用户: Solution/ 笔记: 变分法与PDE

参考文献

[Jost]	Jürgen Jost & Xianqing Li-Jost. Calculus of Variations. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 64. Cambridge University Press, 1998.
[Struwe]	Michael Struwe. Variational Methods. A Series of Modern Surveys in Mathematics 38. Springer, 2008.
[Zhang]	张恭庆. 非线性分析方法. 现代数学基础. 高等教育出版社, 2020.
[Liu]	刘宪高. 变分法与偏微分方程. 科学研究生教学丛书. 科学出版社, 2016.

1变分法入门

问题. 设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是有界区域, $f\in C(\overline{\Omega })$. 以下方程有解吗? $$\{\begin{array}{rl}△u& =f,\\ u{|}_{\partial \Omega }& =0.\end{array}$$

为此, 考虑空间$$X=\{u\in C^1(\overline{\Omega }):u{|}_{\partial \Omega }=0\},$$以及泛函 $F:X\to \mathbb{R}$, $$F(u)=\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }|\nabla u{|}^2+{\int }_{\Omega }fu.$$

命题 1.1. 假设 $v\in X$ 满足 $F(v)=\underset{u\in X}{\inf }F(u)$, 则$${\int }_{\Omega }(\nabla v\cdot \nabla \phi +f\phi )=0,\forall \phi \in C_c^{\infty }(\Omega ).$$

证明. 首先注意到 $\underset{X}{\inf }F>-\infty$, 毕竟 Poincaré 不等式说$${\int }_{\Omega }|\nabla u{|}^2\ge C{\int }_{\Omega }{u}^2,$$那么$$F(u)\ge \frac{1}{2}{\int }_{\Omega }|\nabla u{|}^2-\frac{C}{2}{\int }_{\Omega }{u}^2-\frac{1}{2C}{\int }_{\Omega }{f}^2\ge -\frac{1}{2C}{\int }_{\Omega }{f}^2.(\ast )$$更重要的是, $\frac{d}{dt}{|}_{t=0}F(v+t\phi )=0$ (不难验证 $F(v+\cdot \phi )\in C^1(\mathbb{R})$) , 原因是$$F(v+t\phi )\ge F(v),\forall t\in \mathbb{R}.$$由此, $$0=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}F(v+t\phi )={\int }_{\Omega }(\nabla v\cdot \nabla \phi +f\phi ).$$$\square$

那么, 现在要关心的就是这样的 $v$ 是否存在了. 对于一个 $X$ 中的极小化序列 $\{v_n{\}}_{n\ge 1}$, 即$$\underset{n\to \infty }{\lim }F(v_n)=\underset{X}{\inf }F,$$$\{v_n{\}}_{n\ge 1}$ 是否 (或在什么意义下) 会收敛于一个 $v$ 呢? $v\in X$ 吗? 进一步, $F(v)=\underset{X}{\inf }F$ 成立吗?

回忆一下 Banach–Alaoglu 定理, 是说 Banach 空间的闭单位球是弱 * 紧的, 尤其是对于自反 Banach 空间, 闭单位球是弱紧的. 此定理能不能说明 $\{v_n{\}}_{n\ge 1}$ 有子列弱收敛于 $v\in X$ 呢? 这就要解决以下两个问题:

(i) $X$ 是自反 Banach 空间吗?

  明显不是, 但 $X$ 关于 $H^1$ 范数的完备化是 Hilbert 空间, 因而是自反 Banach 空间, 记为 ${\mathbf{H}}_0^1(\mathbf{\Omega })$, 其中, $$\Vert u{\Vert }_{H^1}:={\int }_{\Omega }|\nabla u{|}^2+{\int }_{\Omega }{u}^2.$$

$\boxed{\text{于是现在起改用 }{H}_0^1\text{ 为 }X,v_n\text{ 亦换成 }{H}_0^1(\Omega )\text{ 下 }F\text{ 的极小化序列。}}$

  不难看出, 命题 1.1 对 $X=H_0^1(\Omega )$ 照样成立.

(ii) $\{v_n{\}}_{n\ge 1}$ 关于 $H^1$ 范数有界吗?

