用户: Ruiqi chen/Algebraic Number Theory/域的扩张

1交换代数

引理 1.1. 令 $o$ 为 Dedekind 整环, 其分式域为 $K$, 取有限可分扩张 $L/K$, 命 $\mathcal{O}$ 为 $o$ 在 $L$ 中的整闭包, 则 $\mathcal{O}$ 是有限生成 $o$ 模.

证明. 记 $n:=[L:K]$, 依赖有限可分知存在 $\theta$ 使得 $L=K[\theta ]$, 取基 $1,\theta ,\dots ,{\theta }^{n-1}$, 在 $L$ 上定义双线性形 $⟨x,y⟩:=T_{L/K}(xy)$, 嵌入代数闭包 $\overline{K}$ 计算: $$\underset{i,j}{\det }⟨{\theta }^i,{\theta }^j⟩=\underset{i,j}{\det }\left(\sum _{\sigma :L\to K}\sigma {\theta }^{i+j}\right)=\underset{i,\sigma }{\det }\left(\sigma {\theta }^i\right)\underset{\sigma ,j}{\det }\left(\sigma {\theta }^j\right)={\left(\prod _{\sigma \ne \tau }(\sigma \theta -\tau \theta )\right)}^2={N_{L/K}(f^{\prime }(\theta ))}^2$$(1)故上述定义的双线性形非退化, 存在 $L/K$ 的基 ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_n\in \mathcal{O}$, 如取 $1,k\theta ,\dots ,k^{n-1}{\theta }^{n-1}$ 对 $k\in o$, 此时对任意 $\alpha \in \mathcal{O}$, 有 $⟨\alpha ,{\omega }_i⟩\in o$, 从而: $$\alpha =\sum _{i,j}{\left({⟨{\omega }_i,{\omega }_j⟩}^{-1}\right)}_{i,j}⟨\alpha ,{\omega }_j⟩{\omega }_i\in {\left(\underset{i,j}{\det }⟨{\omega }_i,{\omega }_j⟩\right)}^{-1}\sum _{i}o{\omega }_i$$(2)故 $\mathcal{O}$ 嵌入为有限生成模子模, 依赖 $o$ 是 Noether 环知有限生成.

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引理 1.2 (Krull-Akizuki). 一维 Noether 整环 $\mathcal{O}$ 的整闭包 $\tilde{\mathcal{O}}$ 是 Dedekind 整环.

证明. 嵌入 $\mathcal{O}\subseteq \tilde{\mathcal{O}}$ 是整扩张, 只需验证 Noether 性, 任意取 $\mathcal{O}$ 的非零理想 $I$, 我们证明 $\tilde{\mathcal{O}}/I\tilde{\mathcal{O}}$ 是有限长度 $\mathcal{O}$ 模.

选取 $a\in I$, 构造一组理想降链: $$I_m=a^m\tilde{\mathcal{O}}\cap \mathcal{O}+a\mathcal{O}$$(3)注意到 $\mathcal{O}/a\mathcal{O}$ 是零维 Noether 环, 故为 Artin 环, 从而降链稳定, 假定稳定于 $n$, 任意选取 $\beta =b/c\in \tilde{\mathcal{O}}$, 依赖 $\mathcal{O}/c\mathcal{O}$ 是 Artin 环, 理想链: $$J_m=a^m\mathcal{O}+c\mathcal{O}$$(4)稳定于 $h$, 此时有 $a^h=a^{h+1}x+cy$, 故: $$\beta =\frac{b}{c}=\frac{b}{c}(1-xa)+\beta xa=a^{-h}by+\beta xa\in a^{-h}\mathcal{O}+a\tilde{\mathcal{O}}$$(5)选取 $\beta =a^{-h}u+a\tilde{u}$, 若 $h>n$ 则 $u=a^h(\beta -a\tilde{u})\in a^h\tilde{\mathcal{O}}\cap \mathcal{O}$, 故存在 $u=a^{h+1}{\tilde{u}}^{\prime }+a{u}^{\prime }$, 代入知: $$\beta =a^{-h+1}u+a({\tilde{u}}^{\prime }+\tilde{u})\in a^{-h+1}\mathcal{O}+a\tilde{\mathcal{O}}$$(6)故 $\tilde{\mathcal{O}}\subseteq a^{-n}\mathcal{O}+a\tilde{\mathcal{O}}$, 而 $\tilde{\mathcal{O}}/I\tilde{\mathcal{O}}$ 成为 $(a^{-n}\mathcal{O}+a\tilde{\mathcal{O}})/a\tilde{\mathcal{O}}$ 子商, 故有限长度.

