第一章 调和方程
1方程的物理背景和定解问题
1. | 验证 Laplace 算子 在 维极坐标 下以及 维球坐标 下的形式: 方法 I. 维坐标 的参数化是即从而于是由此相加得 维坐标 的参数化是对 以及 用 维情形的计算结果, 有相加得其中 , 且故 方法 II. 我们用流形上 Laplace 算子来解题, 其中 是 Hodge 星算子. 维极坐标有转换 , 则推出从而 构成一组标准正交基, 于是有 . 由此, 维有球坐标转换 , 则推出从而 构成一组标准正交基. 由此, |
注: | 维时, Laplace 算子有如下的形式. 公式. 上, Laplace 算子在极坐标下的表达式为其中 唯一地写成 , 单位球面 上的度量诱导自这个嵌入, 相应地有球面上的 Laplace 算子 . 证明. 证明. 设 在 的坐标是 , 上的标准度量就是这里 是 上的标准度量, 最后一个等号是因为 推出 . 再设 的局部坐标是 , 以及 , 就有 上的标准度量在坐标 下等于换言之, 系数矩阵 . 回忆 Riemann 流形上的 Laplace 算子的坐标表示为其中 , 矩阵 . 现在 , 有 , , 其中 , . 因此 |
4. | , 由于 , 有 . |
6. | 取 为单位球 , 构造下述方程的非零解: 由于边界条件, 考虑形如 的特解, 这里 , 是 的一个非零特征函数, 也就是 . 说明特征值 . 根据 Laplace 算子的极坐标表达式, 试着取 , 则 . 边界条件进一步要求于是令 , 其中 是 的两个根. |
注: | 特征函数 的存在性可用变分法说明: 设这里的 是 Sobolev 空间 (不是 de Rham 上同调群) , 是说 . 取一个极小化序列 (是指 ) 满足 , 由于 有界, 抽取子列后 在 下弱收敛于某个 , 由 Rellich 定理, 再次抽取子列后 在 下强收敛于 . 因为有 , 并且 说明 ; 对一切 有可得积分得常数 , 系 . 类似地, 设已有特征函数 , 通过研究可得特征值 以及对应的 . 对 反复用椭圆正则性, 得到 , 这是 de Rham 上同调群 (不是 Sobolev 空间) . 具体的过程见 [Jo] 3.2 节. 事实上可以算出 从小到大第 个不同的正特征值为 , 见 [Ta] Chapter 8 Corollary 4.3. |
7. | 是上一题的特例, 参数化为 , 的特征值是 , 的根是 , 从而于是是这个方程的解. |
9. | 方法 I. 对多项式 计算 , 再用稠密性得出结果. 引理. 设 是 上的齐次多项式, 次数为 , 简记 , 有 证明. 设 , 有于是 当 是齐次多项式, 次数为 , 由引理 ( 的含义同上) , 最后的等号是因为 的 变换为 (注意 的次数为 ) 由线性, 命题对 是多项式 (未必齐次) 同样成立, 又由于 中多项式是局部上稠密的 (用 Stone–Weierstrass 定理) , 命题进一步对 成立. 方法 II. 用前面给出的 Laplace 算子的表达式来计算. 设极坐标下 , , 则 . 这样故有于是当 时 . 方法 III. 直接计算. 过程较复杂, 隐藏了. 1个回答被折叠 (为什么? ) . 1 个回答被折叠 (为什么? ) . 记对于 , 计算得到其中第 4 个等号是因为 以及倒数第 2 个等号则是因为, 对取定的 , 有 |
2调和函数的基本性质与应用
2. |
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6. | 对任意 , 由平均值性质, 对任何 , 令 得 . |
8. | 当 , 对 , 是 上的非负调和函数. |
注: | 当 , 结论不再成立, 比如 上的下有界的调和函数 一定是常数: 注意到下图的 是 上的下有界的调和函数故是常数. |
9. | 通过平移, 对非负调和函数 证明即可. 方法 I. 对任意 , 由梯度估计, 对任何 成立, 令 得 . 于是 为常数. 方法 II. 对任何两点 , 记 , |
10. | 方法 I. 对距离小于 的 , 由 得到 . 取大约 个点 使 , 那么 . 方法 II. 由梯度估计, 对 , 有故 |
3极值原理及其应用
1. | 是有界开集, 且不妨设 连通. 先考虑 的情况. 假设 在 内部某点取到最大值, 那么在该点 , 且 是半负定对称阵, 则 (对 是正交阵, 令 ) . 记 , 有 , 矛盾. 当 , 取 , , 则 , 由于 , 取 很大就有 , 于是 . 令 就有 . 注: 更一般的结果如下, 证明完全相同. 更多结论见 [GT] 3.1 节. 弱极值原理. 设 满足其中 是有界函数, 且 是严格椭圆的, 即 对所有 以及常数 成立, 则用 代替 , 得到 . | ||||
2. | 设 非空, 假设 , 作与 相切的球 , 对 使用强极值原理得到球内在切点附近 的值更大, 矛盾. | ||||
3. | 直接证明更一般的结果, 是 Hopf 引理的一种情形. 更多结论见 [GT] 3.2 节. 强极值原理. 设 满足其中 是有界函数, 且 是严格椭圆的. 若并且存在与 相切于 的球 , 则对任何向外的方向 (即 ) 有 不妨设 , 取 的邻域 . 考虑 上的函数 , 均待定. 先说明 , 只需验证 . 事实上, 由于 , 取 很大就有上式 . 由弱极值原理, 在 的最大值在 上取到; 而 在 的最大值又在 取到, 这是因为:
因此 在 的最大值在 取到. 那么于是有 | ||||
6. |
4Green 函数法
2. | [2] 对任意给定的 , 由于 是 上的调和函数, 对任意的 , 上面的大于等于不能取等号, 不然 是常数, 然而 . 由于 是 上的调和函数, [4] Green 恒等式中取 为常数 . [3] 令 , 是调和函数. 取 , 由 Green 公式, 而 在 上是 , 于是 由于 , 以及 和 当 , 在上式中让 得到 , 即 . |
9. | 用静电源像法. (1) 设 关于圆周的反演点是 , 关于直径的对称点是 , Green 函数为 (2) 设 关于 的对称点是 , 关于 的对称点是 , Green 函数为 |
14. | 由第 11 题, 只需证明 满足平均值性质. 回忆平均值性质的证明过程, 只需证明对任何球 成立 . 当 或 , ; 当 与 均相交, 记 为 在 上的单位外法向量, 方向相反, 则 |
5特征值问题
3. | 正交是因为, 对 有由于 , 要说明 是完备系, 只需说明任何 可以用 的线性组合在 范数下逼近: 事实上, | ||||||
0. | 本题来自以前的讲义, 是要证明 Sturm-Liouville 定理, 即定理 1.5.1. 另一解法见 [Sa] Theorem 8.3 (P117).
