用户: Ruiqi chen/Algebraic Number Theory/域的赋值

1绝对值

定义 1.1 (绝对值). 域 $K$ 上的绝对值指的是 $\left|\cdot \right|:K\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}$, 满足:

1.	$\left|x\right|=0$ 当且仅当 $x=0$;
2.	$\left|xy\right|=\left|x\right|\left|y\right|$;
3.	$\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$ 称三角不等式.

若 $\left\{\left|n\right|:n\in \mathbb{Z}\right\}\subseteq {\mathbb{R}}_{\ge 0}$ 无界则称绝对值是 Archimedes 的, 否则称其为非 Archimedes 的, 绝对值使 $K$ 成为度量空间 $d(x,y):=\left|x-y\right|$.

特别的, 我们所论赋值默认为非平凡赋值, 也即 $\left|K\right|⊈\left\{0,1\right\}$.

引理 1.2. 取定 $K$ 上绝对值 ${\left|\cdot \right|}_1,{\left|\cdot \right|}_2$, 两者等价定义为以下三个等价条件:

1.	${\left|\cdot \right|}_1,{\left|\cdot \right|}_2$ 诱导出相同的拓扑;
2.	${\left|x\right|}_1<1$ 则 ${\left|x\right|}_2<1$;
3.	存在 $t\in {\mathbb{R}}_{>0}$ 使得对任意 $x$ 满足 ${\left|x\right|}_1={({\left|x\right|}_2)}^t$.

证明. 若 ${\left|\cdot \right|}_1,{\left|\cdot \right|}_2$ 诱导出相同的拓扑, 则取定 $x\in K$, 则 ${\lim }_{n\to \infty }{x}^n=0$ 当且仅当 $\left|x\right|<1$, 而 $\lim$ 仅由拓扑决定, 故 ${\left|x\right|}_1<1$ 则 ${\left|x\right|}_2<1$;

假定 ${\left|x\right|}_1<1$ 则 ${\left|x\right|}_2<1$, 考察 $x^{-1}$ 知 ${\left|x\right|}_1>1$ 则 ${\left|x\right|}_2>1$, 择定 $y\in K$ 使得 $\left|y\right|>0$, 对于任意 $x\in K$, 考察 $p,q\in \mathbb{Z}$, 使 $q\ne 0$, 有: $${\left|\frac{x^p}{y^q}\right|}_1=\frac{{\left|x^p\right|}_1}{{\left|y^q\right|}_1}=\frac{{{\left|x\right|}_1}^p}{{{\left|y\right|}_1}^q},{\left|\frac{x^p}{y^q}\right|}_2=\frac{{\left|x^p\right|}_2}{{\left|y^q\right|}_2}=\frac{{{\left|x\right|}_2}^p}{{{\left|y\right|}_2}^q}$$(1)故 $\frac{{{|x|}_1}^p}{{{|y|}_1}^q}<1$ 可推出 $\frac{{{|x|}_2}^p}{{{|y|}_2}^q}<1$, 并且对 $>$ 也成立, 故: $$\begin{array}{rl}\log {\left|x\right|}_1/\log {\left|y\right|}_1>q/p& ⟹\log {\left|x\right|}_2/\log {\left|y\right|}_2>q/p\\ \log {\left|x\right|}_1/\log {\left|y\right|}_1<q/p& ⟹\log {\left|x\right|}_2/\log {\left|y\right|}_2<q/p\end{array}$$依赖 $p,q$ 的任意性与 $\log {\left|y\right|}_1,\log {\left|y\right|}_2\ne 0$ 得到: $$\frac{\log {\left|x\right|}_1}{\log {\left|y\right|}_1}=\frac{\log {\left|x\right|}_2}{\log {\left|y\right|}_2}$$(2)

$\square$

引理 1.3. 绝对值是非 Archimedes 的当且仅当其满足强三角不等式: $$\left|x+y\right|\le \max (\left|x\right|,\left|y\right|)$$(3)

证明. 若绝对值是非 Archimedes 的, 记 $\sup \left\{\left|n\right|:n\in \mathbb{Z}\right\}\le N$, 则$${\left|x+y\right|}^k=\left|{(x+y)}^k\right|=\left|\sum _{i=0}^k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\right)x^i{y}^{k-i}\right|\le \sum _{i=0}^k\left|\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k}\right)\right|\left|x^i{y}^{k-i}\right|\le Nk{(\max (\left|x\right|,\left|y\right|))}^k$$(4)取 $k\to \infty$ 的极限给出强三角不等式.

