用户: Solution/ 习题: 泛函分析 第三章

3有界线性算子的基本定理

3.1 Baire 纲定理

习题 4. 证明无限维的 Banach 空间不能分解成可列个相对列紧集的并集.

证明. 无限维的 Banach 空间的球不是紧的, 所以列紧集无内点, 即相对列紧集是疏朗集, 与 Baire 纲定理矛盾.

$\square$

习题 8. (Gelfand 引理) 设 $X$ 是 Banach 空间, $p(x)$ 是 $X$ 上的泛函, 它满足下面的条件:

•	$p(x)\ge 0$;
•	当 $\alpha$ 为非负数时, $p(\alpha x)=\alpha p(x)$;
•	$p(x+y)\le p(x)+p(y)$, $\forall x,y\in X$;
•	当 $x,x_n(n=1,2,\cdots )\in X$, $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x$ 时, $\underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}p(x_n)\ge p(x)$;

证明: 存在正数 $M$, 使得对一切 $x\in X$, $p(x)\le M\Vert x\Vert$. 这个结果说明了 Banach 空间吸收的闭凸子集的什么性质?

证明. 令 $\Vert x{\Vert }_1=\Vert x\Vert +\underset{\theta }{\sup }p(e^{i\theta }x)$, $p$ 的性质说明 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 是一个范数, 比如说$$\begin{array}{rl}\Vert 0{\Vert }_1& =p(0)\le \underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}p(x/n)\le \underset{n\to \infty }{\underline{\lim }}p(x)/n=0,\\ \Vert \alpha x{\Vert }_1& =\Vert \alpha x\Vert +\underset{\theta }{\sup }p(e^{i\theta }\alpha x)=|\alpha |\Vert x\Vert +|\alpha |\underset{\theta }{\sup }p(e^{i\theta }x)=|\alpha |\Vert |x{\Vert }_1.\end{array}$$接下来说明 $X$ 关于 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 完备. 设 $\{x_n\}$ 是 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 的 Cauchy 列, 则也是 $\Vert \cdot \Vert$ 的 Cauchy 列, 记 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=x$, 那么当 $n\to \infty$ 时, 由条件$$p(e^{i\theta }(x_n-x))\le \underset{m\to \infty }{\underline{\lim }}p(e^{i\theta }(x_n-x_m)),$$推出$$\underset{\theta }{\sup }p(e^{i\theta }(x_n-x))\le \underset{m\to \infty }{\underline{\lim }}\underset{\theta }{\sup }p(e^{i\theta }(x_n-x_m))\to 0,$$得 $\Vert x_n-x{\Vert }_1\to 0$. 故由范数等价定理, 存在 $M$ 使得 $\Vert x{\Vert }_1\le M\Vert x\Vert$, 更有 $p(x)\le M\Vert x\Vert$.

对吸收的闭凸子集 $N$, Minkowski 泛函 $p_N(x)$ 符合题中条件, 于是 $p_N(x)=\underset{\begin{array}{c}\alpha >0,\\ {\alpha }^{-1}x\in N\end{array}}{\inf }\alpha \le M\Vert x\Vert$, 得 $x/(M\Vert x\Vert )\in N$, 也就是 $B(0,1/M)\subset N$, 即 $0$ 是 $N$ 的内点.

$\square$

习题 9. 设 $L$ 是线性空间, $p$ 是 $L$ 上函数, 如果满足

•	$p(x)\ge 0$, $p(x)=0$ 等价于 $x=0$
•	$p(x+y)\le p(x)+p(y)$
•	$p(-x)=p(x)$, 并且 $\underset{{\alpha }_n\to 0}{\lim }p({\alpha }_{n}x)=0$, $\underset{p(x_n)\to 0}{\lim }p(\alpha x_n)=0$ (${\alpha }_n,\alpha$ 是数)

称 $p$ 是拟范数, $(L,p)$ 是拟赋范空间.

(iii)${}^{(\ast )}$ 如果 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\alpha }_n=\alpha$, $\underset{n\to \infty }{\lim }p(x_n-x)=0$, 证明: $\underset{n\to \infty }{\lim }p({\alpha }_n{x}_n-\alpha x)=0$.

