用户: Solution/ 习题: 泛函分析 第二章

2线性泛函和 Hahn–Banach 定理

2.1 赋范线性空间上的线性算子

习题 1. 设 $T$ 是赋范线性空间 $X$ 到赋范线性空间 $Y$ 的线性算子. 如果零空间 $\mathcal{N}(T)=\{x:Tx=0\}$ 是闭集, 问 $T$ 是否有界?

反例. $l^1$ 上取范数 $\Vert x\Vert =\underset{n}{\sup }|x_n|$, 以及不连续的线性泛函 $f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n$. 取 $a=(1,-1,0,0,\cdots )\in l^1$, 则 $\Vert a\Vert =1,f(a)=0$. 令算子 $T:l^1\to l^1$ 为$$Tx=x-f(x)a.$$设 $Tx=0$, 有 $x=f(x)a$, 那么 $f(x)=f(x)f(a)=0$, 从而 $x=0$, 换言之 $\mathcal{N}(T)=\{0\}$, 是闭集.

$f$ 是无界泛函, 因而 $f(-)a$ 是无界算子, $T$ 同样无界.

$\square$

2.2 有界线性泛函

习题 3. 对线性空间 $L$ 上的线性泛函 $f,f_1,f_2,\cdots ,f_n$, 假设由 $f_1(x)=0,\cdots ,f_n(x)=0$ 可推得 $f(x)=0$. 证明: 存在常数 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$, 使得 $f=\sum _{k=1}^n{\alpha }_k{f}_k$.

证明. 设 $L$ 是 $\mathbb{K}$ 上的线性空间, 条件说明 $f:L\to \mathbb{K}$ 可以分解为 $(f_1,\cdots ,f_n):L\to {\mathbb{K}}^n$ 与 $\alpha :{\mathbb{K}}^n\to \mathbb{K}$, $\alpha$ 是有限维空间上的线性泛函, 能写出表达式 $\alpha (x)=\sum _{k=1}^n{\alpha }_k{x}_k$, 代入 $f=\alpha \circ (f_1,\cdots ,f_n)$.

$\square$

习题 6. 由 1.3 节习题 6, 开单位圆盘 $\mathbb{D}$ 上的 Bergman 空间 $L_a^2(\mathbb{D})$ 定义为$$L_a^2(\mathbb{D})=\{f:f\text{ 在 }\mathbb{D}\text{ 中解析},\text{并且 }\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{D}}|f(z){|}^{2}dA(z)<\infty \}.$$

(i)	对任意 $z\in \mathbb{D}$, 证明: $f\mapsto f(z)$ 是一个有界线性泛函.
(ii)	任取 $L_a^2(\mathbb{D})$ 中的完备规范正交系 $e_n(z)(n=1,2,\cdots )$, 证明当 $|z|<1,|w|<1$ 时, $$\sum _{n=1}^{\infty }{e}_n(z)\overline{e_n(w)}=\frac{1}{(1-z\bar{w}{)}^2}.$$函数 $K(z,w)=\frac{1}{(1-z\bar{w}{)}^2}$ 称为 Bergman 空间的再生核函数.
(iii)	证明: 对任意两两不同的 $z_1,\cdots ,z_n\in \mathbb{D}$ 和不全为 $0$ 的复数 ${\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n$, 成立$$\sum _{i,j=1}^n{\alpha }_i\overline{{\alpha }_j}K(z_i,z_j)>0.$$

证明.

(i)	记 $d=d(z,\partial \mathbb{D})=1-|z|$. $f(z)$ 解析因而调和, 根据平均值性质, $$|f(z)|=|\frac{1}{\pi d^2}{\int }_{D(z,d)}f(\zeta )dA(\zeta )|\le (\frac{1}{\pi d^2}{\int }_{D(z,d)}|f(\zeta ){|}^{2}dA(\zeta ){)}^{\frac{1}{2}}\le \frac{1}{d}\Vert f{\Vert }_{L_a^2}.$$
(ii)	注意到$$f(z)=⟨\sum _{n=1}^{\infty }{e}_n(z)\overline{e_n(w)},f(w)⟩,$$故 $\sum _{n=1}^{\infty }{e}_n(z)\overline{e_n(w)}$ 的值与 $\{e_n\}$ 的选取无关 (对固定的 $z$, 用 Riesz 表示定理) . 于是取 $e_n(z)=\sqrt{n+1}{z}^n$, 有$$K(z,w)=\sum _{n=1}^{\infty }(n+1)(z\bar{w}{)}^n=\sum _{n=1}^{\infty }((z\bar{w}{)}^{n+1}{)}^{\prime }=(\frac{z\bar{w}}{1-z\bar{w}}{)}^{\prime }=\frac{1}{(1-z\bar{w}{)}^2}.$$
(iii)	$$\begin{array}{rl}\sum _{i,j=1}^n{\alpha }_i\overline{{\alpha }_j}K(z_i,z_j)& =\sum _{i,j=1}^n\sum _{m=1}^{\infty }{\alpha }_i\overline{{\alpha }_j}{e}_m(z_i)\overline{e_m(z_j)}\\ & =\sum _{m=1}^{\infty }|\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{e}_m(z_i){|}^2\ge 0,\end{array}$$假如等号成立, $H$ 上的线性泛函 $f\mapsto \sum _{i=1}^n{\alpha }_{i}f(z_i)$ 对于 $\{e_m\}$ 为 $0$ 故在整个 $H$ 为 $0$, 令 $f$ 是适合的 Lagrange 插值多项式即得矛盾. $\square$

