whitney 类, Pontryagin 类.

Euler 数

例 1.1. 二维曲面的 Euler 数.

  组合意义: 三角剖份的面 $-$ 边 $+$ 点.

  de Rham 同调: $\dim H^0-\dim H^1+\dim H^2$.

  Riemann-Roch 定理: 二维带近复结构流形上 Cauchy-Riemann 方程$$\overline{\partial }f=0$$的解的维数.

  Poincaré-Hopf 定理: 流形上向量场的奇点个数 (带符号, 记重数) .

$$\text{组合：数胞腔}\leftrightarrow \text{分析：解的维数}\stackrel{\text{Atiyah-Singer}}{\leftrightarrow }\text{流形：奇点个数}\leftrightarrow \text{几何：Gauss 曲率}.$$

定义 1.2. Euler 数的第一个定义.

  设 $M$ 是定向流形, 考虑 $M$ 上的一个由 Morse 函数诱导的一般位置向量场 (零点离散) , 奇点附近的 Taylor 展开可被对角化为$$f=x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2-x_{n+1}^2-\cdots -x_{m+n}^2.$$定义奇点重数为 $(-1{)}^m$. Euler 数定义为奇点指标和.

当流形维数大于 $1$ 时, 因为一般位置的向量场的奇点离散, 所以我们可以考虑任何一个奇点的球形邻域的表面 (对于 $n+1$ 维流形则同胚于 $S^n$), 此时球面上每一点对应于一个 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 里的非零向量, 我们将其单位化之后则对应于 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中单位球面上的一个点. 这样我们就得到了一个从 $S^n$ 到 $S^n$ 的映射, 我们将这个映射的映射度定义为这个奇点的重数.

定理 1.3. Euler 数不依赖于向量场的选取.

  $X$ 是 $M$ 上的向量场, $g$ 是其单参数变换群. ${\Gamma }_g\in M\times M$ 是 $g$ 的图像. $\Delta =\{(x,x)\mid x\in M\}$ 是 $M\times M$ 中的对角线. 则 $X$ 的奇点个数等于 ${\Gamma }_g$ 与 $\Delta$ 的相交数.

  但 $g$ 与 $\mathrm{id}$ 同痕, 则 ${\Gamma }_g$ 与 $\Delta$ 同伦, 因此$$⟨{\Gamma }_g,\Delta ⟩=⟨\Delta ,\Delta ⟩.$$

定义 1.4. Euler 数的第二个定义.

  $M$ 的 Euler 数定义为 $\Delta$ 在 $M$ 中的自交数.

切丛, 余切丛, 向量丛 (略) .

  向量丛不一定有整体基, 放宽条件想问有没有处处非零的截面?

    错误: 找一个一般位置的截面? 零点集可能是子流形.

    正确: 考虑 $X$ 的零点的同调类? 进一步是否与 $X$ 无关.

定义 1.5. Euler 数的第三个定义.

  ${\Gamma }_g\subset M\times M$, $V\to M$, ${\Gamma }_0:M\to V$ 是零截面.

  Euler 类 $={\Gamma }_0\cdot {\Gamma }_g={\Gamma }_0\cdot {\Gamma }_0$ (Poincaré 对偶意义下) .

  以上乘法在什么空间中发生? $V$ 的 “一点紧化”, Thom 空间 $Th(V)$.

Stiefel-Whitney 类

  问: 是否存在两个处处线性无关的光滑向量场?

  考虑一般位置的 $2$ 个截面 $x,y$, 考虑它们线性相关的点集, 其 Poincaré 对偶称为 (二阶) Stiefel-Whitney 类.

  Čech 同调 $S^1$-丛 $\leftrightarrow$ $H^{\ast }(M;S^1)$ 系数群正合列$$0\to \mathbb{Z}\to \mathbb{R}\to S^1\to 0$$诱导长正合列$$H^1(X;\mathbb{R})\to H^1(X;S^1)\to H^2(X;\mathbb{Z})\to \cdots ,$$考虑 $\mathbb{R}$ 上的连续拓扑, 则 $H^1(X;\mathbb{R})\equiv 0$, 故有定理.

定理 1.6. $S^1$-丛 $⟺H^2(X;\mathbb{Z})$, 即复线丛由其第一 Chern 类唯一决定.

  如何分类一般丛? 考虑 $V\to M$ 上的联络.

  设 $M$ 连通, 联络可以看成闭路空间 $\Omega M\to G=\mathrm{Aut}(V)$, 保乘法.

  这是什么结构之间的映射? $\Omega M$ 一般不是群.

  定义 $BG$, 使得 $G\sim \Omega BG$, 则这是道路空间之间的保基点映射.

  IDEA: $M$ 上的 $G$-丛 $⟺[M,BG]$.

例 1.7. $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, 则 $BG\cong {\mathbb{RP}}^{\infty }=S^{\infty }/(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$.