任意选取 $\tilde{\mathcal{O}}$ 的非零理想 $I$, 则 $\tilde{\mathcal{O}}/(I\cap \mathcal{O})\tilde{\mathcal{O}}$ 有限长度, 故以 $I$ 起始的升链有限长, 即 $\tilde{\mathcal{O}}$ 是 Noether 环.

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引理 1.3. 令 $o$ 为 Dedekind 整环, 其分式域为 $K$, 取有限扩张 $L/K$, 命 $\mathcal{O}$ 为 $o$ 在 $L$ 中的整闭包, 则 $\mathcal{O}$ 亦为 Dedekind 整环.

证明. 可寻求 ${\theta }_1,\dots ,{\theta }_n\in \mathcal{O}$ 使得 $L=K[{\theta }_1,\dots ,{\theta }_n]$, 依赖 Hilbert 基定理知其 Noether, 整扩张保持维度故 $\dim \mathcal{O}=\dim o=1$, 依赖 1.2.

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2局部

引理 2.1. 给出整环 $K^{\circ }$, 其分式域为 $K$, 若 $x\in K^{\circ },x^{-1}\in K^{\circ }$ 对任意 $x\in K$ 至少成立其一, 则存在赋值 $v:K\to \Gamma \cup \left\{\infty \right\}$ 使得 $K^{\circ }$ 是赋值环, 且 $v$ 在赋值的等价下唯一.

证明. 只需构造 $v$, 命 $\Gamma :=K^{\times }/{K^{\circ }}^{\times }$ 并定义: $$x{K^{\circ }}^{\times }\le y{K^{\circ }}^{\times }⟺x^{-1}y\in K^{\circ }$$(7)构造 $v:K^{\times }\to \Gamma$ 为商同态, 检验强三角不等式: $$v(x+y)\ge v(y)⟺\frac{x+y}{y}\in K^{\circ }⟺\frac{x}{y}\in K^{\circ }$$(8)

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定理 2.2 (C. Chevalley). 设 $L$ 是域, $R\subseteq L$ 是子环, 带有素理想 $\mathfrak{p}$, 则必然存在 $L$ 上的赋值 $v$ 使得: $$R\subseteq L^{\circ },L^{\circ \circ }\cap R=\mathfrak{p}$$(9)

证明. 考察 $R_{\mathfrak{p}}$, 不妨设 $R$ 是局部环, 构造环-理想对的集合: $$\mathcal{P}:=\left\{(A,I):R\subseteq A\subseteq L,I⊊A,\mathfrak{p}\subseteq I\right\}$$(10)其上赋予自然偏序: $$(A,I)\le (B,J)⟺(A\subseteq B)\wedge (I\subseteq J)$$(11)依赖 Zorn 引理容易选取极大元 $(A,I)$, 显然此时 $I$ 为极大理想.

选取 $y\in A\setminus I$, 若 $y^{-1}\notin A$, 我们验证 $(A,I)<(A[y^{-1}],I[y^{-1}])$, 只需依赖素理想回避注意到: $$y^k\notin \sum _{i=0}^k{y}^{i}I\subseteq I$$(12)也即: $$1\notin \bigcup _{k\in \mathbb{N}}\sum _{i=0}^{k}I{y}^{-i}=I[y^{-1}]$$(13)故 $I[y^{-1}]$ 是真理想, 矛盾, 故 $y^{-1}\in A$, 即 $(A,I)$ 是局部环.