若强三角不等式成立, 则 $\left|n\right|\le \left|1\right|=1$ 对整数 $n$ 均成立.

$\square$

定理 1.4 (Artin-Whaples 逼近定理). 给出 $K$ 上不等价的绝对值 ${({\left|\cdot \right|}_i)}_{i\in [n]}$, 则对任意 ${(x_i\in K)}_{i\in [n]}$ 与 $\epsilon$, 存在 $x\in K$, 使得: $${\left|x-x_i\right|}_i<\epsilon ,\forall i\in [n]$$(5)

证明. 我们分两步证明该定理:

1.

存在 $z\in K$ 使得 ${\left|z\right|}_0>1$ 而对任意 $k\in [n]\setminus \left\{0\right\}$ 有 ${\left|z\right|}_k<1$. 归纳, 假定给出 $w\in K$ 使得 ${\left|w\right|}_0>1$ 而对任意 $k\in [n-1]\setminus \left\{0\right\}$ 有 ${\left|w\right|}_k<1$, 寻求 $t\in K$ 使得 ${\left|t\right|}_0>1$ 而 ${\left|t\right|}_n<1$, 其中 $t$ 的存在性依赖绝对值不等价给出 $\alpha ,\beta$: $$t=\alpha /\beta ,{\left|\alpha \right|}_1,{\left|\beta \right|}_n<1,{\left|\alpha \right|}_n,{\left|\beta \right|}_1\ge 1$$(6)若 ${\left|w\right|}_n\le 1$, 则对充分大 $N$ 取 $z:=w^{N}t$ 即可, 若 ${\left|w\right|}_n>1$, 对充分大 $N\in \mathbb{N}$, 考察: $$z:=\frac{w^{N}t}{w^N+1}$$(7)得到不等式: $$\{\begin{array}{ll}{\left|z\right|}_0\ge \frac{{{|w|}_0}^N{|t|}_0}{{{|w|}_0}^N+1}>1& k=0\\ {\left|z\right|}_k\le \frac{{{|w|}_k}^N{|t|}_k}{{{|w|}_k}^N+1}<1& 1\le k\le n-1\\ {\left|z\right|}_n\le \frac{{{|w|}_n}^N{|t|}_n}{{{|w|}_n}^N-1}<1& k=n\end{array}$$(8)

2.

假定给出 $a_i\in K$ 使得: $${\left|a_i\right|}_i>1,{\left|a_i\right|}_k<1,\forall k\ne i$$(9)则在 ${\left|\cdot \right|}_k$ 下容易验证: $$\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{i=0}^n\frac{{a_i}^N{x}_i}{{a_i}^N+1}=x_k$$(10)取充分大 $N$ 即证明了原定理.

$\square$

定理 1.5 (A. Ostrowski). $\mathbb{Q}$ 上绝对值, 在精确到等价的情形下仅有 $p$-进绝对值 ${\left|\cdot \right|}_p$ 与寻常的绝对值 ${\left|\cdot \right|}_{\infty }$.

证明. 若绝对值非 Archimedes, 有 $\left|n\right|\le 1$ 依赖非平凡知存在素数 $p$ 使得 $\left|p\right|<1$, 此时强三角不等式给出 $\mathbb{Z}$ 的理想: $$I:=\left\{n\in \mathbb{Z}:\left|n\right|<1\right\}\subseteq \mathbb{Z}$$(11)故 $I=p\mathbb{Z}$, 此时 $\left|\mathbb{Z}\setminus p\mathbb{Z}\right|=\left\{1\right\}$, 故给出 $p$-进绝对值.

若绝对值 Archimedes, 对 $m,n\in \mathbb{Z}$, 取 $t\in {\mathbb{Z}}_{>0}$ 并给出: $$m^t=\sum _{i=0}^k{a}_i{n}^i,i\in [n-1]$$(12)若 $\left|n\right|<1$, 则取 $t=1$ 给出: $$\left|m\right|=\left|\sum _{i=0}^k{a}_i{n}^i\right|\le \sum _{i=0}^k{a}_i{\left|n\right|}^i<\frac{n}{1-\left|n\right|}$$(13)与 Archimedes 矛盾, 故有: $${\left|m\right|}^t=\left|m^t\right|=\left|\sum _{i=0}^k{a}_i{n}^i\right|\le \sum _{i=0}^{k}n{\left|n\right|}^i\le n(k+1){\left|n\right|}^k$$(14)其中 $k\le \log m/\log n$, 令 $t\to \infty$ 给出: $$\left|m\right|\le {\left|n\right|}^{\log m/\log n}$$(15)对称的, 交换 $m,n$ 给出另一个方向, 故: $$\left|m\right|={\left|n\right|}^{\log m/\log n}$$(16)也即等价于寻常的绝对值.