同伦提升定理.

  故 $\mathbb{R}{P}^{\infty }$ 的闭路空间有两个连通分支, 同时 $S^{\infty }$ 可缩保证了 $\mathbb{R}{P}^{\infty }$ 的每个连通分支都可缩, 因此 $\Omega {\mathbb{RP}}^{\infty }\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

  示性类有自然性.

  对于任意 $G$-丛 $V\to B$, 其任何一种示性类都对应自然变换: $\psi :V\to \psi (V)\in H^{\ast }(B)$. 自然性体现为: 对于任意的底空间之间的映射 $f:A\to B$, 拉回与示性类交换, 即$$f^{\ast }(\psi (V))=\psi (f^{\ast }(V)),$$或者说, 示性类就是从 ${\mathbf{Top}}^{\mathrm{op}}$ 到 $\mathbf{Set}$ 的可表函子 $M\mapsto M\text{上}G\text{-丛的同构类}$ 到上同调函子 $M\mapsto H^{\ast }(M)$ 的自然变换. 由 Yoneda 引理可以知道, 示性类可以由 $H^{\ast }(BG)$ 来分类.

  本课程的目标:

1.	对 Abel 群 $G$, 计算 $H^{\ast }(BG)$;
2.	与示性类的其它定义方式相联系.

  为什么 $BG$ 可计算? 看两个具体的例子

例 1.8. 套叠构造给出了 $\mathbb{R}{P}^{\infty }$ 的 CW 复形结构. 即$$\mathbb{R}{P}^{\infty }=e^0\cup e^1\cup e^2\cup \cdots ,$$粘接映射均为 $\times 2$. 所以$$H^{\ast }(\mathbb{R}{P}^{\infty };{\mathbb{F}}_2)\sim {\mathbb{F}}_2[x],|x|=1.$$类似地, Grassmann 流形均可以用胞腔分解来计算 $BG$.

例 1.9 (Splitting Principle). 由定理 1.6, $S^1$ 丛一一对应于 $H^2(X;\mathbb{Z})$ 的上同调类, 因为 $\mathbb{C}{P}^{\infty }=K(\mathbb{Z},2)=B{S}^1$, 由 Brown Representability Theorem, 所以 $H^2(X;\mathbb{Z})$ 的上同调类一一对应于 $X$ 到 $\mathbb{C}{P}^{\infty }$ 的映射同伦类.

Splitting Principle 是说, $$H^{\ast }(BU(n);\mathbb{Z})\to H^{\ast }(B(S^1{)}^n;\mathbb{Z})$$是单射, 其中 $BU(n)$ 分类复丛, $B(S^1{)}^n$ 分类可裂复丛. 所以欲验证一个关于示性类的等式, 只需在可裂丛上验证.

  Chern 类的一个定义是, 因为$$\begin{array}{rl}{H}^{\ast }(BU(n);\mathbb{Z})& \simeq {\left(H^{\ast }(S^1;\mathbb{Z}{)}^{\otimes n}\right)}^{{\Sigma }_n}\text{（在}{\Sigma }_n\text{作用下的不动点）}\\ & \simeq \mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n{]}^{{\Sigma }_n}\\ & \simeq \mathbb{Z}[{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n],\end{array}$$其中 ${\sigma }_i$ 为 $i$ 次对称多项式, 可定义 ${\sigma }_i:=c_i$ 是 Chern 类.

  对一般的紧李群 $G$, 考虑其极大环面$$(S^1{)}^n\hookrightarrow G\text{的极大环面},$$并考虑 $G$ 在 $G\text{的极大环面}$ 上的作用, 以及其 Weyl 子群 $W$ 在 $(S^1{)}^n$ 上的作用, 有$$H^{\ast }(BG;\mathbb{Q})\simeq H^{\ast }(B(S^1{)}^n;\mathbb{Q}{)}^W$$

例 1.10. $H^{\ast }(BO(n);\mathbb{Q})\simeq \mathbb{Q}[P_1,\cdots ,P_{[\frac{n}{2}]}]$, $P_i$ 是 Pontryagin 类.

2第二课: 向量丛

  粗略地说, 拓扑空间 $X$ 上的向量丛就是以 $x\in X$ 为参数的一族向量空间. 我们希望它有某种连续性.

•	一种办法是, 考虑 $\infty$-范畴 $\mathcal{X}$, 其对象是 $x\in X$, 态射是道路的同伦类. 一个向量丛就是函子 $\mathcal{X}\to \mathrm{Vect}$.
•	局部平凡化的方法

定义 2.1 (向量丛). 拓扑空间 $B$ 上的向量丛 $E$ 含有如下信息:

1.	拓扑空间 $E$, 称为向量丛的全空间;
2.	投影映射 $\pi :E\to B$;
3.	对所有 $b\in B$, ${\pi }^{-1}(b)$ 是一个实向量空间.