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推广: 维的情形同样有如下的结论. 总的来说, 1 是因为 是自伴紧算子, 2, 3 要用到全局正则性. 定理. 考虑边界光滑的有界区域 上的混合边界条件特征值问题: 其中 , 三者均为 的若干个连通分支的并, 且 . 我们有如下结论成立:
证明. 首先, 对于不同的边界条件来选取 Hilbert 空间 . 当 时, 仿照 , 取而当 时, 取 的常数函数的正交补空间, 系接着, 定义双线性型这是 上的一个内积, 事实上 带来 , 且取等时 , 于是 是常数, 分别讨论 以及 的情况, 都进而有 . 而且, 这个内积对应的范数 与 原来的范数 是等价的, 这是因为, 一方面有另一方面, 假如对任意 不成立, 则对任意 亦不成立, 换言之存在一列 使得 且根据 Rellich 定理, 是紧嵌入, 故存在一个子列 在 中收敛到某个 . 由于对任何 成立得到弱导数 对 存在并且是 , 于是 是常数. 又由得 , 况且及 推出 , 分别讨论 以及 的情况都有 , 然而这和 矛盾. 至此完成了 等价于 的证明. 是故 同样是 Hilbert 空间, 那么根据 Riesz 表示定理, 对任何 , 存在唯一的 使且对任何 , 存在唯一的 使明显地, 是 上的线性算子, 且表明 是 的逆算子, 特别地, 连续. 现在在 两端复合嵌入映射, 使 变成 上的紧算子, 记为 , 具体来说: 左边的嵌入 是把 先映到 , 再通过 获得 , 也就是说 ; 右边的嵌入 是 作为 的子空间紧嵌入 , 是恒等映射. 由此, 是 上的紧算子. 此外, 得 , 这说明 是 上的自伴的正算子. 那么, 由 Hilbert–Schmidt 定理, 存在可数个 的特征向量 构成 的完备标准正交基, 是对应的特征值. 更重要的是, 在 的子空间 上面是 的逆算子: 对 , 设 , 对任意 , 按定义, 由分布意义下的 Green 公式以及 , 相加得由 的任意性, 有因此, , 且是 的弱解. 于是, 对于 , 令 (不过 Neumann 条件下需要令 , 因为常数函数满足 , 可是 的定义里去除了非零常数函数) , 有由全局正则性 (见 [Mi], IV.2 Theorem 7) , , 用 Morrey 不等式, . 最后, 如果 且满足上面的边界条件, 设均在 意义下收敛. 由连续嵌入 , 只需要说明 是 的 Cauchy 列 (从而收敛, 必定收敛到 ) , 分两种情况. 是偶数时, 由边界条件有推出所以 是奇数时, 对满足边界条件的 , 用迹定理有代入 得所以 | |||||||
注: | Morrey 不等式的陈述与证明见 Sobolev 不等式, 迹定理见 [Ev] 5.5 Theorem 2. 假如上面的过程看晕了, 建议阅读位势方程一节来理解构造算子 的方法. |
参考文献
[Ev] | L. C. Evans. Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics 19. Amer. Math. Soc, 2010. |
[GT] | D. Gilbarg and N. S. Trudinger. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order. Classics in Mathematics. Springer, 1998. |
[Jo] | J. Jost. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Universitext. Springer, 2011. |
[Mi] | V. P. Mikhailov. Partial Differential Equations. Mir Publishers, 1978. |
[Sa] | F. Sauvigny. Partial Differential Equations 2. Universitext. Springer, 2012. |
[Ta] | M. E. Taylor. Partial Differential Equations II. Applied Mathematical Sciences 116. Springer, 2011. |
[Zh] | 周蜀林. 偏微分方程. 北京大学数学教学系列丛书. 北京大学出版社, 2005. |