习题 13 (Lax–Milgram 定理). 设 $\varphi (x,y)$ 是 Hilbert 空间 $H$ 上的一个共轭双线性泛函, 且满足

(1) 连续性: 存在 $M>0$ 使得 $|\varphi (x,y)|\le M\Vert x\Vert \Vert y\Vert$, $\forall x,y\in H$;
(2) 强制性: 存在 $c>0$ 使得 $|\varphi (x,x)|\ge c\Vert x{\Vert }^2$.

则对任意 $f\in H^{\ast }$, 存在唯一的 $y_f\in H$, 使得 $\varphi (x,y_f)=f(x)$.

证明. 点击左上角的链接.

$\square$

2.3 Hahn–Banach 定理

习题 11. 对于任意的 $\alpha =({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots )\in l^1$, 证明$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{x}_n{\alpha }_n,\forall x=(x_1,x_2,\cdots )\in l^{\infty }$$给出了 $l^{\infty }$ 上的一个连续线性泛函. 举例说明 $l^{\infty }$ 上存在连续线性泛函不能表示成上述形式.

证明. $|f(x)|\le \sum _{n=1}^{\infty }\Vert x{\Vert }_{\infty }|{\alpha }_n|=\Vert \alpha {\Vert }_1\Vert x{\Vert }_{\infty }$, 故 $f\in (l^{\infty }{)}^{\ast }$.

极限存在的数列全体的空间 $c$ 是 $l^{\infty }$ 的闭子空间, 取极限 $\lim$ 是 $c$ 上的非零线性泛函. 由 Hahn–Banach 定理, $\lim$ 可延拓为整个 $l^{\infty }$ 上的非零线性泛函. 而假设其为上述形式, 取 $e_n=(0,\cdots ,0,1,0,\cdots )\in c$, 得 ${\alpha }_n=f(e_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }{e}_n=0$ 对所有的 $n$, 则 $\alpha =0$, 矛盾.

$\square$

2.4 几何形式–凸集分离定理

2.5 对偶空间

习题 9. 设 $X$ 是 Banach 空间, 证明: $X$ 是自反的的充要条件是 $X^{\ast }$ 是自反的.

证明. (翻译自 [Conway] Theorem 4.2, P132, 有改动)

引理: 设 $X$ 是赋范空间, $B_X$ 在 $B_{X^{\ast \ast }}$ 中在弱 ${}^{\ast }$ 拓扑下稠密.

假设有 $x_0^{\ast \ast }\in B_{X^{\ast \ast }}$ 不在 $B_X$ 在弱 ${}^{\ast }$ 拓扑下的闭包里面, 由凸集分离定理, 存在 $f\in X^{\ast }$ 使得 $\underset{x\in B_X}{\sup }f(x)<x_0^{\ast \ast }(f)$; 不过 $\underset{x\in B_X}{\sup }f(x)=\Vert f\Vert \ge x_0^{\ast \ast }(f)$.

$\square$

设 $X$ 是 Banach 空间, 下列命题是等价的:
(a) $X$ 是自反的.
(b) $X^{\ast }$ 是自反的.
(c) $X^{\ast }$ 上弱拓扑与弱 ${}^{\ast }$ 拓扑相同.
(d) $B_X$ 是弱紧的.

(a)$\Rightarrow$(c) 显然.

