用户: Solution/ 习题: 量子力学

124-25 春 物理部分

这份答案对应 2024-2025 学年第二学期量子力学 1 物理部分习题, 主要参考书为格里菲斯的《量子力学概论》, 课本为肖江老师自编讲义.

HW1

习题 1. 在上海中心做想象物理实验

－从上海中心顶部挂一个到地面的重垂线, 请估算重垂线方向和重锤指向地心方向的夹角.

－若从上海中心顶部自由释放一重物 (Never Do That! ! ! ) , 那么重物落地点与上面重锤指向的点是否有偏差? 若有, 估算偏差方向和距离?

证明. (1) 取地心参考系 (惯性系) , 铅锤随地球一起绕地轴转动, 向心加速度指向地轴, 而引力则指向地心, 二者不平行; 垂线对铅锤的拉力与引力一起提供了向心加速度.

$$F_G=mg$$$m$ 是铅锤的质量, $g=9.8\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ , 这里简单起见直接用了重力公式, 用万有引力公式可能更加严格一点, 因为重力本身是包含向心力的贡献的, 但作为估算差别不大.

铅锤的向心加速度是$$a={\omega }^{2}r={\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^{2}R\cos \alpha \approx 0.029\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$$

这里 $R=6378\mathrm{km}$ 是地球半径, $\alpha =31^{\circ }$ 是上海所处的纬度, $T=1$ day $=86400\mathrm{s}$ 是地球自转周期.

上述力的三角形中, $\theta$ 即为垂线与引力方向的夹角, 解三角形可得 $\theta$ 的大小, 或者, 作为一个估计$$\theta \approx \frac{ma\sin 31^{\circ }}{mg}\approx 0.0015\mathrm{rad}$$

单位是弧度, 折算为角度 $\theta \approx 0.087^{\circ }$

(2) 选取地心参考系. 由于整栋大厦跟随地球一起自西向东运动, 楼顶的线速度要大于底楼的线速度, 不难想象位于楼顶的重物相对于地面有一个向东的速度, 因此重物掉落到地面后会向东偏离.

$$L_0=m{v}_{\Vert }(R+h)\cos \alpha =m{\omega }_0(R+h{)}^2\cos {\alpha }^2$$$\omega =2\pi /1$ day 是地球自转的角速度, $h=631\mathrm{m}$ 是上海中心大厦的高度; 由于大厦垂直于地面而不垂直于地轴, 所以要考虑上海地处的纬度 $\alpha =31^{\circ }$ .

下落至距离地面 $y$ 处时$$L(t)=m\omega (t)(R+y(t){)}^2\cos {\alpha }^2$$

由角动量守恒可知$$\begin{array}{c}L(t)=L_0\\ \omega (t)={\omega }_0\frac{(R+h{)}^2}{(R+y(t){)}^2}\approx \frac{{\omega }_0}{R^2}\left(R^2+2R(h-y(t))\right)\end{array}$$

重物与地面的角速度差为$$\Delta \omega (t)=\omega (t)-{\omega }_0=\frac{{\omega }_0}{R}2(h-y(t))$$

代入自由落体的位移 $h-y(t)=\frac{1}{2}g{t}^2$ 得$$\Delta \omega (t)=\frac{{\omega }_0}{R}g{t}^2$$

积分即得重物相对于地球的角位移$$\Delta \theta (t)=\frac{{\omega }_0}{R}\frac{1}{3}g{t}^3$$

落地需要的时间是$$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$

将落地后的角位移折算为线位移即得$$\Delta x_{\Vert }=\Delta \theta (t)R\cos \alpha =\frac{1}{3}\omega g{t}^2\cos \alpha$$

另解: 在地面系下, 下落的物体受到科里奥利力$${\mathbf{F}}_K=2m\omega \times \mathbf{v}$$

当速度指向地面时, 科氏力指向东面, 大小为 $F_K=2\omega mgt\cos \alpha$ . 因此, 落地时, 平行于地面的速度为$$v_{\Vert }={\int }_0^t\frac{F_K}{m}\mathrm{d}{t}^{\prime }=\omega g{t}^2\cos \alpha$$

再次积分即得平行于地面的位移: $$x_{\Vert }=\frac{1}{3}\omega g{t}^3\cos \alpha =\frac{2}{3}\sqrt{\frac{2h}{g}}\omega h\cos \alpha \approx 0.30\mathrm{m}$$

$\square$

习题 2. 不会变分如何计算•

利用最小作用量原理证明伽利略从比萨斜塔上释放物体自由落体时是作匀加速运动. 注: 假设不会做变分计算, 因此用不了欧拉－拉格朗日方程.

