用户: Solution/ 习题: 数论基础(rrf)

参考书.

①	Kenneth Ireland, Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Chapter 1–8,10,11,16.
②	Jurgen Neukirch, Algebraic Number Theory, Chapter I, Section 2–7.
③	Jeffrey Hoffstein, Jill Pipher, Joseph H. Silverman, An Introduction to Mathematical Cryptography, Chapter 2–3.

注 0.1. 在 2024 秋课程中布置了 Book②中 Chapter I, Section 2–7 几乎所有的习题, 其中不乏一些对于著名结论的证明且十分繁琐 (例如证明 Dedekind 环的等价定义, 这需要用到 DVR, 课上显然没讲) , 建议自行网上搜索解答.

1HW1

练习 1.1. 求证: $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ 中由 $2$ 和 $1+\sqrt{-5}$ 生成的理想不是主理想.

证明. 反证法, 假设 $(2,1+\sqrt{-5})=(\alpha )$.
  假设 $\alpha$ 为单位元, 记 $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$ 使得 $2(a+b\sqrt{-5})+(1+\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5})=1$, 可得 $c-5d$ 是奇数, $c+d$ 是偶数, 矛盾.
  下默认 $\alpha$ 不是单位元, 若 $2=(x+y\sqrt{-5})(z+w\sqrt{-5})$, 其中 $x,y,z,w\in \mathbb{Z}$, 得到$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}& xz-5yw=2\\ & xw=-yz\end{array}\end{array}$$假设 $x,y,z,w$ 都是奇数, 分析任何奇素数 $p$ 对应的 $V_p(x)$ 和 $V_p(z)$ 得到 $x=\pm z$, 得到 $x^2+5y^2=\pm 2$ 矛盾. 于是 $x,y,z,w$ 中必有偶数.
  容易发现$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}& xz+yw\equiv 0(\mathrm{mod}2)\\ & xw+yz\equiv 0(\mathrm{mod}2)\end{array}\end{array}$$由对称性可不妨 $x$ 是偶数. 若 $y$ 是偶数, 则 $1=(x/2+y/2\sqrt{-5})(z+w\sqrt{-5})$, 代表 $z+w\sqrt{-5}$ 是单位元; 若 $y$ 奇数, 则 $z,w$ 都是偶数, 同理有 $x+y\sqrt{-5}$ 是单位元.
  于是 $2$ 是不可约元, 故 $\alpha$ 和 $2$ 就差一个单位元倍, 故 $2|1+\sqrt{-5}$ 矛盾.

$\square$

练习 1.2. $R$ 是一个 PID, $a$ 是 $R$ 的一个素元, 求证: $R/aR$ 是一个域.

证明. 对 $b\in R-aR$, 由 $R$ 是 PID 得 $(a,b)=(c)$. 假设 $c$ 不是 $R$ 中单位, 由 $R$ 是 PID 知 $a$ 不可约, 故 $a=c\cdot$ 一个单位, 故 $(a,b)=(a)$, 和 $b\notin aR$ 矛盾. 因此 $c$ 是单位, 存在 $s,t\in R$ 使得 $as+bt=1$, 则 $(b+aR)(t+aR)=1+aR$ 是 $R/aR$ 中单位.

$\square$

练习 1.3. 对于一个整环, 如果任何由两个元素生成的理想都是主理想, 则称这个整环为 Bezout 整环. 求证: $R$ 是 PID 当且仅当 $R$ 是 Noether, Bezout 整环.

证明. $⟹$ 显然; $⟸$, 由 Noether 和 Bezout 可以发现任何理想 $I$ 有: $I=(x_1,\dots ,x_n)=(x_1,\dots ,(x_{n-1},x_n))=(x_1,\dots ,x_{n-2},y_{n-1})=\cdots =(y_1)$.

$\square$

练习 1.4. $R$ 为交换环, 对 $R$ 中两个理想 $I,J$, 可以定义 $I\cdot J:=\{由全体xy生成的理想;x\in I,y\in J\}$, 取 $R=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, $I=2R+(1+\sqrt{-5})R$, $J=3R+(1+\sqrt{-5})R$, 求证: $I\cdot J=(1+\sqrt{-5})R$.

证明. 略

$\square$

练习 1.5. 求证: $R$ 是 PID, $P$ 是 $R$ 的一个素理想, 则有 $R/P$ 是 PID.

证明. $R/P$ 整环, $f:R\to R/P$ 为自然同态, 对于 $R/P$ 中理想 $I$, 由 $R$ 是 PID, 有 $f^{-1}(I)=(r)$, 则 $I=(r+P)$ 是由 $r+P\in R/P$ 生成的主理想.

$\square$

练习 1.6. $\mathbb{Z}[x]$ 中:

(1)	$\mathbb{Z}[x]$ 是否为 UFD?
(2)	求证: $\{a+xf(x)|a\in 2\mathbb{Z},f(x)\in \mathbb{Z}[x]\}$ 是 $\mathbb{Z}[x]$ 中理想.
(3)	$\mathbb{Z}[x]$ 是否为 PID?
(4)	$\mathbb{Z}[x]$ 是否为 ED?

证明. (1) 是, 因为 $R$ 为 UFD$\Rightarrow R[x]$ 为 UFD; (2) 略; (3) 不是, $I=(2,x)$ 不是主理想; (4) 不是, 因为 ED 自动是 UFD.

$\square$

练习 1.7. 求证: $x^2+y^2-1$ 在 $\mathbb{Q}[x,y]$ 中不可约.

证明. 略

$\square$

练习 1.8. $F$ 是一个域, $f(x)\in F[x]$, $\mathrm{deg}f=n$, 称 $g(x):=x^{n}f(1/x)$ 是 $f(x)$ 的逆.

(1)	用 $f$ 的系数描述 $g$.
(2)	求证: $f$ 不可约当且仅当 $g$ 不可约.

证明. 略

$\square$

练习 1.9.

(1)	求证: $x+1$ 是 $\mathbb{Z}[[x]]$ 中单位, 但不是 $\mathbb{Z}[x]$ 的单位.
(2)	求证: $x^2+3x+2$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 中可约, 但在 $\mathbb{Z}[[x]]$ 中不可约.

证明. (1) $1=(x+1)(1-x+x^2-x^3+\dots )$; (2) 形如 $1+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots$ 都是 $\mathbb{Z}[[x]]$ 的单位, $x^2+3x+2=(a_0+a_{1}x+\dots )(b_0+b_{1}x+\dots )$ 中 $a_0,b_0$ 必有一个为 $\pm 1$.

$\square$

练习 1.10. 求证: 对任何 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $(x-1)(x-2)\dots (x-n)-1\in \mathbb{Z}[x]$ 不可约.

证明. 假设可约, $(x-1)(x-2)\dots (x-n)-1=f(x)g(x)$, 则 $f(1)g(1)=\dots =f(n)g(n)=-1$, 则 $f(1)+g(1)=f(2)+g(2)=\dots =f(n)+g(n)=0$, 则 $(x-1)\dots (x-n)|f+g$, 有 $\mathrm{deg}f+g⩾n$, 结合 $\mathrm{deg}f+\mathrm{deg}g=n$ 以及首次系数可知 $f,g$ 分别为 $\pm (x-1)\dots (x-n)$ 和 $\pm 1$, 矛盾.

$\square$

2HW2

练习 2.1. 求证: $3x^2+2=y^2$ 没有整数解.

证明. $\mathrm{mod}3$ 即可.

$\square$

练习 2.2. $\{a_1,\dots ,a_{\varphi (n)}\}$ 是 $\mathrm{mod}n$ 的互素剩余全体, $N$ 是 $x^2\equiv 1(\mathrm{mod}n)$ 的解的个数, 求证: $a_1\dots a_{\varphi (n)}\equiv (-1{)}^{N/2}(\mathrm{mod}n)$

证明. $\{h_1,\dots ,h_N\}:=\{a_j|a_j^2\equiv 1(\mathrm{mod}n)\}$, 任何 $\alpha \in \{1,\dots ,N\}$ 存在唯一的 $j\in \{1,\dots ,\varphi (n)\}$ 使得 $h_{\alpha }{a}_j\equiv -1(\mathrm{mod}n)$, 可发现存在 $\beta \in \{1,\dots ,N\}$ 使得 $\beta \ne \alpha$ 且 $h_{\beta }=a_j$. 就这样以上述 $h_{\alpha }\sim h_{\beta }$ 形成 $\{h_1,\dots ,h_N\}$ 中的两两配对, 可以得到 $h_1\dots h_N\equiv (-1{)}^{N/2}(\mathrm{mod}n)$.
  对于 $\{a_1,\dots ,a_{\varphi (n)}\}-\{h_1,\dots ,h_N\}$, 可以通过 $a\sim a^{-1}$ 形成两两配对 (注意到这个时候不会出现 $a\equiv a^{-1}(\mathrm{mod}n)$) , 于是 $a_1\dots a_{\varphi (n)}\equiv h_1\dots h_N(\mathrm{mod}n)$.

