用户: Solution/ 习题: 泛函分析 第四章

4谱理论初步

4.1 预解集与谱集

习题 21. 设 $T$ 是复 Banach 空间上的有界线性算子, 区域 $\Omega$ 包含了闭圆 $\{z\in \mathbb{C}:|z|\le r(T)\}$, $f$ 在 $\Omega$ 上解析.

(i) 取某个严格大于 $r(T)$ 的正数 $R$, 使得 $\{z\in \mathbb{C}:|z|\le R\}$ 包含在 $\Omega$ 中. 证明: $$f(T)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z|=R}f(z)(z-T{)}^{-1}dz.$$

(ii) 设 $\Gamma$ 是 $\Omega$ 中一条光滑正定向简单闭曲线, $\Gamma$ 内部包含 $\sigma (T)$. 证明: $$f(T)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\Gamma }f(z)(z-T{)}^{-1}dz.$$

证明. 这是 Dunford 积分, 参考 [Yosida] VIII.7.

$\square$

4.2 紧算子

4.3 紧算子的谱

习题 2. 设 $T$ 是 Banach 空间上的紧算子, $\lambda$ 是非零复数. 记 $S=\lambda I-T$, $N(S)=\ker S$. 那么

(i)	$$N(S)\subset N(S^2)\subset \cdots \subset N(S^n)\subset N(S^{n+1})\subset \cdots$$并且存在 $K$, 使得: $N(S^K)=N(S^{K+1})=N(S^{K+2})=\cdots$. 记 $m$ 为最小的非负整数, 使得: $N(S^m)=N(S^{m+1})$, 如果 $N(S)=0$, 则 $m=0$.
(ii)	$$\mathfrak{R}(S)\supset \mathfrak{R}(S^2)\supset \cdots \supset \mathfrak{R}(S^n)\supset \mathfrak{R}(S^{n+1})\supset \cdots$$并且存在 $L$, 使得: $\mathfrak{R}(S^L)=\mathfrak{R}(S^{L+1})=\mathfrak{R}(S^{L+2})=\cdots$. 记 $r$ 为最小的非负整数, 使得: $\mathfrak{R}(S^r)=\mathfrak{R}(S^{r+1})$, 如果 $\mathfrak{R}(S)=X$, 则 $r=0$.

证明.

(i)

假设有无限个 $n$ 使 $N(S^{n-1})⊊N(S^n)$, 由 F.Riesz 定理, 取 $x_n\in N(S^n),\Vert x_n\Vert =1$, 且 $\rho (x_n,N(S^{n-1}))\ge \frac{1}{2}$. 对 $p>q$, $$T{x}_p-T{x}_q=\lambda x_p-S{x}_p-\lambda x_q+S{x}_q,$$从 $\lambda x_q\in N(S^q),S{x}_p\in N(S^{p-1}),S{x}_q\in N(S^{q-1})$, 得 $\Vert T{x}_p-T{x}_q\Vert \ge \rho (\lambda x_p,N(S^{p-1}))\ge \frac{|\lambda |}{2}$, 同 $\{T{x}_n\}$ 是列紧的矛盾. 如果 $N(S)=0$, 则 $S$ 可逆, $S^n$ 都可逆, $m=0$.

(ii)

假设有无限个 $n$ 使 $\mathfrak{R}(S^n)⊋\mathfrak{R}(S^{n+1})$, 由 F.Riesz 定理, 取 $x_n\in \mathfrak{R}(S^n),\Vert x_n\Vert =1$, 且 $\rho (x_n,\mathfrak{R}(S^{n+1}))\ge \frac{1}{2}$. 对 $p>q$, $$T{x}_p-T{x}_q=\lambda x_p-S{x}_p-\lambda x_q+S{x}_q,$$从 $\lambda x_p\in \mathfrak{R}(S^p),S{x}_p\in \mathfrak{R}(S^{p+1}),S{x}_q\in \mathfrak{R}(S^{q+1})$, 得 $\Vert T{x}_p-T{x}_q\Vert \ge \rho (\lambda x_q,\mathfrak{R}(S^{q+1}))\ge \frac{|\lambda |}{2}$, 同 $\{T{x}_n\}$ 是列紧的矛盾. 如果 $\mathfrak{R}(S)=X$, 则 $S$ 可逆, $S^n$ 都可逆, $r=0$. $\square$

习题 3. $X,T,S,r$ 如前面一题, 记 $X_1=\mathfrak{R}(S^r),X_2=N(S^r)$, 证明:

