用户: Sister Hang/多复变整理/冈洁凝聚定理

一般来说, 对于赋环空间 $(X,{\mathcal{O}}_X)$, 我们可以定义拟凝聚层与凝聚层的概念.

定义 0.1 (${\mathcal{O}}_X$-模). 赋环空间 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 上的层 $\mathcal{F}$ 称为 ${\mathcal{O}}_X$-模, 若 $\mathcal{F}(U)$ 是 ${\mathcal{O}}_X(U)$-模, 且与限制映射兼容, 即下图交换: 其中 $V\subset U$ 为任意两个有包含关系的开集, 而 $r_{UV},{\rho }_{UV}$ 分别为 ${\mathcal{O}}_X$ 与 $\mathcal{F}$ 上相应的限制映射.

有限型 ${\mathcal{O}}_X$-模指的是对于任意一点 $p$, 存在开邻域 $U$ 使得 $\mathcal{F}{|}_U$ 被有限多个截面生成.

定义 0.2 (拟凝聚层). 给定赋环空间 $(X,{\mathcal{O}}_X)$. 其上的层 $\mathcal{F}$ 称为拟凝聚层, 若其是具有局部表示的 ${\mathcal{O}}_X$-模, 即任一点 $p\in X$ 都存在开邻域 $U$, 使得存在任意指标 $I,J$ 与正合列$${\mathcal{O}}_X^{\oplus I}{|}_U\to {\mathcal{O}}_X^{\oplus J}{|}_U\to \mathcal{F}{|}_U\to 0.$$空间 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 上的全体拟凝聚层以及其态射构成的范畴记作 $\mathbf{QCoh}(X)$.

这里的底空间 $X$ 通常为概形或复流形. 拟凝聚层是一个方便的研究对象. 它能被 ${\mathcal{O}}_X$ 作用, 且在每个点处都有领域 $U$, 使得 $\mathcal{F}{\mid }_U$ 被整体截面生成; 且可调整整体截面的选取, 使得相应满射的关系 (即满射的核) 也能被整体截面生成.

${\mathcal{O}}_X$-模不一定是拟凝聚层. 考虑 $\mathrm{Spec}(k[t])$ 上的点 $p=(t)$ 与摩天大楼层 $i_p^{\ast }(\underline{k(t)})$ 即可. 容易证明, 拟凝聚层的直和仍是拟凝聚层; 拟凝聚层的拉回仍是拟凝聚层.

但这个条件也不算特别好使用, 因为指标集 $I,J$ 是任意的. 我们通常会加一些有限性条件.

定义 0.3 (局部有限展示). 若 $\mathcal{F}$ 是拟凝聚层, 且对于任一点 $p\in X$, 可选取开邻域 $U$, 使得在其上, 相应的指标集 $I,J$ 是有限集, 则称 $\mathcal{F}$ 为局部有限展示层 $\mathcal{O}$-模.

定义 0.4 (凝聚层). 若 $\mathcal{F}$ 是拟凝聚层, 且

•	(有限型) 对于任一点 $p\in X$, 可选取开邻域 $U$, 使得在其上, 存在有限集 $I$ 及满态射 ${\mathcal{O}}_X{|}_U^{\oplus I}\twoheadrightarrow \mathcal{F}{|}_U$;
•	(关系有限型) 若开集 $V$ 满足 ${\mathcal{O}}_X{|}_V^{\oplus I}\to \mathcal{F}{|}_V$, 其中 $I$ 是有限指标集, 则其核 $\ker [{\mathcal{O}}_X{|}_V^{\oplus I}\twoheadrightarrow \mathcal{F}{|}_V]$ 是有限型 ${\mathcal{O}}_V$-模.

则称 $\mathcal{F}$ 为 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 上的凝聚层.

空间 $(X,{\mathcal{O}}_X)$ 上的全体凝聚层以及其态射构成的范畴记作 $\mathbf{Coh}(X)$.

