用户: Solution/ 习题: 复分析全解II

7Riemann 曲面简介

7.1 黎曼曲面

7.1.1	首先说明 $f$ 的取值是合理的. 对任意相交非空的局部坐标图 $(U_{\alpha },{\varphi }_{\alpha }),(U_{\beta },{\varphi }_{\beta })$, 由定义, $$f\circ {\varphi }_{\alpha }^{-1}{|}_{{\varphi }_{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}=f\circ {\varphi }_{\beta }^{-1}{|}_{{\varphi }_{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}=f{|}_{U_{\alpha }\cap U_{\beta }},$$这说明 $f$ 在 $S$ 上的取值是良定的, 并且不依赖于坐标图册. 其次说明 $f$ 的解析性不依赖于坐标图册, 事实上由坐标转移函数 ${\varphi }_{\beta }\circ {\varphi }_{\alpha }^{-1}$ 的共形性质, 知 $f\circ {\varphi }_{\alpha }^{-1}$ 解析等价于 $f\circ {\varphi }_{\beta }^{-1}$ 解析. 证毕.
7.1.2	记聚点 $x_0\in E$, 则存在 $x_0$ 附近的坐标图 $(U_{\alpha },{\varphi }_{\alpha })$ 使得 $E$ 在 $U_{\alpha }$ 里面有聚点 $x_0$. 这说明 $\varphi (E)$ 在 ${\varphi }_{\alpha }(U_{\alpha })$ 里面有聚点, 由解析函数的唯一性定理 $f\circ {\varphi }_{\alpha }^{-1}{|}_{{\varphi }_{\alpha }(U_{\alpha })}\equiv 0$, 因此 $f{|}_{U_{\alpha }}\equiv 0$. 对任意的 $x\in S$, 由 $S$ 连通且局部道路连通, 知其道路连通, 从而可取道路 $\gamma :[0,1]\to S$ 使其分别以 $x_0$ 和 $x$ 作为起点和终点. 由紧性可取有限个局部坐标邻域 $\{U_i{\}}_{i=1}^n$ 使得 $\gamma ([0,1])\subseteq {\bigcup }_{i=1}^n{U}_i$. 按前述可归纳证明 $f{|}_{U_i}\equiv 0$, 从而说明 $f(x)=0$. 由此 $f\equiv 0.$
7.1.3	取格点群 $\Gamma ={\omega }_1\mathbb{Z}+{\omega }_2\mathbb{Z}$, 其中 ${\omega }_1$ 和 ${\omega }_2$ 不共线. 要证明题中结论, 只需说明存在唯一的 $\tau \in \{-\frac{1}{2}<\mathrm{Re}\tau \le \frac{1}{2},|\tau |>1,\mathrm{Im}\tau >0\}\cup \{0\le \mathrm{Re}\tau \le \frac{1}{2},|\tau |=1\}$ 使得 $\tau =\frac{{\omega }_1^{\prime }}{{\omega }_2^{\prime }}$, 其中 $\mathbb{C}/\Gamma$ 由 $({\omega }_1^{\prime },{\omega }_2^{\prime })$ 生成. (1) 存在性: 先是取 ${\omega }_2^{\prime }$ 为 $\Gamma$ 中模长最小的元素, 由 $w_1,w_2$ 不共线, 知 $\Gamma \backslash {\omega }_2^{\prime }\mathbb{Z}$ 非空, 取其中模长最小的元素 ${\omega }_1^{\prime }$. 显然有 $\frac{{\omega }_2^{\prime }}{{\omega }_1^{\prime }}$ 不为实数, 否则辗转相除得到比 ${\omega }_2^{\prime }$ 模长更小的, 矛盾. 下面说明 $\Gamma ={\omega }_1^{\prime }\mathbb{Z}+{\omega }_2^{\prime }\mathbb{Z}$. 对任一 $\omega \in \Gamma$, 现求解如下方程$$\begin{array}{r}\omega ={\lambda }_1{\omega }_1^{\prime }+{\lambda }_2{\omega }_2^{\prime },\overline{\omega }={\lambda }_1{\overline{\omega }}_1^{\prime }+{\lambda }_2{\overline{\omega }}_2^{\prime }.\end{array}$$ 显然有 ${\omega }_1^{\prime }{\overline{\omega }}_2^{\prime }-{\omega }_2^{\prime }{\overline{\omega }}_1^{\prime }$ 不为零, 说明解唯一. 注意到 $({\lambda }_1,{\lambda }_2)$ 和 $({\overline{\lambda }}_1,{\overline{\lambda }}_2)$ 都是解, 说明该解为实数. 取 $(m_1,m_2)$ 使得 $|{\lambda }_1-m_1|\le \frac{1}{2},|{\lambda }_2-m_2|\le \frac{1}{2}$. 