$\square$

练习 2.3. $p,q$ 为不同的奇素数使得 $p-1|q-1$, 若 $(n,pq)=1$, 求证: $n^{q-1}\equiv 1(\mathrm{mod}pq)$

证明. Fermat 小定理的简单应用.

$\square$

练习 2.4. 用中国剩余定理求解$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}& x\equiv 1(\mathrm{mod}7)\\ & x\equiv 4(\mathrm{mod}9)\\ & x\equiv 3(\mathrm{mod}5)\end{array}\end{array}$$

证明. $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}& 225,280,441\equiv 1,0,0(\mathrm{mod}7)\\ & 225,280,441\equiv 0,1,0(\mathrm{mod}9)\\ & 225,280,441\equiv 0,0,1(\mathrm{mod}5)\end{array}\end{array}$$得到 $x\equiv 148(\mathrm{mod}315)$

$\square$

练习 2.5. $N$ 是 $f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}n)$ 的解的个数, $n=p_1^{a_1}\dots p_t^{a_t}$ 素因子分解, $N_i$ 是 $f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}{p}_i^{a_i})$ 的解的个数, 求证: $N=N_1{N}_2\dots N_t$.

证明. 容易说明 $\{x\in [0,n-1]|f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}n)\}$ 和 $\{x\in [0,p_1^{a_1}-1]|f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}{p}_1^{a_1})\}\times \dots \times \{x\in [0,p_t^{a_t}-1]|f(x)\equiv 0(\mathrm{mod}{p}_t^{a_t})\}$ 是一一对应, 比较元素个数即可.

$\square$

练习 2.6. 若 $p$ 是奇素数, 求证: $1,-1$ 是 $x^2\equiv 1(\mathrm{mod}{p}^{\alpha })$ 的唯二解.

证明. 略.

$\square$

练习 2.7. 求证: $x^2\equiv 1(\mathrm{mod}p=2^b)$ 有一个解当且仅当 $b=1$; 两个解当且仅当 $b=2$; 四个解当且仅当 $b⩾3$.

证明. 略.

$\square$

练习 2.8. 用 2.5, 2.6, 2.7 求出满足 $x^2\equiv 1(\mathrm{mod}n)$ 的解数 $N$.

证明. $n=2^b{p}_1^{{\alpha }_1}\dots p_t^{{\alpha }_t}$, 则$$\begin{array}{r}N=\{\begin{array}{rlr}& 2^t& b=0,1\\ & 2^{t+1}& b=2\\ & 2^{t+2}& b⩾3\end{array}\end{array}$$

$\square$

练习 2.9. 求证: 任何 $a+bi\in \mathbb{Z}[i]$, 都有 $a+bi\equiv 0$ 或 $1(\mathrm{mod}1+i)$.

证明. 若 $a\equiv b(\mathrm{mod}2)$, 则 $1+i|a+bi$; 若 $a\not\equiv b(\mathrm{mod}2)$, 则 $1+i|a+bi-1$.

$\square$

练习 2.10. $\lambda =1-\omega \in \mathbb{Z}[\omega ]$, 其中 $\omega$ 是 $3$ 次单位根, 若 $\alpha \in \mathbb{Z}[\omega ]$ 且 $\alpha \equiv 1(\mathrm{mod}\lambda )$, 求证: ${\alpha }^3\equiv 1(\mathrm{mod}9)$.

证明. 记 $\alpha =1+\beta \lambda$, $\beta \in \mathbb{Z}[\omega ]$, 可计算得 ${\alpha }^3-1=3\beta (1-\beta \omega )(1+\beta )(1-\omega )$. 注意到 $-{\omega }^2{\lambda }^2=3$, 代表 ${\lambda }^2\equiv 0(\mathrm{mod}3)$. 记 $\beta =a+b\omega$, $a,b\in \mathbb{Z}$, “逐步去掉 ${\lambda }^2$” 得到: $$\begin{array}{rl}\beta (1-\beta \omega )(1+\beta )(1-\omega )& ={\beta }^2(1+\beta ){\lambda }^2+\beta (1-{\beta }^2)\lambda \\ & \equiv \beta (1-{\beta }^2)\lambda (\mathrm{mod}3)\\ & =(a+b-b\lambda )(1-{\beta }^2)\lambda \\ & \equiv (a+b)(1-{\beta }^2)\lambda (\mathrm{mod}3)\\ & \equiv (a+b)(1-a-b)(1-a+b)\lambda (\mathrm{mod}3)\\ & \equiv 0(\mathrm{mod}3)\end{array}$$

$\square$

练习 2.11. 求证: $2$ 是 $\mathrm{mod}29$ 的原根.

证明. $\{2^n:n=1,\cdots ,28\}=\{2,4,8,16,3,6,12,24,19,9,18,7,14,28,27,25,21,13,26,23,17,5,10,20,11,22,15,1\}$.

$\square$

练习 2.12. 考虑具有 $4t+1$ 形式的素数 $p$, 求证: $a$ 是 $\mathrm{mod}p$ 的原根当且仅当 $-a$ 是 $\mathrm{mod}p$ 的原根.

证明. 若 $a$ 是 $\mathrm{mod}p$ 的原根, 反证法, $r$ 是 $-a$$\mathrm{mod}p$ 的阶, 假设 $r<p-1$, 假设 $r$ 为偶数, 则直接矛盾, 故 $r$ 为奇数, 有 $r|(p-1/2)$, 由 $p$ 是 $4t+1$ 型得 $a^{p-1/2}\equiv (-a{)}^{p-1/2}\equiv 1$ 矛盾.

$\square$

练习 2.13. 考虑具有 $4t+3$ 形式的素数 $p$, 求证: $a$ 是 $\mathrm{mod}p$ 的原根当且仅当 $-a$ $\mathrm{mod}p$ 的阶是 $p-1/2$.

证明. $⟸$: 若 $-a$ $\mathrm{mod}p$ 的阶是 $(p-1)/2$, 由 $p$ 是 $4t+3$ 型得 $a^{(p-1)/2}\equiv -1(\mathrm{mod}p)$, $r$ 是 $a$$\mathrm{mod}p$ 的阶, 可发现 $r$ 不能为奇数, 否则 $a^{(p-1)/2}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ 矛盾, 故 $r$ 被 $(p-1)/2$ 整除, 只能是 $p-1$, 代表 $a$ 是 $\mathrm{mod}p$ 的原根.
  $⟹$: 若 $a$ 是 $\mathrm{mod}p$ 的原根, 可推出 $(-a{)}^{(p-1)/2}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$, $r$ 是 $a$$\mathrm{mod}p$ 的阶, 有 $a^{2r}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$, 只能 $r=(p-1)/2$.

$\square$

练习 2.14. 设 $p$ 是 $8t+3$ 型素数, 且 $q=(p-1)/2$ 也是素数, 求证: $2$ 是 $\mathrm{mod}p$ 的原根.

证明. 由 2.13, 只要证 $-2$ $\mathrm{mod}p$ 的阶是 $q$: 容易发现 $-2\mathrm{mod}p$ 的阶只能是 $1,2,q,2q$ 其中之一, $1,2$ 是不可能的, 假设阶是 $2q$, 由 Legendre 符号相关知识: $1=-(-1)\equiv -(-2{)}^{(p-1)/2}=2^{(p-1)/2}\equiv \left(\frac{2}{p}\right)\equiv (-1{)}^{(p^2-1)/8}=-1$ 矛盾.

$\square$

练习 2.15. 求证: 所有原根的乘积 $\mathrm{mod}p$ 余 $(-1{)}^{\varphi (p-1)}$.

证明. $g$ 是 $\mathrm{mod}p$ 原根, 则 $g^d$ 也是原根当且仅当 $(d,\varphi (p))=(d,p-1)=1$, ${\sum }_{d\in [0,p-1],(d,p-1)=1}d=\varphi (p-1)\cdot (p-1)/2$.

$\square$

3HW3

以下默认 $p$ 是奇素数.

练习 3.1. 求证: $1^k+\dots +(p-1{)}^k\equiv \{\begin{array}{ll}0(\mathrm{mod}p)& 若p-1\nmid k\\ -1(\mathrm{mod}p)& 若p-1|k\end{array}$

证明. $p-1|k$ 则 Fermat 小定理, $p-1\nmid k$ 则取原根.

$\square$

练习 3.2. $2$ 是 $\mathrm{mod}29$ 的原根, 求 $x^7\equiv 1(\mathrm{mod}29)$ 的解.

证明. 全体解为 $\{2^{4n}:n=1,\cdots ,7\}=\{16,24,7,25,23,20,1\}$.

$\square$

练习 3.3. 求解: $1+x+x^2+\dots +x^6\equiv 0(\mathrm{mod}29)$

证明. 上题去掉 $1$, 得 $\{16,24,7,25,23,20\}$.