证明. 自由落体的作用量是$$S={\int }_{t_1}^{t_2}\mathrm{d}t\left(\frac{1}{2}m{\dot{y}}^2-mgy\right)$$

由于 $y(t)$ 是 $t$ 的单调函数, 可以做一次换元 $\mathrm{d}t=\frac{\mathrm{d}y}{\dot{y}}$$$S={\int }_{y_1}^{y_2}\mathrm{d}y\left(\frac{1}{2}m\dot{y}-mg\frac{y}{\dot{y}}\right)$$

在自由落体过程中, 速度是朝下的, $\dot{y}<0$ ; 假设初始位置 $y_1=0$ , 于是 $y<0$ ; 因此上述积分号内的两项是负定的, 可以用不等式放缩$$S\le -{\int }_{y_1}^{y_2}\mathrm{d}y\sqrt{-\frac{1}{2}m\dot{y}}\sqrt{mg\frac{y}{\dot{y}}}$$

取等号的条件是: $$-\frac{1}{2}m\dot{y}=mg\frac{y}{\dot{y}}$$

因此有 $\dot{y}=-\sqrt{-2yg}$ , 这正是自由落体的速度与位置的关系, 不难解出自由落体的位移为$$y=-\frac{1}{2}g{t}^2$$

$\square$

习题 3.

如果哈密顿量不显含时间 $(\partial H/\partial t=0):H(q,p,t)=H(q,p)$ , 证明哈密顿量是守恒量: $dH/dt=0$ ．

证明. 对哈密顿量求时间倒导数$$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial H}{\partial p}\dot{p}+\frac{\partial H}{\partial t}$$

其中, 最后一项是 0 ; 在前两项中代入哈密顿运动方程 $\dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q},\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}$ , 即得: $$\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial q}\frac{\partial H}{\partial p}+\frac{\partial H}{\partial p}\left(-\frac{\partial H}{\partial q}\right)=0$$

对于不止一个自由度的体系, 证明是也类似的.

$\square$

习题 4. 亥姆霍兹漩涡定理•

在哈密顿力学演化下, 证明环路积分守恒$$\Gamma =\oint \sum _{i=1}^n{p}_{i}d{q}_i$$

证明. 直接对 $\Gamma$ 求时间导数$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}\Gamma }{\mathrm{d}t}& =\sum _i\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\oint p_i\mathrm{d}{q}_i\\ & =\sum _i\oint \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(p_i\mathrm{d}{q}_i\right)\\ & =\sum _i\oint \left({\dot{p}}_i\mathrm{d}{q}_i+p_i\mathrm{d}{\dot{q}}_i\right)\end{array}$$

代入哈密顿运动方程 ${\dot{p}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i},{\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}$ , 得到$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}\Gamma }{\mathrm{d}t}& =\sum _i\oint \left(-\frac{\partial H}{\partial q_i}\mathrm{d}{q}_i+p_i\mathrm{d}\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\right)\right)\\ & =\sum _i\oint \left(-\frac{\partial H}{\partial q_i}\mathrm{d}{q}_i-\frac{\partial H}{\partial p_i}\mathrm{d}{p}_i+\frac{\partial H}{\partial p_i}\mathrm{d}{p}_i+p_i\mathrm{d}\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\right)\right)\\ & =\sum _i\oint \left(-\mathrm{d}H+\mathrm{d}\left(p_i\frac{\partial H}{\partial p_i}\right)\right)=0\end{array}$$

我们在积分号内凑出了全微分, 因此环路积分等于 0 . 也就是说 $\Gamma$ 不随时间变化, 是一个守恒量.