满足局部平凡性: 对所有的 $b\in B$, 存在 $b$ 在 $B$ 中的开邻域 $U$ 及同胚 $h:U\times {\mathbb{R}}^n\to {\pi }^{-1}(U)$, 使得下图交换:

练习 2.2. 验证在向量丛上数乘 $\mathbb{R}\times E\to E$, 加法 $E\underset{x}{\times }E\to E$ 连续. 这里 $E\underset{x}{\times }E$ 是纤维积.

例 2.3 (切丛). 设 $M$ 是光滑流形, $\forall x\in M$, $T_{x}M=\{x\text{ 处切向量}\}\simeq {\mathbb{R}}^m$. 则 $TM\to M$ 是向量丛, 称为 $M$ 的切丛.

练习 2.4. 熟知 $S^2\simeq \mathbb{C}{P}^1$. 用复坐标给出 $T\mathbb{C}{P}^1$ 的方程.

例 2.5. $T{S}^2$、$S^2\times {\mathbb{R}}^2$ 都是 $S^2$ 上的 ${\mathbb{R}}^2$-丛, 在课程的后面我们将证明它们不同伦等价.

例 2.6 (Möbius 带). 嵌入 ${\mathbb{C}}^2$, $S^1$ 上的实线丛 Möbius 带 $M$ 可写成$$M=\left\{(z,w):z,w\in \mathbb{C},z=e^{i\theta },w=\lambda e^{i\theta /2},\theta ,\lambda \in \mathbb{R}\right\}.$$通过 $(z,w)\sim (-z,iw)$ (或者在上式中用 $2\theta$ 替代 $\theta$) , 可以将 Möbius 带视作 $\mathbb{R}{P}^1$ 上的丛, 它就是 $\mathbb{R}{P}^1$ 的重言丛.

  一般地, 可以用过原点的直线与 ${\mathbb{R}}^{n+1}$ 中一个不过原点的 $n$ 维超平面 $\Gamma$ 的交来表示 $x\in \mathbb{R}{P}^n$. 但仍然有不可这样表示的点, 即与 $\Gamma$ 平行的直线. 所有这样的直线构成一个低一维的射影空间, 所以 $\mathbb{R}{P}^n=\mathbb{R}{P}^{n-1}\cup {\mathbb{R}}^n$.$n$ 维实射影空间上的重言丛 $\gamma =\left\{(x,A):x\in \mathbb{R}{P}^n,A\in x\right\}$.

定义 2.7 (法丛). 设 $M\hookrightarrow L$ 是正则子流形, 对任何 $x\in M$, $N_{x}M:=T_x{M}^{\perp }$ 是 $T_{x}M$ 在 $T_{x}L$ 中的正交补. $NM:={⨆}_{x\in M}{N}_{x}M$ 称为子流形 $M$ 的法丛.

虽然上述定义需要使用 Riemann 度量, 但法丛是与度量选取无关的. 这依赖于以下两个事实:

引理 2.8. 假设拓扑流形 $X$ 上存在单位分解, 则 $X$ 上的向量丛都存在度量.

引理 2.9. 设 $E\to X$ 是向量丛, $g_1,g_2$ 是 $E$ 上度量, 则存在丛自同构 $f:E\to E$ 是等距.

证明. 即我们需要证明存在 $f\in \mathrm{Aut}(E)$ 使得 $f{g}_1{f}^T=g_2$.

  取一组基将 $g_1$ 和 $g_2$ 同时对角化, 且使 $g_1=I_n$, 在每个纤维上定义 $f=\sqrt{g_2}$.

  验证 $f$ 不依赖于基的选取, 由定义则有 $f{g}_1{f}^T=g_2$.

$\square$

  作为例子, 考虑 $\mathbb{R}{P}^1\hookrightarrow \mathbb{R}{P}^2$ 的法丛.

每一点 $x\in \mathbb{R}{P}^1$ 的纤维是过 $x$ 与 $0$ 的直线. 经过一次纤维反演, $x$ 变为原点, $O$ 变为无穷远点, 因此 $N\mathbb{R}{P}^1\simeq {\gamma }_1$. 类似地, 可以得到 $\mathbb{R}{P}^n\hookrightarrow \mathbb{R}{P}^{n+1}$ 的法丛$$\mathbb{R}{P}^{n+1}/\{0\}\stackrel{\pi }{\to }\mathbb{R}{P}^n,$$$$x\mapsto \overline{xO}\cap \mathbb{R}{P}^n.$$它同构于 $\mathbb{R}{P}^n$ 的重言丛. 但注意反演依赖于度量, 所以法丛与重言丛的同构不是自然的.

定义 2.10 (向量丛的截面). 设 $E\stackrel{p}{\to }B$ 是向量丛. 向量丛的一个截面是连续映射 $s:B\to E$, 满足 $ps={\mathrm{id}}_B$.

