用户: Solution/ 习题: 随机分析

这份答案对应钱忠民、应坚刚老师的《随机分析引论》第二版, 主要由李利平老师于 2024-2025 学年第二学期随机分析课程给出. 部分题目的题干需要结合课本理解; 有的答案写明在某参考书上, 请翻阅对应的参考书, 后续读者可以帮忙加上.

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1第一章 预备知识

(练习 1.1.1). 验证下列性质: (1) $f^{-1}\left({\Omega }^{\prime }\right)=\Omega ,f^{-1}(\varnothing )=\varnothing$ ; (2) $f^{-1}\left[{\left(A^{\prime }\right)}^c\right]={\left[f^{-1}\left(A^{\prime }\right)\right]}^c$ ; (3) 对任何子集列 $\left\{A_i^{\prime }\right\},f^{-1}\left({\bigcup }_i{A}_i^{\prime }\right)={\bigcup }_i{f}^{-1}\left(A_i^{\prime }\right)$ ．设 ${\mathcal{A}}^{\prime }$ 是 ${\Omega }^{\prime }$ 的一个子集类, 令$$f^{-1}\left({\mathcal{A}}^{\prime }\right):=\left\{f^{-1}\left(A^{\prime }\right):A^{\prime }\in {\mathcal{A}}^{\prime }\right\}$$

则由上述性质, 如果 ${\mathcal{A}}^{\prime }$ 是 ${\Omega }^{\prime }$ 上 $\sigma$－代数, $f^{-1}\left({\mathcal{A}}^{\prime }\right)$ 是 $\Omega$ 上 $\sigma$－代数.

(练习 1.1.2). 设 $\Omega ,{\Omega }^{\prime }$ 是两个非空集合, $f$ 是 $\Omega$ 到 ${\Omega }^{\prime }$ 的一个映射, 设 ${\mathcal{A}}^{\prime }$ 是 ${\Omega }^{\prime }$ 的一个子集类．证明: $\sigma \left[f^{-1}\left({\mathcal{A}}^{\prime }\right)\right]=f^{-1}\left[\sigma \left({\mathcal{A}}^{\prime }\right)\right]$ ．

(练习 1.1.3). 任何测度空间在下面的意义下可以完备化．设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mu )$ 是测度空间．记$$\begin{array}{rl}\mathcal{N}& :=\left\{N\subset \Omega :\text{ 存在 }{N}^{\prime }\in \mathcal{F}\text{ 使得 }N\subset N^{\prime },\mu \left(N^{\prime }\right)=0\right\},\\ {\mathcal{F}}^{\mu }& :=\sigma (\mathcal{F}\cup \mathcal{N}).\end{array}$$$\mathcal{N}$ 中的集合通常称为 $\mu$－零测集, 那么 ${\mathcal{F}}^{\mu }=\{A\cup N:A\in \mathcal{F},N\in \mathcal{N}\}$ . 这样 $\mu$ 自动地延拓到 ${\mathcal{F}}^{\mu }$ 上: $\mu (A\cup N):=\mu (A)$ ．读者需要验证定义无歧义．证明: $\left(\Omega ,{\mathcal{F}}^{\mu },\mu \right)$ 是一个完备测度空间, 称为是原测度空间的完备化．

(练习 1.1.4). 设 ${\mathcal{F}}_n$ 是 $\sigma$－代数且关于 $n$ 递增, 证明 ${\bigcup }_n{\mathcal{F}}_n$ 是一个代数.

(练习 1.1.5). 证明: $\mathbb{R}$ 的左开右闭区间的有限并的全体 $\mathcal{A}$ 是一个代数, 它总可以写成不交的有限并．定义$$m\left(\bigcup _{i=1}^n\left(a_i,b_i\right]\right)=\sum _{i=1}^n\left(b_i-a_i\right)$$

证明 $m$ 是 $\mathcal{A}$ 上的测度．

(练习 1.1.6). 设 $\mu$ 是 $\Omega$ 的代数 ${\mathcal{F}}_0$ 上的一个非负的有限可加的集函数且 $\mu (\Omega )<\infty$ . 如果对任何递减趋于空集的集列 $\left\{A_n\right\}\subset {\mathcal{F}}_0$ 有 $\mu \left(A_n\right)\downarrow 0$ , 证明: $\mu$ 是 ${\mathcal{F}}_0$ 上的测度．

(练习 1.1.7). 验证 $\mu \circ f^{-1}$ 是一个测度．

(练习 1.1.8). 设 $\mu ,\nu$ 是 $(\Omega ,\mathcal{F})$ 上两个测度, $\nu$ 是有限的．证明: $\nu \ll \mu$ 当且仅当对任何 $\epsilon >0$ , 存在 $\delta >0$ , 使得 $\mu (A)<\delta$ 蕴含着 $\nu (A)<\epsilon$ .