容易看出, “凝聚” 比 “局部有限展示” 更为强烈. 凝聚层也在有限直和下封闭, 且凝聚层之间的态射有核与余核皆凝聚. 当 $X$ 为复流形时, 定义 $\mathcal{O}(X)$ 为其上的全纯函数环. 显然, ${\mathcal{O}}_X$ 是一个层. 我们称之为结构层. 我们定义 $X$ 对应的赋环空间为 $(X,{\mathcal{O}}_X)$.

本节意在证明以下定理:

定理 0.5 (冈洁凝聚定理). 对于任何复流形 $X$, $\mathcal{O}(X)$ 是凝聚层.

1有关多元复变函数

以下 “区域” 指代非空连通开集.

定理 1.1 (唯一性定理). 若区域 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 上的全纯函数 $f,g\in \mathcal{O}(\Omega )$ 在 $\Omega$ 的非空开子集上相等, 则 $f=g$.

证明. 令 $X=\{x\in \Omega \mid 存在x的开邻域U使得f{|}_U=g{|}_U\}$. 由条件, $X$ 是 $\Omega$ 的非空开子集. 下证 $X$ 是 $\Omega$ 的闭子集. 任取 $z_0\in \partial X\cap \Omega$, 欲证 $z_0\in X$. 欲寻找 $z_0$ 的一个多圆盘邻域 $\Delta$, 使得 $f{|}_{\Delta }=g{|}_{\Delta }$. 先选取包含 $z_0$ 的多圆盘 $\Delta \subset \Omega$. 由边界的定义, 取 $a\in \Delta ‘\cap X$. 对于任意 $z\in \Delta ’$, 定义

$$\varphi (t):=f(a+t(z-a))-g(a+t(z-a)),$$

其中 $t$ 的定义域为 $\mathbb{C}$ 中包含 $[0,1]$ 的一个小开邻域 $D$.

由 $\Delta$ 的凸性, $\varphi$ 是良定的. 由于 $f$ 与 $g$ 在 $a$ 的的邻域 $V_a\subset \Omega$ 中相等, 故 $V:=\{t\in D\mid t(z-a)\in V_a-a\}$ 是 $\mathbb{C}$ 中的开子集. 那么 $\varphi$ 在 $V\cap D$ 上为 $0$. 故由单复变的唯一性定理知 $\varphi =0$. 取 $t=1$, 这即 $f(z)=g(z)$. 由于 $z\in \Delta$ 是任取的, 故 $z_0\in X$. 故 $X$ 是 $\Omega$ 的闭子集. 由 $\Omega$ 的连通性知 $X=\Omega$. 从而 $f=g$.

$\square$

由上述定理, 我们立即得到以下推论:

推论 1.2. 若 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^n$ 是区域, 则 $\mathcal{O}(\Omega )$ 是整环.

证明. 若 $f,g\in \mathcal{O}(\Omega )$ 且 $fg=0$, 而 $f,g\ne 0$, 则取 $a\in \Omega$ 使得 $f(a)\ne 0$. 那么存在 $a$ 的开邻域 $U$ 使得 $f$ 在 $U$ 上处处非零. 这意味着 $g{|}_U=0$. 由唯一性定理, $g=0$ 在 $\Omega$ 上恒成立. 矛盾!

$\square$

推论 1.3 (开映射定理). 若 $\Omega$ 是区域, 且 $f\in \mathcal{O}(\Omega )$ 非常值, 则 $f(U)\subset \mathbb{C}$ 开.

证明. 对于任意 $a\in U$, 取其多圆盘邻域 $\Delta \subset U$. 由唯一性定理, 存在 $b\in \Delta$ 使得 $f(a)\ne f(b)$. 那么 $z\mapsto f(a+z(b-a))$ 是 $\mathbb{D}$ 上的一个单复变全纯函数. 由单复变的开映射定理知, $f(l)$ 是 $f(a)$ 的开邻域. 而 $f(l)\subset f(U)$, 且 $a$ 任取, 故 $f(U)$ 开.

$\square$

推论 1.4 (最大模原理). 令 $\Omega$ 为区域, 且 $f\in \mathcal{O}(\Omega )$. 若存在 $a\in \Omega$ 使得 $|f(a)|\ge |f(z)|,\forall z\in U$, 则 $f$ 为常值函数.