$\square$

练习 3.4. 如果 $a\mathrm{mod}p$ 阶为 $3$, 求证: $1+a\mathrm{mod}p$ 阶为 $3$

证明. 验证 $1+a$ 阶不为 $1,2,3$ 即可, 其中阶为 $3$ 会推出 $p=2$ 矛盾.

$\square$

练习 3.5. 求证: $x^2\equiv -1(\mathrm{mod}p)$ 有解当且仅当 $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$
$x^4\equiv -1(\mathrm{mod}p)$ 有解当且仅当 $p\equiv 1(\mathrm{mod}8)$

证明. 前者当且仅当 $\frac{p-1}{(p-1,2)}$ 是偶数, 后者当且仅当 $\frac{p-1}{(p-1,4)}$ 是偶数.

$\square$

练习 3.6. 求证: $a{x}^m+b{y}^n\equiv c(\mathrm{mod}p)$ 和 $a{x}^{m^{\prime }}+b{y}^{n^{\prime }}\equiv c(\mathrm{mod}p)$ 有相同个数的解, 其中 $m^{\prime }=(m,p-1),n^{\prime }=(n,p-1)$.

证明. 对于存在 $m$ 原根的 $m$, $m\nmid b$, 熟知 $x^n\equiv b(\mathrm{mod}m)$ 要么无解, 要么有 $(n,\varphi (m))$ 个解. 于是有: $$\begin{array}{rl}N(a{x}^m+b{y}^n\equiv c)& =\sum _{ai+bj\equiv c}N(x^m\equiv i)N(y^n\equiv j)\\ & =\sum _{ai+bj\equiv c}N(x^{m^{\prime }}\equiv i)N(y^{n^{\prime }}\equiv j)\\ & =N(a{x}^{m^{\prime }}+b{y}^{n^{\prime }}\equiv c)\end{array}$$

$\square$

练习 3.7. Book③, Exercise 3.6

解. (a) $45293$, (b) $810367$, (c) $514407$.

$\square$

练习 3.8. Book③, Exercise 3.7

解. $4894$.

$\square$

练习 3.9. Book③, Exercise 2.4

解. (a) $177$, (b) $(719,623)$, (c) $332$, (d) $365$.

$\square$

练习 3.10. Book③, Exercise 2.10

解. 略.

$\square$

练习 3.11. Book③, Exercise 2.17

解. (a) $1+4\times 9=37$, (b) $7+4\times 13=59$, (c) $20+13\times 23=319$.

$\square$

练习 3.12. Book③, Exercise 2.24

解. (a) 略, (b) $309086$, (c) 要默认 $p\nmid a,b$, (d) 略, (e) $1075$.

$\square$

练习 3.13. Book③, Exercise 2.27

证明. 抄书上证明, 略.

$\square$

练习 3.14. Book③, Exercise 2.28

解. (a) 得 $\left\{\begin{array}{rl}& x\equiv 15(\mathrm{mod}{2}^4)\\ & x\equiv 20(\mathrm{mod}{3}^3)\end{array}\right\}⟹x\equiv 47(\mathrm{mod}432).$

(b) 得 $\left\{\begin{array}{rl}& x\equiv 523(\mathrm{mod}{2}^{1}0)\\ & x\equiv 681(\mathrm{mod}{3}^6)\end{array}\right\}⟹x\equiv 223755(\mathrm{mod}746496).$

(c) 得 $\left\{\begin{array}{rl}& x\equiv 0(\mathrm{mod}2)\\ & x\equiv 13192165(\mathrm{mod}29^5)\end{array}\right\}⟹x\equiv 33703314(\mathrm{mod}41022298).$

(d) 得 $\left\{\begin{array}{rl}& x\equiv 0(\mathrm{mod}2)\\ & x\equiv 322(\mathrm{mod}709)\\ & x\equiv 534(\mathrm{mod}911)\end{array}\right\}⟹x\equiv 984414(\mathrm{mod}1291798).$

$\square$

4HW4

以下默认 $p$ 是奇素数.

练习 4.1. 求证: 若 $p\nmid a$, 则 $\sum _{x=0}^{p-1}\left(\frac{ax+b}{p}\right)=0$.

证明. 略.

$\square$

练习 4.2. 求证: $x^2-y^2\equiv a(\mathrm{mod}p)$ 的解的个数是 $\{\begin{array}{rlr}& p-1& 若p\nmid a\\ & 2p-1& 若p\mid a\end{array}$

证明. $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$.

$\square$

练习 4.3. 求证: $1^2\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot \dots \cdot (p-2{)}^2\equiv (-1{)}^{(p+1)/2}(\mathrm{mod}p)$.

证明. Wilson 定理的直接推论.

$\square$

练习 4.4. 若 $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$, 并且 $q=2p+1$ 也是素数, 并且 $p>3$, 求证: $2^p-1$ 不是素数.

证明. $2^p-1\equiv \left(\frac{2}{q}\right)-1\equiv (-1{)}^{(q^2-1)/8}-1\equiv 0(\mathrm{mod}q)$, 假设 $q=2^p-1$ 会和 $p>3$ 矛盾.

$\square$

练习 4.5. $f(x)\in \mathbb{Z}[x]$, 称素数 $p$ 整除 $f(x)$: 如果存在 $b\in \mathbb{Z}$ 使得 $p\mid f(n)$, 描述 $x^2+1$ 和 $x^2-2$ 的素因子.

证明. 前者是 $4t+1$ 型素数和 $2$, 后者是 $8t+1,8t+7$ 型素数和 $2$.

$\square$

练习 4.6. 接 4.5, 求证: $x^4-x^2+1$ 的任何素因子 $\mathrm{mod}12$ 余 $1$.

证明. $x^4-x^2+1=(x^2-1{)}^2+x^2$ 可推得 $\left(\frac{-1}{p}\right)=1$, $x^4-x^2+1=(x^2+1{)}^2-3x^2$ 可推得 $\left(\frac{3}{p}\right)=1$, 利用二次互反律可以推 $p\equiv 1\mathrm{mod}12$.

$\square$

练习 4.7. 利用 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\ast }$ 是循环群求证: $\left(\frac{-3}{p}\right)=1$ 在 $p\equiv 1\mathrm{mod}3$ 时成立.

证明. $p\equiv 1\mathrm{mod}3$ 时, $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\ast }$ 有阶为 $3$ 的元素 $\rho$, 说明 $(2\rho +1{)}^2\equiv -3(\mathrm{mod}p)$

$\square$

练习 4.8. 若 $p\equiv 1(\mathrm{mod}5)$, 求证: $\left(\frac{5}{p}\right)=1$

证明. $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}{)}^{\ast }$ 有阶为 $5$ 的元素 $\rho$, 说明 $(2(\rho +{\rho }^4)+1{)}^2\equiv 5(\mathrm{mod}p)$.

$\square$

练习 4.9. Book③, Exercise 3.13(a)

证明. 略.

$\square$

练习 4.10. Book③, Exercise 3.14(a)(b)

解. (a) $2^{69},2^{2\times 69},2^{4\times 69},2^{8\times 69}\equiv 967,259,781,1(\mathrm{mod}1105)$.
(b) $2^{36801},2^{2\times 36801},2^{4\times 36801}\equiv 512,262144,1(\mathrm{mod}294409)$.

$\square$

练习 4.11. Book③, Exercise 3.21

解. (a) $(2^{6!}-1,1739)=37$, (b) $(2^{8!}-1,220459)=449$,
(c) $(2^{19!}-1,48356747)=6917$.

$\square$

练习 4.12. Book③, Exercise 3.32

证明. 略.

$\square$

5HW5

练习 5.1. 计算: ${\sum }_{a=1}^{p-1}{g}_a$.

证明. ${\sum }_{a=1}^{p-1}{g}_a={\sum }_{a=1}^{p-1}\left(\frac{a}{p}\right)g_1=0$.

$\square$

练习 5.2. 求证: $g={\sum }_t{\zeta }^{t^2}$.

证明. ${\sum }_t{\zeta }^{t^2}={\sum }_{t}N(x^2\equiv t){\zeta }^t={\sum }_t\left(1+\left(\frac{t}{p}\right)\right){\zeta }^t=g$.

$\square$

练习 5.3. 记 ${\psi }_a(t)={\zeta }^{at}$, 求证:

(1)	$\overline{{\psi }_a(t)}={\psi }_a(-t)={\psi }_{-a}(-t)$.
(2)	$\frac{1}{p}\sum _{a=0}^{p-1}{\psi }_a(t-s)=\delta (t,s)$.

证明. 略.

$\square$

练习 5.4. $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{C}$, $p$ 素数且对任何 $n\in \mathbb{Z}$ 有 $f(n+p)=f(n)$, 记 $\hat{f}(a):=p^{-1}{\sum }_{t}f(t){\psi }_{-a}(t)$, 求证: $f(t)=p^{-1}{\sum }_a\hat{f}(a){\psi }_{-a}(t)$.

证明. $\hat{f}(a)$ 的定义式代入 $p^{-1}{\sum }_a\hat{f}(a){\psi }_{-a}(t)$, 利用 5.3 简化即可.