$\square$

习题 5. 斯特潘－玻尔兹曼定律 $\bullet$

一个黑体表面单位面积在单位时间内辐射出的总能量 (称为物体的辐射度或能量通量密度) 与黑体本身的热力学温度的四次方成正比: $$E_T=\sigma T^4$$- 证明该定律, 并给出 $\sigma$ 的数值;

- 估算人体的辐射总功率;

- 估算太阳的辐射功率;

- 估算地球上每平方米收到的太阳能功率;

- 估算地球的温度.

证明. (1) 由黑体辐射定律, 温度为 $T$ 的黑体, 在频率 $\nu$ 附近的黑体辐射场的能量密度为$$u(\nu )\mathrm{d}\nu =\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{-h\nu /kT}}\mathrm{d}\nu$$

对不同频率的辐射功率积分, 即可得到黑体辐射的总能量密度$$\begin{array}{rl}U& ={\int }_0^{\infty }\left(\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{-h\nu /kT}}\right)\mathrm{d}\nu \\ & =\frac{8\pi (kT{)}^4}{(hc{)}^3}{\int }_0^{\infty }{\left(\frac{h\nu }{kT}\right)}^3\frac{1}{{\mathrm{e}}^{h\nu /kT}-1}\mathrm{d}\left(\frac{h\nu }{kT}\right)\\ & =\frac{8\pi (kT{)}^4}{(hc{)}^3}\frac{{\pi }^4}{15}\end{array}$$

现在我们想象某时刻位于某个小区域 $\mathrm{d}\epsilon$ 内的辐射场, 其具有能量 $U\mathrm{d}\epsilon$ , 由于黑体辐射是各项同性的, 这些辐射场将以光速 $c$ 均匀地向各个方向传播, 那么朝着某一球面角 $\mathrm{d}\Omega$ 传播的能流就是$$I(\Omega )\mathrm{d}\epsilon =\frac{cU}{4\pi }\mathrm{d}\Omega \mathrm{d}\epsilon$$

这里的 $I(\Omega )$ 是某一方向上的能流密度, 也就是光强.

对于黑体表面的一个面元 $\mathrm{d}\mathbf{A}=\mathbf{nd}A$ , 它受到各个方向辐照, 虽然来自各个方向的辐射的光强一样, 但有效的截面积不一样, 总功率是$$E_T^{\mathrm{in}}\mathrm{d}A=\mathrm{d}A{\int }_{\text{上半球 }}\mathrm{d}\Omega I(\Omega )\mathbf{l}(\Omega )\cdot \mathbf{n}$$

其中 $\mathbf{l}(\Omega )$ 是入射光的方向, 只需对半个球面积分, 不用考虑从面元背面入射的辐射; 于是单位面积的受到的辐照功率是$$\begin{array}{rl}{E}_T^{\text{in }}& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^{2\pi }\sin \theta \mathrm{d}\varphi \cos \theta \frac{cU}{4\pi }\\ & =\frac{cU}{4}\\ & =\frac{2{\pi }^5(kT{)}^4}{15h^3{c}^2}=\sigma T^4\end{array}$$

注意, 我们这里算的黑体吸收辐射的功率, 也就是辐射场对黑体做功的功率; 但当黑体与辐射场达到热平衡时, 黑体的吸收功率等于其辐射功率, 这与黑体的材料与形状无关: $$E_T^{\text{out }}=E_T^{\text{in }}=\sigma T^4$$

其中 $\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15h^3{c}^2}=5.67\times 10^{-8}\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4$ 称为斯特潘－玻尔兹曼常数.