(iii)	算子 $S$ 将 $X_1$ 一对一到上地映射到自身;
(iv)	$X_2$ 是有限维的, $S$ 将 $X_2$ 映射到 $X_2$;
(v)	$X$ 中的每个向量都可以唯一地表示成: $$x=x_1+x_2,\text{其中 }{x}_1\in X_1,x_2\in X_2,$$并且存在常数 $M>0$, 使得: $\Vert x_1\Vert \le M\Vert x\Vert ,\Vert x_2\Vert \le M\Vert x\Vert$, 即 $X=X_1\oplus X_2$.
(vi)	算子 $T$ 可以表示成: $$T=T_1+T_2,$$其中 $T_1$ 是从 $X$ 到 $X_1$ 的紧算子, $T_2$ 是从 $X$ 到 $X_2$ 的紧算子, $T_1{T}_2=0$. 将算子 $S_1=\lambda I-T_1$ 看成从 $X_1$ 到 $X_1$ 的算子是可逆的.

证明.

(iii)	$\mathfrak{R}(S^r)=\mathfrak{R}(S^{r+1})$ 即 $X_1=S{X}_1$, 也就是 $S$ 在 $X_1$ 上是满的, 由引理 4.3.3, $S$ 在 $X_1$ 上可逆.
(iv)	对 $x\in X_1$, $S^{r}x=0$ 即 $x=(I-(S/\lambda {)}^r)x$, 这样 $X_1$ 的单位球 $B_{X_1}$ 包含于 $(I-(S/\lambda {)}^r)B_X$. $I-(S/\lambda {)}^r$ 是 $T$ 的多项式从而是紧算子, 故 $(I-(S/\lambda {)}^r)B_X$ 是紧集, $B_{X_1}$ 也是, 所以 $X_1$ 是有限维的. $S{X}_2\subset N(S^{r-1})\subset N(S^r)=X_2$.
(v)	设 $x\in X_1\cap X_2$, $x=S^{r}y$ 且 $S^{r}x=0$, 则 $y\in N(S^{2r})=N(S^r)$, $x=0$. 对 $x\in X$, 由 $S^{r}x\in \mathfrak{R}(S^r)=\mathfrak{R}(S^{2r})$, 设 $S^{r}x=S^{2r}y$, 分解$$x=S^{r}y+(x-S^{r}y):=x_1+x_2\in X_1\oplus X_2.$$$N(S^r)=N(S^{2r}),\mathfrak{R}(S^r)=\mathfrak{R}(S^{2r})$ 是说 $S^r$ 在 $\mathfrak{R}(S^r)$ 上可逆, 那么 $(S^r{|}_{\mathfrak{R}(S^r)}{)}^{-1}{S}^{r}x=S^{r}y=x_1$, $\Vert x_1\Vert \le \Vert (S^r{|}_{\mathfrak{R}(S^r)}{)}^{-1}{S}^r\Vert \Vert x\Vert$.
(vi)	记 $X$ 到 $X_1$ 的投影为 $P_1$, $X$ 到 $X_2$ 的投影为 $P_2$, $T_1=T{P}_1$, $T_2=T{P}_2$. 由于 $\mathfrak{R}(S{P}_1)\subset \mathfrak{R}(S^{r+1})\subset \mathfrak{R}(S^r)=X_2$, 有 $\mathfrak{R}(T_1)=\mathfrak{R}((\lambda I-S)P_1)\subset \mathfrak{R}(P_1)+\mathfrak{R}(S{P}_1)=X_1$. 由于 $\mathfrak{R}(S{P}_2)\subset N(S^{r-1})\subset N(S^r)=X_2$, $\mathfrak{R}(T_2)=\mathfrak{R}((\lambda I-S)P_2)\subset \mathfrak{R}(P_2)+\mathfrak{R}(S{P}_2)=X_2$, 则 $T_1{T}_2=0$. 在 $X_1$ 上 $T_1=T,S_1=S$, $N(S^r)=N(S^{r+1}),\mathfrak{R}(S^r)=\mathfrak{R}(S^{r+1})$ 是说 $S$ 在 $X_1=\mathfrak{R}(S^r)$ 上可逆. $\square$

习题 4. $X,T,S,r,m$ 如前面, 证明: $r=m$.

证明. $S^n={\lambda }^{n}I-$ 紧算子, 这样 $\dim X/\mathfrak{R}(S^n)=\dim N(S^n)<\infty$, 所以 $\mathfrak{R}(S^n)=\mathfrak{R}(S^{n+1})$ 当且仅当 $N(S^n)=N(S^{n+1})$, 得 $r=m$.