$\square$

练习 5.5. 接 5.4, 取 $f$ 是 Legendre 符号, 求证: $\hat{f}(a):=p^{-1}{g}_{-a}$.

证明. 略.

$\square$

练习 5.6. 求证: $\left|\sum _{t=m}^n\left(\frac{t}{p}\right)\right|<\sqrt{p}\log p$

证明. 去证 $\left|\sum _{t=m}^n{g}_t\right|<p\log p$ (如果证完那么两边同除 $|g|=\sqrt{p}$ 就好) : 将 $g_t$ 展开, 对 $\mathrm{LHS}$ 求和号换序, 可以推出$$\mathrm{LHS}⩽\sum _{a=1}^{p-1}\left|\frac{1-{\zeta }^{(n-m+1)a}}{1-{\zeta }^a}\right|,$$然后$$\begin{array}{rl}\sum _{a=1}^{p-1}\left|\frac{1-{\zeta }^{(n-m+1)a}}{1-{\zeta }^a}\right|& ⩽\sum _{a=1}^{p-1}\left|\frac{2}{2\sin (\pi a/p)}\right|=2\sum _{a=1}^{(p-1)/2}\frac{1}{\sin (\pi a/p)}⩽2\sum _{a=1}^{(p-1)/2}\frac{1}{2a/p}\\ & <p\sum _{a=1}^{p-1}\frac{1}{a}<p\sum _{a=1}^{p-1}\log \left(1+\frac{1}{a}\right)=p\log p.\end{array}$$

$\square$

6HW6

练习 6.1. $\chi$ 是 ${\mathbb{F}}_p$ 的非平凡乘法特征, $\rho$ 是 ${\mathbb{F}}_p$ 阶数为 $2$ 的乘法特征, 求证: ${\sum }_t\chi (1-t^2)=J(\chi ,\rho )$.

证明. $$\begin{array}{rl}J(\chi ,\rho )& =\sum _{a+b=1}\chi (a)(N(x^2=b)-1)\\ & =\chi (1)+\sum _{\left(\frac{b}{p}\right)=1,a+b=1}2\chi (a)-\sum _a\chi (a)\\ & =\sum _t\chi (1-t^2)\end{array}$$

$\square$

练习 6.2. 求证: 若 $k\in {\mathbb{F}}_p$, $k\ne 0$, 则 ${\sum }_t\chi (t(k-t))=\chi (k^2/4)J(\chi ,\rho )$.

证明. 用 6.1, 中间过程换元, $$\begin{array}{rl}J(\chi ,\rho )& =\sum _t\chi (t)\chi (2-t)\\ & =\left(\sum _t\chi (t)\chi (1-t)\right)\chi (4)\\ & =\left(\sum _t\chi (t)\chi (k-t)\right)\chi (4/k^2)\end{array}$$

$\square$

练习 6.3. 若 ${\chi }^2\ne \epsilon$, 求证: $g(\chi {)}^2=\chi (2{)}^{-2}J(\chi ,\rho )g({\chi }^2)$

证明. 用 6.2, $$\begin{array}{rl}g(\chi {)}^2& =\sum _k\sum _t\chi (t(k-t)){\zeta }^k\\ & =\sum _t\chi (-t^2)+\sum _{k\ne 0}J(\chi ,\rho )\chi (k^2/4){\zeta }^k\\ & =0+J(\chi ,\rho )g({\chi }^2)\chi (2{)}^{-2}\end{array}$$

$\square$

练习 6.4. ${\chi }^2\ne \epsilon$, 求证: $J(\chi ,\chi )=\chi (2{)}^{-2}J(\chi ,\rho )$.

证明. 用 6.3, $J(\chi ,\chi )=\frac{g(\chi {)}^2}{g({\chi }^2)}=\chi (2{)}^{-2}J(\chi ,\rho )$.

$\square$

练习 6.5. 设 $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$, $\chi$ 是阶为 $4$ 的乘法特征, 显然 ${\chi }^2=\rho$, 求证: $J(\chi ,\chi )=\chi (-1)J(\chi ,\rho )$.

证明. Chapter 8, Prop 8.3.3 告诉我们 $g(\chi {)}^4=\chi (-1)pJ(\chi ,\chi )J(\chi ,\rho )$, 同时由 6.3 和此时 $g(\rho )=g=\sqrt{p}$, $g(\chi {)}^4=\chi (2{)}^{-4}J(\chi ,\rho {)}^{2}g(\rho {)}^2=J(\chi ,\rho {)}^{2}p$, 随后得证.

$\square$

练习 6.6. (6.1 的推广)

$p$ 是奇素数, 求证: ${\sum }_t\chi (1-t^m)={\sum }_{{\lambda }^m=\epsilon }J(\chi ,\lambda )$, 随后求证: $|{\sum }_t\chi (1-t^m)|⩽(m-1)p^{1/2}$.

证明. $$\begin{array}{rl}\sum _t\chi (1-t^m)& =\sum _y\chi (1-y)N(x^m=y)\\ & =\sum _y\chi (1-y)\sum _{{\lambda }^m=\epsilon }\lambda (y)\\ & =\sum _{{\lambda }^m=\epsilon }J(\chi ,\lambda )\end{array}$$其中$$\begin{array}{r}|J(\chi ,\lambda )|=\{\begin{array}{rlr}& 0& (\lambda =\epsilon )\\ & \sqrt{p}& (\lambda \ne \epsilon ,\chi \lambda \ne \epsilon )\\ & |-\chi (-1)|=1& (\lambda \ne \epsilon ,\chi \lambda =\epsilon )\end{array}\end{array}$$代表 $|J(\chi ,\lambda )|⩽\sqrt{p}$ 恒成立, 同时 $\lambda$ 只和 $\lambda (g)$ 有关 ($g$ 是 $\mathrm{mod}p$ 的原根) , 故满足 ${\lambda }^m=\epsilon$ 且不为 $\epsilon$ 的 $\lambda$ 最多有 $m-1$ 个.

$\square$

练习 6.7. 若 $p\equiv 1(\mathrm{mod}3)$, $\chi$ 是阶为 $3$ 的乘法特征, 用 6.3 求证: $g(\chi {)}^3=p\pi$, 其中 $\pi =\chi (2)J(\chi ,\rho )$.

证明. 由 6.3 立刻得到 $g(\chi {)}^3=\chi (2)J(\chi ,\rho )g({\chi }^2)g(\chi )$, 再由 $g({\chi }^2)g(\chi )=g({\chi }^{-1})g(\chi )=\chi (-1)p=p$ 得证.

$\square$

练习 6.8. 接 6.7, 求证: $\chi \rho$ 阶为 $6$, 且 $g(\chi \rho {)}^6=(-1{)}^{(p-1)/2}p{\overline{\pi }}^4$.

证明. 先说明 $(\chi \rho {)}^6=\epsilon$ 且 $(\chi \rho {)}^2,(\chi \rho {)}^3\ne \epsilon$, 再由 6.7 $$\begin{array}{rl}g(\chi ,\rho {)}^6& ={\left(\frac{g(\chi )g(\rho )}{J(\chi ,\rho )}\right)}^6\\ & =\frac{p^2{\pi }^2(-1{)}^{(p-1)/2}{p}^3}{(\pi \chi (2{)}^{-1}{)}^6}\\ & =(-1{)}^{(p-1)/2}{p}^5(\pi \overline{\pi }{)}^{-4}{\overline{\pi }}^4\end{array}$$再由 $|\pi {|}^2=|J(\chi ,\rho ){|}^2=p$ 得证.

$\square$

练习 6.9. 用 Gauss 定理 (Chapter 8, Theorem 2) 求 $x^3+y^3=1$ 在 $p=13,19,37,97$ 下解的个数.

证明. 先找满足 $4p=A^2+27B^2$ 且 $A\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ 的 (已经证明是唯一的) $A$, 求 $p-2+A$ 即可, $p=13,19,37,97$ 分别对应 $A=-5,7,-11,19$, $B=1,1,1,1$, 分别求得解的个数是 $6,24,24,114$.

$\square$

练习 6.10. 若 $p\equiv 1(\mathrm{mod}n)$, $\chi$ 阶数是 $n$, 求证: $g(\chi {)}^n\in \mathbb{Z}[\zeta ]$, 其中 $\zeta =e^{2\pi i/n}$.

证明. $n=2$ 平凡, $n>2$ 时 Chapter 8, Prop 8.3.3 告诉我们 $g(\chi {)}^n=\chi (-1)pJ(\chi ,\chi )J(\chi ,{\chi }^2)\dots J(\chi ,{\chi }^{n-2})$. 容易发现 $\chi (-1)\in \mathbb{Z},J(\chi ,{\chi }^k)\in \mathbb{Z}[\zeta ]$.