(2) 人的皮肤面积大概是 $2{\mathrm{m}}^2$ , 皮肤温度大概在 $30^{\circ }\mathrm{C}$ 上下, 约等于 300 K , 于是, 人体的黑体辐射总功率是$$P=A_{\text{皮肤 }}\sigma T_{\text{皮肤 }}^4\approx 933\mathrm{W}\approx 1\mathrm{kW}$$

(3)$\sim$(5) 太阳的黑体辐射总功率为$$P_{\text{太阳 }}=\sigma T_{\text{太阳 }}^{4}4\pi R_{\text{太阳 }}^2$$

太阳表面温度大约是 6000 K , 太阳半径取 $7\times 10^8\mathrm{m}$

估算得$$P_{\text{太阳 }}\approx 4\times 10^{26}\mathrm{W}$$

地球截取到的太阳辐射正比于地球的截面积, 反比于地球所在天球的表面积$$P_{\text{地球 }}=P_{\text{太阳 }}\frac{\pi R_{\text{地球 }}^2}{4\pi R_{\text{地日 }}^2}$$

地球半径取 $6\times 10^6\mathrm{m}$ , 地日间距取 $1.5\times 10^{11}\mathrm{m}$ , 代入估算得$$P_{\text{地球 }}\approx 1.7\times 10^{17}W$$

地球温度达到平衡时, 其辐射功率等于接收太阳辐射的功率, $$P_{\text{地球 }}=\sigma T_{\text{地球 }}^{4}4\pi R_{\text{地球 }}^2$$

估算得$$T_{\text{地球 }}\approx 280K\approx 7^{\circ }\mathrm{C}$$

$\square$

习题 6. 康普顿散射的角度依赖 $\bullet$

当光子被自由电子散射时, 散射光子的波长由于能量损失而变长. 利用散射过程的能量动量守恒, 计算光子波长的变化与光子散射角 $\varphi$ 的关系.

证明. 当光子被自由电子散射时, 散射光子的波长由于能量损失而变长. 利用散射过程的能量动量守恒, 计算光子波长的变化与光子散射角 $\varphi$ 的关系.

假设散射前后, 光子的能动量分别为 $(E,\mathbf{p})$ 与 $\left(E^{\prime },{\mathbf{p}}^{\prime }\right)$ , 电子散射前静止, 能动量为 $\left(E_e,0\right)$ , 散射后为 $\left(E_e^{\prime },{\mathbf{p}}_e^{\prime }\right)$

写出动量守恒$$\begin{array}{c}\mathbf{p}-{\mathbf{p}}^{\prime }={\mathbf{p}}_e^{\prime }\\ p^2+p^{\prime 2}-2p{p}^{\prime }\cos \theta =p_e^{\prime 2}\end{array}$$

代入爱因斯坦质能关系 $E^2{c}^2=p^2{c}^2+{\left(m{c}^2\right)}^2$$$E^2+E^{\prime 2}-2E{E}^{\prime }\cos \theta =E_e^{\prime 2}-{\left(m_e{c}^2\right)}^2$$

这里 $m_e$ 是电子的静止质量, 而光子的静止质量是 0 ; 随后代入能量守恒$$E+m_e{c}^2=E^{\prime }+E_e^{\prime }$$

得到$$E^2+E^{\prime 2}-2E{E}^{\prime }\cos \theta ={\left(E+m_e{c}^2-E^{\prime }\right)}^2-{\left(m_e{c}^2\right)}^2$$

解得$$E^{\prime }=\frac{E}{1+\frac{E}{m_e{c}^2}(1-\cos \theta )}$$

利用光子的能量－波长的关系 $E=h\nu =\frac{hc}{\lambda }$ , 整理后得到$${\lambda }^{\prime }-\lambda =\frac{h}{m_{e}c}(1-\cos \theta )$$

这就是康普顿散射公式.

$\square$

习题 7. 经典原子稳定性•

估算经典的氢原子行星模型的原子寿命.