证明. $p({\alpha }_n{x}_n-\alpha x)\le p({\alpha }_n(x_n-x))+p(({\alpha }_n-\alpha )x)$, ${\alpha }_n-\alpha \to 0$ 说明 $p(({\alpha }_n-\alpha )x)\to 0$, 那么要说明的是 $p({\alpha }_n(x_n-x))\to 0$.

作 $\mathbb{K}$ 上的函数 $f_n(\beta )=p(\beta (x_n-x))$. 因为 $\underset{{\beta }_i-\beta \to 0}{\lim }p(({\beta }_i-\beta )(x_n-x))=0$, $f_n$ 皆是连续函数; 并且, $\underset{p(x_n-x)\to 0}{\lim }p(\beta (x_n-x))=0$ 是说 $n\to \infty$ 时 $f_n$ 点点收敛到 $0$. 由 Egoroff 定理, $f_n$ 在一个正测集 $E$ 上一致收敛到 $0$.

由于 $E-E$ 含含 $0$ 的区间, 也就是存在 ${\sigma }_0>0$ 使 $\forall |\sigma |\le {\sigma }_0$, $\sigma$ 能写成 $e-e^{\prime }(e,e^{\prime }\in E)$, 有 $f_n(\sigma )\le f_n(e)+f_n(e^{\prime })\to 0$, 且这个趋于 $0$ 是关于 $\sigma$ 一致的. 由于 $\{{\alpha }_n\}$ 是有界的, 取 $N\in {\mathbb{Z}}^{+}$ 使得对所有的 $n$, $|{\alpha }_n/N|\le {\sigma }_0$, 于是 $p({\alpha }_n(x_n-x))=f_n({\alpha }_n)\le N{f}_n({\alpha }_n/N)\to 0$.

$\square$

3.2 逆算子定理、开映射定理、闭图像定理和共鸣定理

习题 1. 设 $X,Y$ 是 Banach 空间, $T\in \mathfrak{B}(X,Y)$. 证明: $\mathfrak{R}(T)$ 是闭的当且仅当存在 $c>0$, 使得对任意 $x\in X$ 有 $c\Vert Tx\Vert \ge d(x,\ker T)$.

证明. 注意 $d(x,\ker T)$ 即是 $X/\ker T$ 里面 $[x]$ 的范数. 当 $\mathfrak{R}(T)$ 是闭的, $[T]:X/\ker T\to Y,[x]\mapsto Tx$ 是单射, $\mathfrak{R}([T])=\mathfrak{R}(T)$ 同样是闭的, 由定理 3.2.14, $c\Vert Tx\Vert \ge \Vert [x]\Vert =d(x,\ker T)$.

当 $c\Vert Tx\Vert \ge d(x,\ker T)$, 对于 $T{x}_n\to y\in Y$, 通过取子列, 可使得 $\sum _{n=1}^{\infty }\Vert T{x}_n-T{x}_{n+1}\Vert <\infty$, 再取 $z_n\in X$ 使 $z_n-(x_n-x_{n+1})\in \ker T$ 且 $\Vert z_n\Vert \le 2d(x_n-x_{n+1},\ker T)$. 这样 $\sum _{n=1}^{\infty }\Vert z_n\Vert <\infty$, $\sum _{n=1}^{\infty }{z}_n$ 收敛, 于是 $T(x_1-\sum _{n=1}^{\infty }{z}_n)=T{x}_1-\sum _{n=1}^{\infty }(T{x}_n-T{x}_{n+1})=y$, 有 $y\in \mathfrak{R}(T)$.

$\square$

习题 5. 设 $X,Y$ 是 Banach 空间, $T\in \mathfrak{B}(X,Y)$, 并且 $TX=Y$. 证明: 存在常数 $N$, 使得对 $Y$ 中任何收敛于 $y_0$ 的点列 $\{y_n\}$, 都可找到 $X$ 中的一个点列 $\{x_n\}$, $\Vert x_n\Vert \le N\Vert y_n\Vert$, $T{x}_n=y_n(n=0,1,2,\cdots )$, 而且 $x_n\to x_0$.