(d)$\Rightarrow$(a) 注意 $X^{\ast \ast }$ 上的弱 ${}^{\ast }$ 拓扑限制在 $X$ 上就是 $X$ 的弱拓扑 (附原文: $\sigma (X^{\ast \ast },X^{\ast })|X=\sigma (X,X^{\ast })$) . 那么由 (d), $B_X$ 在 $B_{X^{\ast \ast }}$ 中是弱 ${}^{\ast }$ 闭的. 结合引理, 得 $B_X=B_{X^{\ast \ast }}$.

(c)$\Rightarrow$(b) 由 Alaoglu 定理, $B_{X^{\ast }}$ 是弱 ${}^{\ast }$ 紧的. 那么由 (c), $B_{X^{\ast }}$ 是弱紧的. (d)$\Rightarrow$(a) 表明 $X^{\ast }$ 是自反的.

(b)$\Rightarrow$(a) $B_X$ 在 $X^{\ast \ast }$ 中是范数闭的则更加是弱闭的. 那么由 (b), 这就是说 $B_X$ 在 $X^{\ast \ast }$ 中是弱 ${}^{\ast }$ 闭的. 结合引理, 得 $B_X=B_{X^{\ast \ast }}$.

(a)$\Rightarrow$(d) 由 Alaoglu 定理, $B_{X^{\ast \ast }}$ 是弱 ${}^{\ast }$ 紧的. 那么由 (a), $B_X$ 是弱紧的.

$\square$

习题 11. 设 $X$ 是自反空间, $M$ 是 $X$ 的闭子空间. 证明: 商空间 $X/M$ 也是自反的.

证明. 由习题 9, 结论等价于 $(X/M{)}^{\ast }$ 自反, 相当于同构的 $M^{\perp }$ 自反. $M^{\perp }$ 是 $X$ 的闭子空间, 因而自反.

$\square$

习题 13. 设 $f_n$ 是 $L^1[0,1]$ 中的一致有界点列, 证明: $f_n$ 弱收敛于一个可积函数 $f$ 当且仅当, 对任意 $[0,1]$ 中勒贝格可测集 $E$ 成立$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_{n}dm={\int }_{E}fdm.$$

证明. 即证明$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_E{f}_{n}gdm={\int }_{E}fgdm,\forall g\in L^{\infty }[0,1]$$当且仅当此式对简单函数 $g$ 成立. 注意$$\sum _{\begin{array}{c}k\in \mathbb{Z},\\ |k/n|\le \Vert g{\Vert }_{\infty }\end{array}}\frac{k}{n}{\chi }_{g^{-1}\left[\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}\right)}$$一致有界且点点收敛于 $g$, 用控制收敛定理.

$\square$

习题 17. 若赋范线性空间 $X$ 上的有界线性泛函序列 $f_n$ 弱 ${}^{\ast }$ 收敛到 $f$, 证明: $\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}\Vert f_n\Vert \ge \Vert f\Vert$.

证明. 对任意 $\epsilon >0$, 存在 $x\in X,\Vert x\Vert =1$ 使 $f(x)>\Vert f\Vert -\epsilon$, 于是 $\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}\Vert f_n\Vert \ge \underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=f(x)>\Vert f\Vert -\epsilon$.

$\square$

习题 18. 对 Hilbert 空间 $X$ 中点列 $\{x_n\}$, 证明: $x_n$ 按范数收敛于 $x$ 当且仅当 $x_n$ 弱收敛于 $x$ 且 $\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x_n\Vert =\Vert x\Vert$.

证明. 一个方向显然, 另一方向是因为 $\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x_n-x{\Vert }^2=\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x_n{\Vert }^2+\Vert x{\Vert }^2-2\underset{n\to \infty }{\lim }⟨x_n,x⟩=0$.

$\square$

习题 19. 设 $X$ 是自反 Banach 空间, $M$ 是 $X$ 的闭凸子集. 证明: 存在 $x_0\in M$ 使得$$\Vert x_0\Vert =\inf \{\Vert x\Vert :x\in M\}.$$

证明 1. 这需要注意到两点: (i) $x\mapsto \Vert x\Vert$ 是弱下半连续的, 即对 $\alpha >0$, $\{\Vert x\Vert >\alpha \}$ 是 $X$ 的弱拓扑的开集. 这是因为对于 $x_0\in \{\Vert x\Vert >\alpha \}$, 令 $f\in X^{\ast }$ 使 $f(x_0)=\Vert x_0\Vert$ 且 $\Vert f\Vert =1$, 有 $\{|f(x-x_0)|<\Vert x_0\Vert -\alpha \}\subset \{|f(x)|>\alpha \}\subset \{\Vert x\Vert >\alpha \}$.