证明. 在经典的电磁理论中, 加速运动的电荷会因为辐射电磁波耗散能量, 其耗散功率正比于加速度的平方, 有拉莫公式$$P=\frac{2}{3}\frac{e^2{a}^2}{4\pi {\epsilon }_0{c}^3}$$

在氢原子的行星模型中, 电子绕核做匀速圆周运动. 设电子轨道半径为 $r$ , 速度为 $v$ , 则向心力由库仑力提供: $$\frac{m_e{v}^2}{r}=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$$

向心加速度为: $$a=\frac{v^2}{r}=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{m}_e{r}^2}$$

代入 $P$ 的表达式, 即得电子因辐射而耗散的功率. 处在半径 $r$ 的圆轨道上的电子的能量为$$E=\frac{1}{2}{m}_e{v}^2-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}=-\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_{0}r}$$

于是有$$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=-P\\ \frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_0{r}^2}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=\frac{2}{3}\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{c}^3}{\left(\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{m}_e{r}^2}\right)}^2\end{array}$$

整理得$$\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}=-\frac{4}{3}\frac{e^4}{(4\pi \epsilon {)}^2{m}_e^2{c}^3{r}^2}$$

两端对时间积分, 有$${\int }_{r_0}^0{r}^2\mathrm{d}r=-\frac{4}{3}\frac{e^4}{(4\pi \epsilon {)}^2{m}_e^2{c}^3}{\int }_0^{\tau }\mathrm{d}t$$

解得电子落入原子核需要的时间是$$\tau =\frac{(4\pi \epsilon {)}^2{m}_e^2{e}^3{r}_0^3}{4e^4}$$$r_0$ 取氢原子的波尔半径 $r_0=5.29\times 10^{-11}\mathrm{m}$ , 其他常数的值我就不罗列了, 结论是$$\tau \approx 10^{-11}\mathrm{s}$$

$\square$

HW2

习题 1. 归一化的自洽性•证明归一化常数确实是＂常数＂, 即不随时间变化.

习题 2.

证明:
$$[\hat{p},f(x)]=-i\hslash \frac{df(x)}{dx},[x,f(\hat{p})]=i\hslash \frac{df(\hat{p})}{d\hat{p}}$$

习题 3. 牛顿第二定律•

将牛顿第二定律中物理量的值视为相应算符的期望值, 从薛定谔方程推导牛顿第二定律$$\frac{d}{dt}⟨\hat{p}⟩=⟨-\frac{\partial V(x)}{\partial x}⟩=F$$

习题 4. 平移算符•

定义算符 $\hat{T}=e^{i\hat{p}a/\hslash }$ , 证明这个算子将波函数平移 $a$ , 即 $\hat{T}\psi (x)=\psi (x+a)$ .

习题 5. 机械波中的能流•

类似推导薛定谔方程的概率流, 推导下面一根弦上的经典机械波动方程的能量流表达式, 并解释所推导表达式的物理意义, 其中 $v=\sqrt{T/\rho }$ 是弦上的波速, $\rho$ 是弦的线密度, $T$ 是弦上的张力. $$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$$

习题 6. 说明下面算符的厄米性, 如非厄米则计算其厄米共轭:

- 空间微分算符: $\hat{D}=\frac{d}{dx}$

- 位置算符与动量算符乘积: $x\hat{p}$

- 角动量算符: $\hat{L}=\mathbf{r}\times \hat{\mathbf{p}}$

习题 7. 对于波函数 $\psi (x)$ , 位置算符和动量算符分别为 $\hat{x}=x,\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ . 现如果将波函数 $\psi (x)$ 离散化: $$\psi (x)\to (\dots ,\psi (-a),\psi (0),\psi (a),\dots ,\psi (na))$$

以矩阵形式写出在离散化版本的位置算符和动量算符.

习题 8. •证明下面两种不同的厄米算符定义是等价的:

$$⟨\psi \mid \hat{A}\psi ⟩=⟨\hat{A}\psi \mid \psi ⟩\iff ⟨\varphi \mid \hat{A}\psi ⟩=⟨\hat{A}\varphi \mid \psi ⟩\forall \varphi ,\psi .$$

HW3

习题 1. 计算位置表象下的动量算符矩阵元: $⟨x|\hat{p}|x^{\prime }⟩$ .

习题 2. 计算无限深势阻中处于基态的粒子对势阱壁的压力.

习题 3. $t<0$ 时, 粒子处于无限深势阻中的基态, 在 $t=0$ 时, 瞬间把势阱壁撤除变成平坦自由空间, 计算并画出之后波函数的随时间演化动画.