由 $\omega \in \Gamma$, 知 $w-m_1{\omega }_1^{\prime }-m_2{\omega }_2^{\prime }=({\lambda }_1-m_1){\omega }_1^{\prime }+({\lambda }_2-m_2){\omega }_2^{\prime }$. 这说明 $|w-m_1{\omega }_1^{\prime }-m_2{\omega }_2^{\prime }|<\frac{1}{2}(|{\omega }_1^{\prime }|+|{\omega }_2^{\prime }|)\le |{\omega }_1^{\prime }|$. 按 ${\omega }_1^{\prime }$ 的定义知 $w-m_1{\omega }_1^{\prime }-m_2{\omega }_2^{\prime }\in {\omega }_2^{\prime }\mathbb{Z}$. 这说明 $\Gamma \subseteq {\omega }_1^{\prime }\mathbb{Z}+{\omega }_2^{\prime }\mathbb{Z}$, 反过来是显然的. 由对上面给出的 ${\omega }_1^{\prime },{\omega }_2^{\prime }$, 知 $|{\omega }_2^{\prime }|\le |{\omega }_1^{\prime }|,|{\omega }_2^{\prime }|\le |{\omega }_2^{\prime }\pm {\omega }_1^{\prime }|$. 记 $\tau =\frac{{\omega }_1^{\prime }}{{\omega }_2^{\prime }}$, 代入上述不等式得到 $|\tau |\ge 1,|\mathrm{Re}\tau |\le \frac{1}{2}$. 由前述讨论知 $\mathrm{Im}\tau =0$. 若 $\mathrm{Im}\tau >0$, 用 $-{\omega }_1^{\prime }$ 代替 ${\omega }_1^{\prime }$; 若 $|\tau |=1$ 且 $\mathrm{Re}\tau <0$, 同样用 $-{\omega }_1^{\prime }$ 代替 ${\omega }_1^{\prime }$; 若 $\mathrm{Re}\tau =-\frac{1}{2}$, 用 ${\omega }_1^{\prime }+{\omega }_2^{\prime }$ 代替 ${\omega }_1^{\prime }$. 这样得到 $\tau =\frac{{\omega }_1^{\prime }}{{\omega }_2^{\prime }}\in \{-\frac{1}{2}<\mathrm{Re}\tau \le \frac{1}{2},|\tau |>1,\mathrm{Im}\tau >0\}\cup \{0\le \mathrm{Re}\tau \le \frac{1}{2}\}$ 并且 $\Gamma ={\omega }_1^{\prime }\mathbb{Z}+{\omega }_2^{\prime }\mathbb{Z}$. (2) 唯一性: 现在给定 $\Gamma ={\omega }_1\mathbb{Z}+{\omega }_2\mathbb{Z}={\omega }_1^{\prime }\mathbb{Z}+{\omega }_2^{\prime }\mathbb{Z}$, 和 $\tau =\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2},{\tau }^{\prime }=\frac{{\omega }_1^{\prime }}{{\omega }_2^{\prime }}$. 先说明存在 $A\in {\text{SL}}_2(\mathbb{Z})$ 使得 $({\omega }_1^{\prime },{\omega }_2^{\prime }{)}^T=A({\omega }_1,{\omega }_2{)}^T$. 事实上存在 $A,A^{\prime }\in {\text{Mat}}_{\mathbb{Z}}(2)$ 使得 $({\omega }_1^{\prime },{\omega }_2^{\prime }{)}^T=A({\omega }_1,{\omega }_2{)}^T,({\omega }_1,{\omega }_2{)}^T=A^{\prime }({\omega }_1^{\prime },{\omega }_2^{\prime }{)}^T$. 取共轭就得到$$\left(\begin{array}{cc}{\omega }_1& {\overline{\omega }}_1\\ {\omega }_2& {\overline{\omega }}_2\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{cc}{\omega }_1^{\prime }& {\overline{\omega }}_1^{\prime }\\ {\omega }_2^{\prime }& {\overline{\omega }}_2^{\prime }\end{array}\right)=A{A}^{\prime }\left(\begin{array}{cc}{\omega }_1& {\overline{\omega }}_1\\ {\omega }_2& {\overline{\omega }}_2\end{array}\right).