$\square$

练习 6.11. 若 $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$, $\chi$ 阶数是 $4$, $N$ 是 $x^4+y^4=1$ 在 ${\mathbb{F}}_p$ 中解的个数, 求证: $N=p+1-4{\delta }_4(-1)+2\Re J(\chi ,\chi )+4\Re J(\chi ,\rho )$.

证明. Chapter 8 §4 告诉我们 $N=p+1-4{\delta }_4(-1)+{\sum }_{i\ne 0,j\ne 0,i+j\not\equiv 0}(\mathrm{mod}4)J({\chi }^i,{\chi }^j)$, 再把共轭的, 对称的合并一下就得证.

$\square$

练习 6.12. 接 6.11, 由 6.5 $J(\chi ,\chi )=\chi (-1)J(\chi ,\rho )$, 记 $\pi =-J(\chi ,\rho )$, 求证:

(1)	$N=p-3-6\Re \pi$ 在 $p\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ 时成立.
(2)	$N=p+1-2\Re \pi$ 在 $p\equiv 5(\mathrm{mod}8)$ 时成立.

证明. ${\delta }_4(-1)=1$ 当且仅当 $\chi (-1)=1$, 当且仅当 $-1$ 是 $\mathrm{mod}p$ 的 $4$ 次剩余, 当且仅当 $4y\equiv (p-1)/2(\mathrm{mod}p-1)$ 有解, 当且仅当 $p\equiv 1(\mathrm{mod}8)$.

$\square$

练习 6.13. 接 6.12, 记 $\pi =a+bi\in \mathbb{Z}$, 先默认一个事实: $a$ 奇数, $b$ 偶数, 并且$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{ll}a\equiv 1(\mathrm{mod}4)& 4\mid b时\\ a\equiv -1(\mathrm{mod}4)& 4\nmid b时\end{array}\end{array}$$设 $p=A^2+B^2$ 且 (已知) 可通过 $A\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ 唯一确定 $A$, 求证:

(1)	$N=p-3-6A$ 在 $p\equiv 1(\mathrm{mod}8)$ 时成立.
(2)	$N=p+1+2A$ 在 $p\equiv 5(\mathrm{mod}8)$ 时成立.

证明. 略, 有兴趣可以试试看证明这个事实, 大概是先证明 $\pi \equiv 1(\mathrm{mod}2(1+i))$, 再用 Chapter 11 §5, Lemma 即可.

$\square$

练习 6.14. 求出 ${\mathbb{F}}_p$ 中 $x_1^2+x_2^2+\dots +x_r^2=0$ 的解数.

证明. $$\begin{array}{rl}N& =p^{r-1}+J_0(\underset{r}{\underbrace{\rho ,\dots ,\rho }})\\ & =\{\begin{array}{rlr}& p^{r-1}& (2\nmid r)\\ & p^{r-1}+\rho (-1)J(\underset{r-1}{\underbrace{\rho ,\dots ,\rho }})(p-1)& (2\mid r)\end{array}\end{array}$$其中$$\begin{array}{rl}\rho (-1)J(\underset{r-1}{\underbrace{\rho ,\dots ,\rho }})(p-1)& =\rho (-1)\frac{\underset{r-1}{\underbrace{g(\rho )\dots g(\rho )}}}{g(\rho )}(p-1)\\ & =(-1{)}^{(p-1)/2}(-1{)}^{(p-1)(r-2)/4}{p}^{(r-2)/2}(p-1)\end{array}$$

$\square$

练习 6.15. (推广 Chapter 8, Proposition 8.6.1)
求 ${\mathbb{F}}_p$ 中 $a_1{x}_1^2+\dots +a_r{x}_r^2=1$ 的解数, 其中 $a_1,\dots ,a_r$ 均不为 $0$.

证明. $$\begin{array}{r}N=p^{r-1}+J(\underset{r}{\underbrace{\rho ,\dots ,\rho }})\rho (a_1\dots a_r{)}^{-1}\end{array}$$$2\nmid r$ 时在 6.14 已经算出 $J(\underset{r}{\underbrace{\rho ,\dots ,\rho }})=(-1{)}^{(p-1)(r-1)/4}{p}^{(r-1)/2}$.
$2\mid r$ 时$$\begin{array}{rl}J(\underset{r}{\underbrace{\rho ,\dots ,\rho }})& =-\rho (-1)J(\underset{r-1}{\underbrace{\rho ,\dots ,\rho }})\\ & =-(-1{)}^{(p-1)r/4}{p}^{(r-2)/2}\end{array}$$

$\square$

练习 6.16. 若 $p\equiv 1(\mathrm{mod}d)$, $\zeta =e^{2\pi i/p}$, 求证: ${\sum }_x{\zeta }^{a{x}^d}={\sum }_{r}N(x^d=r){\zeta }^{ar}$

证明. 略.

$\square$

练习 6.17. 接 6.16, 并且 $p\nmid a$, 求证: ${\sum }_x{\zeta }^{a{x}^d}={\sum }_{{\chi }^d=\epsilon ,\chi \ne \epsilon }{g}_a(\chi )$.

证明. 略.

$\square$

练习 6.18. $f(x_1,\dots ,x_n)\in {\mathbb{F}}_p[x_1,\dots ,x_n]$, $N$ 是 $f$ 在 ${\mathbb{F}}_p$ 中解的个数, 求证: $N=p^{n-1}+p^{-1}{\sum }_{a\ne 0}\left({\sum }_{x_1,\dots ,x_n}{\zeta }^{af(x_1,\dots ,x_n)}\right)$

证明. $$\begin{array}{rl}\sum _{a\ne 0}\left(\sum _{x_1,\dots ,x_n}{\zeta }^{af(x_1,\dots ,x_n)}\right)& =\sum _r\left(\sum _{a\ne 0}{\zeta }^{ar}\right)N(f(x_1,\dots ,x_n)=r)\\ & =(p-1)N(f(x_1,\dots ,x_n)=0)-\sum _{r\ne 0}N(f(x_1,\dots ,x_n)=r)\\ & =pN-p^n\end{array}$$

$\square$

练习 6.19. 接 6.18, 取 $f(x_1,\dots ,x_n)=a_1{x}_1^{m_1}+\dots +a_n{x}_n^{m_n}$, 其中 $p\nmid a_1,\dots ,a_n$, 记 $d_i=(m_i,p-1)$, 求证: $N=p^{n-1}+p^{-1}{\sum }_{a\ne 0}{\prod }_{i=1}^n{\sum }_{{\chi }_i^{d_i}=\epsilon ,{\chi }_i\ne \epsilon }{g}_{a{a}_i}({\chi }_i)$.

证明. $$\begin{array}{rl}N& =p^{n-1}+p^{-1}\sum _{a\ne 0}\left(\sum _{x_1,\dots ,x_n}{\zeta }^{a(a_1{x}_1^{d_1}+\dots +a_n{x}_n^{d_n})}\right)\\ & =p^{n-1}+p^{-1}\sum _{a\ne 0}\left(\sum _{{\chi }^{d_1}=\epsilon ,\chi \ne \epsilon }{g}_{a{a}_1}(\chi )\right)\dots \left(\sum _{{\chi }^{d_n}=\epsilon ,\chi \ne \epsilon }{g}_{a{a}_n}(\chi )\right)\end{array}$$其中第一个等号用了 6.18, 第二个等号用了 6.17.

$\square$

练习 6.20. 接 6.19, 求证: $|N-p^{n-1}|⩽(p-1)(d_1-1)\dots (d_n-1)p^{n/2-1}$.

证明. 略.

$\square$

练习 6.21. 素数 $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$, $\chi$ 是 ${\mathbb{F}}_p$ 上阶为 $4$ 的乘法特征, $\rho$ 是 Lebesgue 符号, 记 $J(\chi ,\rho )=a+bi\in \mathbb{Z}[i]$, 求证:

(1)	$N(y^2+x^4=1)=p-1+2a$
(2)	$N(y^2=1-x^4)=p+{\sum }_x\rho (1-x^4)$
(3)	$2a\equiv -(-1{)}^{(p-1)/4}{C}_{2m}^m(\mathrm{mod}p)$, 其中 $m=(p-1)/4$.
(4)	用 $p=13,17,29$ 验证 (3).

证明. (a)$$N(y^2+x^4=1)=\sum _{i=0}^1\sum _{j=0}^{3}J({\rho }^i,{\chi }^j)=p-\rho (-1)+2\Re J(\rho ,\chi )=p-1+2a.$$(b) 用 6.6,$$\sum _x\rho (1-x^4)=\sum _{{\lambda }^4=\epsilon }J(\rho ,\lambda )=2a-1.$$(c) 由 (b),$$2a\equiv 1+\sum _{x=0}^{p-1}(1-x^4{)}^{(p-1)/2}=1+1+\sum _{k=0}^{(p-1)/2}{C}_{(p-1)/2}^k(-1{)}^k\sum _{x=1}^{p-1}{x}^{4k},$$其中取原根分析可知 $\sum _{x=1}^{p-1}{x}^{4k}\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)$ 当且仅当 $(p-1)/4\nmid k$, 且此时一定余 $-1$. 于是可以得到 (c).