习题 4. 简谐振子基态– 确认简谐振子基态可以触及不确定性原理的下限: $\Delta x\Delta p=\hslash /2$ .

- 在简谐振子基态中, 在经典允许区域外找到粒子的概率是多少?

提示: 在经典力学中, 谐振子的能量为 $E=\frac{1}{2}k{a}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{a}^2$ , 其中 $a$ 是振幅. 因此, 对于能量为 $E$ 的振子, 其＂经典允许区域＂为$$x\in \left[-\sqrt{2E/m{\omega }^2},+\sqrt{2E/m{\omega }^2}\right]$$

习题 5. 一个粒子处于谐振子的基态, 其经典角频率为 $\omega$ . 此时, 弹簧弹性常数突然变为原来的四倍 (即 ${\omega }^{\prime }=2\omega$ ) , 但没有改变粒子原来的波函数. 问: 如果对新谐振子的能量进行测量, 其值为 $E_n^{\prime }=(n+1/2)\hslash {\omega }^{\prime }=(2n+1)\hslash \omega$ (新谐振子的能量本征值) 的概率是多少? 可以使用如下恒等式: $$1+\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{a^{n+1}}\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}=\sqrt{\frac{a}{a-1}}$$

习题 6. 量子相干态 •

(1) 证明: 简谐振子基态通过在动量空间中平移后得到的态 $|\psi ⟩=e^{\lambda \left(a_{+}+{\hat{a}}_{-}\right)}|0⟩$ 是降算符的本征态 (即所谓的相干态) , 满足 ${\hat{a}}_{-}|\psi ⟩=\lambda |\psi ⟩$

(2) 验证上式中的相干态用的简谐振子能量本征态 $|n⟩$ 展开具有如下形式: $$|\psi ⟩=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n|n⟩=e^{-{\lambda }^2/2}\sum _n\frac{{\lambda }^n}{\sqrt{n!}}|n⟩$$

(3) 如果将处于第 $n$ 个能级的简谐振子视作具有 $n$ 个＂粒子＂(如光子) , 粒子数对应的算符为: $\hat{n}=\widehat{a_{+}}{\hat{a}}_{-}$, 计算上述相干态的平均粒子数 $⟨\hat{n}⟩$ 和粒子数的不确定度 $\Delta n$ .

HW4

习题 1. 考虑一维 $\delta$ 势阱: $$V(x)=-\alpha \delta (x),\alpha >0$$(1) 推导波函数在 $x=0$ 处的边界条件;

(2) 求解束缚态的能量 $E<0$ 和波函数 $\psi (x)$ ;

(3) 对散射态 (能量 $E>0$ ) , 求透射率 $T$ 和反射率 $R$ .

(4) 将透射率或反射率在针对实波矢 $k$ 空间中解析延拓至复波矢平面, 说明对比复平面上的奇点与束缚态能量的关系.

习题 2. 考虑宽度 $L$ 、高度 $V_0$ 的一维方势垒. 现假定入射粒子能量正好等于势垒高度 $E=V_0$ , 计算反射和透射概率.

习题 3. 讲义中推导了宽度 $L$ 、高度 $V_0$ 的一维方势垒的反射系数$$r=\frac{B}{A}=\frac{\left(k^2+{\kappa }^2\right)\sinh (\kappa L)}{2ik\kappa \cosh (\kappa L)+\left(k^2-{\kappa }^2\right)\sinh (\kappa L)},$$(1) 假设势垒宽度 $L\to \infty$ 时, 证明反射概率 $R=|r{|}^2=1$ , 即全反射;

(2) 在 $L\to \infty$ 反射系数 $r=e^{i\varphi }$ , 给出 $\varphi$ 的表达式;

(3) 用相位 $\varphi$ 来说明当粒子在势垒边界发生反射时进入势垒内部的等效穿入深度.

习题 4. 一个双原子分子的合理模型 (忽略分子的振动自由度) 是一个转动惯量为 I 的刚性转子. 计算该系统的能量本征值和本征函数. 每个能级的简并度 (即具有相同本征能量的独立本征态的数目) 是多少?

