用户: Ruiqi chen/Algebraic Number Theory/Dedekind 整环上投射模结构定理

1结论

定理 1.1. 命 $R$ 是 Dedekind 整环, $P$ 是 $R$ 上投射模, 则存在 $R$ 的理想 ${(I_{\alpha })}_{\alpha \in \mathrm{A}}$, 使得: $$P\cong \underset{\alpha \in \mathrm{A}}{⨁}{I}_{\alpha }$$(1)

定理 1.2. 有限生成投射 $R$ 模 $M$ 均形如: $$M\cong R^n\oplus I$$(2)其中 $I$ 是 $R$ 的理想.

定理 1.3. 命 $R$ 是 Dedekind 整环, $M$ 是 $R$ 上有限生成模, 则存在 $R$ 的理想 $I$, 存在 $R$ 的一组素理想 ${\mathfrak{p}}_1,\dots ,{\mathfrak{p}}_m$, 正整数 $k_{1,1},\dots ,k_{m,s_m}$, 使得: $$M=R^n\oplus I\oplus \left(\underset{i=1}{\overset{m}{⨁}}\underset{j=1}{\overset{s_i}{⨁}}\frac{R}{{{\mathfrak{p}}_i}^{k_{i,j}}}\right)$$(3)

2证明

引理 2.1. 假设良幂 Grothendieck 范畴 $\mathcal{R}$ 中 $R$ 的子对象均投射, 给出 $R^{\mathrm{A}}:={⨁}_{\alpha \in \mathrm{A}}R$ 的子对象 $M$, 则存在一组 $R$ 的子对象 ${(I_{\alpha })}_{\alpha \in \mathrm{A}}$ 使得: $$M\cong \underset{\alpha \in \mathrm{A}}{⨁}{I}_{\alpha }$$(4)

证明. 考察以下集合: $$\mathcal{P}:=\left\{(\Delta ,{(I_{\delta })}_{\delta \in \Delta },\phi ):\begin{array}{c}\Delta \subseteq \mathrm{B}\\ \phi :{⨁}_{\delta \in \Delta }{I}_{\delta }\cong M\cap R^{\Delta }\end{array}\right\}$$(5)带有偏序: $$(\Delta ,{(I_{\delta })}_{\delta \in \Delta },\phi )\le ({\Delta }^{\prime },{({I^{\prime }}_{\delta })}_{\delta \in {\Delta }^{\prime }},{\phi }^{\prime })⟺\begin{array}{c}\Delta \subseteq {\Delta }^{\prime }\\ \forall \delta \in \Delta ,I_{\delta }={I^{\prime }}_{\delta }\\ \phi ={\phi }^{\prime }\upharpoonright {⨁}_{\delta \in \Delta }{I}_{\delta }\end{array}$$(6)对全序子集 ${\left\{({\Delta }_i,{(I_{i,\delta })}_{\delta \in {\Delta }_i},{\phi }_i)\right\}}_{i\in I}$, 全序保证了 $I_{\delta }:=I_{i,\delta }$ 给定, 故可构造: $$(\Delta :=\bigcup _{i\in I}{\Delta }_i,{(I_{\delta })}_{\delta \in \Delta },\underset{i\in I}{\underrightarrow{\lim }}{\phi }_i)$$(7)利用 Grothendieck 范畴的性质验证: $$\underset{\delta \in {\bigcup }_{i\in I}{\Delta }_i}{⨁}{I}_{\delta }\cong \underset{i\in I}{\underrightarrow{\lim }}\underset{\delta \in {\Delta }_i}{⨁}{I}_{\delta }\cong \underset{i\in I}{\underrightarrow{\lim }}M\cap R^{{\Delta }_i}\cong M\cap \underset{i\in I}{\underrightarrow{\lim }}{R}^{{\Delta }_i}\cong M\cap R^{{\bigcup }_{i\in I}{\Delta }_i}$$(8)故 $(\Delta ,{(I_{\delta })}_{\delta \in \Delta },{\underrightarrow{\lim }}_{i\in I}{\phi }_i)\in \mathcal{P}$ 为一上界, 运用 Zorn 引理, 寻求 $\mathcal{P}$ 的极大元素 $(\Delta ,{(I_{\delta })}_{\delta \in \Delta },\phi )$, 若 $\Delta \ne \mathrm{A}$, 则存在 $\alpha \in \mathrm{A}\setminus \Delta$, 观察: (9)注意到 $R^{\Delta }\subseteq R^{\Delta \cup \left\{\alpha \right\}}$, 故左侧图表是拉回图表, 利用正合列 $0\to R^{\Delta }\to R^{\Delta \cup \left\{\alpha \right\}}\to R$, 得到正合列: $$0\to M\cap R^{\Delta }\to M\cap R^{\Delta \cup \left\{\alpha \right\}}\to R$$(10)故以下定义的 $I_{\alpha }$ 是 $R$ 的子对象: $$I_{\alpha }:=\frac{M\cap R^{\Delta \cup \left\{\alpha \right\}}}{M\cap R^{\Delta }}\subseteq R$$(11)从而 $I_{\alpha }$ 投射, 故以下短正合列分裂: $$0\to M\cap R^{\Delta }\to M\cap R^{\Delta \cup \left\{\alpha \right\}}\to I_{\alpha }\to 0$$(12)故: $$\psi :\underset{\delta \in \Delta \cup \left\{\alpha \right\}}{⨁}{I}_{\delta }\cong (M\cap R^{\Delta })\oplus I_{\alpha }\cong M\cap R^{\Delta \cup \left\{\alpha \right\}}$$(13)从而 $(\Delta ,{(I_{\delta })}_{\delta \in \Delta },\phi )<(\Delta \cup \left\{\alpha \right\},{(I_{\delta })}_{\delta \in \Delta \cup \left\{\alpha \right\}},\psi )$, 与极大性矛盾, 故极大元总满足 $\Delta =\mathrm{A}$, 此时: $$M\cong M\cap R^{\mathrm{A}}\cong \underset{\alpha \in \mathrm{A}}{⨁}{I}_{\alpha }$$(14)