$\square$

定理 1.6 (A. Ostrowski). 完备 Archimedes 赋值域 $K$ 等价于 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$.

证明. 依赖 Archimedes 知道 $\mathrm{char}K=0$, 于是给出自然的实嵌入 $\mathbb{R}\hookrightarrow K$, 需证明 $K$ 上任意元素在 $\mathbb{R}$ 上均代数, 取定 $x\in K$ 构造: $$f:z\mapsto \left|x^2-(z+\overline{z})x+z\overline{z}\right|,\mathbb{C}\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}$$(17)命 $m:=\inf f(\mathbb{C})$, 注意到当 $z\to \infty$ 时 $f(z)\to \infty$, 故 $S:=f^{-1}(m)\subseteq \mathbb{C}$ 是非空有界紧集, 取 $w\in S$ 使得 $\left|w\right|$ 极大, 若 $m\ne 0$, 则选取实数 $\epsilon$, $m>\epsilon >0$, 在 $\mathbb{R}$ 上因式分解: $$G(T):={(T^2-(w+\overline{w})T+w\overline{w})}^n-{(-\epsilon )}^n=(T^2-(w+\overline{w})T+w\overline{w}+\epsilon )\prod _{i=1}^a(T^2-({\alpha }_i+\overline{{\alpha }_i})T+{\alpha }_i\overline{{\alpha }_i})\prod _{i=1}^b(T-{\beta }_i)\in \mathbb{R}[x]$$(18)注意到 ${(T-{\beta }_i)}^2=T^2-({\beta }_i+\overline{{\beta }_i})T+{\beta }_i\overline{{\beta }_i}$, 由此建立不等式: $$m^n+{\epsilon }^n\ge \sqrt{\left|{G(x)}^2\right|}\ge \left|T^2-(w+\overline{w})T+w\overline{w}+\epsilon \right|m^{n-1}$$(19)取 $n\to \infty$ 得到 $\left|x^2-(w+\overline{w})x+w\overline{w}+\epsilon \right|\le m$, 而取二次方程 $T^2-(w+\overline{w})T+w\overline{w}+\epsilon =0$ 的根 $v,\overline{v}$, 有 $\left|v\right|\ge \left|w\right|$, 依赖 $\left|w\right|$ 极大知: $$\left|x^2-(w+\overline{w})x+w\overline{w}+\epsilon \right|=\left|x^2-(v+\overline{v})x+v\overline{v}\right|>m$$(20)得到矛盾, 故 $m=0$ 也即 $K$ 是 $\mathbb{R}$ 的代数扩张.

$\square$

2赋值环

定义 2.1 (赋值环). 设 $\Gamma$ 为全序交换群, 环 $A$ 上以 $\Gamma$ 为值域的赋值为 $v:A\to \Gamma \bigsqcup \left\{\infty \right\}$, 满足:

1.	$v(xy)=v(x)+v(y)$;
2.	$v(x+y)\ge \min (v(x),v(y))$;
3.	$v(1)=0$, $v(0)=\infty$
4.	$v(A)\setminus \left\{\infty \right\}$ 生成群 $\Gamma$.

若存在嵌入 $\Gamma \hookrightarrow \mathbb{R}$, 则称作秩 $1$ 赋值.

引理 2.2. 域的秩 $1$ 赋值与非 Archimedes 绝对值存在如下的一一对应: $$\begin{array}{rl}\left|x\right|& :=\exp v(x)\\ v(x)& :=\log \left|x\right|\end{array}$$

引理 2.3. 对于赋值环 $v^{-1}(\infty )=\left\{x\in A:v(x)=\infty \right\}⊊A$ 是素理想.

引理 2.4. 若 $v(x)>v(y)$, 则 $v(x+y)=v(y)$.

证明. 注意到不等式: $$v(y)=v(x+y-x)\ge \min (v(x),v(x+y))\ge \min (v(x),v(x),v(y))\ge v(y)$$(21)

$\square$

定义 2.5 (赋值的拓扑结构). 赋值 $v$ 使 $A$ 成为拓扑环, 其 $0$ 处的一个邻域基由: $$U_{\epsilon }:=\left\{x\in A:v(x)>\epsilon \right\},\epsilon \in \Gamma$$(22)给出, 其为 Hausdorff 空间当且仅当 $v^{-1}(\infty )=\left\{0\right\}$.