证明. 设对 $n\ge N$ 有 $\Vert y_0\Vert \le 2\Vert y_n\Vert$, 由注 3.2.9, 存在一个点列 $\{x_n{\}}_{0\le n<N}$, 使得 $T{x}_n=y_n,\Vert x_n\Vert \le M\Vert y_n\Vert$, 以及点列 $\{z_n{\}}_{n\ge N}$, 使得 $T{z}_n=y_n-y_0,\Vert z_n\Vert \le M\Vert y_n-y_0\Vert$. 由 $y_n-y_0\to 0$, 有 $z_n\to 0$. 对 $n\ge N$, 令 $x_n=x_0+z_n$, 那么 $x_n\to x_0$, $T{x}_n=y_n$, 且 $\Vert x_n\Vert \le M(\Vert y_0\Vert +\Vert y_n-y_0\Vert )\le 5M\Vert y_n\Vert$.

$\square$

习题 6. 设 $X,Y$ 是 Banach 空间, $T\in \mathfrak{B}(X,Y)$. 若存在 $Y$ 的一个闭线性子空间 $M$ 使得 $\mathfrak{R}(T)\cap M=\{0\}$, $\mathfrak{R}(T)+M=Y$, 证明: $T$ 的值域 $\mathfrak{R}(T)$ 是闭的.

证明. 取 $X\times M$ 上的范数是 $\Vert (x,m)\Vert =\Vert x\Vert +\Vert m\Vert$, 令有界算子$$T^{\prime }:X\times M\to Y,(x,m)\mapsto Tx+m.$$$\mathfrak{R}(T^{\prime })=\mathfrak{R}(T)+M=Y$ 是闭的, 由于 $\mathfrak{R}(T)\cap M=\{0\}$, $\ker T^{\prime }=\{(x,m)\mid Tx+m=0\}=\{(x,m)\mid Tx=m=0\}=\ker T\times \{0\}$, 故 $\Vert Tx\Vert =\Vert T^{\prime }(x,0)\Vert \ge cd((x,0),\ker T^{\prime })=cd(x,\ker T)$, 得 $\mathfrak{R}(T)$ 是闭的.

$\square$

习题 7. 在 2.4 节习题 6 中证明了 Fourier 变换 $\mathcal{F}:f\to \hat{f}$ 是从 $L^1(\mathbb{R})$ 到 $c_0(\mathbb{R})$ 的单射.

(i)	令 $f(x)={\chi }_{[-n,n]}(x)\sin x$, 计算它的 Fourier 变换 $\hat{f}$.
(ii)	证明: $\mathcal{F}:f\to \hat{f}$ 不是满射.

证明.

(i)	$$\begin{array}{rl}\hat{f}(\xi )& ={\int }_{-n}^n\sin x{e}^{-i2\pi \xi x}dx={\int }_0^n\sin x(e^{-i2\pi \xi x}-e^{i2\pi \xi x})dx=-2i{\int }_0^n\sin x\sin 2\pi \xi xdx\\ & =i{\int }_0^n\cos (2\pi \xi +1)x-\cos (2\pi \xi -1)xdx=i\left[\frac{\sin (2\pi \xi +1)n}{2\pi \xi +1}-\frac{\sin (2\pi \xi -1)n}{2\pi \xi -1}\right].\end{array}$$
(ii)	假如 $\mathcal{F}$ 是满射, 由逆算子定理, $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 与 $\Vert \hat{\cdot }{\Vert }_{\infty }$ 应当等价. 取 $f(x)={\chi }_{[0,n]}(x)-{\chi }_{[-n,0]}(x)$, $\Vert f{\Vert }_1=2n$, 而$$|\hat{f}(\xi )|=\left|{\int }_0^n{e}^{-i2\pi \xi x}-e^{i2\pi \xi x}dx\right|=\left|-2i{\int }_0^n\sin 2\pi \xi xdx\right|\le \frac{2}{\pi }.$$$\square$