$$ 又因为 ${\omega }_1^{\prime }{\overline{\omega }}_2^{\prime }-{\omega }_2^{\prime }{\overline{\omega }}_1^{\prime }$ 不为零, 得到 $1=\det A\cdot \det A^{\prime }$, 说明 $\det A=1.$ 而 $A$ 为整数阵, 从而得到 $A\in {\text{SL}}_2(\mathbb{Z})$. 记$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),$$计算可知$${\tau }^{\prime }=\frac{a\tau +b}{c\tau +d},\mathrm{Im}{\tau }^{\prime }=\frac{\pm \mathrm{Im}\tau }{|c\tau +d{|}^2}.$$ 此时 $ad-cb=\pm 1$, 且 $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$. 不妨适当改变 ${\omega }_1,{\omega }_2$ 的正负号使得 $ad-cb=1$. 同时由对称性不妨设 $|\mathrm{Im}\tau |\le |\mathrm{Im}{\tau }^{\prime }|$, 于是 $|c\tau +d|\le 1$. 下面说明若 $\tau ,{\tau }^{\prime }\in \frac{{\omega }_1^{\prime }}{{\omega }_2^{\prime }}\in \{-\frac{1}{2}<\mathrm{Re}\tau \le \frac{1}{2},|\tau |>1,\mathrm{Im}\tau >0\}\cup \{0\le \mathrm{Re}\tau \le \frac{1}{2},|\tau |=1\}$, 则必有 $\tau ={\tau }^{\prime }$. 分情况讨论. (a) $c=0$. 则 $d=a=\pm 1$, 此时 $\pm {\tau }^{\prime }=\pm \tau +b$. 于是 $|b|=|\mathrm{Re}\tau -\mathrm{Re}{\tau }^{\prime }|<1$, 从而 $b=0,\tau ={\tau }^{\prime }$. (b) $c\ne 0,d\ne 0.$ 因此 $|c|,|d|\ge 1$, 从而 $|\tau +\frac{d}{c}|\le \frac{1}{|c|}\le 1$. 若 $|c|\ge 2$, 则 $|\tau -(-\frac{d}{c})|\le \frac{1}{2}$. 但是 $\text{dist}(\tau ,[-\frac{1}{2},0])\ge \frac{\sqrt{3}}{2}$, 矛盾. 由此 $c=\pm 1$. 此时 $|\tau \pm d|\le 1$. 按 $\tau$ 的区域, 此时只能是 $\tau =e^{i\frac{\pi }{3}}$ 并且 $|\tau +\frac{d}{c}|=1,d=\mp 1$, 由 $\mathrm{Im}\tau =\mathrm{Im}{\tau }^{\prime }=\frac{\pi }{3}$ 和区域限制, 解得 $\tau ={\tau }^{\prime }$. (c) $c\ne 0,d=0.$ 此时有 $c=-b=\pm 1$, 同时 $|\tau |\le 1$, 于是 $|\tau |=1$. 由此 $\tau =\pm a-\frac{1}{\tau }=\pm a+\overline{\tau }$. 这说明 $\mathrm{Re}(\tau +{\tau }^{\prime })=\pm a$. 由区域限制只能是 $a=0,\tau =i$. 代入解出 ${\tau }^{\prime }=-\overline{\tau }=i=\tau$.

7.2 解析覆盖和模函数

7.2.1	对任一 Riemann 曲面 $(S,\sigma )$, 取其万有覆盖 $(\tilde{S},\pi )$, 其上赋予由 $\pi$ 拉回得到的复结构 $\tau ={\pi }^{\ast }\sigma$, 则 $(\tilde{S},\tau )$ 自动成为对应的解析万有覆盖.
7.2.2	(1) 对任一 $z\in S$ 和 $\tilde{z}\in {\pi }^{-1}(z)$, 存在 $\tilde{z}$ 的邻域 $V$ 作为 ${\pi }^{-1}(\pi (V))$ 的连通分支使得 $\pi {|}_V:V\to \pi (V)$ 是同胚. 对 $\gamma (\tilde{z})\in V$, 由 $\pi (\gamma (\tilde{z}))=\pi (x)$ 和局部同胚性, 知 $\gamma (\tilde{z})=\tilde{z}$, 亦即 $\tilde{z}$ 是 $\Gamma (\tilde{z})$ 的孤立点. 又因为 $\Gamma (\tilde{z})$ 在覆盖变换 $\gamma$ 下保持不变, 前述推理实际上得到了 $\Gamma (\tilde{z})$ 每一点都是孤立点. (2) 按 (1) 所述, 若存在 ${\tilde{z}}_0\in S$ 使得 $\gamma ({\tilde{z}}_0)={\tilde{z}}_0$, 则存在 ${\tilde{z}}_0$ 的邻域 $V\subseteq U$, 其上 $\gamma (V)\subseteq U$ 并且 $\pi {|}_U:U\to \pi (U)$ 是同胚. 又因为 $\pi \circ \gamma =\pi$, 得到 $\gamma {|}_V=\text{id}$. 经类似于解析函数的唯一定理 (习题 7.1.2) 的推理得到 $\gamma =\text{id}$.