(d) 用 6.13 可以得到 $a$, 具体验证细节略.

$\square$

7HW7

练习 7.1. $f(x_0,x_1.x_2)\in F[x_0,x_1,x_2]$ 是 $n$ 次齐次多项式, 如果任意给定的不全为零的 $a_0,a_1,a_2$, $a_0{x}_0+a_1{x}_1+a_2{x}_2=0$ 的解不全是 $f(x_0,x_1,x_2)$ 的解, 求证: 在射影空间 $P^2(F)$ 中, $f=0$ 和 $a_0{x}_0+a_1{x}_1+a_2{x}_2=0$ 最多有 $n$ 个公共解.

证明. 不妨 $a_0=1$, 考虑 $g(x,y)=f(-a_{1}x-a_{2}y,x,y)$, 那么 “$[u_0,u_1,u_2]\in P^2(F)$ 是 $f=0$ 和 $a_0{x}_0+a_1{x}_1+a_2{x}_2=0$ 的公共解” 当且仅当 “$g(u_1,u_2)=0$”, 并且 $u_1,u_2$ 不全为 $0$.
可以说明: 若 $[v_1,v_2]\in P^1(F)$ ($v_1,v_2$ 不全为 $0$) 是 $g(x,y)=0$ 的解, 则 $g(x,y)$ 含有因式 $(v_{2}x-v_{1}y)$.
同时 $g(x,y)$ 是 $n$ 次齐次的, 最多含有 $n$ 个形如 $(v_{2}x-v_{1}y)$ 的因式, 故上述 $u_1,u_2$ 最多 $n$ 种.

$\square$

练习 7.2. $F$ 是 $q$ 个元素的域, 求证: ${\mathrm{Sl}}_n(F)$ 可看做是 $A^{n^2}(F)$ 的一个超曲面, 并求出这个超曲面上点的个数.

证明. 考虑行列式的多项式表示. $|{\mathrm{Gl}}_n(F)|=(q^n-1)(q^n-q)\dots (q^n-q^{n-1})$, $|{\mathrm{Sl}}_n(F)|=|{\mathrm{Gl}}_n(F)|(q-1{)}^{-1}$.

$\square$

练习 7.3. $f\in F[x_0,x_1,\dots ,x_n]$, 自然可定义 $\frac{\partial f}{\partial x_0},\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}$. 若 $f$ 是 $m$ 次齐次多项式, 求证: ${\sum }_{i=0}^n{x}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}=mf$.

证明. 去证 $x_0^{{\alpha }_0}\dots x_n^{{\alpha }_n}$ 版本即可.

$\square$

练习 7.4. 接 7.3, 若 $f$ 齐次, $\overline{a}$ 是由 $f$ 定义的超曲面上的一点, 则称 $\overline{a}$ 是奇异的: 如果它同时还是 $\frac{\partial f}{\partial x_0},\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}$ 的零点. 如果 $\mathrm{deg}f$ 和 $\mathrm{char}F$ 互素, 求证: $\frac{\partial f}{\partial x_0},\frac{\partial f}{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}$ 的公共零点自然是 $f$ 的零点.

证明. 用 7.3 结论即可.

$\square$

练习 7.5. 接 7.4, 若 $\mathrm{deg}f$ 和 $\mathrm{char}F$ 互素, $a_0,\dots ,a_n\in F$ 全不为 $0$, 求证: 由 $a_0{x}_0^m+\dots +a_n{x}_n^m$ 定义的超曲面没有奇异点.

证明. 略.

$\square$

练习 7.6. 求证: 对于任意 $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 和有限域 ${\mathbb{F}}_q$, 存在一个 $m$ 元 $m$ 次齐次多项式没有非平凡的零点.

证明. 考虑域扩张 ${\mathbb{F}}_{q^m}/{\mathbb{F}}_q$ 下的一组基 ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_m$, 取$$\begin{array}{r}f(x_1,\dots ,x_m)=\prod _{i=0}^{m-1}({\omega }_1^{q^i}{x}_1+\dots +{\omega }_m^{q^i}{x}_m)\end{array}$$先说明在 Frobenius 同态 $\sigma :x\mapsto x^q$ 下 $f$ 保持不变, 从而得到 $f\in {\mathbb{F}}_q[x_1,\dots ,x_m]$ 是 $m$ 次齐次多项式.
再反证法, 假设 $f$ 有一个非平凡的零点 $\overline{a}:=[a_1,\dots ,a_m]$, 则存在 $j\in [0,m-1]$ 使得: $$\begin{array}{r}{\omega }_1^{q^j}{a}_1+\dots +{\omega }_m^{q^j}{a}_m=0\end{array}$$对它作用 ${\sigma }^{m-j}$ 可以得到 ${\omega }_1{a}_1+\dots +{\omega }_m{a}_m=0$, 只能 $a_1=\dots =a_m=0$ 矛盾.

$\square$

练习 7.7. $g_1,\dots ,g_m\in {\mathbb{F}}_q[x_1,\dots ,x_n]$ 都是 $d$ 次齐次多项式, 如果 $n>md$, 求证: $g_1,\dots ,g_m$ 存在公共的非平凡零点.

证明. 利用上 7.6 得到的 $f(x_1,\dots ,x_m)$, 考虑 $h(x_1,\dots ,x_n)=f(g_1(x_1,\dots ,x_n),\dots ,g_m(x_1,\dots ,x_n))$, 这是 $md$ 次齐次多项式.
由 Chevalley 定理, $h$ 存在非平凡零点; 同时由 7.6, 这个零点一定是 $g_1,\dots ,g_m$ 的公共零点.

$\square$

练习 7.8. 求证: 若 $\alpha \in {\mathbb{F}}_q$, $\mathrm{char}F=p$, 且 $\mathrm{Tr}\alpha =0$, 则存在 $\beta \in {\mathbb{F}}_q$ 使得 $\alpha =\beta -{\beta }^p$.

证明. $q=p^n$, 熟知 $\mathrm{Tr}$ 满, 从而有 $\dim \ker \mathrm{Tr}=n-1$; 记 $\tau =\mathrm{id}-\sigma :x\mapsto x-x^p$, 可发现 $\mathrm{Im}\tau \subseteq \ker \mathrm{Tr}$; 同时 $\ker \tau ={\mathbb{F}}_p$, 故 $\dim \mathrm{Im}\tau =n-1$.
综上, $\mathrm{Im}\tau =\ker \mathrm{Tr}$.

$\square$

练习 7.9. $\psi :{\mathbb{F}}_q\to {\mathbb{C}}^{\ast }$ 且使得 $\psi (\alpha +\beta )=\psi (\alpha )\psi (\beta )$, 求证: 存在 $\gamma \in {\mathbb{F}}_q$ 使得 $\psi (x)={\zeta }^{\mathrm{Tr}(\gamma x)}$, 其中 $\zeta =e^{2\pi i/p}$.

证明. 取 ${\mathbb{F}}_q/{\mathbb{F}}_p$ 的一组基 ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_n$, 记 $\psi ({\omega }_j)={\zeta }^{c_j}$, $c_j\in {\mathbb{F}}_p$. (因为 $\psi (x{)}^p=\psi (px)=\psi (0)=1$.)
考虑 $T:=(\mathrm{Tr}({\omega }_i{\omega }_j){)}_{1⩽i,j⩽n}\in M_n({\mathbb{F}}_p)$. 可以说明 $\det T\ne 0$ (否则 $T(a_1,\dots ,a_n{)}^{\mathrm{tr}}=0$ 存在非零解, 从而存在 $\alpha \ne 0\in {\mathbb{F}}_q$ 使得 $\mathrm{Tr}(\alpha x)=0$ 恒成立, 这和 $\ker \mathrm{Tr}\ne {\mathbb{F}}_q$ 矛盾) .
于是 $T({\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_n{)}^{\mathrm{tr}}=(c_1,\dots ,c_n{)}^{\mathrm{tr}}$ 有解, 取 $\gamma ={\gamma }_1{\omega }_1+\dots +{\gamma }_n{\omega }_n$. 去验证满足题意.

$\square$

练习 7.10. 若 $g_a(\chi )$ 是 ${\mathbb{F}}_q$ 上的 Gauss 和, 求证:

(1)	$g_a(\chi )=\chi (a)g(\chi )$.
(2)	$g({\chi }^{-1})=g(\overline{\chi })=\chi (-1)\overline{g(\chi )}$.
(3)	$|g_a(\chi )|=q^{1/2}$.
(4)	$g(\chi )g({\chi }^{-1})=\chi (-1)q$.

证明. ${\mathbb{F}}_p$ 上的 Gauss 和相关性质怎么证这个就怎么证, 略.

$\square$

练习 7.11. 若 $f:{\mathbb{F}}_q\to \mathbb{C}$, 定义 $\hat{f}(s)=q^{-1}{\sum }_{t}f(t)\overline{\psi (st)}$. 求证: $f(t)={\sum }_s\hat{f}(s)\psi (st)$.