证明. 否则, 记 $r=|f(a)|$, 那么 $r>0$. 由开映射定理, $f(\Omega )\subset \mathbb{C}$ 开, 且 $f(\Omega )\subset B_r(0)$. 故 $r{S}^1\cap f(G)=\varnothing$. 但 $f(a)\in r{S}^1\cap f(G)$. 矛盾!

$\square$

2全纯延拓

准备工作: 全纯隐函数定理

定理 2.1 (全纯隐函数定理). 令开子集 $U\times V\subset {\mathbb{C}}^m\times {\mathbb{C}}^n$, 且 $(z_0,w_0)\in U\times V$. 若 $f_i\in \mathcal{O}(U\times V),1\le i\le n$ 满足 $f_i(z_0,w_0)=0,\forall 1\le i\le n$, 且 $\det [\frac{\partial f_i}{\partial w_j}(z_0,w_0){]}_{1\le i,j\le n}\ne 0$, 则存在 $z_0$ 的开邻域 $U^{\prime }\subset U$ 使得存在 $g:U^{\prime }\to {\mathbb{C}}^n$ 满足 $g(z_0)=w_0$, 且 $f_i(z,g(z))=0,\forall i$.

证明. 将 $f_i,1\le i\le n$ 视为 $2n$ 个实函数: 定义 $w_i=x_i+\sqrt{-1}{y}_i$ 与 $f_i=u_i+\sqrt{-1}{v}_i$. 那么$$\det {\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}& \frac{\partial v_i}{\partial x_j}\\ \frac{\partial u_i}{\partial y_j}& \frac{\partial v_i}{\partial y_j}\end{array}\right)}_{1\le i,j\le n}=\det {\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}& \frac{\partial v_i}{\partial x_j}\\ -\frac{\partial v_i}{\partial x_j}& \frac{\partial u_i}{\partial x_j}\end{array}\right)}_{1\le i,j\le n}=\det [\frac{\partial f_i}{\partial w_j}(z_0,w_0){]}_{1\le i,j\le n}\ne 0.$$

由实隐函数定理知存在开子集 $U^{\prime }\subset {\mathbb{C}}^m$ 以及 $C^1$ 映射 $g:U\to {\mathbb{C}}^n$ 满足条件. 由 $f_i(z,g(z))=0$ 对 ${\bar{z}}_l$ 求偏导得 $0\equiv {\sum }_{k=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial w_j}\frac{\partial g_i}{\partial {\bar{z}}_l}$. 但 $[\frac{\partial f_i}{\partial w_j}{]}_{1\le i,j\le n}$ 在 $(z_0,w_0)$ 的一个开邻域 $U^{\prime \prime }\times V^{\prime \prime }$ 上可逆, 故以 $U^{\prime \prime }\cap U^{\prime }$ 替代 $U^{\prime \prime }$, 知诸 $\frac{\partial g_i}{\partial {\bar{z}}_l}\equiv 0$. 取 $(U^{\prime },g)$ 即可.

$\square$

作为直接推论, 我们也有多复变版本的反函数定理:

推论 2.2 (全纯反函数定理). 若 $U\subset {\mathbb{C}}^n$ 是开子集, 而 $f=(f_1,\cdots ,f_n):U\to {\mathbb{C}}^n$ 是 $U$ 上的全纯函数, 且在某点 $z_0\in U$, 有 $\det [\frac{\partial f_i}{\partial z_j}(z_0,w_0){]}_{1\le i,j\le n}\ne 0$, 则存在 $z_0$ 的开邻域 $V$ 与 $f(z_0)$ 的开邻域 $W$ 使得 $f:V\to W$ 有全纯逆映射 $f^{-1}:W\to V$.

证明. 取 $F_i:U\times U\to \mathbb{C};(z,w)\mapsto {\pi }_i(z-f(w))$, 其中 ${\pi }_i$ 为第 $i$ 分量投影. 那么 $F_1,\cdots ,F_n$ 满足全纯隐函数定理条件 (此处 $F_i(f(z_0),z_0)=0$) . 故可取 $f(z_0)$ 的开邻域 $W\subset U$ 以及全纯函数 $g:W\to {\mathbb{C}}^n$, 使得 $g(f(z_0))=z_0$, 而在 $V$ 上成立 ${\pi }_i(z-f(g(z)))=F_i(z,g(z))=0,\forall 1\le i\le n$. 这意味着 $z=f(g(z))$ 在 $z_0$ 的开邻域 $V=f^{-1}(W)$ 上成立. 故 $(V,W)$ 即为所求.