习题 8. 设 $\{x_n\}$ 是 Banach 空间中的点列, 如果对任意的 $x\in X$, 都存在唯一数列 $\{{\alpha }_i(x)\}$, 使得$$\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert x-\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{x}_i\Vert =0,\text{也即：}x=\sum _{i=1}^{\infty }{\alpha }_i{x}_i,$$则称 $\{x_n\}$ 为 $X$ 的 Schauder 基, 并称 $X$ 是具有基的 Banach 空间. 证明: 在有基 $\{x_n\}$ 的 Banach 空间 $X$ 中, 展开式 $x=\sum _{i=1}^{\infty }{\alpha }_i{x}_i$ 中的 ${\alpha }_i(x)\in X^{\ast }$.

证明. 在 $X$ 上作新范数 $\Vert x{\Vert }_1=\underset{\ell }{\sup }\Vert \sum _{i=1}^{\ell }{\alpha }_i{x}_i\Vert$, 下面说明 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_1)$ 也是一个 Banach 空间.

设 $y_n=\sum _{i=1}^{\infty }{\alpha }_i^{(n)}{x}_i$ 是 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 的 Cauchy 列, 那么对任意的 $i$, 当 $n,m\to \infty$ 时, $$\Vert {\alpha }_i^{(n)}{x}_i-{\alpha }_i^{(m)}{x}_i\Vert \le \Vert \left(\sum _{j=1}^i{\alpha }_j^{(n)}{x}_j-\sum _{j=1}^i{\alpha }_j^{(m)}{x}_j\right)-\left(\sum _{j=1}^{i-1}{\alpha }_j^{(n)}{x}_j-\sum _{j=1}^{i-1}{\alpha }_j^{(m)}{x}_j\right)\Vert \le 2\Vert y_n-y_m{\Vert }_1\to 0,$$则 ${\alpha }_i^{(n)}\to$ 某个 ${\alpha }_i$. 由此, 对任意的 $\ell$, 当 $m\to \infty$ 时, $$\Vert \sum _{i=1}^{\ell }{\alpha }_i^{(n)}{x}_i-\sum _{i=1}^{\ell }{\alpha }_i^{(m)}{x}_i\Vert \to \Vert \sum _{i=1}^{\ell }{\alpha }_i^{(n)}{x}_i-\sum _{i=1}^{\ell }{\alpha }_i{x}_i\Vert .$$对 $\ell$ 取上极限, 有 $\Vert y_n-y_m{\Vert }_1\to 0$ 推出 $\Vert y_n-y{\Vert }_1\to 0$, 其中 $y=\sum _{i=1}^{\infty }{\alpha }_i{x}_i$. $y$ 的收敛性是因为, 先令 $n$ 大, 再对给定的 $n$ 令 $\ell ,{\ell }^{\prime }$ 大, 有$$\begin{array}{rl}& \Vert \sum _{i=\ell }^{{\ell }^{\prime }}{\alpha }_i{x}_i\Vert \le \Vert \sum _{i=\ell }^{{\ell }^{\prime }}{\alpha }_i^{(n)}{x}_i-\sum _{i=\ell }^{{\ell }^{\prime }}{\alpha }_i{x}_i\Vert +\Vert \sum _{i=\ell }^{{\ell }^{\prime }}{\alpha }_i^{(n)}{x}_i\Vert \\ & =\underset{m\to \infty }{\lim }\Vert \sum _{i=\ell }^{{\ell }^{\prime }}{\alpha }_i^{(n)}{x}_i-\sum _{i=\ell }^{{\ell }^{\prime }}{\alpha }_i^{(m)}{x}_i\Vert +\Vert \sum _{i=\ell }^{{\ell }^{\prime }}{\alpha }_i^{(n)}{x}_i\Vert \\ & \le \underset{m\to \infty }{\overline{\lim }}2\Vert y_n-y_m{\Vert }_1+\Vert \sum _{i=\ell }^{{\ell }^{\prime }}{\alpha }_i^{(n)}{x}_i\Vert \to 0.\end{array}$$由范数等价定理, $\Vert x{\Vert }_1\le c\Vert x\Vert$, 故 $\Vert {\alpha }_i(x)x_i\Vert =\Vert \sum _{j=1}^i{\alpha }_j(x)x_j-\sum _{j=1}^{i-1}{\alpha }_j(x)x_j\Vert \le 2\Vert x{\Vert }_1\le 2c\Vert x\Vert$.