引理 2.6. 对于任意 $\gamma \in \Gamma$, 则:

1.	$\left\{x\in A:v(x)=\gamma \right\}$ 是即开又闭的;
2.	$\left\{x\in A:v(x)\ge \gamma \right\}$ 是即开又闭的;
3.	$\left\{x\in A:v(x)>\gamma \right\}$ 是即开又闭的;

证明. 注意到集合的等式: $$\begin{array}{rl}\left\{x\in A:v(x)=\gamma \right\}& =\bigcup _{v(x)=\gamma }x+U_{\gamma }\\ \left\{x\in A:v(x)\ge \gamma \right\}& =\bigcup _{v(x)\ge \gamma }x+U_{\gamma }\end{array}$$故 $\left\{x\in A:v(x)=\gamma \right\},\left\{x\in A:v(x)\ge \gamma \right\}$ 开, 注意到: $$\begin{array}{rl}\left\{x\in A:v(x)\ge \gamma \right\}& =A\setminus \bigcup _{\eta <\gamma }\left\{x\in A:v(x)=\eta \right\}\\ \left\{x\in A:v(x)>\gamma \right\}& =A\setminus \bigcup _{\eta \le \gamma }\left\{x\in A:v(x)=\eta \right\}\end{array}$$而 $U_{\gamma }=\left\{x\in A:v(x)>\gamma \right\}$ 是开邻域, 故既开又闭, 此时: $$\left\{x\in A:v(x)=\gamma \right\}=\left\{x\in A:v(x)\ge \gamma \right\}\cap (A\setminus U_{\gamma })$$(23)

$\square$

定义 2.7. 对于赋值域 $K$, 定义:

1.	$K^{\circ }:=\left\{x\in K:v(x)\ge 0\right\}$ 称作 $K$ 的赋值环;
2.	$K^{\circ \circ }:=\left\{x\in K:v(x)>0\right\}$ 为赋值环的唯一极大理想;
3.	$\kappa :=K^{\circ }/K^{\circ \circ }$ 为剩余类域.

定义 2.8. 给出 $v,w$ 为域 $K$ 的赋值, 以下条件等价称为赋值的等价:

1.	存在交换群的保序同构 $\gamma :v(K^{\times })\to w(K^{\times })$ 使得 $w=\gamma \circ v$;
2.	$v,w$ 给出相同的 $K^{\circ }$.

证明. $v(x)\ge v(y)$ 当且仅当 $x{y}^{-1}\in K^{\circ }$.

$\square$

3完备化

定义 3.1 (Cauchy 滤子). 设 $A$ 是 Hausdorff 交换拓扑群, 称 $A$ 上滤子 $\mathfrak{F}$ 是 Cauchy 滤子, 若对于任意 $0$ 处邻域 $U\in {\mathfrak{N}}_0$, 存在 $E\in \mathfrak{F}$ 使得: $$E-E:=\left\{x-y:x,y\in E\right\}\subseteq U$$(24)

定义 3.2 (完备). 一个交换拓扑群 $A$ 是完备的若其每个 Cauchy 滤子均收敛, 本文完备默认为 Hausdorff 完备.

定义 3.3 (完备化). 完备 Hausdorff 拓扑交换群范畴到 Hausdorff 拓扑交换群的遗忘函子, 带有左伴随称完备化, 完备化被以下性质唯一决定:

1.	自然嵌入 $\iota :A\to \iota (A)\subseteq \hat{A}$ 是同胚;
2.	$\iota (A)$ 在 $\hat{A}$ 中稠密;
3.	$\hat{A}$ 是完备 Hausdorff 拓扑交换群.

特别的, 拓扑环也可寻求对应的完备化.