(ii) $M$ 是弱闭的. 这是因为对于 $x_0\notin M$, 存在 $f\in X^{\ast }$ 和 $\alpha \in \mathbb{R}$ 使得 $f(x)<\alpha <f(x_0),\forall x\in M$, 即 $x_0\in \{f(x)>\alpha \}\subset X\backslash M$.

记 $d=\inf \{\Vert x\Vert :x\in M\}$, 由于 $X$ 自反, $\{\Vert x\Vert \le 2d\}$ 是弱紧的, 由 (ii) 得 $M\cap \{\Vert x\Vert \le 2d\}$ 也是弱紧的, 由 (i), $x\mapsto \Vert x\Vert$ 在弱紧集上取得到最小值.

$\square$

证明 2. 记 $d=\inf \{\Vert x\Vert :x\in M\}$, 取 $M$ 中一列 $x_n$ 使得 $\Vert x_n\Vert \to d$. 由于 $X$ 自反, 存在子列 $x_{n_k}$ 弱收敛于某点 $x_0$, $M$ 闭说明 $x_0\in M$. 取 $f\in X^{\ast }$ 使 $f(x_0)=\Vert x_0\Vert$ 且 $\Vert f\Vert =1$, 则 $\Vert x_0\Vert =f(x_0)\leftarrow f(x_{n_k})\le \Vert x_{n_k}\Vert \to d$ 当 $k\to \infty$, 结合 $x_0\in M$ 得 $\Vert x_0\Vert =d$.

$\square$

注: 两个方法实际上是相同的, 2 避免了弱拓扑的语言, 较简洁易懂, 1 则是用两个二级结论直接得出.

习题 20. 对于一个双向序列 $\{a_n{\}}_{n\in \mathbb{Z}}$, 记 $\mathbb{T}$ 上函数 $S_N(\theta )=\sum _{n=-N}^N{a}_n{e}^{2\pi in\theta }$. 对于 $1<p\le \infty$, 若 $\underset{N}{\sup }\Vert S_N{\Vert }_p<\infty$, 证明: 存在 $f\in L^p(\mathbb{T})$ 使得其 Fourier 系数为 $a_n$.

证明. 把 $\{S_N{\}}_N$ 看成 $L^q(\mathbb{T}{)}^{\ast }=L^p(\mathbb{T})$ 的有界序列, 由 Banach–Alaoglu 定理, 存在子列 $\{S_{N_k}{\}}_k$ 弱 ${}^{\ast }$ 收敛到某 $f\in L^p(\mathbb{T})$, 那么对较大的 $k$, $a_n=⟨S_{N_k},e^{2\pi in\theta }⟩\to ⟨f,e^{2\pi in\theta }⟩$ 为 $f$ 的 Fourier 系数.

$\square$

习题 22. 对于 ${\mathbb{R}}^n$ 中的一个闭凸集 $A$, 若 $A$ 中一点 $x$ 是一列端点的极限, $x$ 是否一定是 $A$ 的端点?

证明. $n=1,2$ 时是, $n\ge 3$ 时反例如图.

$\square$

附: 旧版习题

习题 1. 令 $U=(0,2\pi )\times (0,2\pi )$. 对正整数 $k$, ${\tilde{W}}^k(U)$ 为 $U$ 上的 Sobolev 空间, $C^k(\bar{U})$ 为 $\bar{U}$ 上 $k$ 次连续可导函数全体构成的 Banach 空间.

(i)	证明: 存在常数 $C$, 对于二元的三角多项式 $p$, $$\Vert p{\Vert }_{C(\bar{U})}\le C\Vert p{\Vert }_{{\tilde{W}}^2(U)}.$$
(ii)	证明: 当 $k\le l+2$ 时, ${\tilde{W}}^k(U)$ 可自然嵌入 $C^l(\bar{U})$. 特别地, 若 $u\in {\bigcap }_{k\in \mathbb{N}}{\tilde{W}}^k(U)$, 则可修改一个零测集上的取值使得 $u$ 是一个无穷次连续可导函数.
(iii)	记 $\Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial x_2^2}$. 对于 $u\in L^2(U)$, 若 $L^2(U)$ 中函数 $v$ 满足$${\int }_{U}u\Delta \varphi dm={\int }_{U}v\varphi dm,\forall \varphi \in C_c^{\infty }(U).$$则记 $\mathbf{\Delta }u\triangleq v$. 证明: $\mathbf{\Delta }$ 是 ${\tilde{W}}^{k+2}(U)$ 到 ${\tilde{W}}^k(U)$ 的有界算子.
(iv)	若 $u\in L^2(U)$ 且 $\mathbf{\Delta }u\in {\tilde{W}}^k(U)$, 证明 $u\in {\tilde{W}}^{k+2}(U)$.
(v)	若 $L^2(U)$ 中函数 $u$ 是 $\mathbf{\Delta }$ 的特征向量, 即存在数 $\lambda$ 使得 $\mathbf{\Delta }u=\lambda u$, 证明: $u$ 是无穷次连续可导函数.