$\square$

4.4 自伴紧算子

4.5 Fredholm 算子与指标

4.6 正规算子的谱分解

习题 6. 对于 Hilbert 空间上正规算子 $N$, 令 $E$ 为 $\sigma (N)$ 上谱测度使得$$\varphi (N)={\int }_{\sigma (N)}\varphi dE,\forall \varphi \in C(\sigma (N)).$$证明: $\lambda \in {\sigma }_p(N)$ 当且仅当 $E(\{\lambda \})\ne 0$.

证明. 直接证明更强的结论:$\ker (\varphi (T))=\mathfrak{R}(E({\varphi }^{-1}(0)),\forall \varphi \in C(\sigma (N))$. (令 $\varphi (x)=x-\lambda$, 即得 $\ker (T-\lambda I)=\mathfrak{R}(E(\{\lambda \}))$.)

注意到 $\varphi (T){\chi }_{{\varphi }^{-1}(0)}(T)=(\varphi {\chi }_{{\varphi }^{-1}(0)})(T)=0$, 且 ${\chi }_{{\varphi }^{-1}(0)}(T)={\int }_{{\varphi }^{-1}(0)}dE=E({\varphi }^{-1}(0))$, 于是 $\mathfrak{R}(E({\varphi }^{-1}(0)))\subset \ker (\varphi (T))$.

反过来, 对一切正整数 $n$, 记 $S_n={\varphi }^{-1}\left(\right[\frac{1}{n},\frac{1}{n-1}\left)\right)$, 有 $|{\chi }_{S_n}/\varphi |\le n$ 是有界可测函数, 且$$({\chi }_{S_n}/\varphi )(T)\varphi (T)=({\chi }_{S_n})(T)=E(S_n).$$那么对 $x\in \ker (\varphi (T))$, $E(S_n)x=0$, 则$$E({\varphi }^{-1}(0))x=(I-\sum _{n=1}^{\infty }E(S_n))x=x,$$得 $x\in \mathfrak{R}(E({\varphi }^{-1}(0)))$.

$\square$

习题 7. 对于 Hilbert 空间上正规算子 $N$, 证明 $N$ 是自伴算子当且仅当 $\sigma (N)\subseteq \mathbb{R}$.

证明. 当 $\sigma (N)\subseteq \mathbb{R}$, $N^{\ast }=\bar{x}(T)=x(T)=N$.

若 $N$ 是自伴算子, 考虑 $N$ 生成的含幺 $C^{\ast }$–代数 $\mathcal{A}$, 由教材引理 G.24 知 $\sigma (N)={\sigma }_{\mathcal{A}}(N)$. 再用教材定理 G.21, ${\sigma }_{\mathcal{A}}(N)\subseteq \mathbb{R}$.

$\square$

习题 8. 对于 Hilbert 空间上正规算子 $N$, $f\in C(\sigma (N))$. 证明: $$\sigma (f(N))=f(\sigma (N)).$$

证明. 设 $\mathcal{A}$ 是由 $N$ 生成的含幺交换 $C^{\ast }$–代数, 由定理 G.23 及引理 G.24, 映射 $C(\sigma (N))\to \mathcal{A},f\mapsto f(N)$ 是 $\ast$-等距同构, 所以 $f-\lambda$ 不可逆等价于 $f(N)-\lambda$ 不可逆, 即 $\lambda \in f(\sigma (N))$ 等价于 $\lambda \in \sigma (f(N))$.

$\square$

注. 注意到, 已出现了 $f(N)$ 的两个定义, 其一是习题 6 用谱积分的定义, 其二是附录 G 用 Gelfand 逆映射的定义. 事实上两者是一致的: 对于多项式 $p(z)={\sum }_{n,m=0}^k{a}_{n,m}{z}^n{\bar{z}}^m$, 按两个定义均有 $p(N)={\sum }_{n,m=0}^k{a}_{n,m}{N}^n{N}^{\ast m}$, 并且多项式全体在 $C(\sigma (N))$ 中稠密.

习题 9. 设 $T$ 是 Hilbert 空间 $H$ 上有界线性算子.
(1) 若 $T$ 是正算子, 证明存在自伴算子 $F\in B(H)$ 使得 $F^2=T$.
(2) 证明: $T$ 是正算子当且仅当 $⟨Tx,x⟩\ge 0,\forall x\in H$.