证明. 我们利用极小 Cauchy 滤子构造完备化, 对于任意 Cauchy 滤子 $\mathfrak{F}$, 可定义: $$\hat{\mathfrak{F}}:=\left\{T:F+U\subseteq T,F\in \mathfrak{F},U\in {\mathfrak{N}}_0\right\}$$(25)为在 $\mathfrak{F}$ 中的唯一极小 Cauchy 滤子, 交换群和拓扑结构如此给出: $$\begin{array}{rl}\mathfrak{F}+\mathfrak{G}& :=\widehat{\left\{F+G:F\in \mathfrak{F},G\in \mathfrak{G}\right\}}\\ -\mathfrak{F}& :=\widehat{\left\{-F:F\in \mathfrak{F}\right\}}\\ {\mathfrak{N}}_{\mathfrak{F}}& :=\left\{U^{†}:U^{†}:=\left\{\mathfrak{G}\in \hat{A}:U\in \mathfrak{G}\right\},U\in \mathfrak{F}\right\}\end{array}$$自然嵌入映 $x$ 为 $\widehat{{\mathfrak{N}}_x}$, 后者显然为 Cauchy 滤子, 显见 ${\iota }^{-1}(U^{†})=U$, 故 $\iota$ 是同胚, 另一方面, 对 $U^{†}$ 任取 $b\in U$ 即证明了稠密性, 对任意 $\hat{A}$ 上的滤子 $\mathfrak{F}$, 总可定义: $${\mathfrak{F}}_0:=\left\{U\subseteq A:U\ne \varnothing ,U^{†}\in \mathfrak{F}\right\}$$(26)则 $\mathfrak{F}$ 收敛于 $\widehat{{\mathfrak{F}}_0}$, 这就验明了完备性.

$\square$

引理 3.4. 对于赋值环 $A$ 上的 Cauchy 滤子 $\mathfrak{F}$, 则以下两者必居其一:

1.	存在 $F\in \mathfrak{F}$ 和 $\gamma \in \Gamma$, 使得 $x\in F$ 蕴含 $v(x)=\gamma$;
2.	对任意 $\gamma \in \Gamma$, 均存在 $F\in \mathfrak{F}$ 使得 $F\subseteq U_{\gamma }$.

且情形 $1$ 中的 $\gamma$ 是唯一的, 从而赋值可以唯一的延拓至 $\hat{A}$ 上的赋值 $\hat{v}$.

证明. 假定对任意 $\gamma \in \Gamma$ 与任意 $F\in \mathfrak{F}$ 均存在 $x\in F$ 使得 $v(x)>\gamma$, 取定 $\gamma$ 寻求对应 $F-F\subseteq U_{\gamma }$, 此时对任意 $y\in F$ 均有: $$v(y)\ge \min (v(y),v(y-x))>\gamma$$(27)

否则存在对应的 $\gamma ,F$, 寻求对应 $G-G\subseteq U_{\gamma }$, 则 $v(G\cap F)$ 是单元集, 依赖 $\varnothing \notin \mathfrak{F}$ 知 $\gamma$ 唯一, 简单验证即知道 $\hat{A}$ 为赋值环.

$\square$

引理 3.5. 当 $v(A)\ge 0,v^{-1}(\infty )=\left\{0\right\}$ 时, $U_{\gamma },\gamma >0$ 构成理想, 有环的同构: $$\hat{A}\cong \underset{0<\gamma \in \Gamma }{\underleftarrow{\lim }}A/U_{\gamma }$$(28)

证明. 验证同胚, 稠密与完备性.

$\square$

引理 3.6. 给出赋值域 $K$ 及其完备化 $\hat{K}$, 则: $$\begin{array}{rl}\widehat{K^{\circ }}& \cong {\hat{K}}^{\circ }\\ K^{\circ }/K^{\circ \circ }& \cong {\hat{K}}^{\circ }/{\hat{K}}^{\circ \circ }\end{array}$$特别的, 当 $v$ 是离散赋值时有: $$K^{\circ }/{(K^{\circ \circ })}^n\cong {\hat{K}}^{\circ }/{({\hat{K}}^{\circ \circ })}^n$$(29)

证明. 第一个同构依赖于 ${\hat{K}}^{\circ }$ 中的元素 $\mathfrak{F}$ 均可寻求 $F\in \mathfrak{F}$ 使得 $F-F\subseteq U_0$, 此时 $F\subseteq K^{\circ }$, 研究同态 $\pi :K^{\circ }\to {\hat{K}}^{\circ }/{\hat{K}}^{\circ \circ }$, 依赖赋值延拓计算知其核为 $K^{\circ \circ }$, 对滤子 $\mathfrak{F}$, 寻求 $F-F\subseteq U_0$, 取 $F$ 中任意元素均有 $F-x\subseteq U_0$, 故 $\pi$ 满.

对离散情形, 我们选取剩余类域在 $K^{\circ }$ 中的一组代表元 ${\alpha }_i$ 与素元 $\pi$, 则 ${\hat{K}}^{\circ }$ 的元素 $x$ 均可写成幂级数: $$x=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha }_{i_k}{\pi }^k$$(30)其在 $n$ 位的截断有对应.

$\square$

注 3.7. 给出环 $K$ 与 $K$ 上赋值 $v$, 此后记 $K_v$ 为 $K$ 对 $v$ 的完备化.