用户: Solution/ 习题: 现代代数学I
1习题
22 年的习题, 序号是周数+题号.
4.1 | 考虑 的自同构: . 证明 和 在 中生成的子群同构于 , 并给出其固定域. |
4.2 | 令 为复数域两个变量的多项式环的分式域. 其自同构群 称为 Cremona 群. A) 对于任一 复可逆矩阵 , 映射构成了 的一个自同构, 并证明 . B) 举例说明上面的包含关系是严格的. |
5.1 | 设 为有限扩张, 证明 的阶整除 . |
5.2 | 计算如下多项式的判别式: . |
5.3 | 设 为 Galois 扩张且 . 则有多少中间域 使得 ? 有多少中间域 使得 ? |
5.4 | 设 为 Galois 扩张且 . 有多少中间域? 其中有多少为 的 Galois 扩张? |
5.5 | 设 为 次不可约多项式且其 Galois 群为 . 计算 在 上分裂域 可能的 Galois 群 . |
6.1 | 计算形如 的多项式的判别式和结式. |
6.2 | 计算 在 上的 Galois 群. |
6.3 | (较难) 考虑 在 上的 Galois 群 . 证明 当且仅当 (1) 不可约; (2) 判别式 是平方数; (3) 根式可解. |
7.1 | 考虑 为本原 次单位根. 计算如下元素在 上的次数: . |
7.2 | 令 为素数, 计算方程 在 上的 Galois 群. 此方程根式可解吗? |
7.3 | 列出 上五次不可约但根式可解的方程的 Galois 群的可能性. |
8.1 | 设 为有限 Galois 扩张, 令 为 个变量的多元多项式环的分式域. 证明 也为 Galois 扩张, 且其 Galois 群同构于 . (此题用于 Dedekind 关于 Galois 群计算的定理的证明中) |
8.2 | 计算如下多项式的 Galois 群: . |
8.3 | 给出一有限域扩张的例子 , 使得 . 进一步, 有 的例子吗? |
8.4 | 证明 的任一有限扩张 都只包含有限多个单位根. |
9.1 | 给定有限 Abel 群 , 证明存在无穷多个 的 Galois -扩张. |
9.2 | 证明存在无穷多个非零整数 使得 为 中平方数. |
9.3 | 令 为循环扩张, 令 为其 Galois 群. 设域的特征为 , 且 . 令 使得 . 证明存在 使得 . 证明 是不可约的. 设 为此方程的一个根, 证明 为 阶循环扩张, 且存在 使得 . |
10.1 | 令 为无平方因子的正整数. 对素数 , 令 为 的分裂域. 证明 . 对于无平方因子的正整数 , 令 为所有 生成的域. 证明当 为奇数时, . 当 为偶数时, 讨论 的值. |
12.1 | 令 为素数, 令 为有理数域加上所有 次单位根生成的子域. 证明 为 Galois 扩张且 . |
12.2 | 令 为素数, 令 为代数闭包. 描述 . |
13.1 | 令 为域, 证明 . 列出 的所有中间域 使得 为有限 Galois 扩张. |
13.2 | 找到 中与复共轭交换的元素. |
13.3 | 设 为有限生成的域扩张. 证明存在域嵌入 . |
对个答案.
5.1 | , 故 . |
5.2 | . |
5.3 | 个, 个. |
5.4 | 个, 个 (含 ) . |
5.5 | 或 . |
6.1 | . |
6.2 | . |
6.3 | 关键的引理: 的子群阶数不超过 . |
7.1 | . |
7.2 | , 不可解. |
7.3 | . |
8.2 | . |
8.4 | 不然 含 任意大的 , 则 . |
9.2 | 取 (), 有 . |
10.1 | . |
12.2 | . |
13.2 | 恒等与复共轭. |
2Miscellaneous
1. | 设域扩张 , , . 证明 在 上可分当且仅当 . |
证明. | 设 在 上可分, 只需证明 . 假设 , 则 , 于是 , 这表明要么 , 要么 在 上不可分, 矛盾. 设 在 上不可分, 则 形如 , 其中 在 中不可约, 于是有 , 那么 , 即 . |
2. | (1) 设 在 上可分, 在 上可分, 证明 在 上可分. |
证明. | (1) 只需考虑 的情况. 设 , 则 , 又设 , 由 得 , 故 (因 在 中不可约) . 但 在 上更在 上可分, 只能 , 由此得到 . 根据上一题, 在 上可分说明 , 从而 , 再根据上一题得到 在 上可分. (2) 对 , 存在 使得 . 由于 在 上可分, 且 在 上可分, 由 (1) 得 在 上可分. 重复这一过程, 得到 在 上可分. |
3. | 证明或否定: (1) 若 均为可分扩张, 则 为可分扩张. |
证明. | (1) 对 , 设 , 实际上在包含了其系数的扩域 上已经可分, 又 在 上可分, 由上一题得 在 上可分. 重复这一过程, 得到 在 上可分. (2) 显然正确. |
4. | 证明或否定: (1) 若 均为正规扩张, 则 为正规扩张. |
证明. | (1) 未必正规. 例如 均正规, 但 不正规. (2) 未必正规. 例如 正规, 而 不正规, 是 次本原单位根. 一定正规, 这是因为设 是 中一些多项式 在 上的分裂域, 则 也是 在 上的分裂域. |
5. | 设 不全是完全平方数, 证明 是无理数. |
证明. | 对于域扩张 , 任取其 Galois 群一元素 , 把一部分 变成了 , 所以 , 故 . 这个问题有初等的解法. 设 , 注意到 . 假设 , 则 (), 但 而 , 矛盾. |