选取 $x\in L^{\times }$, 若 $x,x^{-1}\notin A$, 极大性要求 $1\in I[x],I[x^{-1}]$, 取 $m,n$ 极小满足: $$\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i=1=\sum _{i=0}^m{b}_j{x}^{-j},a_i,b_j\in I$$(14)当 $n\ge m$ 时: $$1=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i+{(1-b_0)}^{-1}{a}_n{x}^n(1-b_0)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i+\sum _{j=1}^m{a}_n{b}_j{(1-b_0)}^{-1}{x}^{n-j}$$(15)与 $n$ 的极小性矛盾, 对称的, 当 $n\le m$ 时与 $m$ 的极小性矛盾.

故 $(A,I)$ 满足对任意 $x\in L$, 有 $x\in A$ 与 $x^{-1}\in A$ 至少成立其一, 给出赋值 $v$.

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定义 2.3. 给出域扩张 $L/K$ 并给出 $L$ 的赋值 $w:L\to \Gamma$, 其在 $K$ 上限制出 $v$, 定义: $$e:=[w(L^{\times }):v(K^{\times })],f:=[\kappa (L):\kappa (K)]$$(16)分别称作分歧指数 $e$ 与惯性次数 $f$.

推论 2.4. 给出域扩张 $L/F/K$, 与 $L$ 上赋值, 则: $$\begin{array}{rl}{e}_{L/K}& =e_{L/F}{e}_{F/K}\\ f_{L/K}& =f_{L/F}{f}_{F/K}\end{array}$$

引理 2.5. 总有不等式: $$ef\le [L:K]$$(17)假设 $L$ 对 $w$ 成为离散赋值环, 则上述不等式取等.

证明. 依赖定义选取 $y_i,z_j\in L$ 使得 $y_i$ 给出 $w(L^{\times })/v(K^{\times })$ 的一组代表元, $z_j$ 给出 $\kappa (L)$ 的一组 $\kappa (K)$ 基, 设有 $a_{i,j}\in K$ 使得: $$\sum _{i,j}{a}_{i,j}{y}_i{z}_j=0$$(18)固定 $i$ 使 $a_{i,j}$ 不全为零, 选取全体 $a_{i,j}$ 中 $v(a_{i,j})$ 极小者为 $a_{i,r}$, 定义$$A_i:=\sum _{i,j}{a}_{i,j}{z}_j$$(19)则此时 $z_j$ 在 $\kappa (K)$ 上线性无关保证了 ${a_{i,r}}^{-1}{A}_i\in L^{\circ }\setminus L^{\circ \circ }$, 故: $$w(A_i)=w(a_{i,r})+w({a_{i,r}}^{-1}{A}_i)\in v(K^{\times })$$(20)此时: $$w(A_i{y}_i)\in w(y_i)v(K^{\times })\bigcup \left\{\infty \right\}$$(21)故 $A_i{y}_i$ 非零项的赋值互不相等, 此时: $$\infty =w\left(\sum _i{A}_i{y}_i\right)=\underset{i}{\min }w(A_i{y}_i)$$(22)故对任意 $i$ 有: $$w(A_i)=w(A_i{y}_i)-w(y_i)=\infty \notin v(K^{\times })$$(23)故 $a_{i,j}$ 全为 $0$, 从而 $y_i{z}_j$ 线性无关.

在离散赋值环的情形, 给出素元 $\Pi \in L,\pi \in K$, 依旧选取 $z_j$ 给出 $\kappa (L)$ 的一组 $\kappa (K)$ 基, 则: $$L^{\circ }=\Pi L^{\circ }+\sum _j{z}_j{K}^{\circ }=\cdots ={\Pi }^e{L}^{\circ }+\sum _{i=0}^{e-1}\sum _j{\Pi }^i{z}_j{K}^{\circ }=\pi L^{\circ }+\sum _{i=0}^{e-1}\sum _j{\Pi }^i{z}_j{K}^{\circ }$$(24)依赖 Nakayama 引理知: $$L^{\circ }=\sum _{i=0}^{e-1}\sum _j{\Pi }^i{z}_j{K}^{\circ }$$(25)故给出基 ${\Pi }^i{z}_j$, 从而 $ef=[L:K]$.