$\square$

余维二的魔法

对于单复变来说, $\mathbb{C}$ 中任何一个区域 $\Omega$ 上都有一个全纯函数不能穿过 $\partial \Omega$ 延拓到外面. 但对于多复变来说, 非也. 造成这则奇观的是维数的差异.

以下 ${\mathbb{D}}_r=r\mathbb{D}$, $V_{r_1,r_2}={\mathbb{D}}_{r_2}-\overline{{\mathbb{D}}_{r_1}}$, 其中 $0\le r_1<r_2$, 而 $\mathbb{D}$ 为 $\mathbb{C}$ 中的开单位圆盘.

定理 2.3 (Hartogs 延拓定理). 令 $\Omega \subset {\mathbb{C}}^{n-1}$ 为区域, 其中 $n\ge 2$. 若 $0<r_1<r_2$, 且 $U\subset \Omega$ 为非空开子集, 则 $U\times {\mathbb{D}}_{r_2}\cup \Omega \times V_{r_1,r_2}$ 上的全纯函数都可以唯一延拓为 $\Omega \times {\mathbb{D}}_{r_2}$ 上的全纯函数.

换而言之, 限制映射 $\mathcal{O}(\Omega \times {\mathbb{D}}_{r_2})\stackrel{\mathrm{Res}}{\to }\mathcal{O}(U\times {\mathbb{D}}_{r_2}\cup \Omega \times V_{r_1,r_2})$ 是同构.

证明. 设 $f\in \mathcal{O}(U\times {\mathbb{D}}_{r_2}\cup \Omega \times V_{r_1,r_2})$. 对于 $0<\rho <r_2$, 定义

$$f_{\rho }:\Omega \times {\mathbb{D}}_{\rho }\to \mathbb{C};z\mapsto \frac{1}{2\pi i}{\int }_{|\zeta |=\rho }\frac{f(z_1,\cdots ,z_{n-1},\zeta )}{\zeta -z_n}d\zeta ,$$

则 $f_{\rho }\in \mathcal{O}(\Omega \times {\mathbb{D}}_{\rho })$. 由于 $f{|}_{U\times {\mathbb{D}}_R}\in \mathcal{O}(U\times {\mathbb{D}}_R)$, 且 $f_{\rho }\equiv f$ 在 $U\times {\mathbb{D}}_{\rho }$ 上成立, 由唯一性定理, $f_{{\rho }_1}\equiv f_{{\rho }_2}{|}_{\Omega \times {\mathbb{D}}_{{\rho }_1}}$ 对于任意 $r_1<{\rho }_1<{\rho }_2<r_2$ 成立. 故定义 $F$ 为 $F(z)=f_{\rho }(z)$ 当 $z\in \Omega \times {\mathbb{D}}_{\rho }$, 则 $F\in \Omega \times {\mathbb{D}}_{r_2}$ 是 $f$ 的全纯延拓. 由唯一性定理知唯一性.

$\square$

这则定理揭示了余维二对全纯函数几乎没什么影响:

推论 2.4. 若 $X\subset {\mathbb{C}}^n$ 是开集, 其中 $n\ge 2$. 而 $A$ 是 $X$ 的复子流形, 满足 ${\mathrm{codim}}_X(A)\ge 2$, 则限制映射 $\mathcal{O}(X)\stackrel{\mathrm{Res}}{\to }\mathcal{O}(X\backslash A)$ 是同构.

3Poincaré 引理

4Weierstrass 预备定理

定理 4.1 (Weierstrass 预备定理 & Weierstrass 多项式). 若 $f$ 是 ${\mathbb{C}}^n$ 中 $0$ 的某个开领域上的全纯函数,

5冈洁凝聚定理