习题 2. 设 $\Omega$ 为 ${\mathbb{R}}^2$ 中有界开集, $f$ 在 $\overline{\Omega }$ 上无穷次连续可导. 令 $\Delta =\frac{d^2}{d{x}_1^2}+\frac{d^2}{d{x}_2^2}$, 考虑 Laplace 方程$$\{\begin{array}{rl}-\Delta u(x)& =f(x),x\in \Omega ,\\ u{|}_{\partial \Omega }& =0.\end{array}$$在现代偏微分方程理论中, 经常求解弱导数意义下方程的解, 再通过各类范数估计提高解的正则性. 我们首先在空间 $W_0^1(\Omega )$ 中求解 Laplace 方程. 对 $u\in L^2(\Omega )$, 它的弱 $\mathbf{\Delta }u$ 满足$${\int }_{\Omega }\mathbf{\Delta }uvdm={\int }_{\Omega }u\Delta vdm,\forall v\in C_c^{\infty }(\Omega ).$$

(i)	令$$⟨u,v{⟩}_1={\int }_{\Omega }[{\partial }_{1}u\overline{{\partial }_{1}v}+{\partial }_{2}u\overline{{\partial }_{2}v}]dm.$$证明: 存在常数 $C$, 使得对任意 $u\in C_c^{\infty }(\Omega )$ 成立 Poincaré 不等式 ${\int }_{\Omega }|u{|}^{2}dm\le C⟨u,u{⟩}_1$.
(ii)	证明: $W_0^1(\Omega )$ 在内积 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 下也是一个 Hilbert 空间.
(iii)	证明: ${\tau }_f(v)\triangleq {\int }_{\Omega }fvdm$ 是 Hilbert 空间 $W_0^1(\Omega )$ 上的有界线性泛函.
(iv)	对 $u\in W_0^1(\Omega )$, 设它的弱导数 $\mathbf{\Delta }u$ 存在. 证明: ${\int }_{\Omega }-\mathbf{\Delta }uvdm=⟨u,v{⟩}_1,\forall v\in C_c^{\infty }(\Omega ).$
(v)	证明: 存在 $u\in W_0^1(\Omega )$ 为 Laplace 方程的弱解, 即 ${\int }_{\Omega }-\mathbf{\Delta }uvdm={\int }_{\Omega }fvdm,\forall v\in C_c^{\infty }(\Omega ).$

接下来, 我们说明 $u$ 的光滑性. 对任意一点 $(x_0,y_0)\in \Omega$, 取一个 $\Omega$ 中的邻域 $V=O((x_0,y_0),\epsilon )$ ($\epsilon <\pi$) , 以及 $\chi \in C_c^{\infty }(V),\chi (x_0,y_0)=1$. 记 $U=(0,2\pi )\times (0,2\pi )$.

(vi) 由著名的 Meyers–Serrin 定理可知, $C^{\infty }(\Omega )\cap W^k(\Omega )$ 在 $W^k(\Omega )$ 中稠密. 由此证明: $$f(x,y)\mapsto (\chi f)(x+x_0-\pi ,y+y_0-\pi )$$是 $W_0^k(\Omega )$ 到 $W_0^k(U)$ 的有界映射.
(vii) 证明: 弱解 $u$ 修正一个零测集上的值之后, 是在 $\Omega$ 上无穷次可微的, 且 $-\Delta u=f$.

证明.