例 2.11. 平凡丛 $X\times {\mathbb{R}}^n$ 的截面就是 $X$ 上的 $n$ 个连续函数;

  $TX$ 的截面是切向量场; $NX$ 的截面是法向量场.

  在微分流形 (王志张老师开设) 这门课中, 证明的一个主要定理就是

定理 2.12 (Serre–Swan 定理). 设 $X$ 是紧流形, 则 $X$ 上向量丛一一对应于 $C^{\infty }(X)$ 上的有限投射模. 具体的对应关系是向量丛 $\xi$ 对应其截面模 $\Gamma (\xi )$.

  一个显然的观察是, 若向量丛 $\xi$ 平凡, 则 $\xi$ 存在处处非零的截面. 由此立即得到 $S^1$ 上的 ${\mathbb{R}}^1$ 丛 Möbius 带非平凡. 因为其截面相当于 $\mathbb{R}$ 上连续的周期奇函数, 其必有零点. 进而有

命题 2.13. $\mathbb{R}{P}^n$ 上重言丛 ${\gamma }_n$ 非平凡.

证明. Möbius 带非平凡, 所以 ${\gamma }_1$ 非平凡. 嵌入 $\mathbb{R}{P}^n\hookrightarrow \mathbb{R}{P}^{n+1}$ 给出了丛的限制 ${\gamma }_n\subseteq {\gamma }_{n+1}$, 所以 ${\gamma }_{n+1}$ 上的处处非零截面可以给出 ${\gamma }_n$ 上的处处非零截面. 归纳可得 ${\gamma }_n$ 没有处处非零截面, 所以 ${\gamma }_n$ 非平凡.

$\square$

定义 2.14. 向量丛的截面 $s_1,\dots ,s_k$ 称为处处无关, 如果 $\forall x\in X$, $s_i(x)$ 在 $V_x$ 中线性无关.

定理 2.15. $n$ 维向量丛 $\xi$ 平凡当且仅当 $\xi$ 有 $n$ 个处处无关的截面.

引理 2.16. 设 $\xi$, $\eta$ 是 $X$ 上向量丛, 若存在保纤维的映射 $f:E(\xi )\to E(\eta )$ ($E(\xi )$ 表示向量丛的全空间) 连续, 且 $f$ 限制在每个纤维上是线性同构, 则 $f$ 为同胚.

证明. 利用局部平凡化证明 $f$ 是开映射.

$\square$

  有了这个引理, 定理 2.15 证明如下:

证明. 只需证充分性. 设 $s_1,\dots ,s_n$ 是 $n$ 维向量丛 $\xi$ 的 $n$ 个处处无关截面, 则映射$$\begin{array}{rl}X\times {\mathbb{R}}^n& \to E(\xi )\\ (x,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)& \mapsto (x,{\lambda }_1{s}_1(x),\dots ,{\lambda }_n{s}_n(x))\end{array}$$连续、保纤维、在每个纤维上是线性同构. 所以 $\xi$ 是平凡丛.

$\square$

例 2.17. $S^3$ 的切丛平凡.

证明. 证明思路: 嵌入到四元数体, 验证三个处处无关的截面分别是 $xi,xj,xk$. 由定理 2.15 立得结论.

$\square$

  实际上, 有

定理 2.18. 三维可定向闭流形的切丛平凡.

例 2.19. 类似地, 嵌入到八元数, 可以取出 $S^7$ 的 $7$ 个处处无关的截面, 所以 $S^7$ 的切丛平凡.

引理 2.20. 对于 $\xi$ 和 $\eta$ 是向量丛, $f:E(\xi )\to E(\eta )$ 连续, 满足如下交换图并且假设 $f{|}_{F_x(\xi )}$ 是线性同构, 那么 $f$ 是同胚. (从而为向量丛的同构)

证明. 因为已知 $f$ 是连续双射, 只需证明 $f$ 为开映射即可. 即只需证明 $\forall V$ 开, $\forall x\in V$, $f(x)$ 为 $f(V)$ 的内点.

  在 $x$ 选定时, 只需取一个 $U$ 为 $\pi (x)$ 的开邻域, 且上面 $\xi ,\eta$ 为平凡丛, 并说明 $f{|}_{{\pi }^{-1}(U)}$ 为同胚.

  选取 $\xi {|}_U$ 和 $\eta {|}_U$ 上面的平凡化, 由于 $f$ 在每个纤维上都是线性空间的同构, 所以此时 $f$ 形如 $f=(f_{ij}(x){)}_{1\le i,j\le n},x\in U$.