$\square$

习题 12. 设 $X,Y$ 都是 Banach 空间, $T$ 是 $X$ 到 $Y$ 的线性算子, 证明: 如果对每个 $f\in Y^{\ast }$, $f(Tx)$ 作为 $X$ 空间上的泛函是连续线性泛函, 那么 $T\in \mathfrak{B}(X,Y)$.

证明. $\{f(T\cdot ):f\in Y^{\ast },\Vert f\Vert =1\}$ 是从 $X$ 到 $\mathbb{K}$ 的一族有界线性算子, 对每个 $x\in X$ 有 $\underset{\Vert f\Vert =1}{\sup }|f(Tx)|=\Vert Tx\Vert <\infty$. 那么 $|f(T\cdot )|$ 是一致有界的, 设为 $c$, 即 $\underset{\Vert f\Vert =1}{\sup }|f(Tx)|=\Vert Tx\Vert \le c\Vert x\Vert$ 对所有 $x\in X$ 成立.

$\square$

习题 14. 设 $T$ 是 $L^2[0,1]$ 上有界线性算子. 如果 $T$ 把 $L^2[0,1]$ 中连续函数映射成连续函数, 证明: $T$ 是 $C[0,1]$ 上有界线性算子.

证明. 只需验证 $T$ 是 $C[0,1]$ 上的闭算子. 设 $(x_n,T{x}_n)\stackrel{C[0,1]}{⟶}(x,y)$, $L^2[0,1]$ 范数不超过 $C[0,1]$ 范数表明 $(x_n,T{x}_n)\stackrel{L^2}{⟶}(x,y)$, 由 $T$ 有界又有 $T{x}_n\stackrel{L^2}{⟶}Tx$, 这样 $Tx=y$.

$\square$

习题 15. 设 $X$ 为线性空间, $\Vert \cdot {\Vert }_1,\Vert \cdot {\Vert }_2$ 是 $X$ 上的两个范数. 如果凡对 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 为连续的线性泛函, 也为 $\Vert \cdot {\Vert }_2$ 连续, 那么存在数 $c>0$, 使对一切 $x\in X$, $\Vert \cdot {\Vert }_1\le c\Vert \cdot {\Vert }_2$.

证明. $(X,\Vert \cdot {\Vert }_1{)}^{\ast }$ 是从 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_2)$ 到 $\mathbb{K}$ 的一族有界线性算子, 对每个 $x\in X$ 有 $\underset{\Vert f\Vert =1}{\sup }|f(x)|=\Vert x{\Vert }_1<\infty$, 其中 $\Vert f\Vert$ 是 $f$ 在 $(X,\Vert \cdot {\Vert }_1{)}^{\ast }$ 中的范数. 那么 $|f(\cdot )|$ 是一致有界的, 设为 $c$, 即 $\underset{\Vert f\Vert =1}{\sup }|f(x)|=\Vert x{\Vert }_1\le c\Vert x{\Vert }_2$ 对所有 $x\in X$ 成立.

$\square$

习题 16. 举例说明共鸣定理中空间完备性的假设不可除去.

例子. 设 $X$ 是 ${\mathbb{R}}^{\infty }=\underset{n\ge 1}{⨁}\mathbb{R}$ (只有有限项非零) 上取 $l^{\infty }$ 范数, 是不完备的赋范空间. 令$$T_n:X\to X,(x_1,x_2,\cdots )\mapsto (x_1,2x_2,\cdots ,n{x}_n,0,\cdots ),$$对每个 $x\in X$, $x$ 在第 $N_x$ 项开始为零, 故 $\underset{n}{\sup }\Vert T_{n}x\Vert \le N_x\Vert x\Vert$. 不过 $\Vert T_n\Vert =n$ 不一致有界.

