附录 C: Stone–Weierstrass 定理 附录 D: 弱拓扑中的一些定理 设 X 是 Banach 空间, γ ≥ 0 , f 1 , ⋯ , f n 是 X 上的 n 个有界线性泛函, α 1 , ⋯ , α n 是 n 个给定的数. 那么对于任意的 ε > 0 , 存在 x ε ∈ X 使得: f i ( x ε ) = α i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) , 以及 ∥ x ε ∥ ≤ γ + ε 的充要条件是不等式∣ ∣ i = 1 ∑ n β i α i ∣ ∣ ≤ γ ∥ ∥ i = 1 ∑ n β i f i ∥ ∥ 对于任意的 n 个数 β 1 , ⋯ , β n 都成立.
证明. 设前一条件成立, 那么对于任意的 ε > 0 , ∣ ∣ i = 1 ∑ n β i α i ∣ ∣ = ∣ ∣ ( i = 1 ∑ n β i f i ) ( x ε ) ∣ ∣ ≤ ( γ + ε ) ∥ ∥ i = 1 ∑ n β i f i ∥ ∥ , 令 ε → 0 + 即得.
先假定 f 1 , ⋯ , f n 线性无关. 设前一条件不成立, 即存在 ε > 0 使得 α 不属于 f ( B γ + ε ) , 其中 α = ( α 1 , ⋯ , α n ) ∈ R n , f = ( f 1 , ⋯ , f n ) : X → R n . 那么存在一个超平面分离 α 与 f ( B γ + ε ) , 换言之存在非零的 ( β 1 , ⋯ , β n ) ∈ R n 使∣ ∣ i = 1 ∑ n β i f i ( x ) ∣ ∣ ≤ ∣ ∣ i = 1 ∑ n β i α i ∣ ∣ 对所有 ∥ x ∥ ≤ γ + ε 成立, 故有( γ + ε ) ∥ ∥ i = 1 ∑ n β i f i ∥ ∥ ≤ ∣ ∣ i = 1 ∑ n β i α i ∣ ∣ . 由于 ∥ ∥ i = 1 ∑ n β i f i ∥ ∥ > 0 , 后一条件不成立.
对一般的情况, 取
f 1 , ⋯ , f n 的一个极大的线性无关子集即可.
若赋范线性空间 X 的单位球 B 1 ( X ) 是弱紧的, 证明: 自然映射 J : X → X ∗∗ 是满射, 即 X 是自反的.
附录 E: 局部凸空间 附录 F: Lomonosov 不变子空间定理 As regards the invariant subspace problem …, explain why the problem is (a) trivial in C n , (b) different in R n , (c) uninteresting if X is not separable.
—— [Rudin ] p.274
设 X 是不可分 Banach 空间, T ∈ B ( X ) . 证明: 存在 X 的一个非平凡闭子空间 M 使得 TM ⊆ M .
证明. 设
x 是
X 的任何非零元素, 令
M 为
{ x , T x , T 2 x , ⋯ } 生成的子空间的闭包.
注. 事实上
T 不存在非平凡闭不变子空间当且仅当对所有的
x ,
{ x , T x , T 2 x , ⋯ } 生成的子空间稠密.
叙述 X = C n 时的定理 F.1, 并给出直接的证明.
定理 F.1 ′ 设
T 是
C n 上的非零算子. 那么, 存在
C n 的一个非平凡子空间
M , 对于每个与
T 交换的算子
S 都有:
S ( M ) ⊂ M .
证明. 取
T 的一个特征子空间
ker ( T − λ I ) 为
M 即可, 对
x ∈ M ,
( T − λ I ) S x = S ( T − λ I ) x = 0 , 即
S x ∈ M .
设 R ({ x 1 , x 2 , ⋯ }) = { 0 , x 1 , x 2 , ⋯ } 是 l 2 上的右位移算子, T ∈ K ( l 2 ) . 若 TR = RT , 证明: T = 0 .
证明. 根据 [Halmos ] 问题 148 (pp.79, 271) , T 是一列 R 的多项式 T m 的强算子极限.
用对角线法构造收敛序列, 记
e n = ( n 个 0 , ⋯ , 0 , 1 , 0 , ⋯ ) ,
{ e n } 是
l 2 的有界序列, 设
{ T e n } 的子列
{ T e n k } 收敛于
f , 接着取大的
m k 使得
∥ T m k e n k − T e n k ∥ ≤ k 1 , T m k e n k 亦收敛于
f . 由于
T m k e n k 的前
n k 位都是
0 ,
f = 0 . 那么对任意的
n ,
∥ T e n ∥ = k → ∞ lim ∥ T e n k ∥ = ∥ f ∥ = 0 , 从而
T = 0 .
参考文献 [Halmos]
P. R. Halmos. A Hilbert Space Problem Book . Graduate Texts in Mathematics 19 . Springer, 1982.
[Rudin]
W. Rudin. Functional Analysis . International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc, 1991.