证明. (1) 取 $F=\sqrt{T}$, 对 $z\in \sigma (T)\subset \mathbb{R}$, $\overline{\sqrt{z}}=\sqrt{z}$, 则 $F^{\ast }=\overline{\sqrt{T}}=F$.

(2) 设 $T$ 是正算子, 由于 $E_{x,x}(S)=⟨E(S)x,x⟩\ge 0$ 是正测度, 得 $⟨Tx,x⟩={\int }_{[0,\infty )}zd{E}_{x,x}\ge 0$.

设 $⟨Tx,x⟩\ge 0$. 容易看出 $T$ 自伴, 从而 $\sigma (T)\subseteq \mathbb{R}$. 有函数演算 $T={\int }_{\sigma (T)}zdE$. 此时 $z^{+}=\max (z,0)$ 与 $z^{-}=|z|-z^{+}$ 都是 $\sigma (T)$ 上的连续函数, 从而有函数演算 $T_1={\int }_{\sigma (T)}{z}^{+}dE$ 以及 $T_2={\int }_{\sigma (T)}{z}^{-}dE$. $T_1,T_2$ 也是自伴的, 并且由习题 5, $\sigma (T_1),\sigma (T_2)\subseteq [0,+\infty )$. 由于 $z^{+}{z}^{-}=0$, $T_1{T}_2=T_2{T}_1=0$. 由于 $z=z^{+}-z^{-}$, $T=T_1-T_2$.

计算有$$0\le ⟨T{T}_{2}x,T_{2}x⟩=-⟨T_2^{2}x,T_{2}x⟩\le 0$$因此 $⟨T_2^{3}x,x⟩=0$ 恒成立, 由极化恒等式得 $⟨T_2^{3}x,y⟩=0$ 对 $x,y\in H$ 恒成立, 即 $T_2^3=0$. 因而 $\Vert T_2\Vert =\underset{n\to +\infty }{\lim }\Vert T_2^n{\Vert }^{\frac{1}{n}}=0$, $T=T_1$ 是正算子.

$\square$

习题 10. 设 $T$ 是 Hilbert 空间上的有界线性算子. 证明: $T$ 是紧算子当且仅当 $T$ 的值域不含一个闭的无穷维线性子空间.

证明. [Douglas] Lemma 5.8, Corollary 5.10.

$\square$

习题 12. 设 $T_1,T_2$ 是 Hilbert 空间 $H$ 上的两个 Fredholm 算子. 证明: $\mathrm{ind}{T}_1=\mathrm{ind}{T}_2$ 当且仅当存在连续的 Fredholm 路径 $F:[0,1]\to H$ 上的 Fredholm 算子使得 $F(0)=T_1,F(1)=T_2$.

证明. 前推后如下, 后推前是推论 4.5.11.

先用谱积分连接 $\mathrm{ind}T=0$ 的算子 $T$ 和 $I$. 由于 $\dim \ker T=\dim X/\mathfrak{R}(T)$, 取有限秩算子 $F$ 使得 $\tilde{T}=T+F$ 可逆, $T+tF$ 连接 $T$ 和 $\tilde{T}$; $\tilde{T}$ 和 $I$ 用 ${\tilde{T}}^t={\int }_{\sigma (\tilde{T})}{z}^{t}dE$ 连接, 这里对 $z=r{e}^{i\theta },r>0,\theta \in [0,2\pi )$, $z^t$ 是指 $r^t{e}^{it\theta }$, $\tilde{T}$ 可逆即 $0\notin \sigma (\tilde{T})$, $r$ 有正下界, 从而 ${\tilde{T}}^t$ 对 $t$ 连续.

回到原题. 对于算子 $T_1,T_2$ 使 $\mathrm{ind}{T}_1=\mathrm{ind}{T}_2$, 设 $S\in \mathfrak{B}(H)$ 使 $I-S{T}_2=F$, 则 $\mathrm{ind}{T}_{1}S=\mathrm{ind}S{T}_2=0$, 有路径 $E(t)$ 连接 $T_{1}S$ 和 $I$, 那么路径 $F(t)=E(t)T_2+(1-t)T_{1}F$ 连接 $T_{1}S{T}_2+T_{1}F=T_1$ 和 $T_2$.

$\square$

参考文献

[Douglas]	R. G. Douglas. Banach Algebra Techniques in Operator Theory. Graduate Texts in Mathematics 179. Springer, 1998.
[Yosida]	K. Yosida. Functional Analysis. Classics in Mathematics. Springer, 1980.