  首先 $f_{ij}(x)$ 连续. 因为取 $e_i:U\to U\times {\mathbb{R}}^n$ 为 $\xi {|}_U$ 这个平凡丛上一个标准的截面, $p_j$ 为 $\eta {|}_U\equiv U\times {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 到第 $j$ 个分量的投影, 那么 $f_{ij}=p_j\circ f\circ e_i$ 为连续映射的复合, 所以连续.

  而此时 $f^{-1}$ 可以用矩阵求逆的公式直接给出, 由于该矩阵值函数逐点可逆, 所以其逆也是连续函数. 从而 $f{|}_{{\pi }^{-1}(U)}$ 为同胚.

$\square$

  有了该引理, 现在可以证明如下定理

定理 2.21. $\xi$ 为平凡丛的充要条件是存在 $n$ 个处处无关的截面.

证明. 必要性显然.

  如果存在 $n$ 个处处无关的截面 $s_1,\cdots ,s_n$, 那么可构造从平凡丛到 $\xi$ 的映射$$\begin{array}{r}(x,{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)\mapsto (x,{\lambda }_1{s}_1(x)+\cdots +{\lambda }_n{s}_n(x)),\end{array}$$并且该映射连续 (用到了向量丛关于加法和数乘的连续性) , 保纤维, 且逐点为线性同构. 由上面引理知该映射为向量丛的同构.

$\square$

练习 2.22. 思考为什么要判断向量丛是否平凡?

定义 2.23. 一个每点纤维上都给了一个连续变化的度量 (正定二次函数) 的向量丛称为欧氏丛.

命题 2.24. 如果底空间 $X$ 存在单位分解, 那么 $X$ 上任一向量丛都可给一个度量使其为欧氏丛.

证明. 取使得向量丛 $E$ 局部平凡的开集构成的开覆盖 $\{U_i\}$, 则由同构 $E{|}_{U_i}\cong U_i\times {\mathbb{R}}^n$, 由该平凡丛上的标准度量可以给出 $E{|}_{U_i}$ 上一个正定二次函数 $g_i:E{|}_{U_i}\to \mathbb{R}$. 由于 ${\mathbb{R}}^n$ 上正定二次函数全体构成一个凸锥, 对于单位分解 (这个和是局部有限的) $1=\sum k_i$ 从属于 $U_i$, $g=\sum k_i{g}_i$ 就给出了所需要的一个 $E$ 上度量.

$\square$

命题 2.25. 固定向量丛 $E$, 如果 $g_1,g_2$ 为 $E$ 上两个度量, 那么存在从 $(E,g_1)\to (E,g_2)$ 的等距同构

证明. 需要找 $f:E\to E$ 为一个向量丛的自同构, 使得 $f{g}_1{f}^t=g_2$, 这里 $g_1,g_2$ 都看做逐点定义的二次型, 也就是对称矩阵. 这个式子就是线性代数中基变换对于二次型的影响.

  而由于对于正定自伴随的线性算子, 都可以开根号, 并且得到的仍然是自伴正定的. 所以可以定义 $f=\sqrt{g_2}{\sqrt{g_1}}^{-1}$. 由开根运算的连续性加上 $g_1,g_2$ 的连续性, 可得到 $f$ 的连续性.

$\square$

注 2.26. 所以给向量丛加上度量不会影响向量丛的分类.

3第三课

4第四课: Euler 类

  Euler 类动机: 一般位置截面与零截面交点的 Poincaré 对偶.

Poincaré 对偶

  设 $M$ 是定向闭流形, 则存在 $[M]\in H_k(M)$ 使得 $[M]{|}_{H_{\ast }(M,M-\mathrm{pt})}$ 是一个生成元.

  有 Poincaré 同构$$\begin{array}{rl}D:H^k(M)& \to H_{n-k}(M)\\ x& \mapsto x\setminus [M]\end{array}$$则$$D^{-1}:H_{n-k}(M)\to H^k(M).$$

  考虑 $N^n$ 是 $M^m$ 的定向子流形, $[N]\in H_n(N)$, 故 $i_{\ast }[N]\in H_n(M)$, 进而定义 $N$ 的 Poincaré 对偶为$$[N{]}^{\ast }:=D^{-1}{i}_{\ast }[N]\in H^{m-n}(M).$$且对于 $x\in H_{m-n}(M)$, 有$$⟨x,[N{]}^{\ast }⟩=\#x\cap N,$$其中 $x$ 需要形变到一般位置.

  若 $N_1$ 与 $N_2$ 横截, 则 $[N_1\cap N_2{]}^{\ast }=[N_1{]}^{\ast }\cup [N_2{]}^{\ast }$.

练习 4.1. $N_1\cap N_2$ 选取说明定向使得上式成立?

