用户: Sister Hang/多复变整理/全纯域

1对数凸包

定义 1.1 (Reinhardt 域). 称 ${\mathbb{C}}^n$ 中的连通开集为 Reinhardt 域, 若 $\forall z\in \Omega$, 则 $(e^{\sqrt{-1}{\theta }_1}{z}_1,\cdots ,e^{\sqrt{-1}{\theta }_n}{z}_n)\in \Omega$ 对任意 $({\theta }_1,\cdots ,{\theta }_n)\in [0,2\pi {)}^n$.

例 1.2. 对于连续函数 $f:{\mathbb{R}}_{>0}^n\to \mathbb{R}$, 点集 $\{z\in {\mathbb{C}}^n\mid f(|z_1|,\cdots ,|z_n|)<0\}$ 的任一连通分支都是 Reinhardt 域.

定理 1.3. 若 $\Omega$ 是 ${\mathbb{C}}^n$ 中的 Reinhardt 域, 且 $f\in \mathcal{O}(\Omega )$, 则 $f(z)={\sum }_{\alpha \in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}^n}\frac{1}{\alpha !}{\partial }^{\alpha }f(0)z^{\alpha }$, 且右式在 $\Omega$ 的任意紧集上一致收敛.

证明. 只需证明 $\frac{1}{\alpha !}{\partial }^{\alpha }f(0)z^{\alpha }$ 在紧集上一致收敛. 考虑 ${\Omega }_{ϵ}$ 为 $\{z\in \Omega \mid \mathrm{dist}(z,\partial \Omega )>ϵ|z|\}$ 过原点的连通分支. 那么 $\Omega ={\bigcup }_{ϵ>0}{\Omega }_{ϵ}$. 只需证明在 ${\Omega }_{ϵ}$ 上一致收敛.

$\square$