  确实如此, 这是因为改进上面的 $(\ast )$, 得到$$F(u)\ge \frac{1}{2}{\int }_{\Omega }|\nabla u{|}^2-\frac{C}{4}{\int }_{\Omega }{u}^2-\frac{1}{C}{\int }_{\Omega }{f}^2\ge \frac{1}{4}{\int }_{\Omega }|\nabla u{|}^2-\frac{1}{C}{\int }_{\Omega }{f}^2.$$  取 $u$ 为 $\{v_n{\}}_{n\ge 1}$, 数列 $\{F(v_n){\}}_{n\ge 1}$ 有极限从而有上界, 所以 $\Vert \nabla v_n{\Vert }_{L^2}$ 有界, 由 Poincaré 不等式, $\Vert v_n{\Vert }_{H^1}$ 同样有界.

故 $\{v_n{\}}_{n\ge 1}$ 有子列弱收敛于 $v\in H_0^1(\Omega )$, 尽管目前还不知道是否 $v\in X$. 显然$$\underset{X}{\inf }F\le F(v)=\underset{n\to \infty }{\lim }F(v_n),$$那么只要说明 $F(v)\le \underset{X}{\inf }F$, 就有 $F(v)=\underset{X}{\inf }F$ 了.

定义 1.2. 设 $X$ 是 Banach 空间, $F:X\to \mathbb{R}$ 是泛函.

•	若 $x_n\to x$ 必有 $F(x)\le \underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}F(x_n)$, 则称 $F$ 是下半连续的.
•	若 $x_n\rightharpoonup x$ 必有 $F(x)\le \underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}F(x_n)$, 则称 $F$ 是弱下半连续的. ($\rightharpoonup$ 是弱收敛)

即是要说明 $F$ 是弱下半连续的, 这是简单的: 由 Poincaré 不等式, 只需说明 $\Vert \nabla v_n{\Vert }_{L^2}\to \Vert \nabla v{\Vert }_{L^2}$, 又由 Cauchy 不等式, $$\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}{\int }_{\Omega }|\nabla v_n{|}^2\ge {\int }_{\Omega }|\nabla v{|}^2+2{\int }_{\Omega }\nabla v\cdot \nabla v_n-2{\int }_{\Omega }|\nabla v{|}^2={\int }_{\Omega }|\nabla v{|}^2.$$

令人惊喜 (不爽) 的是, 本问题有简单得多的解法:

注意 $\phi \mapsto -{\int }_{\Omega }f\phi$ 是 $H_0^1(\Omega )$ 上的有界线性泛函, 由 Riesz 表示定理, 存在 $v\in H_0^1(\Omega )$ 使得$${\int }_{\Omega }\nabla v\cdot \nabla \phi =-{\int }_{\Omega }f\phi .$$

这里看上去未用变分法, 不过 Riesz 表示定理的证明本身即是求解一个变分问题.

问题. 设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ 是有界区域, $g\in C^{\infty }(\partial \Omega )$. 以下方程有解吗? $$\{\begin{array}{rl}△u& =0,\\ u{|}_{\partial \Omega }& =g.\end{array}$$

这次, 选取空间$$X=\{u\in H^1(\Omega ):u{|}_{\partial \Omega }=g\},$$以及泛函 $F:X\to \mathbb{R}$, $$F(u)=\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }|\nabla u{|}^2.$$

再回忆 Mazur 定理, 是说 Banach 空间的闭凸集是弱闭的. 故对于凸泛函 $F:X\to \mathbb{R}$, 即$$F(\lambda x+(1-\lambda y))\le \lambda F(x)+(1-\lambda )F(y)\text{对 }x,y\in X,\lambda \in (0,1),$$下半连续等价于弱下半连续. 这是因为, $\{F\le t\}$ 是凸集对任意 $t\in \mathbb{R}$, 那么由 Mazur 定理, $\{F\le t\}$ 闭等价于弱闭, 而 $F$ 下半连续就是 $\{F\le t\}$ 是闭集对任意 $t\in \mathbb{R}$, $F$ 下半连续就是 $\{F\le t\}$ 是弱闭集对任意 $t\in \mathbb{R}$.

2Sobolev 空间

定义 2.1. 对 $u\in L_{\text{loc}}^1(\Omega )$, 称 $D^{\alpha }u(\phi )=(-1{)}^{|\alpha |}\int u{D}^{\alpha }\phi$ 对 $\phi \in C_c^{\infty }(\Omega )$ 为 $u$ 的广义导数.