$\square$

习题 19. 设 $C_{2\pi }$ 是直线上周期为 $2\pi$ 的连续函数全体组成的 Banach 空间. 对于任意的 $x(t)\in C_{2\pi }$, 令 $a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\cos ntdt$, $b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\sin ntdt(n=0,1,2,\cdots )$, 则 $x(t)$ 有 Fourier 展开: $$x(t)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nt+b_n\sin nt).$$记部分和 $S_n(x)(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n(a_k\cos kt+b_k\sin kt)$, 证明:

(i)	$S_n(x)(s)=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\frac{\sin (2n+1)\frac{t-s}{2}}{\sin \frac{t-s}{2}}dt$;
(ii)	$S_n$ 是从 $C_{2\pi }$ 到 $C_{2\pi }$ 的线性有界算子, 并且 $\Vert S_n\Vert =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\left|\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}\right|dt$;
(iii)	$\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert S_n\Vert =+\infty$;
(iv)	存在连续周期函数, 其 Fourier 级数不是一致收敛的;
(v)	将 $S_n$ 看成从 $L^1[0,2\pi ]$ 到 $L^1[0,2\pi ]$ 的线性算子, 利用同样的方法证明, 存在可积函数, 其 Fourier 级数在 $L^1[0,2\pi ]$ 中不是收敛的.

证明.

(i)	$$\begin{array}{rl}& S_n(x)(s)=\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^n(a_k\cos ks+b_k\sin ks)\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)dt+\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\cos ktdt\cos ks+\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\sin ktdt\sin ks\right)\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\left(1+\sum _{k=1}^{n}2\cos k(t-s)\right)dt\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\left(1+\sum _{k=1}^n\frac{\sin (k+\frac{1}{2})(t-s)-\sin (k-\frac{1}{2})(t-s)}{\sin \frac{t-s}{2}}\right)dt\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }x(t)\frac{\sin (n+\frac{1}{2})(t-s)}{\sin \frac{t-s}{2}}dt.\end{array}$$
(ii)	$$\Vert S_n(x){\Vert }_{\infty }\le \frac{1}{2\pi }\Vert x{\Vert }_{\infty }{\int }_0^{2\pi }\left|\frac{\sin (n+\frac{1}{2})(t-s)}{\sin \frac{t-s}{2}}\right|dt,$$当 $x(t)=\mathrm{sgn}\frac{\sin (n+\frac{1}{2})(t-s)}{\sin \frac{t-s}{2}}$ 时是等号, 那么$$\Vert S_n\Vert =\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\left|\frac{\sin (n+\frac{1}{2})(t-s)}{\sin \frac{t-s}{2}}\right|dt=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\left|\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}\right|dt.$$
(iii)	注意 $\frac{1}{t}-\frac{1}{\sin t}$ 是 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上的有界函数, 于是$$\begin{array}{rl}\Vert S_n\Vert & =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\left|\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}\right|dt=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left|\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}\right|dt\\ & =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left|\frac{\sin (2n+1)t}{t}\right|dt+O(1)\\ & =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{(n+\frac{1}{2})\pi }\left|\frac{\sin t}{t}\right|dt+O(1)\\ & =\frac{2}{\pi }\sum _{k=1}^n\frac{1}{k\pi }{\int }_0^{\pi }\sin tdt+O(1)\\ & =\frac{4}{{\pi }^2}\log n+O(1)\to \infty .\end{array}$$
(iv)	不然 $\forall x(t)\in C_{2\pi }$, $\{S_n(x){\}}_{n\ge 1}$ 一致收敛从而一致有界, 则 $\{\Vert S_n\Vert {\}}_{n\ge 1}$ 一致有界, 与 (ii) 矛盾.
(v)	$S_n:L^1[0,2\pi ]\to L^1[0,2\pi ]$ 的范数还是 $\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\left|\frac{\sin (2n+1)t}{\sin t}\right|dt$, 后面不变. $\square$

习题 25. (Grothendieck) 设 $1\le p<\infty$, $E$ 是 $L^p[0,1]$ 的闭线性子空间, 且 $E$ 是 $L^{\infty }[0,1]$ 的子集.