习题 5. Schiwinger Boson Model of Angular Momentum－考虑两个独立的简谐振子: $${\hat{H}}_a=\hslash {\omega }_a\left({\hat{a}}_{+}{\hat{a}}_{-}+\frac{1}{2}\right),{\hat{H}}_b=\hslash {\omega }_b\left({\hat{b}}_{+}{\hat{b}}_{-}+\frac{1}{2}\right)$$

其中 ${\hat{a}}_{\pm },\hat{b}{}_{\pm }$ 分别为各自的升降算符, 满足对易关系: $\left[{\hat{a}}_{-},{\hat{a}}_{+}\right]=1,\widehat{[}{b}_{-},\hat{b}{}_{+}]=$ $1,\left[a_{\pm },{\hat{b}}_{\pm }\right]=0$ . 现定义以下算符: $${\hat{J}}_x=\frac{\hslash }{2}\left({\hat{a}}_{+}{\hat{b}}_{-}+{\hat{b}}_{+}{\hat{a}}_{-}\right),{\hat{J}}_y=\frac{\hslash }{2}\left({\hat{a}}_{+}{\hat{b}}_{-}-{\hat{b}}_{+}{\hat{a}}_{-}\right),{\hat{J}}_z=\frac{\hslash }{2}\left({\hat{a}}_{+}{\hat{a}}_{-}-{\hat{b}}_{+}{\hat{b}}_{-}\right)$$

证明 ${\hat{J}}_{x,y,z}$ 算符满足角动量算符的对易关系. $$\left[{\hat{J}}_i,{\hat{J}}_j\right]=\mathrm{i}\hslash {\epsilon }_{ijk}{\hat{J}}_k$$

HW5

习题 1. 模仿自旋- $\frac{1}{2}$ 的自旋算符矩阵表示, 计算自旋－1 粒子在其 $\left({\hat{S}}^2,{\hat{S}}_z\right)$ 的共同特征态 $|s,m⟩(s=1,m=-1,0,1)$ 形成的基底中的自旋算符 ${\hat{S}}_x,{\hat{S}}_y,{\hat{S}}_z$ 的表示矩阵.

习题 2. 任何具备自旋－$1/2$ 特征的两态体系都可以用来构建一个量子比特. 如将其两个自旋本征态分别编码为 $|\uparrow ⟩=|0⟩,|\downarrow ⟩=|1⟩$ , 那么一个任意的自旋态就是一个量子比特: $$|\chi ⟩=\alpha |\uparrow ⟩+\beta |\downarrow ⟩\to \alpha |0⟩+\beta |1⟩.$$

在磁场作用下, 自旋态会发生变化, 进而实现量子比特的某种特定操作. 其中两种常用的操作是量子非门和量子 $Z$ 门. 请问

－如何通过施加磁场 (强度和施加时长) , 实现量子非门, 即$$\alpha |0⟩+\beta |1⟩\to \alpha |1⟩+\beta |0⟩$$－如何实现量子 $Z$ 门, 即$$\alpha |0⟩+\beta |1⟩\to \alpha |0⟩-\beta |1⟩$$

习题 3. 考虑氢原子中的电子, 在包括电子自旋自由度情况下, 其总量子态由空间部分波函数 $|nlm⟩$ 和自旋波函数 $|s{m}_s⟩(s=1/2)$ 的直积构成. 现假设电子处于第一激发态, 且轨道角动量非零, 即 $n=1,l=1$ 的子空间. 该电子的角动量有两个来源, 轨道角动量为 $\hslash$ , 自旋角动量 $\hslash /2$ .

- 确定该子空间的维度.

- 用直积态 $|nlm⟩\otimes |s{m}_s⟩$ 写出该子空间所有线性独立的量子态.

- 定义总角动量算符 $\hat{\mathbf{J}}=\hat{\mathbf{L}}+\hat{\mathbf{S}}$ , 用 ${\hat{J}}^2,{\hat{J}}_z$ 的共同本征态写出该子空间的所有线性独立的量子态.

－上述两组线性独立量子态表示的是同一个子空间, 写出第二组态在第一组态下的线性表示.