(练习 1.2.1). 下面是两个一致可积的充分条件: (1) 被一个可积随机变量控制的随机变量集 $\left\{{\xi }_i:i\in I\right\}$ 一致可积; (2) 设 $\left\{{\xi }_n\right\}$ 是随机变量列, 存在 $p>1$ 使得 ${\sup }_n\mathbb{E}\left[{\left|{\xi }_n\right|}^p\right]<\infty$ , 证明: $\left\{{\xi }_n\right\}$ 是一致可积的．

(练习 1.3.1). 设 $n=1$ ．证明: $\hat{\mu }$ 在零点两次可导当且仅当$${\int }_{\mathbb{R}}{x}^2\mu (\mathrm{d}x)<\infty$$

(练习 1.3.2). 设 $\xi ,\eta$ 是随机变量, 后者可积．如果对任何 $x\in {\mathbb{R}}^n$ 有$$\mathbb{E}\left[\eta \cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(x,\xi )}\right]=0$$

证明: $\mathbb{E}[\eta \mid \xi ]=0$ ．特征函数最后一个重要性质是连续性, 尽管它在本讲义中并没有真正被使用．说一个有限测度列 ${\mu }_n$ 弱收玫于 $\mu$ , 如果对任何有界连续函数 $f$ 有$${\mu }_n(f)⟶\mu (f)$$

(练习 1.3.3). 设 $\left\{{\xi }_n\right\}$ 是平方可积的独立同分布随机序列, $\mathbb{E}{\xi }_n=0,\mathbb{E}{\xi }_n^2=1$ ．证明: ${\sum }_{i=1}^n{\xi }_i/\sqrt{n}$ 的分布弱收敛于标准正态分布．

(练习 1.4.1). 这里给出存在性的另外一个证明．1．如果 $\xi \in L^2(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ , 令 $M:=L^2(\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P})$ , 证明: $\mathbb{E}[\xi \mid \mathcal{A}]$ 是 $\xi$ 在闭子空间 $M$ 上的正交投影．

2．利用 $L^2(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 在 $L^1(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 中的稠密性, 证明条件数学期望的存在性．

(习题 1.5.1). (Kolmogorov 0－1 律) 设 ${\xi }_1,\cdots ,{\xi }_n,\cdots$ 是独立随机变量序列, 令$$\mathcal{F}:=\sigma \left({\xi }_1,{\xi }_2,\cdots \right),\mathcal{A}:=\bigcap _n\sigma \left({\xi }_n,{\xi }_{n+1},\cdots \right)$$

证明: $\mathcal{F}$ 与 $\mathcal{A}$ 独立, 且对任何 $A\in \mathcal{A},\mathbb{P}(A)=0$ 或 1 ．

(习题 1.5.2). 设 ${\xi }_n,\xi$ 是非负可积随机变量, ${\xi }_n\stackrel{\mathrm{p}}{\to }\xi ,\mathbb{E}\left[{\xi }_n\right]⟶\mathbb{E}[\xi ]$ ．证明: ${\xi }_n\stackrel{L^1}{\to }\xi$ ．

(习题 1.5.3). 设 $\xi$ 是随机变量, 证明: $\xi$ 与子 $\sigma$－代数 $\mathcal{A}$ 独立当且仅当对任何有界 Borel 可测函数 $g$ 有 $\mathbb{E}[g(\xi )\mid \mathcal{A}]=\mathbb{E}[g(\xi )]$ , 也等价于对任何 $x\in \mathbb{R}$ 有$$\mathbb{E}\left[{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\xi }\mid \mathcal{A}\right]=\mathbb{E}\left[{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x\xi }\right]$$