  一般地, $f:M^{\prime }\to M$, $N\subset M$, 若 $f$ 与 $N$ 横截, 则$$f^{\ast }([N{]}^{\ast })=[f^{-1}(N){]}^{\ast }.$$

非紧的 Poincaré 对偶:

  $M$ 是定向流形, 有紧支集下同调 $H_m^c(M)$, 和同构$$D:H_k(M)\to H_c^{m-k}(M),$$$$⟨D(x),y⟩=\#x\cap y.$$

Euler 类

  $V\to M$ 是 $n$ 维向量丛, $M$ 是 $m$ 维可定向闭流形. $$[\text{一般截面}\cap \text{零截面}{]}^{\ast }=[\text{一般截面}{]}^{\ast }\cup [\text{零截面}{]}^{\ast }=([\text{零截面}{]}^{\ast }{)}^2.$$我们之后会知道, 这个上同调在 Thom 同构下对应于 $M$ 上的 Euler 类.

  问题: 其中零截面是在什么意义下取的? $$[\text{零截面}]\in H_m(V)\mapsto u(V):=[\text{零截面}{]}^{\ast }\in H_c^n(V),$$记为 Thom 类.

  记 $i_0:M\to V$ 是零截面, 则我们将$$e(V):=i_0^{\ast }(u)\in H_c^n(M)=H^n(M)$$称为是可定向闭流形 $M$ 关于向量丛 $E$ 的 Euler 类 (目前 “可定向闭流形” 的条件是必要的) .

Thom 类

  观察: $H_c^n(V)\cong H^n(V,V-i_0(M))\ni u$.

  Thom 类满足的条件: $$u{|}_{\text{fiber}}\in H^n({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^n-\{0\})=\mathbb{Z}$$是生成元, 即 $u$ 限制在每条纤维上是一个生成元. 由此可以在不闭的流形上定义 Thom 类.

  设 $V\to B$ 是一个向量丛, 则如下的 $u$ 称作一个 Thom 类

    1. $u\in H^{\ast }(V,V-B)$.

    2. $\forall b\in B$, $u{|}_B=1\in H^n(F_b,F_b-\{0\})$, 其中 $f_b\cong {\mathbb{R}}^n$ 带标准定向.

定理 4.2. 若 $B$ 是 CW 复形, 则对于任意向量丛 $V\to B$, Thom 类存在且唯一.

定理 4.3. Thom 同构定理.

  $p:V\to B$ 是定向向量丛, 则有同构$$\begin{array}{rl}{H}^{\ast }(B)& \stackrel{\cong }{\to }{H}^{\ast +n}(V,V-B)\\ x& \mapsto p^{\ast }x\cup u(V)\end{array}$$

这两个定理的证明可参考 Milnor & Stasheff 的示性类第十章.

命题 4.4. Gysin 列

其中 $S$ 是 $V$ 对应的球丛. 因此我们有正合列$$\cdots \to H^{k-1}(S)\to H^{k-n}(B)\stackrel{\cup e}{⟶}{H}^k(B)\stackrel{p^{\ast }}{⟶}{H}^k(S)\to \cdots .$$

例 4.5. 考虑 $\mathbb{C}{P}^{n-1}\subset \mathbb{C}{P}^n$ 的法丛 $\gamma$, 其全空间为 $\mathbb{C}{P}^n-\infty$.

$$H^{\ast }(\mathbb{C}{P}^{n-1}\cong \mathbb{Z}[x]/(x^n=0)=\mathbb{Z}\{1,x,\cdots ,x^{n-1}\},$$$$H^{\ast }(V,V-B)\cong H^{\ast }(\mathbb{C}{P}^n,\mathbb{C}{P}^n-\mathbb{C}{P}^{n-1})=\mathbb{Z}\{x,\cdots ,x^n\},$$$$H^{\ast }(V-B)\cong H^{\ast }({\mathbb{C}}^n-0)\cong H^{\ast }(S^{2n-1}).$$$u=\pm x$, $e=\pm x$. 由 Gysin 列, 有$$0=H^k(S)\to H^{k-1}(B)\stackrel{\cup e}{⟶}{H}^k(B)\to H^k(S)=0$$有同构 $H^{k-1}(B)\stackrel{\cup e}{⟶}{H}^k(B)$, 对于 $k\le 2n-2$.

Euler 类的基本性质

1. 自然性$e:\text{Vect}\to H^{\ast }$ 是自然变换, 即拉回丛的 Euler 类是 Euler 类的拉回.

2. $e(\text{平凡丛})=0$.

3. Whitney Formula.

  Künneth 公式: $H^{\ast }(A,B)\otimes H^{\ast }(C,D)\cong H^{\ast }(A\times C,A\times D\cup B\times C)$, 假设 $H^{\ast }(A,B)$ 或 $H^{\ast }(C,D)$ 是平坦的.