$\square$

1.1. 投射模 $P$ 为自由模直和项故为自由模子模, Dedekind 整环理想均投射, 故: $$P\cong \underset{\alpha \in \mathrm{A}}{⨁}{I}_{\alpha }$$(15)而投射模的直和仍投射.

$\square$

引理 2.2. 命 $R$ 是 Dedekind 整环, $M$ 是无挠 $R$ 模, 则 $M$ 平坦.

证明. 首先局部化与张量积交换, 给出函子等价: $$S^{-1}(M\underset{R}{\otimes }N)\cong (S^{-1}M)\underset{S^{-1}R}{\otimes }(S^{-1}N)$$(16)故诱导出等价的导出函子, 依赖局部化正合计算: $$S^{-1}(M\stackrel{\mathbb{L}}{\underset{R}{\otimes }}N)\cong \mathbb{L}{S}^{-1}(M\underset{R}{\otimes }N)\cong \mathbb{L}(S^{-1}M)\underset{S^{-1}R}{\otimes }(S^{-1}N)\cong (S^{-1}M)\stackrel{\mathbb{L}}{\underset{S^{-1}R}{\otimes }}(S^{-1}N)$$(17)从而给出局部化与 $\mathrm{Tor}$ 交换: $${\mathrm{Tor}}_i^{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N)\cong S^{-1}{\mathrm{Tor}}_i^R(M,N)$$(18)对无挠 $M$ 模与任意极大理想 $\mathfrak{p}$ 均有 $M_{\mathfrak{p}}$ 无挠, 又 $R_{\mathfrak{p}}$ 是离散赋值环, 故为主理想整环, 从而 $M_{\mathfrak{p}}$ 为平坦 $R_{\mathfrak{p}}$ 模, 故: $${({\mathrm{Tor}}_i^R(M,N))}_{\mathfrak{p}}=0,\forall i>0,\mathfrak{p},N$$(19)依赖 $\mathfrak{p}$ 的任意性知 ${\mathrm{Tor}}_i^R(M,N)=0$, 即 $M$ 平坦.