(习题 1.5.4). 设 $\left\{{\mathcal{F}}_{\alpha }:\alpha \in \Sigma \right\}$ 是一个子 $\sigma$－代数族, 证明: 若 $\xi$ 是可积随机变量, 则 $\left\{\mathbb{E}\left[\xi \mid {\mathcal{F}}_{\alpha }\right]:\alpha \in \Sigma \right\}$ 一致可积．

(习题 1.5.5). 对两个可积且乘积也可积的随机变量 $\xi ,\eta$ 证明: $\mathbb{E}[\xi \mathbb{E}[\eta \mid \mathcal{A}]]=\mathbb{E}[\eta \mathbb{E}[\xi \mid \mathcal{A}]]$ ．

(习题 1.5.6). 设 $X,Y$ 独立可积且 $\mathbb{E}X=\mathbb{E}Y=0$ , 证明: $\mathbb{E}[|X|]\le \mathbb{E}[|X+Y|]$ ．

(习题 1.5.7). 设 $\xi ,\eta$ 为可积随机变量且 $\mathbb{E}[\xi \mid \eta ]=\eta ,\mathbb{E}[\eta \mid \xi ]=\xi$ , 证明: $\xi =\eta$ a．s．

(习题 1.5.8). 设 $\left({\xi }_t:t\in I\right)$ 是概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上随机变量族, 证明: 对任何 $A\in \sigma ({\xi }_i$ : $i\in I)$ , 存在可列子集 $S\subset I$ 使得 $A\in \sigma \left({\xi }_i:i\in S\right)$ ．

(习题 1.5.9). 设 $\left({\xi }_t:t\in I\right)$ 是概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上随机变量族, $\xi$ 是可积随机变量．证明: 存在可列集 $S\subset I$ 使得$$\mathbb{E}\left[\xi \mid {\xi }_i:i\in I\right]=\mathbb{E}\left[\xi \mid {\xi }_i:i\in S\right]$$

2第二章  鞅论基础

(练习 2.1.1). 如果 $X=\left\{X_n\right\}$ 关于流 $\left({\mathcal{F}}_n\right)$ 是鞅, 且流 $\left({\mathcal{F}}_n\right)$ 与 $\sigma -$ 域 $\mathcal{G}$ 独立, 令 ${\mathcal{F}}_n^{\prime }$ 是由 ${\mathcal{F}}_n$ 和 $\mathcal{G}$ 生成的 $\sigma -$ 域, 证明: $X$ 关于流 ( ${\mathcal{F}}_n^{\prime }$ ) 也是鞅.

(练习 2.1.2). 如果 $\tau ,\sigma$ 是停时, 那么取小 $\tau \wedge \sigma$ 也是停时．

(练习 2.1.3). (1) 证明定理 2．1．3; (2) 设 $X$ 是可积适应过程, 如果对任何有界停时 $\sigma \le \tau$ 有$$\mathbb{E}{X}_{\sigma }\le \mathbb{E}{X}_{\tau }$$

证明 $X$ 是一个下鞅且$$\mathbb{E}\left[X_{\tau }\mid {\mathcal{F}}_{\sigma }\right]\ge X_{\sigma }.$$

(练习 2.1.4). 找适当的鞅计算上面例子中 $\tau$ 的母函数．

(练习 2.2.1). 证明: $\tau$ 是 $\left({\mathcal{F}}_{t+}\right)$ 停时当且仅当对任何 $t$ , 有 $\{\tau <t\}\in {\mathcal{F}}_t$ ．

(练习 2.2.2). 证明: 1．${\mathcal{F}}_{\tau }$ 是一个 $\sigma$－代数; 2．$\tau$ 是 ${\mathcal{F}}_{\tau }$ 可测的; 3．如果 $\tau \equiv t$ 时, ${\mathcal{F}}_{\tau }={\mathcal{F}}_t$ ; 4．一个随机变量 $\xi$ 是 ${\mathcal{F}}_{\tau }$ 可测当且仅当对任何 $t\in \mathrm{T},\xi \cdot 1_{\{\tau \le t\}}$ 是 ${\mathcal{F}}_t$ 可测的．