定义 2.2. 对 $k\in \mathbb{N},p\in [1,\infty ]$, $(k,p)$ 阶 Sobolev 空间 $W^{k,p}(\Omega )$ 为$$W^{k,p}(\Omega )=\{u\in L^p(\Omega ):D^{\alpha }u\in L^p(\Omega ),\forall |\alpha |\le k\}.$$$W_0^{k,p}(\Omega )$ 为 $C_c^{\infty }(\Omega )$ 在 $\Vert \cdot {\Vert }_{k,p}$ 范数下的完备化.

定理 2.3.

•	$W^{k,p}(\Omega )\cap C^{\infty }(\Omega )$ 在 $W^{k,p}(\Omega )$ 中稠密.
•	若 $\Omega$ 具有 $C^1$ 边界, 则 $C^{\infty }(\overline{\Omega })$ 在 $W^{k,p}(\Omega )$ 中稠密.

$W^{1-\frac{1}{p},p}(\partial \Omega )=W^{1,p}(\Omega )/W_0^{1,p}(\partial \Omega )$, 即$$\Vert \{u+W_0^{1,p}(\Omega )\}{\Vert }_{W^{1-\frac{1}{p},p}(\Omega )}=\underset{v\in W_0^{1,p}(\Omega )}{\inf }\Vert u+v\Vert .$$

定理 2.4 (迹定理). $\partial \Omega \in C^1$, 存在有界线性算子 $T:W^{1,p}(\Omega )\to L^p(\partial \Omega )$, 使得

•	$Tu=u{|}_{\partial \Omega }$, $u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C(\overline{\Omega })$.
•	$\Vert Tu{\Vert }_{L^p(\partial \Omega )}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{1,p}}(\Omega )$.
•	对 $\phi \in C^1({\mathbb{R}}^n,{\mathbb{R}}^n)$, 有$${\int }_{\Omega }u\mathrm{div}\phi =-{\int }_{\Omega }Du\cdot \phi +{\int }_{\partial \Omega }(\phi \cdot \vec{n})Tu.$$

定理 2.5. $\partial \Omega \in C^1$, $1<p<\infty$, 存在有界线性映射 $\mathrm{ext}:W^{1-\frac{1}{p},p}(\partial \Omega )\to W^{1,p}(\Omega )$ 使得 $T\circ \mathrm{ext}=\mathrm{id}$.

3Banach 空间上的微分

本讲基本来自于 [Zhang]. 以下 $L(X,Y)$ 是 $X$ 到 $Y$ 的连续线性算子全体.

定义 3.1 (Gateaux 导数, 方向导数). 设 $X,Y$ 是个 Banach 空间, $U$ 是 $X$ 的开子集, $x_0\in U$, $f:U\to Y$, $f$ 在 $h$ 方向可导是指存在 $l_h\in Y$ 使$$\Vert f(x_0+th)-f(x_0)-t{l}_h{\Vert }_Y=o(t),t\to 0,$$记为 $\delta f(x_0,h)=l_h$, 即$$\delta f(x_0,h)=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}f(x_0+th).$$

定义 3.2 (Fréchet 导数, 可微). 记号同上, $f$ 在 $x_0$ 可微是指存在 $A(x_0)\in L(X,Y)$ 使$$\Vert f(x)-f(x_0)-A(x_0)(x-x_0){\Vert }_Y=o(\Vert x-x_0{\Vert }_X),x\to x_0,$$记为 $Df(x_0)=A(x_0)$. 此时对任意 $h\in X$, $$\delta f(x_0,h)=Df(x_0)h.$$

定义 3.3. 记号同上, 若 $Df:U\to L(X,Y)$ 是连续的 ($L(X,Y)$ 用算子范数拓扑) , 则称 $f$ 是 $C^1$ 映射.

定理 3.4. 设 $f:U\to Y$ $\text{G}$-可导, 对于任意 $x\in U$, 存在 $A(x)\in L(X,Y)$, 使得 $\delta f(x_0,h)=A(x_0)h$ 对一切 $h\in X$, 且$$x\in U\mapsto A(x)\in L(X,Y)$$是连续的, 则 $f$ 在 $x_0$ 处 $\text{F}$-可导, 且 $Df(x_0)=A(x_0)$.

证明. 见 [Zhang] 定理 1.1.3.