(i)	设 $\Omega$ 在区域 $\{0<x_2<d\}$ 中. 由于 $|u(x_1,x_2){|}^2=|{\int }_0^{x_2}{\partial }_{2}u(x_1,t)dt{|}^2\le x_2{\int }_0^d|{\partial }_{2}u(x_1,t){|}^{2}dt$, 得到$$\begin{array}{rl}{\int }_{\Omega }|u{|}^{2}dm& \le {\int }_{\mathbb{R}\times (0,d)}{x}_2{\int }_0^d|{\partial }_{2}u(x_1,t){|}^{2}dtd{x}_{1}d{x}_2\\ & ={\int }_0^d{x}_{2}d{x}_2{\int }_{\mathbb{R}\times (0,d)}|{\partial }_{2}u(x_1,t){|}^{2}d{x}_{1}dt=\frac{d^2}{2}{\int }_{\Omega }|{\partial }_{2}u{|}^{2}dm\le \frac{d^2}{2}⟨u,u{⟩}_1.\end{array}$$
(ii)	设 $u\in W_0^1(\Omega )$ 有 $⟨u,u{⟩}_1=0$, 则 ${\partial }_{i}u\equiv 0,i=1,2$. 作磨光函数 $u\ast {\eta }_{\epsilon }\in C^{\infty }({\Omega }_{\epsilon })$ (其中 $\eta \in C_c^{\infty }(B_1),{\eta }_{\epsilon }(x)=\frac{1}{{\epsilon }^n}\eta \left(\frac{x}{\epsilon }\right),{\Omega }_{\epsilon }=\{x\in \Omega :d(x,\partial \Omega )>\epsilon \}$) , 有 ${\partial }_i(u\ast {\eta }_{\epsilon })={\partial }_{i}u\ast {\eta }_{\epsilon }\equiv 0$, 故 $u\ast {\eta }_{\epsilon }$ (在每个连通分支上) 是常数, 由 $\epsilon \to 0^{+}$ 时 $u\ast {\eta }_{\epsilon }\stackrel{W^1}{⟶}u$ 得到 $u$ 同样是常数, 根据 $u{|}_{\partial \Omega }=0$ 得 $u\equiv 0$. (i) 说明这一内积给出的范数 $\Vert {\Vert }_{{\dot{W}}^1}$ 与 $W^1$ 的范数等价, 因此 $W_0^1(\Omega )$ 在这一范数下也是完备的.
(iii)	由 (i), $|{\tau }_f(v)|\le \Vert f{\Vert }_2\Vert v{\Vert }_2\le \sqrt{C}\Vert f{\Vert }_2\Vert v{\Vert }_{{\dot{W}}^1}$.
(iv)	弱导数的定义.
(v)	(iii),(iv) 以及 Riesz 表示定理.
(vi)	$\Vert \chi f{\Vert }_{W^k}\le C_k\sum _{m+n\le k}\sum _{m^{\prime }\le m,n^{\prime }\le n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m^{\prime }}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n^{\prime }}\right)\Vert {\partial }_1^{m-m^{\prime }}{\partial }_2^{n-n^{\prime }}\chi {\Vert }_{\infty }\Vert {\partial }_1^{m^{\prime }}{\partial }_2^{n^{\prime }}f{\Vert }_2\le C_{k,\chi }\Vert f{\Vert }_{W^k}$.
(vii)	设已知 $u\in W_0^k(\Omega )$. 对任意的 $(x_0,y_0)\in \Omega$, 简记 $-=(x+x_0-\pi ,y+y_0-\pi )$, 由于 $\nabla u\in W_0^{k-1}(\Omega )$, $$-\mathbf{\Delta }(\chi u)(-)=(-\Delta \chi u-2\nabla \chi \cdot \nabla u+\chi f)(-)\in W_0^{k-1}(U).$$用上一题的 (iv), 得到 $\chi u(-)\in W_0^{k+1}(U)$, 取 $(\pi ,\pi )$ 的一个邻域 $X\subset \{\chi (-)>\frac{1}{2}\}$, 得 $u(-)\in W^{k+1}(X)$. 由 $(x_0,y_0)$ 的任意性以及 $u\in W_0^k(\Omega )$, 有 $u\in W_0^{k+1}(\Omega )$. 现有 $u\in W_0^1(\Omega )$, 反复提升正则性, 从而 $u$ 无穷次可微. (v) 中取一列 $v\stackrel{L^2}{⟶}-\Delta u-f$ 得到 $-\Delta u=f$. $\square$

注:	(ii) 中 $u{|}_{\partial \Omega }$ 是 $u\in W^1(\Omega )$ 的迹, 参考 [Evans] 5.5 Theorem 2;
	Meyers–Serrin 定理的证明见 [Evans] 5.3 Theorem 2.

参考文献

[Conway]	J. B. Conway. A Course in Funtional Analysis. Graduate Texts in Mathematics 96. Springer, 1990.
[Evans]	L. C. Evans. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics 19. Amer. Math. Soc, 2010.