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引理 2.6. 若 $L/K$ 是代数扩张, 给出 $K$ 上的绝对值 ${\left|\cdot \right|}_v$, 则其在 $L$ 上的延拓 ${\left|\cdot \right|}_w$ 均由嵌入 $\tau :L\to \overline{K_v}$ 诱导, 且两个嵌入诱导出的绝对值等价当且仅当嵌入在 $K_v$ 上共轭.

证明. 令 $F$ 取遍全体有限子扩张, 其上绝对值继承自 $L$, 则给出代数扩张: $$\left(\underset{L/F/K}{\underrightarrow{\lim }}{F}_w\right)/K_v$$(26)故有嵌入 $L\to {\underrightarrow{\lim }}_{L/F/K}{F}_w\to \overline{K_v}$, 共轭的嵌入 $\tau ,\sigma \circ \tau$ 给出的绝对值相等依赖于 $K_v$ 完备, 故绝对值唯一延拓.

选取嵌入 ${\tau }_1,{\tau }_2$, 依赖稠密性可被唯一延拓至: $${{\tau }_1}^{\prime },{{\tau }_2}^{\prime }:\underset{L/F/K}{\underrightarrow{\lim }}{F}_w\to \overline{K_v}$$(27)需验证 ${{\tau }_1}^{\prime }\circ {{{\tau }_2}^{\prime }}^{-1}$ 是 $K_v$ 同态, 这依赖于赋值相等给出同样的收敛性质: $$\lim x_n=0⟺\lim {{\tau }_1}^{\prime }\circ {{{\tau }_2}^{\prime }}^{-1}{x}_n=0$$(28)利用代数闭包的性质将 ${{\tau }_1}^{\prime }\circ {{{\tau }_2}^{\prime }}^{-1}$ 延拓为 $\overline{K_v}\to \overline{K_v}$, 给出共轭.

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引理 2.7. 给出 $L=K[\theta ]$, 与 $\theta$ 的极小多项式 $f(x)$ 在 $K_v$ 中的分解: $$f(x)=\prod _{i=1}^r{f_i(x)}^{k_i}$$(29)则绝对值 $v$ 在 $L$ 上的延拓和 $i$ 一一对应.

证明. 一个 $v$ 在 $L$ 上的延拓对应 $\theta$ 在 $\overline{K_v}$ 中的共轭类, 与 $i$ 有一一对应.

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引理 2.8. 令 $L/K$ 为有限可分扩张, 则自然同态 $\phi$ 为同构: $$\phi :L\underset{K}{\otimes }{K}_v\to \prod _{w/v}{L}_w$$(30)

证明. 找到 $\theta$ 使得 $L=K[\theta ]$, 有极小多项式 $f(x)\in K[x]$, 给出 $f(x)$ 在 $K_v$ 中的分解: $$f(x)=\prod _{i=1}^r{f}_i(x)$$(31)利用上述一一对应并利用中国剩余定理有: $$L\underset{K}{\otimes }{K}_v\cong \frac{K[x]}{f(x)K[x]}\underset{K}{\otimes }{K}_v\cong \frac{K_v[x]}{f(x)K_v[x]}\cong \prod _i\frac{K_v[x]}{f_i(x)K_v[x]}\cong \prod _{w/v}{L}_w$$(32)

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引理 2.9. 令 $L/K$ 为有限可分扩张, 取 $\theta \in L$, 在 $L/K,L_w/K_v$ 上的极小多项式分别为 $p(x),p_{w/v}(x)$, 则: $$\begin{array}{rl}p(x)& =\prod _{w/v}{p}_{w/v}(x)\\ T_{L/K}(x)& =\sum _{w/v}{T}_{L_w/K_v}(x)\\ N_{L/K}(x)& =\prod _{w/v}{N}_{L_w/K_v}(x)\\ [L:K]& =\sum _{w/v}[L_w:K_v]\end{array}$$

证明. 寻定义视 $\theta$ 为 $L\underset{K}{\otimes }{K}_v\cong {\prod }_{w/v}{L}_w$ 上的线性变换.