证明. 略.

$\square$

练习 7.12. 若可以将幂级数 $1+a_{1}u+a_2{u}^2+\dots$ 写成两个多项式之商 $P(u)/Q(u)$, 求证: 自然可设 $P(0)=Q(0)=1$.

证明. 略.

$\square$

练习 7.13. 计算 ${\mathbb{F}}_p$ 上 $x_0{x}_1-x_2{x}_3=0$ 的 Zeta 函数.

证明. 直接计算 $N_s=p^{2s}+2p^s+1$, 从而得到 $Z_f(u)=(1-p^{2}u{)}^{-1}(1-pu{)}^{-2}(1-u{)}^{-1}$.

$\square$

练习 7.14. $a_0,\dots ,a_n\in {\mathbb{F}}_q$ 全不为 $0$, $2\nmid q$, 计算 ${\mathbb{F}}_q$ 上 $a_0{x}_0^2+\dots +a_n{x}_n^2$ 的 Zeta 函数. (注: 会按 $q\equiv 1,3(\mathrm{mod}4)$, $n$ 的奇偶性分类)

证明. 由 Chapter 11 §3, $$\begin{array}{rl}{N}_s& =\{\begin{array}{rlr}& (q^{s(n-1)}+\dots +q^s+1)& 2\mid n\\ & (q^{s(n-1)}+\dots +q^s+1)+\frac{1}{q^s}({\chi }^{(s)}(a_0{a}_1\dots a_n){)}^{-1}g({\chi }^{(s)}{)}^{n+1}& 2\nmid n\end{array}\end{array}$$其中 $2\nmid n$ 时$$\begin{array}{rl}g({\chi }^{(s)}{)}^{n+1}& =({\chi }^{(s)}(-1)q^s{)}^{(n+1)/2}\\ & =(-1{)}^{\frac{q^s-1}{2}\cdot \frac{n+1}{2}}{q}^{\frac{n+1}{2}\cdot s}\\ & =\{\begin{array}{rlr}& q^{\frac{n+1}{2}\cdot s}& q\equiv 1(\mathrm{mod}4)\\ & (-1{)}^{\frac{n+1}{2}\cdot s}{q}^{\frac{n+1}{2}\cdot s}& q\equiv 3(\mathrm{mod}4)\end{array}\end{array}$$$$\begin{array}{r}({\chi }^{(s)}(a_0{a}_1\dots a_n))=(a_0\dots a_n{)}^{\frac{q-1}{2}\cdot (1+q+\dots +q^{s-1})}=(a_0\dots a_n{)}^{\frac{q-1}{2}\cdot s}\end{array}$$(这是因为 $(a_0\dots a_n{)}^{(q-1)/2}\in \{\pm 1\}$) 于是: $$\begin{array}{r}{Z}_f(u)=\{\begin{array}{rlr}& (1-q^{n-1}u{)}^{-1}\dots (1-qu{)}^{-1}(1-u{)}^{-1}& 2\mid n\\ & (1-q^{n-1}u{)}^{-1}\dots (1-qu{)}^{-1}(1-u{)}^{-1}(1-(a_0\dots a_n{)}^{\frac{q-1}{2}}{q}^{\frac{n-1}{2}}u{)}^{-1}& 2\nmid n,q\equiv 1(\mathrm{mod}4)\\ & (1-q^{n-1}u{)}^{-1}\dots (1-qu{)}^{-1}(1-u{)}^{-1}(1-(-1{)}^{\frac{n+1}{2}}(a_0\dots a_n{)}^{\frac{q-1}{2}}{q}^{\frac{n-1}{2}}u{)}^{-1}& 2\nmid n,q\equiv 3(\mathrm{mod}4)\end{array}\end{array}$$

$\square$

练习 7.15. 考虑 $x_0^3+x_1^3+x_2^3=0$ 在 ${\mathbb{F}}_4$ 中, 求证: $P^2({\mathbb{F}}_4)$ 中存在 $9$ 个点, 并计算相应的 Zeta 函数.

证明. $\chi$ 是 ${\mathbb{F}}_4$ 上阶为 $3$ 的乘法特征, 由 Chapter 11 §3, $$\begin{array}{r}{N}_s=4^s+1+\frac{1}{4^s}(g({\chi }^{(s)}{)}^3+g({\chi }^{(s)2}{)}^3)\end{array}$$首先记 ${\mathbb{F}}_4=\{0,1,g,g^2\}$, $\chi (g)=\omega :={\zeta }_3=e^{2\pi i/3}$. 则有: $$\begin{array}{rl}g(\chi )& =\chi (1)\cdot {\zeta }_2^{\mathrm{Tr}(1)}+\chi (g)\cdot {\zeta }_2^{\mathrm{Tr}(g)}+\chi (g^2)\cdot {\zeta }_2^{\mathrm{Tr}(g^2)}\\ & =1\cdot (-1{)}^0+\omega \cdot (-1{)}^1+{\omega }^2\cdot (-1{)}^1=2\end{array}$$再由 Chapter 11 §3, Theorem 1 (Hasse–Davenport 定理), $g({\chi }^{(s)})=-(-g(\chi ){)}^s=-(-2{)}^s$. 同时 $g({\chi }^{(s)2})=g({\chi }^{(s)-1})={\chi }^{(s)}(-1)g({\chi }^{(s)})=-(-2{)}^s$. 于是: $$\begin{array}{r}{N}_s=4^s+1-2(-2{)}^s\end{array}$$继而: $$\begin{array}{r}{Z}_f(u)=(1+2u{)}^2(1-4u{)}^{-1}(1-u{)}^{-1}\end{array}$$

$\square$

练习 7.16. 计算 ${\mathbb{F}}_p$ 上 $y^2=x^3+x^2$ 的 Zeta 函数. (非齐次多项式的 Zeta 函数的定义方式要看 Chapter 11, Exercise 8)

证明. (Recall:$f(x_1,\dots ,x_n)\to \overline{f}(y_0,\dots ,y_n):=y_0^{\mathrm{deg}f}\cdot f(\frac{y_1}{y_0},\dots ,\frac{y_n}{y_0})$).
先看 $x^3+x^{2}t-y^{2}t$, 存在 $[x,y,t]=[0,1,0]$ 作为 “无穷远点的解”, 于是 $N_s$ 是 $y^2=x^3+x^2$ 在 ${\mathbb{F}}_{p^s}$ 中解的个数 $+1$.
容易发现 $\{y^2=x^3+x^2\}-\{(0,0)\}$ 和 $\{z^2=x+1\}-\{(0,\pm 1)\}$ 之间存在双射 (考虑换元 $z=y/x$) , 于是 $N_s=p^s$, 从而: $$\begin{array}{r}{Z}_f(u)=(1-pu{)}^{-1}\end{array}$$

$\square$

练习 7.17. 若 $A\ne 0\in {\mathbb{F}}_q$, $q\equiv 1(\mathrm{mod}3)$, 求证: ${\mathbb{F}}_q$ 上 $y^2=x^3+A$ 的 Zeta 函数是 $Z(u)=(1+au+q{u}^2)(1-u{)}^{-1}(1-qu{)}^{-1}$, 其中 $a\in \mathbb{Z}$ 且 $|a|⩽2q^{1/2}$.

(这里应该要默认 $q$ 是奇数)

证明. 先看 $x^3+y^{2}t-A{t}^3$, 存在 $[x,y,t]=[0,1,0]$ 作为 “无穷远点的解”, 于是 $N_s$ 是 $y^2=x^3+A$ 在 ${\mathbb{F}}_{q^s}$ 中解的个数 $+1$.
$\chi ,\rho$ 分别是 ${\mathbb{F}}_q$ 上阶为 $3,2$ 的乘法特征, 则$$\begin{array}{rl}{N}_s& =1+\sum _{i=0}^1\sum _{j=0}^2({\rho }^{(s)}(A){)}^i({\chi }^{(s)}(A){)}^{j}J({\rho }^{(s)i},{\chi }^{(s)j})\\ & =1+q^s+2\Re \left({\rho }^{(s)}(A){\chi }^{(s)}(A)J({\rho }^{(s)},{\chi }^{(s)})\right)\end{array}$$记 ${\pi }_s={\rho }^{(s)}(A){\chi }^{(s)}(A)J({\rho }^{(s)},{\chi }^{(s)})$. 在 7.14 的中间过程中说明了 ${\chi }^{(s)}(a)=\chi (a{)}^s$, 结合 Hasse–Davenport 定理我们有: $$\begin{array}{rl}{\pi }_s& =\rho (A{)}^s\chi (A{)}^s\frac{(-g(\rho ){)}^s(-g(\chi ){)}^s}{-(-g(\rho \chi ){)}^s}=-(-{\pi }_1{)}^s\end{array}$$同时, 由 $|\rho (A)|,|\chi (A)|=1$, $|J(\rho ,\chi )|=\sqrt{q}$ 可知 $|{\pi }_1|=\sqrt{q}$. 于是: $$\begin{array}{rl}Z(u)& =(1+{\pi }_{1}u)(1+\overline{{\pi }_1}u)(1-qu{)}^{-1}(1-u{)}^{-1}\\ & =(1+au+q{u}^2)(1-qu{)}^{-1}(1-u{)}^{-1}\end{array}$$其中 $a=2\Re {\pi }_1$, 自然有 $|a|⩽2\sqrt{q}$.