$\square$

例 3.5.

•	$f:U\to \mathbb{R}$, $x_0\in U\subset X$, $f$ 在 $x_0$ 可微, $Df(x_0)\in X^{\ast }$.
•	当 $X$ 是 Hilbert 空间, 存在 $y_0\in X$ 使 $Df(x_0)h=⟨y_0,h⟩$.
•	当 $X$ 是 Hilbert 空间, $f:X\to \mathbb{R},x\mapsto \Vert x{\Vert }^2$, 由于$$f(x_0+h)-f(x_0)=\Vert x_0+h{\Vert }^2-\Vert x_0{\Vert }^2=2⟨x_0,h⟩+\Vert h{\Vert }^2=2⟨x_0,h⟩+o(\Vert h\Vert ),$$有 $A(x_0)=2x_0$, 则 $x\mapsto A(x)$ 连续.
•	$\Omega$ 是有界集, 对 $u\in H_0^1(\Omega )$, 令$$f(u)=\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }|\nabla u{|}^2-{\int }_{\Omega }|u{|}^p.$$根据 Sobolev 嵌入 $H_0^1(\Omega )\hookrightarrow L^{2^{\ast }}(\Omega )$, 在 $p\le 2^{\ast }=\frac{2n}{n-2}$ 时 $f(u)$ 是有意义的. 考察后一项是不是 $C^1$ 的, 记$$A(u):=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}{\int }_{\Omega }|u+th{|}^p=p{\int }_{\Omega }|u{|}^{p-2}u\in (H_0^1(\Omega ){)}^{\ast }:=H^{-1}(\Omega ),$$当 $u_i\to u$ 于 $H_0^1(\Omega )$ 时, 由于 $\Vert h{\Vert }_{L^p}\lesssim \Vert h{\Vert }_{H_0^1}$, 有 (最后一步用了定理 3.7) $$\begin{array}{rl}\Vert A(u_i)-A(u){\Vert }_{H^{-1}(\Omega )}& =\underset{\begin{array}{c}h\in H_0^1(\Omega )\\ \Vert h\Vert \le 1\end{array}}{\sup }p\left|{\int }_{\Omega }\right(|u_i{|}^{p-2}{u}_i-|u{|}^{p-2}u\left)h\right|\\ & \lesssim \Vert |u_i{|}^{p-2}{u}_i-|u{|}^{p-2}u{\Vert }_{L^{\frac{p}{p-1}}}\to 0.\end{array}$$

定义 3.6. 设 $\Omega$ 是测度空间, 称 $\phi :\Omega \times {\mathbb{R}}^N\to \mathbb{R},(x,\xi )\mapsto \phi (x,\xi )$ 是 Carathéodory 函数, 是说

•	对几乎处处的 $x\in \Omega$, $\phi (x,\cdot )$ 连续,
•	对所有的 $\xi \in {\mathbb{R}}^N$, $\phi (\cdot ,\xi )$ 可测.

定理 3.7. 设 $p_1,p_2\ge 1$, $a>0,b\in L^{p_2}(\Omega )$. 设 $\phi$ 是 Carathéodory 函数, 满足$$|\phi (x,\xi )|\le b(x)+a|\xi {|}^{\frac{p_1}{p_2}},$$则$$\begin{array}{rl}f:L^{p_1}(\Omega ,{\mathbb{R}}^N)& \to L^{p_2}(\Omega ,{\mathbb{R}}^N),\\ u(x)& \mapsto \phi (x,u(x))\end{array}$$是有界连续函数.

证明. 见 [Zhang] 定理 1.1.5.

$\square$

推论 3.8. 设 $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$, $\phi :\Omega \times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是 Carathéodory 函数, 对几乎处处的 $x$, $\phi (x,\xi )\in C_{\xi }^1$, 且偏导数 ${\phi }_{\xi }:\Omega \times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 亦是 Carathéodory 函数, 而且$$\begin{array}{rl}|\phi (x,\xi )|\le b_1(x)+a_1|\xi {|}^{\frac{2n}{n-2}},& b_1\in L^1(\Omega ),\\ |{\phi }_{\xi }(x,\xi )|\le b_2(x)+a_2|\xi {|}^{\frac{n+2}{n-2}},& b_2\in L^{\frac{2n}{n+2}}(\Omega ),\end{array}$$那么 $H^1(\Omega )$ 上的泛函$$f(u)={\int }_{\Omega }\phi (x,u(x))$$是 $C^1$ 的, 且$$\delta f(u,v)={\int }_{\Omega }{\phi }_{\xi }(x,u(x))\cdot v(x).$$

证明. 见 [Zhang] 推论 1.1.7.