  现在在每个纤维上, $({\mathbb{R}}^m-0)\times {\mathbb{R}}^n\cup {\mathbb{R}}^m\times ({\mathbb{R}}^n-0)={\mathbb{R}}^{m+n}-0$. 因此有纤维积$$(V_1-B)\times B){\times }_B{V}_2\cup V_1{\times }_B(V_2-B)=(V_1{\times }_B{V}_2)-B.$$因此对于向量丛 $V_1\to B$ 和 $V_2\to B$ 的 Thom 类 $u_1$ 和 $u_2$, 有 $u_1\otimes u_2$ 是 $V_1\times V_2$ 的 Thom 类. 有$$(u_1\otimes u_2){|}_{B\times B}=u_1{|}_B\otimes u_2{|}_B=e(V_1)\otimes e(V_2)\in H^{\ast }(B\times B).$$用 $\Delta$ 拉回, 并注意 cup 积是张量积的拉回$$e(V_1\oplus V_2)=e(V_1)\cup e(V_2).$$

推论 4.6. 若 $V$ 有一个处处非零的截面, 则 $e(V)=0$.

证明. 若 $V=V_1\oplus \mathbb{R}$, 则 $e(V)=e(V_1)\cup e(\mathbb{R})=0$.

$\square$

定义 4.7. 一个示性类是 ${\text{Vect}}_F\to H^{\ast }(-,G)$ 的一个自然变换.

  向量丛是可表函子, 即 $BGL(n,\mathbb{R}):=G{r}_{0,\infty }$, $${\text{Vect}}_n(B)\cong [B,BGL(n,\mathbb{R})]$$$${\text{Vect}}_n^{\mathbb{C}}(B)\cong [B,BGL(n,\mathbb{C})]$$$${\text{Vect}}_n^{\text{定向}}(B)\cong [B,BG{L}^{+}(n,\mathbb{R})]$$

定理 4.8 (Yoneda 引理). ${\text{Vect}}_n$ 上的示性类 $\leftrightarrow$ $H^{\ast }(BGL(n))$.

证明. $\to$ 对于一个示性类 $\Phi$, 只需要取 $\Phi ({\gamma }_n)$, 其中 ${\gamma }_n$ 为 $BG{L}_n$ 上的重言丛.

$\leftarrow$ 对于 $x\in H^{\ast }(BGL(n))$, 我们定义一个示性类 ${\Phi }_x$ 如下: 对于 $n$ 维丛 $E\to B$, 它可以由 $f:B\to BGL(n)$ 拉回 ${\gamma }_n$ 得到. 则定义 ${\Phi }_x(v)=f^{\ast }(x)$.

剩下的验证留作习题.

$\square$

5第五课: Chern 类

 Goal: 分类复丛的示性类

Chern 类构造

定义 5.1. 称向量丛 $V\to B$ 是复向量丛, 若存在 $J:V\to V$, 满足

 1, $J$ 线性. 2, $J^2=-1$, 3, $J$ 连续.

 复空间的相交系数一般是正的.

定义 5.2. 称 $M$ 是近复流形, 若 $TM$ 有一个复向量丛结构.

定义 5.3. 称 $N$ 是 $M$ 的近复子流形, 若 $TN\hookrightarrow TM\stackrel{J}{⟶}TM$ 可以分裂为$$TN\stackrel{J{|}_{TN}}{⟶}TN\hookrightarrow TM.$$

跳了一大段

定义 5.4. 定义 $c_n=e({\gamma }_n)=\pm e({\gamma }_n^{\ast })$, $|c_n|=2n$.

 则有 $H^{\ast }(G{r}_1)=\mathbb{Z}[c_1]$, $H^{\ast }(G{r}_2)=\mathbb{Z}[c_1,c_2]$ 等.

命题 5.5. $c_1,\cdots ,c_{n-1}$ 是唯一定义的, 称 $c_i$ 为第 $i$ 个 Chern 类.

 设 $V\to X$ 是 $n$ 维复向量丛, 则存在唯一的 $f:X\to G{r}_n$ 使得 $f^{\ast }{\gamma }_n\cong V$.

命题 5.6. Chern 类的性质.

 1. $c_k(V)=f^{\ast }(c_k)$.

 2. $c_n(V)=e(V)$.

 3. $i^{\ast }(c_k)=c_k$, 其中 $i:G{r}_{n-1,m-1}\to G{r}_{n,m}$.

 4. $c_k(V\oplus \mathbb{C})=c_k(V)$.

 所以我们得到以下定理

定理 5.7. 存在唯一的一组复示性类 $c_1,c_2,\cdots$, 使得

 1. 对于任意 $n$ 维复丛 $V$, $c_n(V)=e(V)$; $c_k(V)=0$ 若 $k>n$.

 2. $c_k(V\oplus \mathbb{C})=c_k(V)$.

命题 5.8. $\mathbb{C}{P}^n$ 上重言丛的 $c_1$ 是 $-[\mathbb{C}{P}^{n-1}]$.