(习题 2.4.1). 设 $\left(Y_n:n\ge 1\right)$ 是一个具有有限状态空间 $E$ 的 Markov 链, $\mathbf{P}=(p(x,y))$ : $x,y\in E$ 是转移矩阵, 即对任何 $n\ge 1$ 及 $y\in E$ , 有$$\mathbb{P}\left(Y_n=y\mid Y_{n-1},\cdots ,Y_1,Y_0\right)=p\left(Y_{n-1},y\right)$$$\alpha :E\to \mathbb{R}$ 是 $\mathbf{P}$ 的从属于特征值 $\lambda$ 的特征向量: $\mathbf{P}\alpha =\lambda \alpha$ ．令 $X_n:=$ ${\lambda }^{-n}\alpha \left(Y_n\right)$ , 证明: $\left(X_n:n\ge 1\right)$ 是一个鞅．

(习题 2.4.2). 设 $X$ 是零均值平方可积的独立增量过程, 证明: 存在唯一的 T 上初值为零的递增函数 $F$ , 使得 $\left(X_t^2-F(t)\right)$ 是一个鞅．

(习题 2.4.3). (Wald 鞅) 设 $\left\{Y_n:n\ge 1\right\}$ 是独立同分布随机序列使得 $\varphi (t):=\mathbb{E}\left[{\mathrm{e}}^{t{Y}_n}\right]$ 对某个 $t\ne 0$ 有限．令$$X_n:=\varphi (t{)}^{-n}\exp \left[t\left(Y_1+\cdots +Y_n\right)\right]$$

证明: $\left\{X_n:n\ge 1\right\}$ 是鞅．

(习题 2.4.4). 一个袋子中在时刻 0 有一个红球与一个白球．随机地从袋子中取一个球, 然后将它放回并放入一个相同颜色的球, 无限地重复此过程．记 $X_n$ 为 $n$ 次后袋中白球数与总球数之比．证明: $\left\{X_n\right\}$ 是鞅．

(习题 2.4.5). 设 $\left\{Y_n:n\ge 1\right\}$ 是独立同分布随机序列, $f_0,f_1$ 是两个概率密度函数, $f_0>0$ ．令$$X_n:=\frac{f_1\left(Y_1\right)f_1\left(Y_2\right)\cdots f_1\left(Y_n\right)}{f_0\left(Y_1\right)f_0\left(Y_2\right)\cdots f_0\left(Y_n\right)}$$

证明: 如果 $f_0$ 是 $Y_n$ 的密度函数, 那么 $\left(X_n\right)$ 是鞅．

(习题 2.4.6). 设 $\left\{X_n:n\ge 0\right\}$ 是 $\left({\mathcal{F}}_n\right)$ 适应的可积随机序列, 满足$$\mathbb{E}\left(X_{n+1}\mid {\mathcal{F}}_n\right)=\alpha X_n+\beta X_{n-1},n\ge 1,$$

其中 $\alpha >0,\beta >0,\alpha +\beta =1$ ．问 $a$ 为何值时, 序列 $Y_0:=X_0,Y_n:=$ $a{X}_n+X_{n-1}$ 是 $\left({\mathcal{F}}_n\right)$ 鞅?

(习题 2.4.7). 设 Markov 链 $\left\{X_n:n\ge 0\right\}$ 的状态空间为 $\{0,1,\cdots ,N\}$ , 转移概率为$$p_{ij}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{j}\right){\pi }_i^j{\left(1-{\pi }_i\right)}^{N-j},0\le i,j\le N,$$

其中 ${\pi }_i=\frac{1-{\mathrm{e}}^{-2a\frac{i}{N}}}{1-{\mathrm{e}}^{-2a}}$ ．验证: $Z_n:={\mathrm{e}}^{-2a{X}_n}$ 是鞅．

(习题 2.4.8). 设 $\left\{Y_n\right\}$ 是独立同分布正随机变量序列使得 $\mathbb{E}{Y}_n=1$ ．记 $X_n:=Y_1{Y}_2\cdots Y_n$ ．(a) 证明: $\left(X_n\right)$ 是鞅且几乎处处收敛于一个随机变量 $X$ ; (b) 设 $Y_n$ 以概率 $1/2$ 分别取值 $1/2$ 与 $3/2$ ．验证 $X=0$ a．s．因此$$\mathbb{E}\prod _{n\ge 1}{Y}_n\ne \prod _{n\ge 1}\mathbb{E}{Y}_n$$