$\square$

引理 2.3. 命 $R$ 为 Dedekind 整环, 则有限生成挠 $R$ 模 $M$ 有分解: $$M\cong \underset{i=1}{\overset{m}{⨁}}\underset{j=1}{\overset{s_i}{⨁}}\frac{R}{{{\mathfrak{p}}_i}^{k_{i,j}}}$$(20)

证明. 取生成元 ${\mu }_1,\dots ,{\mu }_n$, 对应零因子 $r_1,\dots ,r_n$, 命 $r:={\prod }_{i=1}^n{r}_i$, 则 $M$ 可视作 $R/rR$ 模, 注意到 $\mathrm{Spec}(R/rR)$ 是有限集, 其 Zariski 拓扑离散, 又 $M$ 是 $(\mathrm{Spec}(R/rR),{\mathcal{O}}_{\mathrm{Spec}(R/rR)})$ 上的模层, 故粘合条件给出: $$M\cong \prod _{\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}(R/rR)}{M}_{\mathfrak{p}}$$(21)其中 $M_{\mathfrak{p}}$ 是有限生成 $R_{\mathfrak{p}}$ 模, 利用主理想整环上的有限生成模结构定理, 知 $M_{\mathfrak{p}}$ 有分解: $$M_{\mathfrak{p}}\cong \underset{i=1}{\overset{s}{⨁}}\frac{R_{\mathfrak{p}}}{{{\mathfrak{p}}_{\mathfrak{p}}}^{k_i}}\cong \underset{i=1}{\overset{s}{⨁}}{\left(\frac{R}{{\mathfrak{p}}^{k_i}}\right)}_{\mathfrak{p}}\cong \underset{i=1}{\overset{s}{⨁}}\frac{R}{{\mathfrak{p}}^{k_i}}$$(22)故给出有限生成挠 $R$ 模 $M$ 的分解.

$\square$

引理 2.4 (Steintz). 对 Dedekind 整环 $R$ 的任意两个非零理想 $IJ$ 有: $$I\oplus J\cong R\oplus IJ$$(23)

证明. 任取 $0\ne a_1\in I$, 此时 $a_1{I}^{-1}={\prod }_{i=1}^n{{\mathfrak{p}}_i}^{v_i}$, 今选取: $$c_j\in J\prod _{i=1}^n{\mathfrak{p}}_i\setminus J\prod _{i\ne j}{\mathfrak{p}}_i$$(24)则 $a_2={\sum }_{j=1}^n{c}_j\in J$ 满足 $a_1{I}^{-1}+a_2{J}^{-1}=R$, 故存在 $b_1\in I^{-1},b_2\in J^{-1}$ 使得 $a_1{b}_1+a_2{b}_2=1$, 构造互逆双射: $$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{cc}{b}_1& b_2\\ -a_2& a_1\end{array}\right)& :I\oplus J\to R\oplus IJ\\ \left(\begin{array}{cc}{a}_1& -b_2\\ a_2& b_1\end{array}\right)& :R\oplus IJ\to I\oplus J\end{array}$$

$\square$

1.2. 有限生成模嵌入为 $R$ 的有限直和的直和项, 给出 $\mathrm{A}$ 有限, 运用 2.4 即可.

$\square$

1.3. 对有限生成模 $M$ 给出正合列: $$0\to M_{\mathrm{tor}}\to M\to M_{\mathrm{tf}}\to 0$$(25)利用 2.2 知道 $M_{\mathrm{tf}}$ 有限生成平坦, 依赖 $R$ 是 Noether 环知 $M_{\mathrm{tf}}$ 具有限展示, 故投射, 从而上述短正合列分裂, 故: $$M\cong M_{\mathrm{tf}}\oplus M_{\mathrm{tor}}\cong R^n\oplus I\oplus \left(\underset{i=1}{\overset{m}{⨁}}\underset{j=1}{\overset{s_i}{⨁}}\frac{R}{{{\mathfrak{p}}_i}^{k_{i,j}}}\right)$$(26)

$\square$