命题 5.9. 若 $V$ 是复丛, 则 $V^{\ast }$ 和 $\overline{V}$ 满足$$c_k(V^{\ast })=c_k(\overline{V})=(-1{)}^k{c}_k(V).$$

证明. 考虑 $d_k(V):=(-1{)}^k{c}_k(V^{\ast })$, 需证明 $d_k=c_k$.

 1. $d_n(V)=(-1{)}^{n}e(V^{\ast })=e_n(V)$.

 2. $d_k(V\oplus \mathbb{C})=d_k(V)$.

 故由唯一性有 $d_k=c_k$.

$\square$

 问题: $c_k(V_1\oplus V_2)=$? $c_k(V_1\otimes V_2)=$?

Splitting principle

 最简单的例子: ${\gamma }_1+{\gamma }_1+\cdots +{\gamma }_1\to (\mathbb{C}{P}^{\infty }{)}^n$ 的拉回是 ${\gamma }_n\to G{r}_n$.

问: $c_k({\gamma }_1+{\gamma }_1+\cdots +{\gamma }_1)=$?

 $n=1$ 时, $c_1({\gamma }_1)=c_1$, $c_2({\gamma }_1)=0$.

 $n=2$ 时, 则有$$\begin{array}{rl}\mathbb{Z}[x,y]& \to \mathbb{Z}[x]\\ y& \mapsto 0.\end{array}$$$x=c_1({\gamma }_1+\mathbb{C})$, $y=c_1(\mathbb{C}+{\gamma }_1)$.

 $c_1({\gamma }_1+{\gamma }_1)$ 在 ${\Sigma }_2$ 作用下不变, 故 $c_1({\gamma }_1+{\gamma }_1)=k(x+y)$. 而在映射 $y\mapsto 0$ 的拉回下 $c_1({\gamma }_1+{\gamma }_1)$ 被拉到 $c_1({\gamma }_1+\mathbb{C})=x$, 故 $k=1$. 因此 $c_1({\gamma }_1+{\gamma }_1)=x+y$, $c_2({\gamma }_1+{\gamma }_1)=xy$.

 $n=3$ 时

同样地, 由 $(\mathbb{C}{P}^{\infty }{)}^2\times \ast \hookrightarrow (\mathbb{C}{P}^{\infty }{)}^3$ 作拉回, $c_1({\gamma }_1+{\gamma }_1+{\gamma }_1)$ 在 ${\Sigma }_3$ 的作用下不变$$c_1({\gamma }_1+{\gamma }_1+{\gamma }_1)=k(x_1+x_2+x_3)\stackrel{i_3^{\ast }}{⟶}{x}_1+x_2=c_1({\gamma }_1+{\gamma }_1+\mathbb{C})$$故 $k=1$, 即 $c_1({\gamma }_1+{\gamma }_1+{\gamma }_1)=x_1+x_2+x_3$.

$$c_2({\gamma }_1+{\gamma }_1+{\gamma }_1)=k(x_1+x_2+x_3{)}^2+l(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1)\stackrel{i_3^{\ast }}{⟶}{x}_1{x}_2=c_2({\gamma }_1+{\gamma }_1+\mathbb{C})=k(x_1+x_2{)}^2+l{x}_1{x}_2$$推出 $k=0,l=1$, 则 $c_2({\gamma }_1+{\gamma }_1+{\gamma }_1)=x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1$.

 应用归纳法得到

定理 5.10. $c_k({\gamma }_1+{\gamma }_1+\cdots +{\gamma }_1)={\sigma }_k(x_1,\cdots ,x_n)$.

 一般地, 有

定理 5.11. $V_1,\cdots ,V_n$ 是复线丛, 则$$c_k(V_1\oplus \cdots \oplus V_n)={\sigma }_k(c_1(V_1),\cdots ,c_1(V_n)).$$

$$\begin{array}{rl}G{r}_n& \leftarrow (\mathbb{C}{P}^{\infty }{)}^n\\ \mathbb{Z}[c_1,\cdots ,c_n]& \mapsto \mathbb{Z}[x_1,\cdots ,x_n]\end{array}$$是单射, $|x_i|=2$, $|c_i|=2i$. 推出 Splitting principle.

练习 5.12. 计算 $c_k(V_1\oplus V_2)$ 和 $c_k(V_1\otimes V_2)$.

6第六课: Chern 类续

命题 6.1. Whitney Product Formula. $$c_n(V_1\oplus V_2)=\sum _{k=0}^n{c}_k(V_1)\cup c_{n-k}(V_2),$$其中 $c_0\equiv 1$.

 记全 Chern 类为 $c(V)=1+c_1(V)+\cdots$, 则命题可重述为$$c(V_1\oplus V_2)=c(V_1)\cup c(V_2).$$

注 6.2. 这给出了一种联系通常上同调 (加法群) 和 $K$-理论 (乘法群) 的方式.

7第七课: Pontryagin 类

8第八课