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3整体

引理 3.1. 给出 Dedekind 环 $o$ 及其对应的分式域 $K$, 考察有限扩张 $L/K$ 与整闭包 $\mathcal{O}$, 对素理想 $\mathfrak{p}$ 有: $$\begin{array}{rl}\mathfrak{p}\mathcal{O}& =\prod {{\mathfrak{P}}_i}^{e_i}\\ f_i& =[\mathcal{O}/{\mathfrak{P}}_i:o/\mathfrak{p}]\end{array}$$其中 $e_i,f_i$ 由扩张 $o_{\mathfrak{p}}\subseteq {\mathcal{O}}_{{\mathfrak{P}}_i}$ 决定, 且: $$[L:K]=\sum _i{e}_i{f}_i$$(33)

证明. 在 $\mathcal{O}$ 的每个局部上计算即可, 对 $p\subseteq o$ 诱导出的赋值 $v$ 在 $\mathcal{O}$ 上有延拓 $w$, 整扩张给出 $w(\mathcal{O})\ge 0$, 故延拓与 $\mathfrak{p}\mathcal{O}\subseteq \mathfrak{P}$ 一一对应. $$[L:K]=\sum _{w/v}[L_w:K_v]=\sum _i{e}_i{f}_i$$(34)

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定义 3.2. 在 $o,\mathcal{O}$ 的全体理想中定义嵌入和范数: $$\begin{array}{rl}i& :\mathfrak{p}\mapsto \mathfrak{p}\mathcal{O},I_o\to I_{\mathcal{O}}\\ N& :\mathfrak{P}\mapsto {(\mathfrak{P}\cap o)}^{f_{\mathfrak{P}}},I_{\mathcal{O}}\to I_o\end{array}$$

定义 3.3. 给出 Dedekind 整环 $\tilde{\mathcal{O}}$, 若有子整环 $\mathcal{O}\subseteq \tilde{\mathcal{O}}$, 使得其整闭包为 $\tilde{\mathcal{O}}$, 且 $\tilde{\mathcal{O}}$ 是有限生成 $\mathcal{O}$ 模, 则称 $\mathcal{O}$ 为一个阶, 定义导子: $${\mathfrak{f}}_{\mathcal{O}}:=\left\{a\in \mathcal{O}:a\tilde{\mathcal{O}}\subseteq \mathcal{O}\right\}$$(35)$\tilde{\mathcal{O}}$ 的素理想 $\mathfrak{p}$ 对 $\mathcal{O}$ 来说是正规的若 ${\mathcal{O}}_{\mathcal{O}\cap \mathfrak{p}}$ 是离散赋值环.

引理 3.4. 素理想 $\mathfrak{p}$ 对 $\mathcal{O}$ 是正规的若 $\mathfrak{f}⊈\mathfrak{p}$, 此时: $${\mathcal{O}}_{\mathcal{O}\cap \mathfrak{p}}={\tilde{\mathcal{O}}}_{\mathfrak{p}}$$(36)

证明. 若存在 $t\in \mathfrak{f}\setminus \mathfrak{p}$, 则: $$\tilde{\mathcal{O}}\subseteq t^{-1}\mathcal{O}\subseteq {\mathcal{O}}_{\mathcal{O}\cap \mathfrak{p}}$$(37)这验证了 ${\tilde{\mathcal{O}}}_{\mathcal{O}\cap \mathfrak{p}}\subseteq {\mathcal{O}}_{\mathfrak{p}}$, 于是正规性源自于: $${\mathcal{O}}_{\mathcal{O}\cap \mathfrak{p}}={\tilde{\mathcal{O}}}_{\mathfrak{p}}$$(38)

若 ${\mathcal{O}}_{\mathcal{O}\cap \mathfrak{p}}$ 是离散赋值环, 此时其亦整闭, 给出: $$\tilde{\mathcal{O}}\subseteq {\mathcal{O}}_{\mathcal{O}\cap \mathfrak{p}}$$(39)选取 $\tilde{\mathcal{O}}$ 的基 $x_1=\frac{a_1}{s_1},\dots ,x_n=\frac{a_n}{s_n}$, 则: $$s_1{s}_2\dots s_n\tilde{\mathcal{O}}\subseteq \mathcal{O}$$(40)而 $s_1{s}_2\dots s_n\notin \mathfrak{p}$.

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