$\square$

定理 3.9 (隐函数定理). 设 $X,Y,Z$ 是 Banach 空间, $U$ 是 $X\times Y$ 的开子集, $f\in C^1(U,Z)$. 若对 $(x_0,y_0)\in U$ 有$$f(x_0,y_0)=0,(f_y(x_0,y_0){)}^{-1}\in L(Z,Y),$$则存在 $r_0,r_1>0$ 及唯一的 $u\in C(B_{r_0}(x_0),B_{r_1}(y_0))$ 使得 $B_{r_0}(x_0)\times B_{r_1}(y_0)\subset U$, 且$$u(x_0)=y_0,f(x,u(x))=0\text{ 对 }x\in B_{r_0}(x_0),$$此时$$Du(x)=-(f_y(x,u(x)){)}^{-1}\circ f_x(x,u(x))\text{对 }x\in B_{r_0}(x_0).$$

证明. 见 [Zhang] 定理 1.2.1.

$\square$

定义 3.10 (Banach 流形).

4Lagrange 乘子法

定理 4.1. 设 $X$ 是 Banach 空间, 泛函 $f,g:X\to \mathbb{R}$ 是 $C^1$ 的, 若 $M=\{x:g(x)=0\}$ 是 $C^1$ 子流形, 则在 $f$ 限制于 $M$ 的临界点 $x_0$, 存在 $\lambda \in \mathbb{R}$ 使得 $Df(x_0)=\lambda Dg(x_0)$.

定义 4.2 (切空间). $M$ 在 $x_0$ 处的切空间是 $X$ 的子空间$$T_{x_0}M=\{h\in X:\text{存在 }M\text{ 中的 }{C}^1\text{ 曲线 }\gamma (t),\gamma (0)=x_0,{\gamma }^{\prime }(0)=h\}.$$

命题 4.3. 若 $Dg(x_0)\ne 0$, 则 $T_{x_0}M=\ker Dg(x_0)$.

证明. 根据定义, 对任何的 $h\in T_{x_0}M$, 存在 $M$ 中的 $C^1$ 曲线使得 $g(\gamma (t))=0$. 那么 $0=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}g(\gamma (t))=Dg(x_0)h$.

由 $Dg(x_0)\ne 0$, 有 $\mathrm{Im}Dg(x_0)=\mathbb{R}$, 则 $X=\ker Dg(x_0)\oplus \mathbb{R}w$, 即对任意 $x\in X$, $$x=h_1+(Dg(x_0)x)w.$$找曲线 $\gamma (t)=x_0+th+\alpha (t)w$, $\alpha (t)$ 待定, 要求 ${\alpha }^{\prime }(0)=0$. $$G(t,\alpha )=g(x_0+th+\alpha (t)w)=0.$$由于$$G(0,0)=0,D_{\alpha }G(0,0)=Dg(x_0)w=1,$$得 $(0,0)$ 有邻域 $B_{r_0}(0)\times B_{r_1}(0)$, 对任意 $t\in B_{r_0}$, 存在 $\alpha$ 使得 $G(t,\alpha (t))=0$.

$\square$

定理 4.4. 设 $f,g_1,\cdots ,g_N:X\to \mathbb{R}$ 是 $C^1$ 泛函, 则存在 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_N\in \mathbb{R}$, 使$$Df(x_0)=\sum _{i=1}^N{\lambda }_{i}D{g}_i(x_0).$$

证明. 只证明 $N=1$ 的情况. 由于$$0=\frac{d}{dt}{|}_{t=0}f(\gamma (t))=Df(x_0)h,$$有 $\ker Dg(x_0)\subseteq \ker Df(x_0)$, 可证存在 $Df(x_0)=\lambda Dg(x_0)$.