7.2.3	对 $z\in S$ 和 $w=\pi (z)$ 考虑 $z$ 的邻域 $U$ 使得对 ${\pi }^{-1}(U)$ 的连通分支 $V$, $\pi {|}_V:V\to U$ 是同胚. 由 $\Gamma (w)=\{w_{\alpha }{\}}_{\alpha }$ 的离散性和 $\pi$ 在其上的局部同胚性, 不同的 $w_{\alpha }$ 在 ${\pi }^{-1}(U)$ 所处的连通分支互不相交, 记为 $\{W_{\alpha }{\}}_{\alpha }$. 由 $\gamma$ 是共形自同构以及 $\pi \circ \gamma =\pi$, 可知对不同的 $W_{\alpha },W_{{\alpha }^{\prime }}$, 存在 $\gamma \in \Gamma$ 使得 $\gamma :W_{\alpha }\to W_{{\alpha }^{\prime }}$ 是同胚. 若记 $W_{{\alpha }_0}$ 是 $w$ 所在的连通分支, 则有 $\pi (W_{\alpha })=\pi \circ \gamma (W_{\alpha })=\pi (W_{{\alpha }_0})=U$. 记 $[V_{\alpha }]=\{[\tilde{z}]|\tilde{z}\in V_{\alpha }\}\subseteq \tilde{S}/\Gamma$. 由上述讨论可知 $\tilde{\pi }{|}_{[W_{\alpha }]}:[W_{\alpha }]\to U$ 是连续的双射, 下面说明其逆也是连续的. 事实上, 对任一 $[w]\in \tilde{S}/\Gamma$, 取类似于上述讨论中的充分小的邻域 $[W_{\alpha }]$, 则 $\pi ([W_{\alpha }])=\pi (W_{{\alpha }_0})=U$ 是开集, 说明 $\pi$ 是开映射, 也说明其逆的连续性.
7.2.4	若有 ${\gamma }_1,{\gamma }_2\in \Gamma$ 使得 ${\gamma }_i({\tilde{z}}_0)={\tilde{z}}_0^{\prime }$, 则有 ${\gamma }_1\circ {\gamma }_2^{-1}({\tilde{z}}_0)={\tilde{z}}_0$, 由 7.1.2 得到 ${\gamma }_1\circ {\gamma }_2^{-1}=\text{id}$, 即 ${\gamma }_1={\gamma }_2$.
7.2.5	(1) 由 ${\mathbb{C}}_{\infty }\cong {\mathbb{S}}^2$, 知 $f({\mathbb{C}}_{\infty })$ 是 $\mathbb{C}$ 上紧集, 亦即有界闭集. 由 Liouville 定理得到其为常值映射. (2) 由 $\mathbb{C}$ 单连通, 可取模函数 $\phi :\mathbb{D}\to {\mathbb{C}}_{0,1}$, 由映射提升性质存在 $\tilde{f}:\mathbb{D}\to \mathbb{C}$ 使得 $f=\tilde{f}\circ \phi$, 而由 Liouville 定理 $\tilde{f}$ 是常值映射, 由此 $f$ 亦为常值映射. (3) 考虑 $g(z)=f(\frac{1}{z})$, 则 $g:\mathbb{C}\to {\mathbb{C}}_{0,1}$, 由 (2) 知其为常值映射, 从而 $f$ 为常值映射.
7.2.6	考虑解析映射 $f:{\mathbb{C}}_{0,1}\to \mathbb{D}$. 若 $0,1$ 不为本性奇点或极点, 则为可去奇点, 于是 $f$ 可延拓成复平面上有界解析函数, 为常值函数; 若 $0,1$ 中至少有一个为本性奇点或极点, 则存在 $z_n\in {\mathbb{C}}_{0,1}$ 使得 $f(z_n)\to \infty$, 矛盾. 因此 $f$ 只能是常值函数.