(习题 2.4.9). (Doob 分解) 证明: 下鞅 ( $X_n$ ) 可唯一分解为 $X_n=Y_n+Z_n$ , 其中 ( $Y_n$ ) 是鞅, $\left(Z_n\right)$ 是从 0 出发的非负可预料的增过程: $0=Z_1\le Z_2\le \cdots$ ．

(习题 2.4.10). (Riesz 分解) 证明: 上鞅 $\left(X_n\right)$ 可分解为 $X_n=Y_n+Z_n$ , 其中 $Y$ 是鞅, $Z$ 是位势 (即 $Z$ 是上鞅且 ${\lim }_n\mathbb{E}{Z}_n=0$ ) 当且仅当 $\left\{\mathbb{E}{X}_n\right\}$ 有界. 这时此分解唯一.

(习题 2.4.11). 设 $\left\{X_n\right\}$ 是鞅且 $\left|X_0(\omega )\right|,\left|X_n(\omega )-X_{n-1}(\omega )\right|$ 被一个与 $\omega$ 及 $n$ 无关的常数控制．如果 $\tau$ 是一个具有有限均值的停时, 证明: $X_{\tau }$ 可积且 $\mathbb{E}{X}_{\tau }=\mathbb{E}{X}_0$ ．

(习题 2.4.12). 设 $\left\{X_n:n\ge 0\right\}$ 是例 2．1．4 中定义的从 $a$ 出发的随机游动, $\tau$ 是首次到达 $\{0,b\}$ 的时间．证明: 当 $p=q$ 时, $X_n^2-n$ 是鞅．并由此求 $\mathbb{E}\tau$ ．

(习题 2.4.13). 设 $\left\{X_n:n\ge 0\right\}$ 是例 2．1．1 说的随机游动, $p>q$ ．取整数 $b>0$ , 令 $\sigma :=$ $\min \left\{n:X_n=b\right\}$ ．求停时 $\sigma$ 的母函数并由此计算 $\sigma$ 的均值与方差．

(习题 2.4.14). 设 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n,\cdots$ 是独立同分布可积随机变量．对 $k\ge 1$ , 令 $S_k:={\xi }_1+\cdots +$ ${\xi }_k$ , 证明: $\left\{\cdots ,S_k/k,S_{k-1}/(k-1),\cdots ,S_2/2,S_1\right\}$ 是鞅. 由此证明 Kolmogorov 强大数定律．

提示．只需证明$$\mathbb{E}\left(S_1\mid S_n,S_{n+1},\cdots \right)=\mathbb{E}\left(S_1\mid S_n\right)=\frac{S_n}{n}$$

就足够了.

(习题 2.4.15). 如果 $X$ 是非负上鞅, 那么$$\mathbb{P}\left(\left\{X_N>0,\underset{n\le N}{\inf }{X}_n=0\right\}\right)=0$$

(习题 2.4.16). 设 $\left\{X_n:n\ge 0\right\}$ 是鞅, $\tau$ 是停时．如果 (a) $\mathbb{P}(\tau <\infty )=1$ ; (b) $\mathbb{E}\left|X_{\tau }\right|<\infty$ ; (c) ${\lim }_n\mathbb{E}\left[X_n;\{\tau >n\}\right]=0$ ; 那么 $\mathbb{E}\left[X_{\tau }\right]=\mathbb{E}\left[X_0\right]$ ．

(习题 2.4.17). (Kolmogorov 三级数定理) 设 $\left\{X_n\right\}$ 是独立随机序列．那么 $\sum X_n$ 几乎处处收玫当且仅当对某个 $A>0$ 下面三个条件成立: (a) $\mathbb{P}\left(\left|X_n\right|>A\right)$ 收敛; (b) 设 $Y_n:=X_n{1}_{\left\{|X_n|\le A\right\}}$ , 那么 $\sum \mathbb{E}\left(Y_n\right)$ 收敛; (c) $\sum D\left(Y_n\right)$ 收敛．

(习题 2.4.18). 设 $X$ 是一个 $\left({\mathcal{F}}_t\right)$ 适应的, 右连续并具有左极限的过程．令 $A$ 是使得 $X$ 在 $[0,t)$ 上连续的样本全体．证明: $A\in {\mathcal{F}}_t$ ．