$\square$

例 4.5. $X=H_0^1(\Omega )$, $$\{\begin{array}{rl}-△u& =\lambda u,\\ u{|}_{\partial \Omega }& =0.\end{array}$$考虑泛函 $f,g:H_0^1(\Omega )\to \mathbb{R}$, $$f(u)=\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }|\nabla u{|}^2,g(u)={\int }_{\Omega }{u}^2-1.$$设 $u_0$ 是 $f$ 在 $M=\{g=0\}$ 上的最小值点, 则 $Df(u_0,v)=\lambda Dg(u_0,v)$, 即$$\int \nabla u_0\cdot \nabla v=\lambda \int u_{0}v.$$由于 $f(|u_0|)\le f(u_0)$, $|u_0|$ 也是最小值点, 故 $u_0\ge 0$, 又由次调和函数的强极值原理, $u_0>0$.

例 4.6. $X=W_0^{1,p}(\Omega )$, $1<p<\infty$, 定义 $p$-Laplace 算子$${△}_{p}u=\nabla (|\nabla u{|}^{p-2}\nabla u)$$$$\{\begin{array}{rl}-{△}_{p}u& =\lambda |u{|}^{p-2}u,\\ u{|}_{\partial \Omega }& =0.\end{array}$$这个情况下变分法与 $p=2$ 差别不大, 而特征值非常复杂, 未必是可数个.

不过 $p=1$ 时 $W_0^{1,1}(\Omega )$ 甚至不是自反的, $$\underset{u\in W_0^{1,1}(\Omega )\backslash \{0\}}{\min }\frac{{\int }_{\Omega }|\nabla u|}{{\int }_{\Omega }|u|}$$都不存在, 为了有最小值要在更大的有界变差空间 $\mathrm{BV}(\Omega )$ 中做.

例 4.7. $$\{\begin{array}{rl}-△u& =|u{|}^{p-2}u,\\ u{|}_{\partial \Omega }& =0.\end{array}$$$2<p<2^{\ast }$ 时, 考虑泛函$$f(u)=\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }|\nabla u{|}^p-\frac{1}{p}{\int }_{\Omega }|u{|}^p,$$$$\delta f(u,v)={\int }_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v-{\int }_{\Omega }|u{|}^{p-2}uv.$$$p>2^{\ast }$ 时, 若对 $x\in \partial \Omega$, $x\cdot \vec{n}(x)>0$, 方程没有正解. 这是因为, 两边乘以 $x\cdot Du$ 再积分, 得$${\int }_{\Omega }(△u)x\cdot Du=(\frac{n}{2}-1){\int }_{\Omega }|\nabla u{|}^2-\frac{1}{2}{\int }_{\partial \Omega }{x}_j|\nabla u{|}^2{n}_j+{\int }_{\partial \Omega }{\partial }_{i}u{\partial }_{j}u{x}_i{n}_j,$$$${\int }_{\Omega }{u}^{p-1}x\cdot Du=-\frac{n}{p}{\int }_{\Omega }|u{|}^p.$$其中$${\int }_{\partial \Omega }{\partial }_{i}u{\partial }_{j}u{x}_i{n}_j={\int }_{\partial \Omega }|\nabla u{|}^{2}x\cdot \vec{n}(x),$$于是$$(\frac{n}{2}-1-\frac{n}{p}){\int }_{\Omega }|\nabla u{|}^2=-\frac{1}{2}{\int }_{\partial \Omega }|\nabla u{|}^{2}x\cdot \vec{n}\le 0,$$而 $\frac{n}{2}-1-\frac{n}{p}>0$, 矛盾.

5Noehther 定理

记 $v(t)=\dot{x}(t)$, 定义动量 $p=D_{v}L(v,x)$, 这里 $x,v,p\in {\mathbb{R}}^n$ 对任何 $t$. 例如 $L=\frac{1}{2}m|v{|}^2-H(x)$, 就有 $p=mv$.

设变换 $\{\begin{array}{l}p=D_{v}L(v,x)\\ x=x\end{array}$ 可逆, 记为 $\{\begin{array}{l}v=v(p,x)\\ x=x\end{array}$, 并定义$$H=p\cdot v-L(v,x).$$

定理 5.1 (Hamilton). $\{\begin{array}{l}\dot{x}(t)=\frac{\partial H}{\partial p}\\ \dot{p}(t)=-\frac{\partial H}{\partial x}\end{array}$, 且 $H(p(t),v(t))=$ 常数.