8双曲度量

8.1 单位圆上的 Poincaré 度量

8.1.1	取保持球面度量的分式线性变换 $\phi (z)=\frac{az+b}{cz+d}$, 计算得到$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}\phi (s)& =\frac{2|\mathrm{d}\phi (z)|}{1+|\phi (z){|}^2}=\frac{2|ad-bc||\mathrm{d}z|}{|cz+d{|}^2+|az+b{|}^2}\\ & =\frac{2|ad-bc||\mathrm{d}z|}{(|a{|}^2+|c{|}^2)|z{|}^2+2\text{Re}[(c\bar{d}+a\bar{b})z]+(|b{|}^2+|d{|}^2)}=\frac{2|\mathrm{d}z|}{1+|z{|}^2}.\end{array}$$ 上述等式成立当且仅当$$\{\begin{array}{l}|a{|}^2+|c{|}^2=|b{|}^2+|d{|}^2=|ad-bc|,\\ c\bar{d}+a\bar{b}=0.\end{array}$$由第一式, $$|a{|}^2+|c{|}^2+|b{|}^2+|d{|}^2=2|ad-bc|\le 2|a||d|+2|b||c|\le |a{|}^2+|c{|}^2+|b{|}^2+|d{|}^2,$$则上述不等号全为等号, 说明 $|a|=|d|,|c|=|b|$. 设 $(a,d,b,c)=(|a|e^{i{\theta }_1},|a|e^{i{\theta }_2},|b|e^{i{\theta }_1^{\prime }},|b|e^{i{\theta }_2^{\prime }})$, 代入第二式得到 $e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}=-e^{i({\theta }_1^{\prime }+{\theta }_2^{\prime })}$, 于是 $e^{i\frac{({\theta }_1+{\theta }_2)}{2}}=\pm i{e}^{i\frac{({\theta }_1^{\prime }+{\theta }_2^{\prime })}{2}}$. 于是$$\phi (z)=\frac{e^{i{\theta }_1}|a|z+|b|e^{i{\theta }_1^{\prime }}}{e^{i{\theta }_2^{\prime }}|b|z+|a|e^{i{\theta }_2}}=\frac{e^{i\frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}}|a|z\pm i|b|e^{i\frac{{\theta }_1^{\prime }-{\theta }_2^{\prime }}{2}}}{\pm i|b|e^{i\frac{{\theta }_2^{\prime }-{\theta }_1^{\prime }}{2}}+|a|e^{i\frac{{\theta }_2-{\theta }_1}{2}}}=\frac{a^{\prime }z-b^{\prime }}{{\bar{b}}^{\prime }z+\bar{a}},$$其中$$a^{\prime }=\frac{|a|}{\sqrt{|a{|}^2+|b{|}^2}}{e}^{i\frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}},b^{\prime }=\frac{\pm |b|}{\sqrt{|a{|}^2+|b{|}^2}}i{e}^{i\frac{{\theta }_1^{\prime }-{\theta }_2^{\prime }}{2}},$$显然有 $|a^{\prime }{|}^2+|b^{\prime }{|}^2=1$, 此即题目所求.
8.1.2	(1) 验证 (8.1) 事实上由 $|z|\to 1$, 有 $\frac{|z-z_0|}{|z^{-1}-z_0|}\to 1$, 并且 $\delta (z_1,z_0)\to 1$, 从而$$d_{\mathbb{D}}(z_1,z_0)\sim \log \frac{2}{1-\delta (z_1,z_0)}=\log \frac{2}{1-|z|\frac{|z-z_0|}{|z^{-1}-z_0|}}\sim \log \frac{2}{1-|z|}.$$ (2) 验证 (8.2) 考虑区域 $\{d_{\mathbb{D}}(z_0,z)<R\}$ 的边界 $\{d_{\mathbb{D}}(z_0,z)=R\}=\{\delta (z_0,z)=\sigma \}=\{|z-z_0|=\sigma |1-{\bar{z}}_{0}z|\}=\{|z-z_0|=\sigma |z_0||z-\frac{z_0}{|z_0{|}^2}|\}$, 此边界为阿式圆, 解出其圆心为 $z_0\frac{1-{\sigma }^2}{1-{\sigma }^2|z_0{|}^2}$, 半径为 $\sigma \frac{1-|z_0{|}^2}{1-{\sigma }^2|z_0{|}^2}$. 这说明所求区域即为该圆的内部区域.
8.1.3	取共形映射 $\phi :\mathbb{H}\to \mathbb{D},w\mapsto \frac{1+iw}{1-iw}$, 则由 Poincaré 度量在共形映射下的不变性有 $d_{\mathbb{H}}(w_1,w_2)=d_{\mathbb{D}}(\phi (w_1),\phi (w_2))=\log \frac{|{\bar{w}}_1-w_2|+|w_1-w_2|}{|{\bar{w}}_1-w_2|-|w_1-w_2|}$.