证明．令 $Y_t=\left(X_{t-},X_t\right)$ , 当然 $Y=\left(Y_t\right)$ 也是 $\left({\mathcal{F}}_t\right)$ 适应的．定义$$\tau =\inf \left\{t\ge 0:Y_t\notin d\right\}$$

其中 $d$ 是状态空间 $E\times E$ 的对角线, 那么 $\tau$ 是开集的首中时, 故是 ( ${\mathcal{F}}_{t+}$ ) －停时, 因此 $A=\{\tau \ge t\}=\{\tau <t{\}}^c\in {\mathcal{F}}_t$ .

(习题 2.4.19). 设 $\tau$ 是个停时, $\sigma$ 是随机时间且 $\sigma \ge \tau$ ．证明: 如果 $\sigma$ 是 ${\mathcal{F}}_{\tau }$ 可测的, 则 $\sigma$ 是个停时．

(习题 2.4.20). 设 $\tau$ 是 $\left({\mathcal{F}}_t\right)$ 停时, 证明: ${\mathcal{F}}_{\tau +}={\bigcap }_{\sigma >\tau }{\mathcal{F}}_{\sigma }$ , 其中 $\sigma$ 是停时．

(习题 2.4.21). 设 $\tau ,\sigma$ 是 $\left({\mathcal{F}}_t\right)$ 停时, 则 ${\mathcal{F}}_{\tau \wedge \sigma }={\mathcal{F}}_{\tau }\cap {\mathcal{F}}_{\sigma }$ , 且事件 $\{\tau <\sigma \},\{\tau \le \sigma \}\in {\mathcal{F}}_{\tau }\cap {\mathcal{F}}_{\sigma }$ ．

(习题 2.4.22). (Föllmer 引理) 设 $X=\left(X_t:t\in \mathrm{T}\right)$ 是一个下鞅, $D$ 是 T 的一个可列稠子集, 对正整数 $K>0$ , 令 $D_K:=[0,K]\cap (D\cup \{0,K\})$ , 则 (a) 对几乎所有的 $\omega \in \Omega$ , 从 $D$ 到 $\mathbb{R}$ 的映射 $t\mapsto X_t(\omega )$ 对任何 $K>0$ 在 $D_K$ 上是有界的且在每个点 $t\in \mathrm{T}$ 有右极限$$X_{t+}^D(\omega ):=\underset{s\in D,s\downarrow \downarrow t}{\lim }{X}_s(\omega )$$

及左极限$$X_{t-}^D(\omega ):=\underset{s\in D,s\uparrow \uparrow t}{\lim }{X}_s(\omega ).$$

序列 $s_n\uparrow \uparrow t$ 表示对任何 $n\ge 1,s_n<t$ 且 $s_n\uparrow t.\downarrow \downarrow$ 类似理解; (b) 对所有 $t\in \mathrm{T},X_{t+}^D$ 是可积的且 $X_t\le \mathbb{E}\left(X_{t+}^D\mid {\mathcal{F}}_t\right)$ ．如果 $t\mapsto \mathbb{E}{X}_t$ 右连续, 则 $X_t=\mathbb{E}\left(X_{t+}^D\mid {\mathcal{F}}_t\right)$ ; (c) 过程 $X_{+}^D=\left(X_{t+}^D:t\in \mathrm{T}\right)$ 是关于右极限流 $\left({\mathcal{F}}_{t+}\right)$ 的右连续下鞅, 当 $X$ 是鞅时, $X_{+}^D$ 也是一个鞅．

(习题 2.4.23). 设 $\left(X_t\right)$ 是一个关于 $\left({\mathcal{F}}_t\right)$ 的右连续非负上鞅．证明: 当 $t\to \infty$ 时, $X_t$ 几乎处处收玫于一个可积随机变量, 记为 $X_{\infty }$ , 且 $\left(X_t:0\le t\le +\infty \right)$ 是 $\left({\mathcal{F}}_t\right)$ 上鞅．

(习题 2.4.24). 证明: 一个鞅是一致可积鞅当且仅当它是右闭鞅 (Doob 鞅) ．

3第三章  Brown 运动

(练习 3.1.1).

(练习 3.1.2).

(练习 3.1.3).

(练习 3.1.4).

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