提示: 对于角动量升降算符, 有 ${\hat{L}}_{\pm }|l,m⟩=$ $\hslash \sqrt{l(l+1)-m(m\pm 1)}|l,m\pm 1⟩$ , 对于自旋角动量类似.

习题 4. 将克莱因戈登方程波函数中由静止能量带来的相位剥离, 设 $\psi (\mathbf{r},t)=$ $\varphi (\mathbf{r},t)e^{-im{c}^{2}t/\hslash }$ , 证明关于 $\psi$ 的克莱因－戈尔登方程在非相对论极限下可以退化为关于 $\varphi$ 的薛定谔方程.

习题 5. 在自由空间中, 分别求解动量为零和动量为 $\mathbf{p}=p\hat{x}$ 的狄拉克粒子的平面波解, 记为 ${\psi }_{\pm }^0$ 和 ${\psi }_{\pm }^p$ . 这两个本征解可以看作同一粒子在自身静止参考系与一个以 $v=-p/m$ 沿 $\hat{x}$ 方向运动的参考系下的波函数表示.

- 写出 ${\psi }_{\pm }^0$ 和 ${\psi }_{\pm }^p$ 的显式表达式.

- 证明: 这两个波函数之间存在如下四维时空＂旋转＂关系$${\psi }_{\pm }^p\left(x^{\prime },t^{\prime }\right)=\exp \left(\frac{\theta }{2}{\gamma }^1{\gamma }^0\right){\psi }_{\pm }^0(x,t),\theta ={\cosh }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right)$$

其中 $\exp (\cdots )$ 可以视作在四维时空中 $x-t$ 面内旋转的洛伦兹 boost 算符. $\left(x^{\prime },t^{\prime }\right)$ 和 $(x,t)$ 为 $\cdots$ 个参照系的坐标, 满足互为洛伦兹变换: $$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{c{t}^{\prime }}{x^{\prime }}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cosh \theta & -\sinh \theta \\ -\sinh \theta & \cosh \theta \end{array}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{ct}{x}\right)$$

－对比静止参照系中的自旋向上本征态在运动参照系中的自旋指向, 并说明极端相对论 $(v\to c)$ 极限情形.

类比说明: 这一四维时空 boost 操作与三维空间自旋波函数在不同旋转坐标系之间的关系 (即三维空间的旋转算符 $e^{i\theta \mathbf{\sigma }\cdot \mathbf{J}})$ 形式上的相似性.

HW6

习题 1. 考虑电子双缝干涉实验的构型, 假设电子源处于原点. 双缝板和屏幕分别位于 $x=d,d+l$ 处, 双缝在 $y$ 方向的间距为 $2b$ , 忽略 $z$ 的维度. 已知自由空间中的传播子 (见讲义) , 计算从电子源到屏幕的传播子: $$K(d+l,y,t;0,0,0)$$

习题 2. 忽略自旋, 考虑三个粒子处于三个可能的正交状态 ${\varphi }_{a,b,c}(r)$ , 针对下面三中情形写出所有可能的独立的三粒子归一化波函数:

(1) 可分辨经典粒子; 玻色子; 费米子;

(2) 上述三种情形对应的希尔伯特空间维度各是多少?

习题 3. 简并压力 $\bullet$ 考虑两个无相互作用, 质量为 $m$ 的粒子位于宽度为 $a$ 的无限势阱中, 计算以下三种情形下的基态下对势阻壁的压力:

(1) 两个经典可分辨粒子;

(2) 两个全同玻色子;

(3) 两个全同费米子.

习题 4. 按照角动量叠加规则, 两个 (非全同) 可区分自旋－1 粒子的总角动量可以取 $j=$ $0,1,2$ . 现如果这两个粒子是全同粒子, 那么总角动量 $j$ 可能的取值是多少? 并说明理由.

HW7

习题 1.

习题 2.

习题 3.

习题 4.

224-25 春 数学部分

这份习题对应 2024-2025 学年第二学期量子力学 1 数学部分习题, 主要参考书为姚一隽老师翻译的《谱理论讲义》, 以及《Quantum Theory for Mathematicians》(GTM267).