8.1.4	由映射提升性质存在 $\tilde{f}:\mathbb{D}\to \mathbb{D}$ 使得 $f=\phi \circ \tilde{f}$. 由 Schwarz 引理得$$\underset{|z|\le r}{\sup }|f(z)|=\underset{|z|\le r}{\sup }|\phi \circ \tilde{f}(z)|=\underset{|\tilde{f}(z)|\le r}{\sup }|\phi (z)|\le \underset{|z|\le r}{\sup }|\phi (z)|.$$

8.2 一般区域上的双曲度量

8.2.1	测地线等价定义为局部邻域上弧长变分的极值曲线, 而由解析覆盖映射 $\pi$ 所给出 ${\Omega }_1$ 上度量是 $({\Omega }_2,g)$ 上度量的拉回 ${\pi }^{\ast }g$, 由此知 $\pi$ 保持弧长变分, 从而曲线提升后的弧长变分相同和原曲线相同, 再由 $\pi$ 的局部同胚性质, 知提升后的曲线仍为局部邻域中弧长变分的极值曲线, 亦即测地线.
8.2.2	不妨设 $z$ 趋于 $\zeta \in \partial \Omega$, 由 $\Omega$ 是双曲区域不妨设 $\Omega \subseteq \mathbb{C}\backslash \{0,\zeta \}$, 并且 $\zeta \ne \infty$ (否则采用 ${\mathbb{C}}_{\infty }$ 上分式线性变换将其与另一有界余分支中的点交换), 则由本节推论 8.8 和下一节推论 8.16, $z\to \zeta$ 时有$${\rho }_{\Omega }(z)\ge {\rho }_{\zeta ,0}(z)\sim \frac{1}{|z-\zeta |\log \frac{1}{|z-\zeta |}}\to \infty .$$
8.2.3	(1) 取覆盖映射为恒等映射即得. (2) 考虑共形映射 $\phi :\mathbb{H}\to \mathbb{D},w\mapsto \frac{1+iw}{1-iw}$, 则$${\rho }_{\mathbb{H}}(w)={\rho }_{\mathbb{D}}(\phi (w))|{\phi }^{\prime }(w)|=\frac{4}{|1-iw{|}^2-|1+iw{|}^2}=\frac{1}{\mathrm{Im}w}.$$ (3) 考虑解析覆盖映射 $\phi :\mathbb{H}\to {\mathbb{D}}^{\ast },z\mapsto e^{iz}$, 则对 $w=e^{iz}$, 在 $z$ 的一个充分小的局部邻域上由定义给出的双曲度量满足$${\rho }_{{\mathbb{D}}^{\ast }}(e^{iz})|{\phi }^{\prime }(z)|={\rho }_{{\mathbb{D}}^{\ast }}(e^{iz})|e^{iz}|={\rho }_{\mathbb{H}}(z)=\frac{1}{\mathrm{Im}z}=-\frac{1}{\log |e^{iz}|}.$$ 从而说明$${\rho }_{{\mathbb{D}}^{\ast }}(w)=\frac{1}{|w|\log \frac{1}{|w|}}.$$ (4) 考虑共形映射 $\phi :\Omega \to \mathbb{D},z\mapsto \frac{z-c}{R}$, 按定义有$${\rho }_{\Omega }(z)={\rho }_{\mathbb{D}}(\phi (z))|{\phi }^{\prime }(z)|=\frac{1}{R}\cdot \frac{2}{1-|\frac{z-c}{R}{|}^2}=\frac{2R}{R^2-|z-c{|}^2}.$$ (5) 考虑解析覆盖映射 $\phi :\Omega \to {\mathbb{D}}^{\ast },z\mapsto \frac{z}{R}$, 按定义有$${\rho }_{\Omega }(z)={\rho }_{{\mathbb{D}}^{\ast }}(\phi (z))|{\phi }^{\prime }(z)|=\frac{1}{R}\frac{1}{\left|\frac{z}{R}\right|\log \frac{R}{|z|}}=\frac{1}{|z|\log \frac{R}{|z|}}.$$
8.2.4	由 Riemann 映射定理, 取 $\phi :\mathbb{D}\to \Omega$, 并且 ${\phi }^{-1}(z)=0,{\phi }^{-1}(w)=\zeta$, 则由 Koebe 偏差定理$$\frac{1-|\zeta |}{(1+|\zeta |{)}^3}\le \frac{|{\phi }^{\prime }(\zeta )|}{|{\phi }^{\prime }(0)|}\le \frac{1+|\zeta |}{(1-|\zeta |{)}^3}.$$ 由单连通区域上双曲度量的定义$$\begin{array}{rl}|\log {\rho }_{\Omega }(z)-\log {\rho }_{\Omega }(w)|& =|\log \frac{2}{|{\phi }^{\prime }(0)|}-\log \frac{2}{|{\phi }^{\prime }(\zeta )|(1-|\zeta {|}^2)}|=\left|\log \frac{|{\phi }^{\prime }(\zeta )|(1-|\zeta {|}^2)}{|{\phi }^{\prime }(0)|}\right|\\ & \le \log (\frac{1+|\zeta |}{1-|\zeta |}{)}^2=2d_{\mathbb{D}}({\phi }^{-1}(z),{\phi }^{-1}(w))=2d_{\Omega }(z,w).\end{array}$$