证明. 由 Euler–Lagrange 方程, $$\{\begin{array}{rl}{H}_{p_i}& =v_i+p\cdot v_{p_i}-D_{v}L\cdot v_{p_i}=v_i={\dot{x}}_i,\\ H_{x_i}& =p\cdot v_{x_i}-D_{v}L\cdot v_{x_i}-D_{x_i}L=-D_{x_i}L=-\frac{d}{dt}{D}_{v_i}L=-{\dot{p}}_i.\end{array}$$由此,$$\frac{d}{dt}H=H_p\cdot \dot{p}+H_x\cdot \dot{x}=0.$$$\square$

现有区域变分$${\eta }_{\tau }:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n,{\eta }_0(x)=x,{\partial }_{\tau }{\eta }_{\tau }{|}_{\tau =0}=X,$$与函数变分$$u_{\tau }:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n,u_0(x)=u(x),{\partial }_{\tau }{u}_{\tau }{|}_{\tau =0}=h.$$记$$F_{\Omega }(u)={\int }_{\Omega }L(Du,u,x)dx.$$

定理 5.2 (Noether). 设 $u$ 是 $F_{\Omega }$ 的临界点, $F_{\Omega }$ 是关于 ${\eta }_{\tau },u_{\tau }$ 不变的, 则 $\mathrm{div}(D_{p}v\cdot h-X)=0$ 当且仅当 ${\sum }_i{\partial }_{x_i}(h{D}_{p_i}L-L{X}_i)=0$.

证明. 见 Evans 8.6.2 Theorem 1 (P513).

$\square$

例 5.3. $u$ 是调和函数, ${\eta }_{\tau }:x\to x+\tau e_k,\tau \in (-\epsilon ,\epsilon )$, $u_{\tau }=u(x+\tau e_k)$, 取$$F_{\Omega }(u)={\int }_{\Omega }|\nabla u{|}^2.$$有$$F_{\Omega }(u_{\tau })={\int }_{{\Omega }_{\tau }}|\nabla u{|}^2.$$此时$$0=\mathrm{div}(D_{p}v\cdot h-X)=\sum _i{\partial }_{x_i}(u_{x_i}D{u}_{x_k}-\frac{1}{2}|\nabla u{|}^2{\delta }_{ik}),$$即对任意 $\Omega$, $${\int }_{\partial \Omega }(u_{x_i}{u}_{x_k}-|\nabla u{|}^2{\delta }_{ik})n_i=0.$$

例 5.4. $${\partial }_{tt}u=△u,(t,x)\in \mathbb{R}\times {\mathbb{R}}^n,$$取$$F(u)={\int }_{(0,T)\times \Omega }\frac{1}{2}(u_t^2-|\nabla u{|}^2.)$$详见 Evans 8.6.2 Example 3 (P515-6).

例 5.5 (调和映照). 设 $u:M\to N$ 是流形间的映射, $u$ 为调和映照是说 Euler–Lagrange 方程成立. 如$$u:B_1\subset {\mathbb{R}}^n\to S^n\subset {\mathbb{R}}^{n+1},x\mapsto (u_1(x),\cdots ,u_{n+1}(x)),$$则 $\sum _{i=1}^{n+1}{u}_i(x{)}^2=1$. 令$$A=\{u\in H^1(B_1,{\mathbb{R}}^{m+1}),u{|}_{\partial B_1}=g,u(x)\in S^n\text{ a.e. }x\in B_1.\}$$$$\{\begin{array}{l}△u=-u|\nabla u{|}^2,\\ u{|}_{\partial B_1}=g.\end{array}$$用 Noether 定理, 由球面的旋转对称性, $u_{\tau }(x)=A_{\tau }u(x),A\in {\mathrm{SO}}_{n+1}$, 守恒律为$$\mathrm{div}(u^j\nabla u^i-u^i\nabla u^j)=0,\forall i,j=1,\cdots ,n+1.$$

6集中紧原理

参考 [Liu] 3.3 节.