$\square$

8HW8

练习 8.1. $p_1,\dots ,p_n$ 均为 $\mathrm{mod}4$ 余 $1$ 的素数, 若素数 $p$ 满足 $p\mid {\left(2{\prod }_{i=1}^n{p}_i\right)}^2+1$, 求证: $p\equiv 1(\mathrm{mod}4)$ 且 $\forall i\in [1,n]p\ne p_i$.

证明. 略.

$\square$

练习 8.2. $\chi$ 是 ${\mathbb{F}}_p$ 上的 Legendre 符号, $g(\chi )={\sum }_{x=1}^{p-1}\chi (x){\zeta }^x$, 定义 $P={\prod }_{n,r}(1-{\zeta }^n)(1-{\zeta }^r{)}^{-1}$, 其中 $n$ 遍历非二次剩余, $r$ 遍历二次剩余, 求证: $P=\exp (g(\chi )L(1,\chi ))$

证明. $$\begin{array}{rl}\log P& =\sum _{\chi (n)=-1}(-\chi (n))\log (1-{\zeta }^n)-\sum _{\chi (n)=1}\chi (n)\log (1-{\zeta }^n)\\ & =\sum _{n=1}^{p-1}\sum _{m=1}^{+\infty }\frac{1}{m}\chi (n){\zeta }^{mn}\\ & =\sum _{p\mid m}\frac{1}{m}\sum _{n=1}^{p-1}\chi (n){\zeta }^{mn}+\sum _{p\nmid m}\frac{1}{m}\sum _{n=1}^{p-1}\chi (n){\zeta }^{mn}\\ & =\sum _{m=1}^{+\infty }\frac{1}{m}\chi (m)\sum _{n=1}^{p-1}\chi (n){\zeta }^n\\ & =L(1,\chi )g(\chi )\end{array}$$

$\square$

练习 8.3. $\chi$ 是 $\mathrm{mod}3$ 的非平凡 Dirichlet 特征, 求证: $L(1,\chi )=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{1}{(3n+1)(3n+2)}$, 是否能找出 $L(1,\chi )$ 的确切值?

证明. $\chi (2)=-1$, 代入 $L(1,\chi )$ 的定义式即得等于 $\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{1}{(3n+1)(3n+2)}$. 另一方面, 利用 8.2, 对应 $P=1+\omega$, $g(\chi )=\sqrt{3}i$, 得存在 $k\in \mathbb{Z}$ 使得 $L(1,\chi )=\pi /(3\sqrt{3})+k\cdot 2\pi /\sqrt{3}$. 同时由一开始证明的等式可将 $L(1,\chi )$ 限制在 $0$ 和 ${\pi }^2/54+1/2$ 中, 得到 $k=0$, 即 $L(1,\chi )=\pi /(3\sqrt{3})$.

$\square$

练习 8.4. 用 8.2 计算 $L(1,\chi )$, 其中 $\chi$ 是 $\mathrm{mod}5$ 的非平凡 Dirichlet 特征, 阶为 $2$.

证明. $P=|1+\zeta {|}^2\in \mathbb{R}$, $g(\chi )=4\Re \zeta +1$, 其中 $\zeta =e^{2\pi i/5}$, 最后可算出 $L(1,\chi )=\frac{1}{\sqrt{5}}\log \left(\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$

$\square$

练习 8.5. 接 8.2, 任意选取一个 $\mathrm{mod}p$ 的非二次剩余 $C$, 假设 $P=1$ 求证: $1+x+x^2+\dots +x^{p-1}\mid {\prod }_{\chi (r)=1}\frac{1-x^{Cr}}{1-x^r}-1$. 进一步推出上述假设不成立, 即 $P\ne 1$, 从而 $L(1,\chi )\ne 0$.

证明. 容易发现 ${\prod }_{\chi (r)=1}\frac{1-x^{Cr}}{1-x^r}-1$ 是 $(C-1){\sum }_{\chi (r)=1}r$ 次首一整系数多项式, 由 $P=1$ 可知 ${\prod }_{\chi (r)=1}\frac{1-{\zeta }^{Cr}}{1-{\zeta }^r}-1=P-1=0$, 代表 $\zeta$ 是 ${\prod }_{\chi (r)=1}\frac{1-x^{Cr}}{1-x^r}-1$ 的一个根, 结合 $\zeta$ 极小多项式是 $1+x+x^2+\dots +x^{p-1}$ 即可得证.
取 $x=1$, 发现 $p\mid C^{(p-1)/2}-1$ 矛盾.

$\square$

练习 8.6. $\chi$ 是 $\mathrm{mod}m$ 的一个 Dirichlet 特征, $\chi (2)\ne 0$, 求证: $L(s,\chi )=(1-2^{-s}\chi (2){)}^{-1}\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{\chi (2n+1)}{(2n+1{)}^s}$

证明. $L(s,\chi )=\sum _{n=0}^{+\infty }\chi (2n+1)\cdot (2n+1{)}^{-s}+\chi (2)2^{-s}L(s,\chi )$.

$\square$

练习 8.7. $p\equiv 3(\mathrm{mod}4)$, 求证: ${\sum }_{x=1}^{p-1}\left(\frac{x}{p}\right)\sin \frac{2\pi x}{p}=\sqrt{p}$.

证明. $\mathrm{LHS}=\Im g=\Im i\sqrt{p}=\sqrt{p}$.

$\square$

练习 8.8. 用 8.7 求证: $$\begin{array}{r}\sum _{n正奇数}\left(\frac{n}{p}\right)\frac{1}{n}=\frac{1}{\sqrt{p}}\sum _{t=1}^{p-1}\left(\frac{t}{p}\right)\sum _{m正奇数}\frac{\sin (2\pi tm/p)}{m}\end{array}$$

证明. 利用 8.7 (代入 $x=tn$) 再稍加讨论 ($p\mid n$ 与否) 可以说明对任何正奇数 $n$ 有: $$\begin{array}{r}\left(\frac{n}{p}\right)\frac{1}{n}\sqrt{p}=\sum _{t=1}^{p-1}\left(\frac{nt}{p}\right)\left(\frac{n}{p}\right)\frac{\sin (2\pi tn/p)}{n}\end{array}$$两边再对全体正奇数 $n$ 求和即可.

$\square$

练习 8.9. 用 Fourier 级数的基本结论: $$\begin{array}{r}\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{\sin (2n-1)x}{2n-1}=\{\begin{array}{rlr}& \pi /4& 0<x<\pi \\ & -\pi /4& \pi <x<2\pi \end{array}\end{array}$$求证: $$\begin{array}{rl}\sum _{n正奇数}\left(\frac{n}{p}\right)\frac{1}{n}& =\frac{\pi }{4\sqrt{p}}\left(\sum _{t=1}^{(p-1)/2}\left(\frac{t}{p}\right)-\sum _{t=(p+1)/2}^{p-1}\left(\frac{t}{p}\right)\right)\\ & =\frac{\pi }{2\sqrt{p}}\sum _{t=1}^{(p-1)/2}\left(\frac{t}{p}\right)\end{array}$$

证明. 用 8.8.

$\square$

练习 8.10. 先证明 ${\sum }_{t=1}^{(p-1)/2}\left(\frac{t}{p}\right)\ne 0$, 再求证: ${\sum }_{n正奇数}\left(\frac{n}{p}\right)\frac{1}{n}>0$, 从而有 ${\sum }_{t=1}^{(p-1)/2}\left(\frac{t}{p}\right)>0$.

证明. ${\sum }_{t=1}^{(p-1)/2}\left(\frac{t}{p}\right)$ 是奇数. 由 8.6, ${\sum }_{n正奇数}\left(\frac{n}{p}\right)\frac{1}{n}$ 和 $L(1,\chi )$ 同号, 其中 $\chi$ 是 $\mathrm{mod}p$ 的非平凡 Dirichlet 特征, 阶为 $2$. 利用 $s>1$ 时 $L(s,\chi )={\prod }_q(1-\chi (q)q^{-s}{)}^{-1}$ 以及 $\chi$ 非平凡时 $L(s,\chi )$ 能解析延拓到 $\Re s>0$ 上, 可知 $L(1,\chi )⩾0$, 再由 8.5 知 $L(1,\chi )>0$, 从而 ${\sum }_{n正奇数}\left(\frac{n}{p}\right)\frac{1}{n}>0$, 再由 8.9 知 ${\sum }_{t=1}^{(p-1)/2}\left(\frac{t}{p}\right)>0$.

$\square$