8.2.5	取 $w\in {\mathbb{D}}_{\Omega }(z)$. 由直径的定义只需证明 $\delta (z)\lesssim |w-z|\lesssim \delta (z)$. 由习题 8.2.4, $e^{-2}{\rho }_{\Omega }(z)\le {\rho }_{\Omega }(w)\le e^2{\rho }_{\Omega }(z)$. 取 $\gamma$ 为连接 $z,w$ 的曲线, 记 ${\gamma }^{\prime }$ 为 $\gamma$ 于 ${\mathbb{D}}_{\Omega }$ 内部的部分, 则$$1=d_{\Omega }(z,w)\ge \underset{\gamma }{\inf }{\int }_{{\gamma }^{\prime }}\rho (\zeta )|\mathrm{d}\zeta |\ge e^{-2}\rho (z)\underset{\gamma }{\inf }{\int }_{{\gamma }^{\prime }}|\mathrm{d}\zeta |\ge e^{-2}\rho (z)|w-z|\ge \frac{2e^{-2}|w-z|}{\delta (z)}.$$ 再取 ${\gamma }_0$ 为连接 $z,w$ 的直线段, 有$$1=d_{\Omega }(z,w)\le {\int }_{{\gamma }_0}\rho (\zeta )|\mathrm{d}\zeta |\le e^2\rho (z)|w-z|\le \frac{2e^2|w-z|}{\delta (z)}.$$ 由此 $\delta (z)\lesssim |w-z|\lesssim \delta (z)$, 命题得证.
8.2.6	(1) 由 Green 函数的共形不变性, $$g_{\Omega }(z,a)=g_{\mathbb{D}}(\phi (z),a)=\log \frac{1}{|\phi (z)|}.$$(2) 由 $\phi :{\Omega }^{\ast }\to {\mathbb{D}}^{\ast }$ 是解析覆盖映射, 得到$${\rho }_{{\Omega }^{\ast }}(z)={\rho }_{{}^{\ast }}(\phi (z))|{\phi }^{\prime }(z)|=\frac{|{\phi }^{\prime }(z)|}{|\phi (z)|\log \frac{1}{|\phi (z)|}}.$$(3) 记 $\gamma$ 为 ${\mathbb{D}}^{\ast }$ 中连接 $w_1,w_2$ 的曲线, 不妨设 $|w_1|<|w_2|$ 有$$d_{{\mathbb{D}}^{\ast }}(w_1,w_2)=\underset{\gamma }{\inf }{\int }_{\gamma }\rho (\zeta )|\mathrm{d}\zeta |\ge {\int }_{|w_1|}^{|w_2|}\frac{r^{\prime }\mathrm{d}r}{r\log \frac{1}{r}}=\log \left(\frac{\log |w_2|}{\log |w_1|}\right)=|\log g_{{\mathbb{D}}^{\ast }}(w_1,0)-\log g_{{\mathbb{D}}^{\ast }}(w_2,0)|.$$ 对 $w_1,w_2$ 作用 ${\phi }^{-1}$ 就得到对 $z_1,z_2\in {\Omega }^{\ast }$, $$d_{{\Omega }^{\ast }}(z_1,z_2)\ge |\log g_{{\Omega }^{\ast }}(z_1,a)-\log g_{{\Omega }^{\ast }}(z_2,a)|.$$

8.3 超双曲度量

8.3.1	注意到 $\phi :{\Omega }_{\infty }\to {\Omega }_1,z\mapsto \frac{1}{z}$ 是共形变换, 并且保持 ${\mathbb{C}}_{0,1}$ 上双曲度量, 得到对 $z\in {\Omega }_{\infty }$, $${\rho }_{0,1}(z)={\rho }_{0,1}\left(\frac{1}{z}\right)\frac{1}{|z{|}^2}\ge \frac{|{\xi }^{\prime }(z^{-1})|}{|z^2\xi (z^{-1})|(4-\log |\xi (z^{-1})|)}=\frac{1}{\sqrt{|z|(1-|z|)}(4-\log |\xi (z)|)}.$$ 并且 $z\to \infty$ 时, 由推论 8.16$${\rho }_{0,1}(z)={\rho }_{0,1}\left(\frac{1}{z}\right)\frac{1}{|z{|}^2}\sim \frac{1}{|z{|}^2}\frac{|z|}{\log |z|}=\frac{1}{|z|\log |z|}\to 0.$$