(i)	证明: $E$ 也是 $L^{\infty }[0,1]$ 的一个闭线性子空间.
(ii)	证明: 存在 $C>0$ 使得 $\Vert f{\Vert }_{\infty }\le C\Vert f{\Vert }_p$.
(iii)	证明: 存在 $A>0$ 使得 $\Vert f{\Vert }_{\infty }\le A\Vert f{\Vert }_2$. (提示: 对 $p<2$ 和 $p>2$ 分情况讨论. )
(iv)	固定 $E$ 中的一个标准正交系 $\{f_1,\cdots ,f_n\}$. 证明: 存在常数 $A$ 以及 $[0,1]$ 中的 Lebesgue 可测集 $F$, $m(F)=1$, 使得对满足 $|a_1{|}^2+\cdots +|a_n{|}^2=1$ 的数组 $(a_1,\cdots ,a_n)$ 和 $x\in F$ 有$$|a_1{f}_1(x)+\cdots +a_n{f}_n(x)|\le A.$$
(v)	固定 $E$ 中的一个标准正交系 $\{f_1,\cdots ,f_n\}$. 证明: 存在常数 $A$, 使得对几乎处处的 $x\in [0,1]$ 都有 $\sum _{i=1}^n|f_i(x){|}^2\le A^2$.
(vi)	证明: $E$ 是有限维的.

证明.

(i)	对 $E$ 的序列 $f_n\stackrel{L^{\infty }}{⟶}f\in L^p[0,1]$, 有 $f_n\stackrel{L^p}{⟶}f$, 从而 $f\in E$.
(ii)	$\mathrm{id}:(E,L^p)\to (E,L^{\infty })$ 是一一的, 所以是有界的.
(iii)	$p\le 2$ 时 $\Vert f{\Vert }_{\infty }\le C\Vert f{\Vert }_p\le C\Vert f{\Vert }_2$; $p>2$ 时 $\Vert f{\Vert }_{\infty }\le C\Vert f{\Vert }_p\le C\Vert f{\Vert }_2^{\frac{2}{p}}\Vert f{\Vert }_{\infty }^{1-\frac{2}{p}}$, 那么 $\Vert f{\Vert }_{\infty }\le C^{\frac{p}{2}}\Vert f{\Vert }_2$.
(iv)	$\Vert a_1{f}_1+\cdots +a_n{f}_n{\Vert }_{\infty }\le A\Vert a_1{f}_1+\cdots +a_n{f}_n{\Vert }_2\le A$.
(v)	令 $a^{(j)}=(a_1^{(j)},\cdots ,a_n^{(j)})$ 是可数个在单位球面 $|a|=1$ 上稠密的数组, 得$$|a_1^{(j)}{f}_1(x)+\cdots +a_n^{(j)}{f}_n(x)|\le A\text{对 }x\in F_j,$$其中 $m(F_j)=1$. 由连续性, 对单位球面上的所有 $a=(a_1,\cdots ,a_n)$, $|a_1{f}_1(x)+\cdots +a_n{f}_n(x)|\le A$ 对 $x\in \bigcap _j{F}_j$ 成立. 取 $a_i=\overline{f_i(x)}/(\sum _{i=1}^n|f_i(x){|}^2{)}^2$, 得到 $(\sum _{i=1}^n|f_i(x){|}^2{)}^{\frac{1}{2}}\le A$.
(vi)	取 $L^2$ 范数有 $n\le A^2$. $\square$

注: 容易发现 $[0,1]$ 可换成任何有限测度空间.

3.3 共轭算子

习题 12. 举例说明: 存在 Banach 空间 $X$ 上的有界线性算子 $T$, 使得 $T$ 是单射, 但是 $T^{\ast }$ 的值域在 $X^{\ast }$ 中不稠密.

例子. 令算子 $T:l^1\to l^1,(a_n)\mapsto (a_n/n)$, 则 $T^{\ast }:l^{\infty }\to l^{\infty },(a_n)\mapsto (a_n/n)$, $\mathfrak{R}(T^{\ast })\subset c_0$ 不在 $l^{\infty }$ 中稠密.

$\square$