回忆有嵌入 $H^1({\mathbb{R}}^n)\hookrightarrow L^{p\ast }({\mathbb{R}}^n),2\le p\le 2^{\ast }=\frac{2n}{n-2}$. 当 $2<p<2^{\ast }$ 时, 考虑 ${\mathbb{R}}^n$ 上的方程$$-△u+u=|u{|}^{p-2}u,\text{\hspace{1em}(∗)}$$其中 $u\in H^1({\mathbb{R}}^n)$. 假如泛函$$F(u)=\frac{1}{2}\int |\nabla u{|}^2+|u{|}^2-\frac{1}{p}\int |u{|}^p$$有最小值 $u_0$, 则 $u_0$ 满足方程 $(\ast )$; 然而它并无下界. 转而取泛函$$F(u)=\frac{1}{2}\int |\nabla u{|}^2+|u{|}^2$$在 $M=\{u\in H^1({\mathbb{R}}^n):\Vert u{\Vert }_{L^p}=1\}$ 上的最小值, 若存在, 由 Lagrange 乘子法有$$-△u+u=\lambda |u{|}^{p-2}u,$$取 $v=au$, 其中 $\lambda a/a^{p-1}=1$, 则 $v$ 是 $(\ast )$ 的解了. 然而用极小化序列找 $u$ 遇到的困难是, $H^1({\mathbb{R}}^n)\hookrightarrow L^p({\mathbb{R}}^n),2<p<2^{\ast }$ 不是紧的: 有两种方法使得 $H^1({\mathbb{R}}^n)$ 的有界集不是 $L^p({\mathbb{R}}^n)$ 的紧集, 一种是平移至无穷远处, 另一种是 $u(x)$ 变成 $u_{\lambda }(x)={\lambda }^{n}u(\lambda x),\lambda \to \infty$ (称为集中紧) . 下面的定理把这严格化.

定理 6.1. 设 $\{{\mu }_m{\}}_{m\ge 1}$ 是一列 ${\mathbb{R}}^n$ 上的概率测度, 则存在子列, 仍记作 $\{{\mu }_m{\}}_{m\ge 1}$, 满足以下性质:

紧性	存在 ${\mathbb{R}}^n$ 的点列 $\{x_m\}$, 使得 $\forall \epsilon >0$, 存在 $R>0$ 使得 ${\mu }_m(B_R(x_m))\ge 1-\epsilon$.
消失	对任何 $R>0$, $\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }{\mu }_m(B_R(x))=0$.
二分	$\forall \epsilon >0$, 存在 $R>0$ 与点列 $\{x_m\}$ 和的数列 $\{R_m\}\to \infty$, 使得$$\underset{m\to \infty }{\overline{\lim }}|{\mu }_m(B_R(x_m))-\lambda |+|{\mu }_m({\mathbb{R}}^n\backslash B_{R_m}(x_m))-(1-\lambda )|\le \epsilon .$$

证明. 见 [Liu] 定理 3.17 (P112–5) .

$\square$

回到前面的问题. 在定理中令 ${\mu }_m=|u_m{|}^{p}dx$, 则这三个性质之一成立. 假设 “紧性” 成立, 则对于极小化序列 $v_m(x)=u_m(x+x_m)$, 有$${\int }_{B_R}|v_m{|}^{p}dx\ge 1-\epsilon .$$由于 $H^1({\mathbb{R}}^n)$ 中 $v_m\rightharpoonup v$, 用紧嵌入 $H^1(B_R)\hookrightarrow L^p(B_R)$, 得 $L^p(B_R)$ 中有子列 $v_m\to v$, 则 $\Vert v{\Vert }_{L^p(B_R)}^p\ge 1-\epsilon$, 令 $\epsilon \to 0$ 得 $v\in M$. 下面要排除 “消失” 和 “二分” 的情况.

引理 6.2 (Lions). 设 $\{u_m\}$ 是 $H^1$ 的有界序列, 存在 $R>0$ 使 $\underset{m\to \infty }{\underline{\lim }}\Vert u_m{\Vert }_{L^2(B_R)}=0$, 则存在子列 $u_m\to 0$ 于 $L^p({\mathbb{R}}^n)$ 对任意 $p\in (2,2^{\ast })$.

证明. 暂缺.

$\square$

假设是消失的情况, 现在引理说明 $\Vert u_m{\Vert }_{L^p}\to 0$, 则 $\Vert u{\Vert }_{L^p}=0$, $u\notin M$, 矛盾. 这排除了 “消失”.

假设是二分的情况, 构造 $B_{R_m}$ 上的紧支函数 ${\phi }_m$, 在 $B_{R_m/2}$ 上为 $1$. (...) 这排除了 “二分”.