8.3.2	由推论 8.14 和 8.17, 不妨设 $\Omega \subseteq \mathbb{C}\backslash \{0,\zeta \}$ 且 $\zeta \ne \infty$ (否则 $\delta (z)$ 不良定义), 则 $z\to \zeta$ 时$${\rho }_{\Omega }(z)\ge {\rho }_{\zeta ,0}(z)=\frac{1+o(1)}{|z-\zeta |\log \frac{1}{|z-\zeta |}}=\frac{1+o(1)}{\delta (z)\log \frac{1}{\delta (z)}}.$$ 同时由 $B(z,\delta (z))\subseteq \Omega$, 有$${\rho }_{\Omega }(z)\le {\rho }_{B(z,\delta (z))}(z)=\frac{2\delta (z)}{\delta (z{)}^2-|z-z{|}^2}=\frac{2}{\delta (z)}.$$
8.3.3	(1) 若 ${\mathbb{C}}^{\ast }$ 上存在超双曲度量 ${\rho }_{{\mathbb{C}}^{\ast }}$, 对固定的 $z$, 取 $z\in B(z,R)\backslash \{0\}\subseteq {\mathbb{C}}^{\ast },R>0$, 从而 ${\rho }_{{\mathbb{C}}^{\ast }}(z)\le {\rho }_{B(z,R)\backslash \{0\}}(z)=\frac{1}{|z|\log \frac{R}{|z|}}.$ 令 $R\to \infty$, 就得到 ${\rho }_{{\mathbb{C}}^{\ast }}(z)=0$, 由 $z$ 任意性知 ${\rho }_{{\mathbb{C}}^{\ast }}\equiv 0$, 矛盾, 故不存在 ${\mathbb{C}}^{\ast }$ 上的双曲度量. (2) 若 $\mathbb{C}$ 上存在超双曲度量 ${\rho }_{\mathbb{C}}$, 对固定的 $z$, 取 $z\in B(z,R)\subseteq \mathbb{C},R>0$, 从而 ${\rho }_{\mathbb{C}}(z)\le {\rho }_{B(z,R)}(z)=\frac{2R}{R^2-|z{|}^2}$. 令 $R\to \infty$, 就得到 ${\rho }_{\mathbb{C}}(z)=0$, 由 $z$ 任意性知 ${\rho }_{\mathbb{C}}\equiv 0$, 矛盾, 故不存在 $\mathbb{C}$ 上的双曲度量.
8.3.4	不妨设 $\Omega \subseteq {\mathbb{C}}_{0,1}$, 按定义$$\underset{z\to \zeta }{\lim }\frac{{\rho }_{\Omega }(z)}{{\rho }_S(z)}=\underset{z\to \zeta }{\lim }\frac{(1+|z{|}^2){\rho }_{\Omega }(z)}{2}.$$(1) 若 $\zeta \ne \infty$, 则由推论 8.17 知 ${\lim }_{z\to \zeta }{\rho }_{\Omega }(z)=\infty$, 显然有$$\underset{z\to \zeta }{\lim }\frac{{\rho }_{\Omega }(z)}{{\rho }_S(z)}=\underset{z\to \zeta }{\lim }\frac{(1+|z{|}^2){\rho }_{\Omega }(z)}{2}=\infty .$$(2) 若 $\zeta =\infty$, 则由习题 8.3.1 $$\underset{z\to \infty }{\lim }\frac{{\rho }_{\Omega }(z)}{{\rho }_S(z)}=\underset{z\to \infty }{\lim }\frac{(1+|z{|}^2){\rho }_{\Omega }(z)}{2}\ge \frac{1}{4}\underset{z\to \infty }{\lim }\frac{|z{|}^2}{|z|\log |z|}=\infty .$$
8.3.5
8.3.6	不妨设 $f:\mathbb{C}\to {\mathbb{C}}_{0,1}$. 考虑 $\tilde{f}:\mathbb{D}\to {\mathbb{C}}_{0,1},z\mapsto f(2Rz)$, 则由 Schottkey 定理$$\underset{|z|=R}{\sup }\log |f(z)|=\underset{|z|=\frac{1}{2}}{\sup }\log |\tilde{f}(z)|\le ({\eta }^{-1}+{\log }^{+}|f(0)|)\frac{1+|z|}{1-|z|}-{\eta }^{-1}{|}_{|z|=\frac{1}{2}}<+\infty .$$注意到 $R$ 可以任意大, 上式说明 $f$ 是 $\mathbb{C}$ 上有界的解析函数, 由 Liouville 定理知其为常值.